Euclidis Opera omnia

ne trieeier nins 1 LOETEEESURLST ridi Celso e 157,7 TUS STO Iw] VT ac a Tai alu ΣΤΡ ΤΥ νυ EHE TEIL Tuis Meteor SIICHMEIESNADE LHP MM TIE SHE Mgr

EHE ORDER IUE IN LOETTHERRTR TE EIER rg i Insee isiriin UHe ue RTTUEDPPIIH TUI tih ttt 2 :Sitiscti erts tomen

ῃ ——— — nitiriviise cott anis m Athe

i "ET. "HET ; à LR E dq : i RICE

*

.

"Ne
non

us
φρο c:

tes

"
t

n

jer ; ;
SEIS : E Si : E ereci rte

d

weviei eiui 2r rar τεῦ pr Denm —€—€— σεν λε αὺς Σσσατεττν
[comcs pperseicieaic pesce es

o6 EDn: ΕΣ
εἶα

δι
ε
ἜΝ
-

m
Tail t

Meroe

Do
EO
ra
tun ztatzm

T
ἐσ ΣῈ

ISIN EDETHTSISIITIMY
sens
ww

SEDEM

trdgonbe:

z
IT
vr

ἐσ ΡΕ ῬΕ τὰ

HH)
fes

MENDES
3e$
latius
TT ey

"let
ἘΣ
"
i
t
^

IO
teat
DC
ἔπος
Ce TT

d$.

mieu

Jj
ΤΡ ΡτῚ
σι

t
€

d

[CR
"
E

Deeut
τς

*
δὲ

εἶα

n
Fe;

Tt ee

Ne
faded

E:

EX

Ἷ

I
B
ῃ
ΒΕ
E

1:1 eere.

T5
E

"p

, MUN
NONSTENTUSN Eti.
ΣΤΗ͂Σ

pon

i
“ἢ
i
:
|
1
d
1
]

TUWEUSIDE

3
Sale
5

Ll 7"

NET
xim

Te aT IM

REM

[E enl

zs
TEITTSI

"nvnmseles

bo

ae ien 2
t.

vom

[ -
SM

a

DIE

atv DINI ANTE Tyvvtretébesdi qu) δ᾿ ΡῈ χα er ie 13D

unte

ΟΡ Ὁ ν᾿

es " " r f *i 3 f vitto Le
Es ERUNT - Σ ᾿ ὩΣ

fnr "οἰ σιο ὁ

4WEUCLIDIS
OPERA OMNIA

EDIDERUNT
I. L. HEIBERG ET H. MENGE

VOL. VIII

se

BOSTON CÓL'ECE LIBRARY
CHESTNu f FiLL, MASS.

LIPSIAE IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI MCMXVI

EUCLIDIS
PHAENOMENA ET SCRIPTA MUSICA

EDIDIT

HENRICUS MENGE

FRAGMENTA

COLLEGIT ET DISPOSUIT

I. L. HEIBERG

&

LIPSIAE IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI MCMXVI

PRAEFATIO.

Euelidis Phaenomena duabus recensionibus nobis tra-
dita sunt. ac prioris quidem recensionis (a) codices, quos
novi, sunt hi:

1. V — eod. Vindobonensis XXXI, 13 (— philos. Gr. 103
apud Lambecium) in hae parte bombyoe., s. XII,
de quo v. vol. V p. XXIX sqq. Phaenomena habet
fol. 272*—282"; desinit p. 104, 15 m K A. ;

2. L —ecod. Florentinus Laurentianus XXVIII, 3, membr.
s. X, de quo v. vol. V p. XXVsqq. Phaenomena con-
tinet in ea parte, quam m. rec. s. XVI supplevit,
fol. 209—223; des., ubi V.

ὃ. 1 — cod. Flor. Laur. XXVIII, 6, membr. s. XIV, de
quo v. vol. V p. XXVI. Phaenomena habet fol. 321
—-885; des. ubi V.

4. y — cod. Vatic. Gr. 1038, membr. s. XIII, de quo v.
vol.V p. V sq., Catal. codd. astrol. Gr. V, 1 p.73, Hei-
berg, Hermes 38 p.181 et Deutsche Littztg. 1900
p.417, Boll, Sitzungsber.d. Münch. Akad. 1899 p.81.
Phaenomena continet fol. 111—112; des. p. 26,2 in
A4 E. figuras non habet.

5. v! — ood. Vatic. Gr. 1039, chartac. s. XV, de quo v.
vol. VII p. VI, Heiberg, Hermes 38 p. 322. Phae-
nomena habet fol. 32 sqq.; des. p. 104,9 in ὅτι.

integrum huius recensionis exemplum frustra indagavi.

Alterius recensionis (b) codicum longe princeps est:
Vat. — eod. Vatic. Gr. 204, membr. s. X, de quo v. vol. V

p. XII. Phaenomena continet fol. 58'—'76*, multa a
manu 2s. XV(Vat.m.2)correctasunt;v. pr olegomena.

De ceteris codicibus recensionis b v. ibidem

VI PRAEFATIO

Sex codicibus illis a me ipso collatis nisus duas re-
censiones 1n primis octo propositionibus ita coniunxi, ut
scripturas prioris, quantum fieri poterat, in textum re-
ciperem neque ad alteram confugerem misi iis locis, ubi
illius lectio retineri non posse videretur. cum autem inde
a propositione nona recensiones plurimum inter se discre-
pent, alteram ab altera statui separandam esse.

In adparatum criticum omnes scripturas codicum
VLlvv!Vat. congessi; consensum codicum VLIlvv! lit
tera à significavi.

Scholia ex duodeviginti codicibus collegi atque om-
nium fere omnes discrepantias in adparatum contuh.
codicum illorum scholia his notis distinxi:

V — cod. Vindobon. XXXI, 13 m.1; v. supra.

V, V? V5, V? — ejusdem manus librariorum; v. vol. V,
p. XI—XII.

] — Laur. 28,6; v. supra.

λ — Laur. 28,10, chartac. s. XV.

— cod. Vatic. 1038; v. supra.

v! — cod. Vatic. 1039; v. supra.
— cod. Vatic. 204 m. 1; v. supra.
Vat.? — eiusdem plures manus recentiores.
B — cod. Vatie. 191, chartae. et bombye. s. XIII
—XJIV. :

C — ocod.Vatic.202, bombyoc. s. XIV m. 1, praeter p. 140
nr. 63 m.rec.; v. Heiberg, Om Scholierne til Euklids
Elementer p.34. |

D — cod. Vatic. 192, bombyo. s. XIV; v. Heiberg 1. c.

ἃ — cod. Angel, olim C—2— 9, nune 95, chartac.
s. XV; v. Heiberg 1. c.

À — cod. Ambros. A 101 sup., Martini et Bassi nr. 28,
chartac. s. XV.

M' — eod. Monac. 361 m. 1; v. vol. VI p. XV.

M? et M? — eiusdem manus recentiores.

PRAEFATIO VII

p! — cod. Paris. ὅτ. 2342 m. 1 atramento fusco distincta;
v. Heiberg 1l. c. p. 55 et vol. VI p. X.

op? eiusdem manus eadem atramento rubro usa.
q — cod. Paris. Gr. 2351, chartac. s. XVI.
r — eod. Paris. Gr. 9362. chartae. s. XV.

8
8
s — cod. Paris. Gr. 2363, chartac. s. XV.
t — cod. Paris. Gr. 23 88, chartac. s. XVII.
x — cod. Paris. Gr. 2412, chartac. s. XIV.

Carolo Manitius, viro astronomiae antiquae inpri-
mis perito, qui in rebus astronomicis liberalissime me
adiuvit e& Henrico Rostagno, professori Florentino,
qui codices Laurentianos in usum meum singulari benigni-
tate iterum inspexit, gratias hic ago iustissimas.

Seriptorum musicorum, quae Euclidis nomine ferun-
tur, textum ex Iani editione Musicorum Graecorum (1895)
deprompsi. hune virum sollertissimum constat inter om-
nes musieis Graecis im pristinam integritatem restituen-
dis tam salutare studium tamque utilem operam imperti-
visse, αὖ quasi sospitator eorum et vindex merito possit
appellari. ae Ian quidem libellorum Euelideorum textum
constituit duobus maxime codicibus usus. hi codices sunt:
1. M — Marcianus appendicis classis VI n. 3, membr.

4? mai. s. XII. continet Introductionem fol. 1— 8,
Sectionem fol.9—17. codex pluribus manibus, quae
haud sane facile dignoscuntur, variis aetatibus cor-
rectus est." codicem diligentissime contulit Ian,
complures locos dubios nuper Venetiis inspexi ipse.
2. V et W — Vaticanus Gr. 191.?) duas habet scriptorum
musicorum recensiones, unam fol. 292, ab Iano lit-
tera V, alteram fol. 393?) littera W signatam, quam

1) V. etiam Marquard, Die harmonischen Fragmente des
Aristoxenos p. XIII sq.

2) V. de hoc codice p. XLII huius voluminis.
* 3) Errat Ian in numero.

VIII PRAEFATIO

alterum textus voluit esse fundamentum. huius co-
dieis collationem Ian complurium virorum docto-
rum operae debebat; ante multos annos eum Romae
contuli ipse. |

Ubi codicum MW scripturae retineri non poterant,
Ian duos codices alterius familiae in consilium advocavit,
et hi quidem sunt:

N — Neapolitanus III C 2 (olim 260), chartac. 4? s XV.
fuit Georgii Vallae. Euclidem praebet p. 56 sqq.
contulit Ian.

B et B — Barberinus II, 86 (olim 210), chartac. fol. min.
s. XVI. Introductio in codice bis legitur, priore loco
fol. 300 Pappo vindicata, altero loco fol. 311 eon-
iuncta cum Sectione et Cleonidis nomine inscripta.
Sectio incipit a fol.318. maiorem partem contulit
Studemund, reliquam transcripsit Franz, ispexit
Ian, qui priorem illam Introductionis recensionem
littera B signavit, ubi propriam lectionem habet,
B autem, ubi eum uno vel duobus aliis codicibus
conspirat.

Àd hos codices, ne tertiae familiae auctor desideretur,
in Introduetione quidem apud Ianum accedit

L — codex bibl. eivitatis Lipsiensis XXV, chartac.
s. XV. continet Introduetionem fol. 5*—10?, Sec-
tionem 10*—13*. hune librum rectissime vidit vir
sagacissimus filium esse cod. Marciani 322, ab eo
littera U signati. Lipsiensem contulit Ian, Marcia-
num inspexit idem, Introduetionem contuli ipse
Venetiis 1913; v. prolegomena, ubi etiam de aliis
quibusdam eodicibus disputabitur.

His. codicibus enumeratis redeundum est ad M. Iam,
eum in tanta illa manuum codicis M varietate de ocu-
lorum acie desperaret, ad apographorum testimonia con-
fugit. atque in adparatu his usus est siglis: -

PRAEFATIO | IX

M et M! — ea, quae scripsit m. 1;

M? — eorrectiones diversis ΠΟΊΩΝ ante codieis V tem-
pora factae;

M* — porzeckiones, quibus M congruit cum N;

M* — ecorrectiones, quae non in N, sed in U eiusque ad-

finibus τ
M? — correctiones, quae exstant in M, absunt ab U.

Nee vero Ian omisit Porphyrium "khe qui in Com-
mentarium in Harmonica Ptolemaei ( Wallis opp. mathem.
III p. 212 sqq.) sedecim priores Sectionis propositiones
recepit, quemque ille sibi persuasit nonnullis locis solum
yeram lectionem praebere. priorum editorum, Penae
(Paris. 1551) et Meibomii (Amstelodami 1652), emen-
dationes evidentes pro codicum suorum seripturis sub-
stituere non dubitavit. neque minus ita in recensendis
Euclidis libellis egregie meritus est, ut non paucos locos
depravatos sua coniectura sanasse putandus sit.

In adparatum criticum Ian codicum MV(W)NB(B)
et in Introductione praeterea codicis L scripturas omnes
contulit; equidem satis habui, codicum MW lectiones
omnes commemorare praetermissis ceteris, nisi ubi eos
adparebat contra M W sinceram scripturam suppeditare.
notas addere, quibus lan aut locos quosdam figuris
nostraeque aetatis signis musicis illustrat aut legentes
ad alios scriptores musicos delegat, ab huius editionis
consilio alienum esse videbatur.

Interpretis munere ita functus sum, ut Graeca ad
verbum, quantum possem, Latinis exprimerem. Boetium,
qui Seetionis prooemium et novem priores propositiones
in Institutionem musicam IV, 1 sqq. (p. 801 ed. Friedlein)
recepit, interdum consului, Martianum Capellam sequi
nolui. Hultschio et Heibergio praeeuntibus pro διπλάσιος
τριπλάσιος cett. sequente genetivo dixi: duplo, triplo cett.
maior quam. ceterum 81 interpretatio in existimantium

X PRAEFATIO

arbitrium venerit, meminerint velim Vitruvii, qui quidem
De architectura V, 4 (p. 101, 4 sqq. ed. Krohn) *Harmo-
nice', inquit, 'est musica litteratura obscura et difficilis
— — —,. quam si volumus explicare, necesse est etiam
graecis verbis uti, quod nonnulla eorum latinas non
habent MT

Uneis ( inclusi, quae τῶν e sua vel aliorum coniec-
tura addidit, uncis [ ] eireumseripta sunt, quae spuria
esse statuit.

Fragmenta collegit et disposuit J. L. Heiberg. equi-
dem tria scholia adnexui, duo e cod. Vat. Gr. 1038, unum
e cod. Vat. Gr. 204.

H. Menge.

1) De scriptura sesquealter cett. v. Skutsch, Neue Jahrb. f.
Philol. Suppl. XXVII p. 88 not. 2 et Cicer. Paradoxa cett. ed.
O. Plasberg (1908) Fasc.I p.172,8 c. not.

Corrigenda.

Ῥ. ὃ, 234 pro 'etiam" scribendum: eaedem.

p.4 in adparatu lin. 7 delendum: γῆς] — 25; lin. 8 ante ἴσος
addendum: 22.

p. 5,18 scribendum: aequinoctialem; eae autem.

p.96 in adparatu lin. 4 ante γιγνόμενον addendum: 11.

p.18 ,, ^ lin. 25 pro m. 2 scribendum: m. 1.

p. 32, 15 scribendum: ἴσῳ.
p.44 rec. b lin. 5 scribendum: ἐλαχίστῳ, p.45,24: minimo.
p.46 , » pro τόν (alt. scribendum: τό.
p.78 ., lin.1 scribendum: ἐλάσσοσι.
p. 98 in adparatu rec. a 10 pro φανερόν scribendum φαρερόν.
p. 105 not. scribendum propositionum.
p.106 in adparatu 15. post O K addendum: (alt.).
p.152 ,, » 126 delendum M? et post 4 addendum: M.
p.160 ,, Ὁ pro 10 scribendum: 11.

dose. » lin.8 ante Γ καὶ τόν addendum: 13.

3 rer * » pro τὸν ter scribendum: τόν.

p.162 in figura pro ἡ scribendum: H.

p. 162, 16 scribendum: ἐστι.

p. 164 in adparatu scribendum: 14. πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον
Porphyrius, -og -og codd. :

p.170 in adparatu scribendum: 26. ἴσα] Pena.

DATA , E : 4. προσκείσϑω)] Pena.

p.188 ,, o addendum 4. μεταβάσεις] διαστάσεις μετα-
βάσεις W. 5. τὰ δέ] δὲ τά W.

p.188 in adparatu lin. 8 scribendum: βαρύτητι] W.
p.192 ,, εὶ addendum: 11. μέση] om. W.
p.196 ,, " 21 scribendum: λιχανός.

p.200 ,, L 1 pro ἔμπαλιν scribendum: ἀνάπαλιν.
p. 201, 23 scribendum: ea, quae.

p.208 in adparatu 25 addendum: κατά W.

n 219... δι lin. 3 scribendum: δέ.

p.214 ,, Ὡς pro 12 a 11.

p. 216 7 39 71 10 1)? 11.

BUNT. *. 25 addendum: corr. Meibom.
p.222 ,, A lin. 6 scribendum μελῳδουμένων.

ZA
“ι
*

, 4 h “ "YA &
E ὦ ΟΕ

M ,
1 P ' D u 1 o1" p
Vl Ó * EL
,
. ἢ
I bi ATP ᾿ 2n
'
D 6 "ὦ ᾿
" d &
i Q^ i X
"
^ ΩΝ ^ 9 j^
M I
Ets * 4
^ ies ;
/ εἰ
H3 O04 25 wi
n
4 j 4 Mi » ζ δὶ
"un i z
(EIE h. :
͵ £
/ -
í ) 1 ii 8 n
U ,
" .
- 5 AR. ]
Amer ἡ
*
.
, ]
.
'
Í
Hh [ ἱ
' I 14
! :
᾿
Σ N
j
᾿ a
i4 UITAE
-"
" | ) rn
M « ..
' i i3 Σ
* | MN
sd Coi
' LI 1.7
» M [e TI: * 43 R
| i Lum
* ,
ἐ ᾿ b wd
*
iT
* .
. : * c

"TE

EPROLEGOMENA |"

LM i
*& z
»
E
|
^
ual ;
Vi
r 14 dà
i
à
. ;
NC
B i»
δ
1 ἐ AE. "
m 2
X tu ΧΑ
; , ^
í LN d
iT vas
4. , ^^

De Phaenomenis.

Codices recensionis a, VLlvv', de quibus supra breviter dis-
serui, artissimo inter se necessitudinis vinculo coniunctos esse,
primum eo probatur, quod praeter v, cuius librarius Phaeno-
menorum finem facit p. 26,2, eodem fere loco desinunt; v. p.104,
9,15. praeterea in manifestis erroribus, in quibus omissiones
. laeunasque numero, satis frequenter congruunt; cfr. p. 4,8, 15
- (eorr. v^); 10,15; 12, 29; 16,18 (v lac. non habet); 24,12; 26,21;
34,4; 86,5; 62,1—2,7; 64,7; 66,3,8; 68,5,0,8; 12,3,0,0; 74,6;
76,9,4; 78,2,19—20; 80,4, 6; 82,9; 84,3, 4, 6,14, 18, 19; 88,2;
90, 1, 2, 7, 9, 10; 92,2; 96,9, 11 (corr. m. 2 L), 13; 98,6—7, 8,9;
100, 4 (corr. m. 2 L); 102,3, 14, 15; 104,3 (corr. v^), 11; 137,8.
accedit locus p. 66, 9—16 pessime depravatus. consensus autem
vel in minutiis cernitur, velut p. 4,4,5; 58,2; 82,3; 806,4; 92,
9.10; 96,6; 100,2; 102,7. mendis nescio an insolitus verborum
ordo p. 48, 8 adnumerandus sit. in figuris quoque VLlv' (v figu-
ras om.) eadem fere peccant. nec praetereundae sunt praeter
partem interpolatam propositionis II, de qua infra dicetur, inter-
polationes communes in adpar. crit. notatae p. 12, 29; 52,9,13;
56,6; 76,5; 88,8, quibus nunc iudico addenda ea, quae legun-
tur p. 76,8 αὐτά--ὅ πόλου: 88,7 ἐφάπτεται---9 μέρη; 98,10. etiam
lemma p.84 suspicari licet interpolatum esse. nam cod. Vat.,
auctor quasi recensionis b, titulo omisso pro scholio habet (p.148)
et in ipso V cetera lemmata (p.142,143) margini pro scholiis
adscripta sunt. animadvertendum est autem, lemma nihil prae-
bere nisi casum singularem prop. XI; addendum quod tota
demonstratio redolet scholiastam. sin quis lemma, quod certe
p. 96, 4 ad demonstrationem adhibetur, Euclidi adimere recuset,
meminerit velim, scriptorem interdum ea, quae facile intelle-
guntur, sine demonstratione adsumere. in numeris propositio-
num codicibus, cum saepissime inter se discedant, ne minimam
quidem constat fidem habendam esse. ego codicem V plurimum
secutus sum; lemmati vero numerum non addidi; p. 92 ab ὡς-
αὐτῶς novam propositionem contra utramque recensionem non

XVI PROLEGOMENA

incepi, quoniam in iis, quae sequuntur, demonstratur, idem
fieri in altero semicirculo; non obstat, quod propositio ampli-
ficatur, cum praesertim in ecthesi additum illud non respicia-
tur neque id sit, quod maxime spectat demonstratio. nec praeter-
mittendum, in conclusione demonstr. alterius legi p.128,92 τοῦ
ἄρα τῶν ξῳδίων κύκλου x.cv. 4., quae verba ad priorem quo-
que partem demonstrationis pertinere adparet. praeterea si rec. b
sequeremur, hic ordo efficeretur mirus sane et insolitus: prop. XIV,
prop. XV, dem. alt. prop. XIV, dem. alt. prop. XV. ;
codicum recensionis à facile princeps est et antiquitate et
auctoritate cod. V, quem accurate descripsit Heiberg vol. V
p. XIXsqq. nec tamen V liber est corruptelis erroribusque; cfr.
praeter locos supra commemoratos p. 16,16; 22, 17—18; 26,21
— 22; 30,3—9,16 —20; 60,2,4. in interpolationum numero ea,
quae leguntur p.44,18 ὅταν — 15 τροπικοῦ nunc non habeo. id
enim, quod Euclides proponit, in eam solam sphaeram cadere
putandum est, ubi dies solstitialis longior est duodecim horas,
brevior viginti quattuor. sed alia quaedam offensioni sunt, quae
Euclidi vix possunt adscribi, velut p. 62,7 in protasi et p. 78,3
in conclusione numerus singularis legitur ἐλάσσονι, p.64,5 in
ecthesi pluralis ἐλάσσοσι; contra p. 78,11 ἐλάττοσι, p.80,3 ἐλάσ-
cov. similiter numerus variatur p. ὅθ, 4 ἀνίσοις χρ., ἴ ἀνίσῳ xo.;
p.62,8 ἐλαχίστοις, 64,6 ἐλαχίστῳ; p.62,9 ἴσῳ, 18,5 ἔσοις. multa
menda deprehenduntur in litteris ad figuras spectantibus, quo-
rum plurima ita explicanda sunt, ut in quibusdam figuris anti-
graphi codicis V litterarum dispositio alia fuisse videatur atque
in iis figuris, quae nunc ἃ manu 2 in V exstant; cfr. p. 58, 13;
64, 7; 66,8; 68,8; 72,5,0; 76,2; 84,3,4; 96,13; 98,3,7,8,9;
102,3. complures figurae ipsae pessime depravatae aut negle-
genter descriptae sunt. expertus est autem V plures manus cor-
rectrices. satis multa correxit m.1 seu supra seu punctis seu li-
neolis seu litteris inscriptis (v. p. 4, 22; 6,5; 10,8,9, 14; 12, 12;
16,21; 22,14,19; 24,7; 26,928; 28,1,2,8,4; 34,4; 40,17; 50,11;
52,9,13; 54,14; 68,11; 78,5 al) ac non pauca ita, ut, pro vo-
cabulis litterisve erasis quid primo scriptum fuerit, cognosci
non possit. audacissime vero V correctus est a manu 2 ad re-
censionem b idque sine dubio ad ipsum cod.Vat., postquam m. 3
correctus erat; v. p.2,20; 4,20,22; 6,97; 8,16; 16,16; 18, 10,19;
20,2, 29; 26,21; 30,10; 36,5; 38, 21.) ex eodem Vat.V m. 3

1) P.20,29 ὁρίέξοντα manui 2 tribuere non debui. glossema
est eadem manu (V?) scriptum qua ξῳδιακός super MB NI.

PROLEGOMENA XVII

p.060,3 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4, addidit; primo enim scripserat
τοῦ Z, quod in Vat. legitur (v. rec. b lin. 1), deinde ad suam
figuram correxit. in interpolata parte prop. II m. 2, ut p.19
adnotavi. super M scripsit O, II super N; respexit ad figuram
p.14, cui pariter atque ceteris figuris ipsa litteras adscripsit.
p.22,7 O in ΣΟΊ mutavit in 0 figuram 1 p. 21 respiciens.
maxime autem studium illud corrigendi ad similitudinem re-
censionis b m. 2 cod. V prae se tulit in demonstratione prop. IX ;
v. p. 49 not. et adpar. crit. mirum, quod, postquam p. 46,22
A£yo —48, 3 I'M A delevit, p. 48,4 γάρ retinuit. ad textum rec. b
figurae p. 46 inscripsit formam accusativi A4íyóxsoo, cum in
textu codicis V constanter legatur 4iyóxsoov (v. p. 44,13; 46,7;
50,17; 78,9,18)) itemque in figura p.80. addendum eodem,
et ea, quae m. 2 p. 2,20; 6,17 adscripsit anteposito γράφεται
et ea, quae praebet adiecto κείμενον (p. 22,17; 80, 3—9, 16— 20;
40,294), deberi codici Vat. restant paucae emendationes manus 2,
quas non debet codici Vat.; v. p. 12, 19 (τοῦ &oxvívov V m.2,
τοῦ ἀρχτικοῦ Vat. quod in adparatu addere errore omisi); 60,
2—3,4. accedit, quod p.14,6 supra scripsit yo* καὶ τοῦ B κύκλου
et p. 18, 97 014 —20, 1 σημείων. e V quin ceteri codices recen-
.Bionis à originem ducant (γράφεται), non potest dubitari. iam
videndum est, quo gradu cum eo et inter se cohaereant.

artissime cum V coniunctus est cod.l. nam non solum in
eodem vocabulo p.104,15 abrupte desinit, verum etiam eius
errores interpolationesque fideliter repetit idemque nobis con-
sensus in figuris depravatis occurrit. praeterea cum plurima
eorum, quae in V a manu 2 et supra et in margine scripta
sunt, tum ea, quae V in propositione IX ad recensionem b
correcta praebet, in ordinem verborum recepit; omisit vero pru-
denter p. 40,24 μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ DX; in figura
enim codicis V maximus circulorum, qui semper conspicui sunt,
(b X) deest neque ulli est usui ad demonstrationem. p.20 8βα.
litteras ad figuras spectantes, quas in V manus 2 supra addi-
dit (v. supra), cum litteris manus 1 in textu ita copulavit, ut
lin.8 legatur 4H O MK, 16 KMO, 17 ANII, 21 OM, 24 NII'
similia. in scholiorum quoque scripturis | cum V semper fere
consentit; cfr. p. 137, 7; 139, 92, 28, 25: 140,24; 141,11,12,14
—18; 142,2; 143,7. adparet igitur atque exstat, 1 ἃ V pendere;
neque tamen ex eo ipso transcriptus est. nam lacunae omis-

1) In lemmate p.84,21 V addidit m. 2.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. b

XVIII PROLEGOMENA

sionesque p. 50,8,17; 52,9,10 e V explicari non possunt. acce-
dit, quod p.44,14 l pro φανερῶν codicis V scribit φᾶν, cum
nullo alio loco hoc compendio nec simili utatur. itaque credi-
derim, inter V et 1 intermedium codicem statuendum esse, in
quo verba p.40,24 μέγιστος — ΦΧ (v. supra) fortasse iam de-
erant, scholium 32 autem textui p. 14, 8 insertum erat. ea, quae
] p.2,7; 06,20; 8,13; 28,23; 98,6,10; 100,9 (τὲ); 104,15; 137,9;
contra V praebet vel potius peccat, librario concesserim (de
p.16,1 dubito) idem pro ἄρα compendio, quo V non parum
saepe utitur, male intellecto scripsit ἔτι; v. p.20,29; 29,1; 92,5;
96,8; 138,18 al. correctus est 1 a manu 2 p. 98, 6,10 (v. Corrigenda).

ex 1 totus expressus est L eumque sequitur fidelissime nec
comitatum recusat ne in minutissimis quidem, ubi ille a V
discedit. compendium illud particulae ἄρα non rectius inter-
pretatus est quam 1; nam iis quoque locis, quibus 1 compen-
dium retinet, in L redire solet ἔτι, velut p. 90,1; 96,2; 102,5.
propria L peccat p.6,7; 44,14 (ἐλάττω); 48, 8—11 (om. propter
ὁμοιοτέλευτον): 50,14. p.50,8 lacunam librarius falso explevit.
correxit manus 2 p. 96, 11; 100, 4.

codicem v' quoque artissime cum V copulatum esse, summus
errorum, interpolationum correctionumque consensus dilucide
docet neque obstat, quod iam p.104,9 in fine paginae desinit.
nec vero ex ipso V descriptus est. nam cum 1 omittit p. 50,8 B
lacuna relicta et p.44,14 scribit φανῶν. ac ne ex l quidem
iranscriptus est; habet enim in textu p.40,24 μέγιστος δὲ τῶν
ἀεὶ φανερῶν ὁ ΦΧ neque unum ex mendis librarii codicis 1]
repetit. adsumendus est igitur codex ille intermedius eiusve
adfinis, quem iam in propositione II copulationem illam lit-
terarum ad figuras spectantium, quae eadem in v' invenitur,
prae se tulisse verisimillimum est. ad eundem cod. intermedium
sine dubio redit p. 22, 17 ΣΤ (pro Z T); v. adp. er. v' autem
nonnulla praebet propria, quorum maximam partem librario
tribuerim. p.18,16 novam incipit propositionem. ordinem ver-
borum p.12,6; 48,8 et litterarum p.16,23 ad arbitrium mu-
tavit. eidem arbitrio adscribere malim quam ad compendium
terminationis male intellectum revocare, quod contra VlL p. 4,
2, 8, 117,19. 21, 25; 8,8,19 in γ΄ legitur ὑπὲρ γῆν pro 6. γῆς.
interpolationes deprehendimus p. 48,10; 100,8,19, scholium 32
textui p. 14,8 interpositum. peccat v' etiam p.2,22— 923; 10,5,
19; 28,12; 102,12. veram scripturam solus habet p. 4,15; 50,4
(om. δέ); 104, 3.

PROLEGOMENA XIX

codex v in particula quam continet recensionis à omni genere
mendorum stultissimorum turpiter deformatus est; cfr. p. 2,8,16;
4,4,92; 8,9,3,13; 12,6, 7,20; 14,5; 16,4; 18,9; 24,7. descriptus
est autem e codice, in quo terminationes satis saepe scriptae
erant compendiis, quae librarius non recte intellexit ac litteris
reddidit perversis, velut p.2,13,22; 4,8,20; 6,3,8; 10,5; 20,24
(rov pro τό), 29 (vm pro τόν); 22,9; 24,25. mirum admodum,
quod v concinit cum v' p. 4,17,19, 21, 20 in γῆν pro γῆς et in
mendis p.10,5,19. scholia nr. 46,47 in textu praebet. p.18,16
ut ν΄ novam incipit propositionem; propositioni III titulum de-
dit ἄλλως. antigraphum illud sine dubio figuras codicis V prae-
buit; v ipse spatia vacua reliquit. in propositione II litteras
ad figuras spectantes p. 20,20 ita copulavit, ut scriberet ΜΘ:
in ceteris contra lv' litteras supra scriptas pro litteris textus
codicis V in textum recepit: ln.8 AHOK, 9 O0, 16 ΚΘ, 17
AIL 94 II; inconstanter p.22,7 M, 8 N retinuit.

Recensionem b in primis quidem octo propositionibus ex
eodem fonte derivatam esse atque a demonstrant errores com-
munes p.4,15; 8,8; 12,9; 18,19; 24,7; 42,15 et interpolata
pars prop. Il. accedunt loci admodum suspecti p. 10, 23 — 24;
| 12,5; 94,11; 36,4; 56,06. testis autem rec. b longe antiquis-
simus fidissimusque est cod. Vat. et iia fidissimus, ut praeter
unum ceteri omnes ad eum vel ad eius archetypum quasi pa-
rentem redeant et sincerae scripturae non subveniant nisi iis
locis, ubi cum Vat. congruunt. unde efficitur, ea, quae iam de
cod.Vat. adferam, ad rec. b pertinere. cod.Vat. igitur, quamvis
celeris praestet, erroribus tamen nequaquam vacat; praeter
menda cum rec. à communia v. p.2,1,12; 4,15,17; 6,13,16; 8,16; -
10,91; 129,1; 18,11—14, 25—26; 22,922,924; 94, 16, 24, 95; 98,5,
12; 32,15; 84,12. 24. 36,10,12; 38,2,5; 40,26; 48,5; 54,10;
60,91— 992; 80,11; 88,15; 92,3; 102,4,12; 106,15; 108,2; 110,5;
112, 8; 114, 7, 10, 13; 116,12; 1920,1,10; 122, 5,16, 20, 25, 29;
194, 2,13, 17; 198,6, 30; 132,4; 152,91. p.70,19; 72,3; 76,5,9
verborum ordo si non perversus, at certe sane quam mirus est.
emendatrix adparet manus 1 p. 2, 12, 16; 4,8; 18, 25; 30,2; ΤΌ,
10; 76,25; 88,2; 92,1; 96,11; 118,17,23; 120,10. potissimum
autem cod.Vat. correctus est a librario sec. XV manu non raro
felici, saepius audaci!), cuius scripturas maximam partem e
cod. Marc. 301 petitas huc congeram:

1) Cfr. vol. VI p. XVIII.

b*

XX PROLEGOMENA

p.2,8 ἀνατέλλονται 4 δύονται 6 γίγνεται 230 và — πόλῳ]
τὰ ἐχόμενα τοῦ φανεροῦ πόλου p.4,15 ἰσημερινόν] corr. ex ἰση-
μερηνόν 16 ἰσημερινοῦ] corr. ex ἰσημερήνου 24 ἀξί] « supra
add. p.0,6 γίγνεται] y (alt. inser. 27 αὐτῶν] del et supra ᾿
scr. τῶν ἀρχῶν p.10,20 post τεϑεώρηται add. τῆς 4 21 ἡ]
add. p.12,5 post διόπτρας add. τῆς zi 18 ϑερινοῦ]) corr. ex
ϑερείνου 26 ϑερινός] corr. ex ϑερεινός p.18,15 40] 4ΞΘΟ
19 μεταξὺ τῶν O, ΚΞ σημείων) e corr. 21 διά (alt.) — p. 20,1 ση-
. μείων] διὰ τοῦ πόλου, ὅς ἐστι μεταξὺ τῶν OR σημείων τοῦ τρο-
πικοῦ καὶ τοῦ ἀρκτικοῦ καί ἴῃ ras. Ῥ. 20,29 ΜΒ ΝΤῚ M corr.
eK HBI]H mut.in K p.22,18 ἐστι] add. τόν] add. 22 χύ-
xAog] add. 284 τόν] corr. ex τήν — p.26,6 ante δύνει add. καί
7 ante ἀνατέλλει add. καί p.30,16 4, O] O.4 in ras. p.32,2
ἄρα] supra add. 8 ézsi] supra add. καί 11 καί ἐστι] mg. add.
15 τῇ BI' περιφερείᾳ] mg. add. p. 34,12 ὅταν —13 κύκλου] mg.
add. p.30,9 ἐπεί] καὶ ἐπεί 10 τῇ ZB περιφερείᾳ] supra add.
12 ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ 4 Εἰ Β] supra add. ρ. 88, ῶ ἴση] supra
add. 5 κύκλου] corr. e κύκλων ΡῬ. 42, 4 καὶ ἐπεὶ περιφέρειαι)
ἐπεί m.1, οὖν supra add. m.2 24 δή] corr.ex δέ p.46,1 ABI]
add. 4 p.50,6 KNA] supra add. περιφέρειαν p. 52, 10 ἐπεί]
ἐπεὶ γάρ p.50,8 αἱ αὐταί] corr. ex αὐταὶ αἱ p.58," post £o-
διακοῦ add. κύκλου p.60,19 βᾳ] eras. et scr. δευτέρῃ 21 post
Z (pr) add. 4 22 ἐπεί] ἐπεὶ ydo — p.02,11 ABI] AAT'B
12 B4] 4B. 18 ΓΖ 4Γ 15 4E] EZ —p.66,4 ἐπεί] καὶ ἐπεί
Ῥ. 08,19 sPm] corr. ex P p. 70,11 &H] mg. add. περιφέρειαν
(comp. p.72,18 sP] pro s in ras. y p. 74,5 ἐπεί] καὶ ἐπεί
p. 76,20 παραγίγνεται) del. et scr. παρέσται — p.82,3 post €
add. σημεῖα. καί p.88,8 ἐπεί] καὶ ἐπεί, item p. 90,8 p.92,7
ante ζῳδιακός add. ὁ 14 post γεγράφϑω add. διὰ τοῦ zl. p. 94,1
ἐπεί] καὶ ἐπεί — p.100,10 ante ἡ (alt.) add. ἐν τούτῳ — p.102,4 E]
add. 14 δέ] mut. in δή p.106,15 αἱ ΗΘ, OK] supra add.
p.110,5 ἄρα] supra add. 10 δέ] del. 24 ZH] add. περιφέ-
o&€ p.112,8 τῶν] corr. ex τῷ ἴῃ fine: τῆς τυχούσης t τέλος
(minio) mg.: gv^'u p.114, 4H BZ]Z add. 10 διά] supra
add. παράλληλοι] omnibus litteris scr. supra. 13 καί — MNAK]
mg. p.116,3 δέ et ἔκϑεσις add. 12 TM TT] add. p.118,25
ABI'|add.z(,item lin. 27 38 vH X| post H inser. ὦ p. 120,
33 δέ] mut. in δή p.122,5 ἡ (pr)] add. πλείονι) -&- add. ante
ἡ (ali) add. καί 16 ἀφανῶν] « — add. 920 ΑἹ add. 86 ij]
add. 28 E|del. 29 4] del. 30 ἐπεί] καὶ ἐπεί p.124,5 TN Z]
add. περιφερείας 17 λοιπῆς] add. p.126,26 post ΗΘ add. περι-

EH UEENS .. XXI

φέρεια (comp.) p.128,6 δύνει] add. p.132,4 TENM] M add.
11 ἀφανές] sequitur: ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ
ΘΖ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ EH τὸ φα-
νερόν p.146,16 post Ζ δα. ἴση p.153,23 EA] EK 4A 21 EK A]
44 add. p.154,30 ἤπερ ἡ] in ras. p.155,26 MEH]H in ras.
28 ἥπερ ἡ MEZ] add. p.156,12 post ϑερινοῦ add. τροπικοῦ.

praeterea duae man. recentes cod.Vat. corrigere sibi visae sunt
suo arbitratu; v. p. 72, 16 post δύνει add. ὧν ἐπεὶ ἡ AE τῇ ΞΜ
ἐν ἴσῳ χρόνω δύνει; p. 18,8 super /co scr. ἴσοις; p. 80,8 post
Ni add. περιφέρειαι, 10 ἴσω mutat. in ἴσοις, 11 ἀνατέλλει in
ἀνατέλλουσι: p. 98,10 post O add. περιφέρεια; p. 192,10 schol.
nr.122 textui insert. addiderim p. 98,15 del. ἐξαλλάσσει τὸ φα-
νερὸν ἡμισφαίριον, quod retinere debui.

iam vero videamus, quae inter duas recensiones vel, si mavis,
inter earum auctores, V et Vat., intercedat ratio. primum de-
monstrationes alterae propp. VI, XII, XIV, XV recensionis b,
quae Euclidi non possunt attribui?, in codd. rec. a non repe-
riuntur, memorabile est autem, demonstrationem alteram prop. XII
demonstrationi rec. à esse simillimam itemque in altera parte
dem. alt. prop. XIV similitudinem cum a adparere. deinde scho-
lia 102, 127, 128, 129?) codicis Vat. textui a m.1 interposita in
V non exstant. contra codex Vat. om. p. 8, 29— 10, 2 et ea, quae
sequuntur p.10, 3— 10, habet pro scholiis; v. schol. 106, 114.
demonstrationes quidem propp. I—VIII post prooemium com-
mune in utraque recensione ita eadem via ac ratione procedunt,
ut eadem Autolyci et Theodosii theoremata iisdem locis usur-
pentur, idem sit conclusionum ordo plurimaque iisdem fere
verbis expressa legantur. ceteras vero demonstrationes, sive
summam spectas sive singula respicis, plus minusve inter se
dissident. ac propositionis IX quidem ipsae protases discedunt;
omittit enim Vat. p. 44, 18 ὅταν---1δ τροπικοῦ, quae verba supra
negavi redundare. ectheses autem prioris partis sic inter se
differunt, ut V constructionem praebeat p.46,928qq. ante λέγω
δή κτλ., Vat. vero p. 48, 4 initio demonstrationis. alterius partis
ecthesis p.52 in V deest; in Vat. p.54 conclusio desideratur;
demonstrationes ipsae eandem rationem sequuntur. demonstra-
tiones E partis prop. X similitudinem quandam prae se

1) V vol.V p. LXXIX et VI p. XLIX.
2) Scholium 122 hic praetereo, cum in codicis Vat. textu a
m. rec. exstet neque ad ipsam rec. b pertineat.

XXII PROLEGOMENA

ferunt; alteram partem Vat. p. 56, 10 sqq. absolvit verbis φανε-
ρὸν δέ κτλ. contra in prop. ΧΙ, postquam in utraque recensione
haud dissimiliter ostensum est, quo tempore zodiaci arcuum et
aequalium et oppositorum alter occidat, eo alterum oriri, V reli-
quam demonstrationis partem omittit satisque habet addere:
ὁμοίως δὴ δείξομεν xvÀ.)), Vat. vero etiam alterum propositionis
locum iisdem fere verbis ac priorem demonstrandum censet.
demonstrationes prop. XII ita vel maxime inter se dissentiunt,
ut V ortum arcuum non attingat nisi in extremo, ubi conclu-
sioni adiungit p.78,6: ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ
ἀλλήλαις ἀνατέλλουσιν, Vat. vero p. 12, 25 sqq. diserte doceat,
arcus ab aequinoctiali aequali intervallo distantes aequali tem-
pore oriri. in demonstrationibus prop. XIII differentiam habe-
mus satis magnam perscriptionis, velut V sex arcus comprehensos
cum sex arcubus aequalibus occidentalibusque comprehensis com-
ponit et comparat, Vat. vero utriusque ordinis singulos cum singu-
lis; praeterea V p.82,8 sqq. prop. XII omnibus verbis profert,
Vat. usurpat tacite. demonstrationes prioris partis prop. XIV
eandem propemodum viam persequuntur, perscriptione vero non
mediocriter inter se discrepant. in fine p.90,15 Vat. demon-
strandum suscepit, arcuum, de quibus quaeritur, alterum pro-
piorem esse contactui aestivi tropici altero. demonstrationis al-
teram partem p.92 ὡσαύτως κτλ., quam Vat. non minus quam
in priore parte duas sumens zodiaci positiones dilatatam prae-
bet, V pressam tradidit et coartatam. demonstrationes prop. XV
eadem via progrediuntur atque perscriptione non fere multum
differunt, quamquam V alteram partem protasis p.100,4 ἐν o
χρόνῳ κτλ. non curat, Vat. absolvit verbis p. 102,14 ὁμοίως δὲ
δείξομεν κτλ. postremo e particula, quam V continet demon-
strationis prop. XVI, concludere licet, pressiore eum perscrip-
tione usum esse codice Vat. recensionum discrepantiam etiam
in figuris oculis subiectam invenimus maximeque figurae propp. 1l,
XII, XIV diversam prae se gerunt perceptionem ac descriptionem.

singula, quibus V et Vat. inter se discrepant, quorum partem
supra commemoravi, hic comprehendam brevissime. ac primum
quidem statuendum est, Vat. non paucis locis contra rec. à ac
potius contra V non correctum veram scripturam tenere; v. p.4,8;
6,5, 28; 10, 8, 14, 15; 12, 25,29; 14,1; 16,21; 18,10,15; 20,29;
22,17; 26,21,26,28; 30,3,10; 32,11; 34,4; 36,5; 38,21. de iis,

1) Cfr. vol. IV p. 120, 2 sqq.

PROLEGOMENA XXIII

quae Vat. proprie peccat, supra dictum est; addiderim ea, quae
inculcat p.10,21; 42,25. praeterea orationem a V diversam in
Vat. deprehendimus p.2,12,21— 23, ubi φέρεσϑαι κύκλον prae-
fert solito φέρ. ἐπὶ κύκλου (cfr. p. 2, 18; 6, 8, 4 al); 6,28. ple-
nior Vat. est p.4,20, brevior p. 6,15; 16,5—0; 18,12—165; 27
—p.20,1. ordine verborum V et Vat. inter se distant. p. 28,5;
36,4; 40,8; 42,3; 44,1; 54,0,8. differentia etiam ad vocabula
astronomica et mathematica pertinet: Vat. habet p. 6,17 ἡμι-
σφαίριον pro τμῆμα, 18,11 σφαῖρα pro κόσμος; 24, 1 σημεῖον
pro ἄστρον; addit p.20,2 et 84,20 τροπικόν, 20, 29 ὁρίζοντα,
om. Ρ. 22, 18, 22; 24,6; 40,9 xóxAog, 16,7; 42, 34 περιφέρεια.
aliquoties orationem in Vat. ad eandem normam et regulam
directam habemus. cum V scribat ἐν ᾧ pro ἐν à χρόνῳ, licet
substantivum non proxime antecedat; velut p.60, 2,4; 66,9;
74,1; 90,11; 96,4; 102,6 (p.102,6 zoóvo addere non debebam),
Vat. χρόνῳ non omittit, nisi facile potest suppleri. p.30,2 Vat.
add. μέρη; cfr. p.26,26; 30,15. V praefert ἐν ἴσῳ χρόνῳ nu-
mero plurali iis quoque locis, ubi pluralis proxime legitur (v.
p.54, 11, 12; 62,9; 64,6; 86,3), Vat. vero consensum praestat
numerorum scribitque illis locis ἐν ἴσοις 70., p.80,10 iamen
parum constanter ἐν ἴσῳ. eodem referendum rec Ὁ p.62,8 ἐλάσ-
6061; 64,3 ἐλαχίστοις. V scribit et ὑπὲρ γῆς et ὑπὲρ γῆν, Vat.
perpetuo retinet genetivum. huc spectant etiam scripturae co-
dieis Vat. p. 24, 12 καϑ'᾽ οὗ; (cfr. p. 26,9; 28,22; 32,0; 306,8;
46,90; 96,1; 102,2), p. 10,19; 12,3 τεϑεωρήσϑω (cfr. p. 12, 1),
p.36, 1 ἀπειλήφϑωσαν (cfr. p. 46,10; 48, 4 rec. b; 54,15; 58,7;
100,8; 104,8) itemque p. 10, 15 μέν (cfr. p. 26, 8; 28, 21; 36,1;
p. 32,1 errore librarii post τά insertum est) p.32,5 pro binis
litteris ad figuram spectantibus praebet singulas, cfr. p. 26,8;
28,21; retinet binas p.36,1. iam delapsus sum ad minutias,
quibus has libet adnumerare codicis Vat. discrepantias: ἐστί
add. p.32, 9; 36, 12, om. p. 22, 18. ἄρα om. in apodosi p. 18,1;
32,9; 42,23; praeterea p.32,9. γάρ om. p.32, 1. μέν om. p. 14,3;
30,924. δέ in fine ectheseos post λέγω add. p. 36,6, δή p. 16, 1.
post ὁμοίως (— δείξομεν) hab. δή pro δέ p.32,21; 84,6 (cfr.
p.72,18; 76,24 et 102,14); congruunt V et Vat. p. 42, 24 in δέ,
quod recipere debebam. Vat. δέ pro μέν p. 8,16, pro x«t p. 58,4.
in usu particularum τε- καί V et Vat. concordare solent, sed cs
add. Vat. p. 24, 4; 34,8, om. p. 34,24. articuli detractione Vat.
& V identidem discedit; v. p. 6,13; 10,21; 22,18; 24,10; 34,
10,23; 36,2; articulum add. p. 26,17. adde scripturas discre-

XXIV PROLEGOMENA

pantes p.2,24 ἅπαντα, p.6,12 ἔσται, p. 8, 6 διεξέρχεται. p. 24,
24 τέμνη, 25 ἐφάπτηται, p.26,3 μή. etiam quibusdam ortho-
graphicis V et Vat. differunt, velut V praeferre videtur yívsct"ou,
Vat. γίγνεσθαι; v. p. 6,11; 16,10; 18,1,9; 22, 1ὅ, 20 al, con-
cinunt p.2,6 in γίνεται. p. 70,90,96,98 Vat. scribit et παρα-
γίγνεται et παραγίνεται. V epagogicum V interdum ante vocales
omittit, velut p. 16, 4; ὅθ, 3,13, Vat. ante ipsas consonantes ad-
dit; v. p. 6,17, 27; 68,2. vocales finales Vat. contra V retinet
Ῥ. 6, 4; 8,10,22; 36,15. nec deest litterarum ad figuras perti-
nentium differentia, etiamsi earum ordo in figuris ipsis idem
est; v. p. 14,1; 16,1, 3,14, 30; 26,13; 30, 3,15, 30; 32,1, 5, 9,12,
24: 84,2; 40,94. harum orationis differentiarum satis magnam
partem manifesto adparet adscribendam esse librario. duas autem
recensiones conferentibus nobis in mentem venit Theonis eiusque
Elementorum, Datorum, Opticorum recensionis et suspicari licet 5,
eundem auctorem esse recensionis b, quam quidem constat partem
esse τοῦ μικροῦ ἀστρονομουμένου. obstat, quod Pappus eam ad-
hibuisse videtur (v. infra). denique de auctore rec. b, cum testi-
monia non reperiantur, pro certo nihil potest adfirmari nec tamen
dubium est, quin scholae debeatur Alexandrinae.

Codices recensionis b, quos novi, praeter Vat. sunt hi:

1) cod. Vatic. Gr. 191, chartac. et bombyoe. s. XIII— XIV, de
quo v. vol. VI p. XIII; MaaB, Aratea in KieBling-Wilamowitz,
Philol. Untersuchungen XII p. 10 8sqq.; Catal. codd. astrol. Graec.
V,2 p.3sqq.; Kroll, Vettius Valens p. IX sq.; Jan, Mus. Gr.
p. XXIVsqq. Phaenomena habet fol. 4v—11*.

2) cod.Vatic. Gr. 192 bombyc. s. XIV, de quo v. vol.VI p. XIII;
Heiberg, Hermes 38 (1903) p. 186; Amsel, Bresl. Philol. Abhdlg.
I,8 p.1218q.; Th. Reinach, Revue des études Gr. X (1897) p. 313.
Phaenomena habet fol. 1517—163.

3) cod. Vatic. Gr. 202, de quo v. vol. VI p. XIII. Phaenomena
continet fol. 133—176.

4) cod. Angel. olim C—2—9, nune nr. 95, chartac. s. XV;
v. Studi ital. di filol. class. IV p. 138sq. Phaenomena continet
fol. 3837 —35'.

5) cod. Barberin. II,81, chartac. s. XV, de quo v. vol. VI p. XIII.
Phaenomena habet fol. 35" 8qq.

6) cod. Laurent. XXVIIT, 10, de quo v. vol. VI p. XIII. Phae-
nomena habet fol. 60 sqq.

i) V. vol.VII p. XXXI.

PROLEGOMENA XXV

1) eod. Magliabecchian. II, IIT, 40, chartac. s. XVI, de quo v.
Studi ital. II p. 544. Phaenomena habet fol. 105—127.

8) cod. Ambros. A101 sup., Martini et Bassi nr. 28, de quo v.
vol.VI p. XIV et vol.VII p. XVIII; Heiberg, Hermes 38 p. 324 sq.
Phaenomena continet fol. 142*— 153.

9) cod. Ambros. Q105 sup., Martini et Bassi nr. 697, chartac.
8. XVI. praeter Marini commentarium in Data et Data habet
Phaenomena fol. 48 566.

10) cod. Ambros. J 84 inf, Martini et Bassi nr. 1051, de quo
v. vol. VI p. XIV. Phaenomena habet fol. 1— 24.

11) cod. Marcian. 301, de quo v. vol.VI p. XIV et Heiberg,
Hermes 38 p.183. Phaenomena habet fol. 4367—4064".

12) cod. Marcian. 302, de quo v. vol. VI p. XIV et vol. VII
p. XLIVsq.; Heiberg, ib. p. 66 et Ptolemaei opp. II, p. XIX.
Phaenomena habet fol. 200'— 2207.

13) eod. Scorial. X —1—4, de quo v. vol. VI p. XIV.

14) cod. Toletan. Bibl. Capitul. 98—13, de quo v. vol.VI p. XIV.
Phaenomena continet p.21— 864.

15) cod. Paris. Gr. 2842, de quo v. vol VI p. XIV et Hei-
berg, Hermes 38 p.59 sq., 323sq. Phaenomena habet fol.130*

|^ —136"*.

16) cod. Paris. Gr. 2347, de quo v. vol. VI p. XIV et Heiberg
l. c. p. 188. Phaenomena habet fol. 394 sqq.

17) cod. Paris. Gr. 2350, de quo v. vol. VI p. XV. Phaenomena
habet fol. 9— 297.

18) cod. Paris. Gr. 2351, de quo v. vol. VII p. XVIII; Omont,
Inventaire sommaire II p. 242. Phaenomena habet fol. 1—64.

19) cod. Paris. Gr. 2352, de quo v. vol. VI p. XV. Phaenomena
habet fol. 105—121".

20) eod. Paris. Gr. 2368, de quo v. vol.VI p. XV. Phaenomena
continet fol. 40Y— 517.

21) cod. Paris. Gr. 2366, de quo v. vol.VI p. XV. Phaenomena
habet fol. 119—137.

22) cod. Paris. Gr. 2388, chartac. s. XVI—XVII; v. Omont, In-
ventaire II p. 251. Phaenomena habet fol. 115 sqq.

28) cod. Paris. Gr. 2468, de quo v. vol. VII p. XVII. Phaeno-
mena continet fol. 37 sqq.

24) cod. Paris. Gr. 2472, de quo v. vol.VI p. XV. Phaenomena
habet fol. 64— 96.

25) cod. Paris. suppl. Gr. 13, chartac. s. XVI; v. Omont III
p.208. Phaenomena habet fol. 107—130.

XXVI PROLEGOMENA

26) cod. Monac. Gr. 361, de quo v. vol. VI p. XV. Phaenomena
continet fol. 177—22" et fol. 7r—8*.

21) cod. Monac. Gr. 575, chartac. s. XVL praeter Data con-
tinet Phaenomena fol. 26—40.")

28) cod. Berolin. Phillipps. Gr. 1542, de quo v. vol. VI p. XV.
Phaenomena habet fol. 127—833".

29) cod. Berolin. Phillipps. Gr. 1544, de quo v. ibid. et vol.VII
p. XLV; Heiberg, Hermes 38 p. 66. Phaenomena habet fol. 229*
—9242".

30) cod. Hamburgens. Philol. 90, de quo v. Omont, Central-
blatt f. Bibliotheksw. 1890 p.368. Phaenomena habet p. 237 —300.

31) eod. Leidens. 7, de quo v. vol. VI p. XV et LVI not. 2.
Phaenomena continet fol. 331—360.

32) cod. Bodleian. Barocc. 161, de quo v. vol VI p. XV et
vol. VII p. XVlIIsq.; Heiberg, Heronis opp. V p. XLIV. Phaeno-
mena habet fol. 206Y8qq.

33) cod. Oxon. Bibl. Collegii s. Iohannis 55, chartac. s. XVI,
de quo v. vol. VII p. XVII. Phaenomenorum continet introduc-
tionem et prop.I fol. 238—924.

34) cod. Cantabrig. Universit. N n III, 8, chartac. s. XV ; v. Cata-
log. of the manuscr. of the Univers. of Cambr. IV p.478. praeter
Optiea et Catoptrica continet Phaenomena fol. 15— 34.

35) cod. Savil. Gr. 1, de quo v. vol.VI p. XV et Heiberg, Philo-
logus 55 p. 738 sq. Phaenomena habet fol. 228—240.

36) cod. Savil. Gr. 10, chartac. s. XVI—XVII, de quo v. Hei-
berg l.c. p. 1408sq. Phaenomena habet fol. 18"— 25".

codd. 13, 14, 36 non vidi; reliquos aut contuli aut inspexi.
sequitur, ut de eorum cognatione dicendum esse videatur.

8.0 primum quidem commemorandum est, eos cum cod. Vat.,
quamvis classes eorum inter se dissideant, omnes ex eodem fonte
fluxisse, id quod ostendunt errores communes p. 8, 16 κύκλος;
p.116, 12 TM T om. (add. Vat. m. 2); p. 122, 5 ἡ (pr.) om. (add.
Vat. m. 2); p. 152,21 7 om.; praeterea v. p. 60, 21—22; 108, 2.
làm transire libet ad singulos codices atque initium capiam
ab iis, qui e cod. Vat. non interpolato originem ducere existi-
mandi sunt; sunt autem codd. 10,15,25. ex ipso cod. Vat. de-
scriptus est sine dubio cod. 15; cfr. p. 10,21 ἡ (pr.)] om. Vat.,
15; p.18,27 τοῦ πόλου] τοῦ Θ σημείου eras. Vat.; hab. 15 (v.

1) Cod.27 cum post Hardtium in bibliothecam Monacensem
translatus sit, in Catalogo eius non reperitur.

PROLEGOMENA XXVII

adp. crit.); p. 92,1 ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ] ἐν τῷ ἑτέρῳ μέρει
τοῦ ἡμικυκλίου Vat, 15; p. 92, 8 ἡ] αἱ Vat., 15; p. 92, 8 ἡμι-
κυκλίῳ] ἡμισφαιρίῳ eras. Vat.; σφαιρίῳ comp. 15; p. 102, 12
ἀφανές] φανερόν Vat., 15; p.128, 30 κύκλου] κύκλον Vat., 15.
cod.15 solus om. p. 80,10 B.K —82,1 τό (pr). etiam in scholiis
eorumque scripturis consensus quidam cum Vat. elucet; v. p. 135,9;
140, 94; 142,14; 143,9; 152,25. mirum, quod cod. 15 ad scho-
lium nr.76 figuram habet codicis V. codices 10 et 25 eundem
Vat. potissimum sequuntur. omittunt contra eum p. 154,32 χρό-
vo; cfr. p. 82,19 HM] γημ 10, γημ 25; p.94,11 4dPKO] δκρϑ
10, 0x9 9o 25.)) praeterea cod. 25 scr. p.86,3 ἴσῳ χρόνῳ, p.102,

12 ἀφανές (pro φανερόν). correctionum m. 2. cod. Vat. in cod. 10
vix ullam reperimus, in cod. 25 vero complures, velut p.92, 14
διὰ τοῦ 41; p.114,18 καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος (ἕκαστος) xvÀ.; p.182,11
ὁμοίως δή κτλ.: plurimas respuit. memorabile est, quod cod. 2ὅ
Ῥ. 92, 8,10 αἱ istud cod.Vat. vel antigraphi eius omittit.

etiam codicem 3 facile suspiceris descriptum esse e cod. Vat.
nam continet opera, quae ad τὸν μικρὸν ἀστρονομούμενον, qui
dicitur, pertinent, omnia eodemque ordine. accedit, quod p. 147,10
in scholio nr. 104 cum Vat. praebet y, licet demonstratio altera
sequatur post folia quinque. sed tamen scripturarum discrepan-
tia de origine multum habet dubitationis; v. p. 36, 10 περιφε-
ose] Vat. yovío?) 3; p. 36,12 ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ 4 EB] 3,
om.Vat.?)) p.72,3 τὰς ZH, H P] Vat. (m.1 in ras.), 0m. 3; p.16,
29 post ΚΗ add. περιφέρεια 3, 27 ἀνίσοις χρόνοις] Vat., ioo
χρόνῳ 3; p.102,12 ἀφανές] 3, φανερόν Vat.; p.106,15 αἱ ΗΘ,
O K (alt.)] 3, om.Vat. p.112,8 τῶν] 3, τῷ Vat. p.114,13 καί
—MNAK!] 3 (ἕκαστος), om.Vat.; p.152,25 δ΄ ὃ, ε΄ Vat.; p.152,
26 σημεῖόν ἐστι] Vat., ἦν σημεῖον 3. quare codicem 3 codicis
Vat. fratrem malim appellare quam filium.

e codice 3 pendere codd. 6, 20, 24 hi docent loci: p.106, 15
πόλων] πόλου 2,6,24; item lin. 97; p.306,10 περιφερείᾳ] γωνίᾳ
3, ras. et lac. c. 5 litt. 24, om. 20. p.66,2 καί] om. 3, 6, 24;
p.70,11 ΗΠ] ΕΗ περιφέρειαν 8,0, 24: p. 16, 21 ἀνίσοις χρόνοις]

1) Cod. 10 in Phaenomenis e cod. 2 exaratus esse nequit, quod
praebet p.16,6 ἡ δέ, p.154,383 ἐν — ἀνατέλλει alia, quae cod. 2
omittit.

2) Fortasse e compendio male intellecto ortum; cfr. schol.
nr.114 p.150,5, ubi pro περιφερείας (comp.) cod. 6 scr. γωνίας.

3) Cod. 3 antiquior est manu 2 cod. Vat.

XXVIII PROLEGOMENA

ἴσῳ χρόνῳ 8,0, 30, 24 (mg. m. 1 corr. ἀνίσῳ); p. 148, 9 ἅπτονται
ἀλλήλων] om. 8 (lac. rel), 6,24 (lin. 6 Δῆμμα —10 μεσημβρινός
om. 20); cfr. p. 22, 17 ἐστι] om. 3, 24; p. 68,7 ; P| x P 3,6; p. 68,
13 ἄρα] om. 8,6; p. 76,22 KH] KH περιφέρεια 3,6. e cod, 24
descriptum esse cod. 20 locis demonstratur, quales sunt p. 64, 3
αἱ (pr) — 4 MN] ἡ μὲν EA τῆς (c add. 20 m. 1) EM, ἡ δὲ
KA τῆς (g add. 20 m. 1) MN 24, 20; p. 66,9 ἄρα] om. 24, 20;
p. 94,22 ἐπί --- 26 διελϑόν) ἐπὶ τὸ O παραγίνεται, ἶσος ἐστὶ τῷ
χρόνῳ, iv à τὸ A ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A4 τὴν ΒΑ (AB mg. 34)
περιφέρειαν διελϑόν mg. 24, 20; p. 189, 21 ὁμοία] om. 24, 20;
p.145,17 τοῦ] τῆς 24, 20; p. 149, 29 πέντε] om. 24, 20; p. 152, 10
τοῦ] τῶν 24,20; 15 víjg—27] om. 24, 20. e codice 3 cod. 7 quo-
que fluxisse videtur; nam licet Vat. non interpolatum sequi
soleat, contra eum a codice 3 stat p.36,12; 106,15; 112,8;
114,13; v. supra. demonstrationem alteram prop. XIV et scho-
lium nr.126 non habet.

ex ipso cod. Vat. interpolato oriundi sunt codd. 21 et 22.
nam longe plurimae interpolationes correctionesque m. 2 et m.
rec. eius in textu utriusque deprehenduntur, velut p. 10, 22;
36, 10; 58, 7; 72,16; 80,8,10,11; 92, 14; 98,10 al. e codice 11
(v. infra) descripti esse non possunt, cum contra eum cum m. 1
Vat. praebeant p.92,3 αἱ et p.102,12 φανερόν. e cod. 22 de-
scriptus est cod. 30; his enim locis concordant soli: p. 20, 2
ἔσται] om. 22,30; p. 32,9 Z] II 22, 30; p. 38,18 λέγω —20 φαέ-
νεται] om. 22,30; p.60,3 ἡ] τό 22,30; p. 78,8 ἴσω] ἀνίσοις 22,30;
p.114,16 τῷ H] om. 92,30; p.155,6 μή] om. 92,30. scholia
atque in iis lemma ('sig τὴν 1s"; om. “ζῆμμα᾽) in fine Phaeno-
menorum coniuncta habent; idem est scholiorum titulus (σχόλια
εἰς Εὐκλείδου φαινόμενα), eadem subscriptio (τῶν σχολίων τέλος
καὶ ϑεῷ δόξα). in scripturis quoque scholiorum cod. 30 facit
cum eod. 22, velut p. 149,5,14; 150,6,7. transcripta autem sunt

scholia in codicem 30, postquam cod. 22 correctus est; v. p. 148,2
ὥστε

ὥστε] ὅταν 22, ὥστε 30; ib. post τοῦ cod. 22 add. πόλου punetis

infra notatum, om. 80.

sequuntur codd. 11, 12, 8, 9, 29, 35.

horum codicum, qui schol. nr. 122 in textu exhibent ommes,
antiquissimus est cod.11, ex quo interpolationes correctiones-
que et m.2 et m. rec. cod. Vat. repetitae sunt. e codice 11 de-
9. φανεροῦ πόλου

scripti sunt codd. 12,8; v. Ρ.12,19 φανεροῦ πόλου] dotciida

PROLEGOMENA XXIX

11,8; p.92,3 ἡ] 11,12,8; αἱ Vat.; p.112,12 καί] ἤ 11,12,8;
p.148,6 ἀπό —'i ὁποτερασοῦν)] ἀπεχουσῶν ἀφ᾽ ὁποτερασοῦν τῆς
συναφῆς 11,12, 8; cod. 12 ἃ cod. 11 rarius recedit; v. p.12, 19
φανεροῦ πόλου] 12, de cod. 11 v. supra; p. 78,5 Aiyóxsoo| 12,
χειμερινὸν σημεῖον 11; p.102,5 αὐτῷ] 12, αὐτοῦ 11; p.118, 19
EX]12, SE 11. quibus locis cum cod. 29 contra cod.11 cum
cod. 12 consentiat, ex hoc descriptus esse arguitur. cod. 8 p.18,
16 novam incipit propositionem; in lemmatis scripturis conspirat
cum cod.26, quocum figuram omittit. scholia ex pluribus fon-
tibus hausisse videtur!); in scholio nr.63 haec est scripturae
differentia: p. 140, 7 ἤ] om. 8; 8 δύνεται] δύεται 8; 10 τῆς IN A
ἢ ὁμοία 8. codicis 8 apographon est cod.9. nam eundem prae
ge fert ordinem eosdemque numeros propositionum. cum eo
p.18,16 novam propositionem incipit, demonstrationi alteri
propositionis VI inscribit “ἄλλως τὸ αὐτὸ ἕκτον᾽ scholiumque
nr.117 in textu habet. ubi cod. 8 a Vat. distat, cod. 9 illum
sequitur, velut p.34,6 κύκλου] om. 8,9; p.88,12 post μείζων
add. ἄρα 8,9; p.110,4 τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει] ἐξαλλάσσει τὸ ἀφα-
νές 8,9; p.110,9 τὸ φανερὸν ἐξαλλάσσει] ἐξ. τὸ φ. 8,9. etiam
in scholio nr.117 eadem scripturarum discrepantia deprehen-
ditur: p. 150, 20 ἀπὸ τοῦ ιε΄ ϑεωρήματος] ἀπὸ τῶν ις (sic) ϑεω-
ρημάτων 8,9; 24 ἴσοις] ἀνίσοις 8,9; 25 ἴσου] ιξ 8,9. scholium
nr. 63 cod. 9 non habet. eiusdem classis est cod. 35, qui quidem
interpolationes ceterorum habet omnes. sed a nullo eorum de-
scriptus est. nam p.16,1 pro ὁ scr. ἡ οὗ K 4 — μεσημβρινόν omi-
sit lac. relicta itemque p.44,8 Keoxívov. p.16 conclusionem
ita praecidit, ut lin. 27 ἐν (pr.) — 78, 8 ἀνατέλλουσιν omittat.
praeter lemma (mg.) habet scholia nr. 63, 95 (p. 145, 18 ὡς ἡ Es
om.), 106,123. in scholii nr. 68 scripturis cum cod. 3 (C) congruit.
codices 5, 17,18, 19, 23, 26, 27, 28, 31, 32, 84 singularis classis
sunt atque eius dux sine dubio est cod. 26, ex quo ceteri deri-
vali esse arguuntur eo, quod cum eo omittunt p. 98,12 ἐπεί,
p. 106,4 ἀεί (in 28 add. m. 2), p.112,2 ἐν — 4 ἀφανές, scho-
lium nr.100 p. 76,17 post ἐστίν in textu scholiaque nr. 127, 128
129 inter demonstrationes propositionis XIV habent; cfr. etiam
p.2,92— 928 ἐπί (pr.)| ἀπό 26,5,17,19,23, 27,28; p. 6,16 ἐκ-
πίπτων 26,5,17 (ἐμπίπτων m. ὃ), 27, 28 (corr. m. 2), 32, n ais
23; p. 16,6 ἡ δέ (Vat.)] τὰ δή 26, δ, 17 (τὰ δέ m. 2), 27,28 (corr.
m. 2), τὰ δέ 23; p. 22,22 ot om. 26, 5,17, 19, 23, 21, 28, 31;

1) codd. 11, 12, 29 scholia margini adscripta non habent.

XXX PROLEGOMENA

p. 94, 24 τὸν ἀεὶ φανερὸν κύκλον 20, 81, 84; p.34, 6 κύκλου] om.
20, ὅ, 117, 28, 27; p. 84,21 ἄρκτους --- 28 δύσεσι] om. 26 (ἄρκτους
μεϑιστάμενος lineola del.), 5, 17, 18, 28, 27 (ἄρκτους del. et supra
μεσημβρίαν), 28 (— 26), 31; p. 46,29 421 — ὃ (sec.)] om. 26, 17,
19,23,27,81; p.50,2 αὐτῷ] αὐτῶν 26, ὅ, 17 (corr. mg.), 19, 28,
34 (v punctis del); p. 70, 11 τὸ s] om. 26, 17 (add. m. 2), 19, 27,
32, 34; p. 74,4 σημεία — 5 M] om. 26,17,19, 23, 27,98; p. 92, 10
ἡ] om. 26, 5,17,18,19, 32; p. 94, 18 ἀρξάμενον — 14 H] om. 26,
19, 81, mg. m. 2 add. 26, m.1 19,31; p. 118, 10 ὁ χρόνος ἐστίν]
bis 26, 19, 27, 28 (corr. m. 2); p.118, 19 τῇ EX] τὴν OX 26, 5,
17,18 (τῇ), 19, 23, 34; p. 130,8 τροπικός] om. 26, 5, 28; p. 154, 7
ἐν ᾧ] om. 26,17 (ἐν — lin. 10 δύνει), 19, 27, 34; p. 154, 88 iv —
ἀνατέλλει) bis 26 (alterum linea subducta del. m. 2), 19 (— 26),
28, 32; librarius codicis 31 repetit ἐν πλείονι, deinde errore in-
tellecto pergit ἤπερ ἡ Καὶ κτλ. praeterea v. p. 22,13 τῷ] τὴ (sic)
26,31; ὁμοία] ὁμοίως 26,19, 23, 31; p. 28,7 ὁμοίως] ὁμείως 26,31;
p. 34,13 ἐναντίας 20, ὅ, 81. οοα. 21 eadem scholia praebet, quae
cod. 26, in iisque easdem scripturas, velut p.135,27; 141,1;
142,7; 144, 20; ea omittit, quae p. 150,23 in cod. 26 evanuerunt.

ex illis scripturis intellegitur, codices 5,17, 19, 21, 28, 81 co-
dicem 26 tam fideliter sequi, ut ex eo ipso descripti esse vi-
deantur; de codice 34 dubito. codicem 17 scripsit Petrus Ver-
getius et correxit Angelus Vergetius patruus !) atramento rubro;
v. praeter locos supra adlatos p.12,25 ἀεί (pr.] add. mg. go-
vouévov ἤ 11 m. 9; p.28,6 δύνει — Ἰ πρότερον (alt.)| om. 17,
add. mg. m. 2; p. 34, 15 δύσεσι) ϑέσεσι 17 m. 2; p. 58,8 ev] ἀπ᾽
17 m.2; p.63,18 τόν] τῶν 17, τόν mg. m. 2. Angelus autem
Vergetius seripsit codicem 23, ut testatur ipse in pagina ex-
irema, atque eo munere non solum libere, sed etiam neglegenter
functus est, velut p.2,3 post τά (pr. add. μέν; p. 8, 22 om. ézi
δύσιν: p.16,6 post O K add. περιφερείᾳ; om. p.40,2 ἔστω, p.54,3
ἄρα, p. 70, 11 παραγίγνεται, p. 12,5 τῇ /& M: ἴση; p. 82, 12 post
ᾧ add. χρόνῳ; p. 90, 18 post Hz add. περιφέρεια; p. 92,8 om.
ὅτι; p.94,16 pro τῷ χρόνῳ scr. χρόνος: Ῥ. 96, ὅ post ἡμισφαί-
ριον add. τουτέστι ἡ ΚΝ; p. 96,6 om. δή; p. 110, 2 om. ἐν ἴσῳ
χρόνῳ; p. 112,11 pro ἀφανές scr. φανερόν; p.120,83 post KH
add. περιφέρειαν; p. 146, 9 pro καταγραφῆς sCr. κατασκευῆς.
scholia nr. 2 et 111 in textum recepit. nonnullae figurae in

1) De duobus Vergetiis v. Omont, Fasc. de mss. gr. des XV
et XVI s. nr. 2 et 46.

PROLEGOMENA XXXI

cod. 23 aliter perceptae et delineatae sunt atque in ceteris
codicibus. cod.18 e codice 31 descriptus est; nam his maxime
locis contra codicem 26 concinunt: p. 8,24 ἀποδεδειγμένων] 26,
αὐτὸ δεδειγμένων 31,18; p.934,26 δύσεσι] 26, ϑέσεσι 81,18;
p.50,2 αὐτῷ] 31,18, αὐτῶν 20; p.58,83 ἐπ᾽] 26, ἀπ᾽ 31,18;
p.70,11 τὸ s] 31,18, om. 260; p.154,7 ἐν ᾧ] 81,18, om. 26.
non obstat, quod p.34,15 cod.31 cum cod. 26 habet μεϑίστα-
ται, cod. 18 μεϑίστηται. cod. 32 propius accedit ad cod. 19 quam
ad cod.26; v. p. 2, 5 αὐτά] 26, τὰ αὐτά 19,32; p.22,99 IIOP
(410}}] ΠΡ 26, TP 19,32. p.154, 32 χρόνῳ] 26, om. 19, 32.
e cod. 32 nullus eorum codicum, qui e cod. 26 pendent, de-
scriptus est, cum solus omittat p. 72,16 ὁμοίως — 11 δύνει.
idem dicendum est de codice 5, qui omittit p. 90,13 ἐξαλλάτ-
τει — 16 Π4 et p. 180, 4 χειμερινός — 5 τήν, quae ceteri habent.

familiae codicis 26 etiam codicem 33 adsceripserim; cfr. p. 6,
16 ἐκπίπτων 206,33; Ῥ. 6,11 ἔστι] ἔσται 26,33. suo Marte libra-
rius om. p. 6,9 δῆλον — 10 ποιεῖ, scr. p. 6,18 ἐκ pro ὑπέρ, p. 8,20
ὑπὲρ γῆς ἄνω pro ὑπεράνω, Ῥ. 8, 24 ἐπί pro ὑπέρ, p. 10,14 ὄψις

δὲ ἠμετέρα ἡ xvÀ., om. p. 12, ὅ διὰ τῶν.

. restant codices 1, 2, 4,16.

codicem 1 e nullo eorum codicum, quos enumeravi, exaratum
esse, crebris omissionibus lacunisque comprobatur, velut omittit
lac. rel. solus p. 18, 25 ὁρίξοντα — 20,1 καί; p. 32,16 4; p. 34,
12 μὴ μείξων 5; p.62,14 ὁ HO; p.64,4 μέν; p. 10,16 τήν;
p.90,18 Ψ; p.94,11 PKO. est autem necessitudo quaedam
inter cod. 1 et codd. 9, 4, 16. nam cum eo omittunt p.32,9 δὲ
E; p.64,4 AA τῇ ἘΜ; p. 66,1 φέρεται; p. 12,8 τὰς TH, HP.
nec tamen ex eo possunt descripti esse; cfr. praeter omissiones
codicis 1 proprias p. 72,15 ἡ (tert.)] 2, 4, 16, καὶ ἡ 1; p. 76,14
ἐπεί] 2,4, 16, ἐπί 1; p. 82,19 HM] om. 1, H om. 2, 4, 16; p. 98,
10 OO] om. 1, O 0m.2,4,16. codices 4,16 autem e cod. 2 patet
originem ducere; v. p. 16, 6 ἡ δέ (v. adp. cr.)] om. lac. rel. 2, 4,
16; p.42,5 αἱ (pr.)] om. 2,4; p. 78,5 Aiyoxotoo (sic) 2,4,106;
p.80,6 EOHZ] EZHOH 2,4; p. 82,14 δή] om. 2, 4,16; p. 154,
88 ἐν — ἀνατέλλει] om. 2,4,16. cod. 16 ex ipso cod. 2, non e
cod. 4 descriptus esse videtur; v. p.94,13 AH] 2,16, om. 4;
p. 94, 22 21] 2,16, om. 4. idem satis saepe peccat proprie, velut
p. 36,12 ἡμικύκλιον] ὅ 16; p. 42,4 ἐπεί --- ὃ Ν ΓῚ om. 16; p. 118,8
καί — 9 διαπορεύεται) om. 16; p. 154, 82 δύνει] om. 16.

et de codicibus quidem hactenus; videamus nunc de testi-
moniis.

XXXII PROLEGOMENA

primus testis est Theodosius, apud quem in secundo de die-
bus et noctibus libro haec scripta sunt): καὶ ἐπεὶ ὁ τοῦ ΧΦΨ
πόλος μεταξὺ τῶν EZ, ΒΑ κύκλων ἐστίν, ὡς ἐν τοῖς φαινο-
μένοις δέδεικται, ὃ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος μεταξὺ τῶν ἴσων
τε καὶ παραλλήλων τοῖς EZ, ΒΑ ἐστιν. cfr. Phaenomena prop.
XIV rec. ἃ p. 90, 2— 6, rec. b p. 88, 18 —19 c. figg.; Theodosii
X est rec. à EPO, rec. b KNZ; EZ rec. ἃ AE, rec. b EZ;
AB rec. à BI'K, rec. b BA. usus est autem, ut videtur, re-
censione b, nisi forte suspiceris, verba ὡς ἐν roig φαινομένοις
scholiastae deberi atque interpolata esse.

alter testis est Galenus qui *De placitis Hippocratis et Pla-
tonis? ed. Iwanus Mueller 1874 p. 655,8 sqq. haec dicit: διὰ
τοῦτο οὖν Εὐκλείδης μὲν ἑνὶ ϑεωρήματι τῷ πρώτῳ κατὰ τὸ τῶν
φαινομένων βιβλίον ἐπέδειξε διὰ ὀλιγίστων ἐπῶν τὴν γῆν μέ-
σὴν εἶναι τοῦ κόσμου καὶ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχειν πρὸς
αὐτόν, ὃ οἱ μαϑόντες οὕτω πιστεύουσι τῷ συμπεράσματι τῆς ἀπο-
δείξεως ὡς καὶ τῷ τὰ δὶς δύο τέτταρα εἶναι.

Pappus, postquam in prooemio libri sexti p. 474, 9—11 ed.
Hultsch. dixit, in secunda Phaenomenorum propositione omis-
sum esse, quotiens zodiacus ad horizontem rectus esset, p.594, -
28 sqq. de propositionibus II, XII, XIII disputat. primum de
prop.II haec legimus: ἐπὶ τοῦ β΄ ϑεωρήματος τῶν Εὐκλείδου
φαινομένων παρεῖται καὶ διὰ τῆς ἀποδείξεως, ἐὰν ὁ πόλος τοῦ
ὁρίζοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἢ ἢ ἐπί τινος αὐτῶν, ποσάκις Ó
ξωδιακὸς πρὸς ὀρϑὰς ἔσται πρὸς τὸν ὁρίξοντα ἐν μιᾷ περιφορᾷ.
διὸ ἀποδείξομεν ἡμεῖς ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἐπί τινος
τῶν τροπικῶν 1, ἅπαξ ὁ ξῳδιακός ἐστιν ὀρθὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα
ἐν μιᾷ περιφορᾷ, ἐὰν δὲ μεταξὺ τῶν τροπιχῶν, δίς. adparet igitur
atque exstat, in eo Phaenomenorum exemplari, quod Pappo ad
manum erat, alteram partem protaseos propositionis II (p. 12,
19—23) et demonstrationem p.20, 6— 22,25 defuisse atque post
eum interpolatas esse.) tum apud Pappum p.598,21sqq. haec

1) Verba Theodosii deprompsi ex schedis Hultschii, qui eius
scripta astronomica e cod. Vat. Gr. 191 descripsit. cod. propo-
sitionum numeros non habet; v. Auria Theodosii Tripolitae de
diebus et noctibus libri duo. ... de Graeca lingua in Latinam
conversi, Romae 1591, p. 82 prop. X; ὡς ἐν τ. g. δέδ. Auria
omisit. E

2) V. A. Nokk, Über die Sphürik d. Theodosius 1847 p. 18 Βα.
et Euclids Phaenomene 1850 p.435sq.; Heiberg, Studien über
Euclid p. 47 sq.

PROLEGOMENA XXXIII

sunt: ἐπὶ δὲ τοῦ ιβ΄ ϑεωρήματός φησιν ὁ Εὐκλείδης 5-09 μετὰ
τὸν καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις
δύνουσιν, καὶ ἐν μεγίστοις αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν,
ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ χρόνοις αἱ
ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ᾽ " ζητεῖται δὲ διὰ τί περὶ μὲν τῆς
κατὰ δύσεως τούτων τῶν περιφερειῶν λέγει, περὶ δὲ τῆς ἀνα-
τολῆς οὐκέτι...) iam quaeritur, utra recensione Pappus usus sit.
ac memineris velim ?, in recensione ἃ prop. XII de arcuum ortu
nihil demonstrari, in recensione b vero diserte ostendi, arcus
ab aequinoctiali aequali intervallo distantes aequali tempore
oriri. inde forsitan quispiam concluserit, Pappum recensione a
. usum esse. at p.606,12sqq. ipse dicit: ἀλλ᾽ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἑκάστη

τῶν H$, 3.0, OX ἑκάστῃ τῶν BM, MN, N & (arcus sunt zo-
diaci) ἀνατέλλει, ἡ uiv H& τῇ BM, ἡ δὲ 40 τῇ MN, ἡ δὲ
ΞΟ τῇ NE: τοῦτο γὰρ καὶ ἐν τῷ στοιχείῳ δέδεικται.
manifestum est igitur, illud τούτων τῶν περιφερξδιῶν ad solam
priorem partem protasis et demonstrationis referendum esse, ad
verba p. 62, 9 hui. ed. ἐν ἴσοις δὲ κτλ. non item. notanda etiam
est scripturarum discrepantia: p. 62,8 ἐλάσσοσι] b et Pappus,
ἐλάσσονι ἃ; lin.9 ἴσοις) b et Pappus, ἴσῳ a. itaque veri similli-
, mum est, Pappi exemplar Phaenomenorum habuisse recensio-
nem b. denique de prop. XIII Pappus p. 600, 20 sqq. haec dicit:
ὁμοίως δὲ καὶ 'τοῦ μετὰ τὸν αἰγόκερώ᾽ φησιν “ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι
περιφέρειαν ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν
αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς, ἐν ἐλάττοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἔλα-
χίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι
τοῦ ἰσημερινοῦ". περὶ δὲ δύσεως αὐτῶν οὐϑὲν λέγει. ilud αὐτῶν
dubitari non potest quin ad solam priorem spectet partem pro-
positionis; in utraque enim recensione, in & p.84,3sqq., in b
p.82,168qq. demonstratur, arcus ab aequinoctiali aequali inter-
vallo distantes aequali tempore occidere. quae cum ita sint,
non est cur miremur, quod Pappus utroque loco verba protasis
p.62,10 et 78, 8 καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν omisit; ea autem,
quae cum eo apud Euclidem desideramus, p. 626, 11 5464. prae-
misso titulo *xcl τὸ παραλειφϑὲν δὲ sig τὸ ιβ΄ καὶ wy? adiunxit.
in demonstratione prop. XIII p. 630,10 sqq. adfert Phaenome-
norum prop. XI atque his quidem verbis: καὶ ἐπεὶ διὰ τὸ τα΄

1) Ofr. Heiberg l. c. p. 48 80.; Bjórnbo, Abhdl. z. Gesch. d.
mathem. Wiss. 14 (1902) p. 70 sqq.
2) V. p. XXII.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. c

XXXIV PROLEGOMENA

,

Εὐκλείδου φαινομένων [ἐν ᾧ χρόνῳ] αἱ ἴσαι περιφέρειαι κατὰ
διάμετρον οὖσαν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει ἡ ἑτέρα δύνει,
καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα δύνει ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει ...")

Marinus in Commentario in Data hui. ed. vol. VI p. 254,168qq.
haec de Euclide praedicat: πάσης γὰρ σχεδὸν μαϑηματικῆς ἐπι-
στήμης στοιχεῖα καὶ οἷον εἰσαγωγὰς προέταξεν, ὡς γεωμετρίας
μὲν ὕλης ἐν τοῖς ιγ΄ βιβλίοις καὶ τῆς ἀστρονομίας ἐν τοῖς Φαι-
“μομένοις.

Ioannes Philoponus, Commentaria in Aristotelis Phys., post-
quam de Theodosii Sphaericis et de Autolyci Sphaera mota
disputavit p. 220,4 sqq. ed. Vitel, de Phaenomenis haee addit:
ἔτι τούτου μερικώτερα τὰ Εὐκλείδου Φαινόμενα καὶ ἁπλῶς
πᾶσα ἀστρονομία' ἐνταῦϑα γὰρ καὶ ἡ οὐσία αὐτὴ συνεπινοεῖται.
οὐρανοῦ γὰρ κίνησιν καὶ ἡλίου καὶ τῶν λοιπῶν ἀστέρων προ-
λογίζεται. οὐ γὰρ ἁπλῶς κίνησιν σφαίρας ἐπισκοπεῖ, ἀλλὰ τῆς
ἀπλανοῦς ἢ τῆς Κρονίας ἢ ἄλλης τινός, καὶ τὴν σχέσιν αὐτῶν
τὴν πρὸς ἀλλήλας.

Theodorus Metochita Ὑπομνηματισμῶν ed. Kiessling p. 108
dicit: Εὐκλείδης... ἅπτεταί καὶ ἀστρονομικῶν ἐπισκέψεων et
apud Satham Μεσαιωνικὴ βιβλιοϑήκη I Ῥ. ρδ΄ de Euclide: ἅττα
τῷ ἀνδρὶ προσεξείργασται ὀπτικά τε καὶ κατοπτρικὰ καὶ δεδο-
μένα καὶ τὰ περὶ τῶν κατ᾽ οὐρανὸν φαινομένων.

testimoniis adnumerandi sunt duo scholia ad Autolycum de
ortibus et occas. adscripta, unum ad I, 12 p. 96, 22 βαα. ed.
Hultsch: ὡς ἐν và ιδ΄ ϑεωρήματι περὶ τῶν φαινομένων, alterum
ad II, 1 p. 108,21 5αα.: διὰ τοῦ ιγ΄ τῶν φαινομένων.

Ad Arabes Phaenomena cum ceteris Euclidis scriptis saec. X
venisse videntur atque pars erant eius collectionis, quam libros
adpellabant intermedios.?) Ishaicum ben Honein patrem sive
filum, qui saec. X Elementa, Data, Optica interpretatus est,
eandem operam Phaenomenis navasse, pro certo adfirmari non
potest.) sed id quidem constat, interpretationem saec. X a
Nasiredino Tusino saec. XIII recognitam esse; v. Haji Khalfa

1) Pappi scholiastam, qui ad VI p.532,27 adfert Phaeno-

menorum prop. VI, errare ostendit Hultsch p. 1249.
. 2) V. vol. VI p. LIV not. 3. addo: Steinschneider, d. arab.
Ubersetz. a. d. Gr. Ztschr. d. D. Morgenl. Ges. Bd. 50, 1896; Suter,
die Math. u. Astron. d. Araber, Zeitschr. f. Math. u. Phys. XLV
Suppl. 1900.

3) V. Wenrich p. 182; Steinschneider XXXI p. 100; Suter
p. 40.

PROLEGOMENA XXXV

Lexicon bibliogr. ed. Fluegel V p. 113 nr. 10289: 'Euclidis liber
phaenomenorum, quem Nasir-ed-din recognovit. Alia exempla
viginti tres figuras continent, alia viginti quinque'; cfr. II p. 213
nr. 9496.*) Nicoll et Pusey bibl. Bodleian. codd. mss. orient. cata-
log. II, 2 p. 260: "liber singularis Euclidis Phaenomenon Sphae-
rae, cui schemata 22^.?) utra recensione Arabes usi sint, discer-
nere nequeo; figurarum numerus codicum magnum in ea re pon-
dus non habet.

Phaenomena cum ceteris Euclidis scriptis primus Latine edi-
dit Bartholomaeus Zambertus Venetiis 1505.*) in Phaenomenorum
praefatione haec leguntur: 'cuius disciplinae (scil. musicae) pri-
mordia quae Phaenomena sunt hoe est apparentia: cum Eucli-
des Megarensis clarissimus mathematicus mira indagatione con-
scripserit: opusculum illud hiis qui astrologiae disciplinam sibi
vendicare contendunt utile et scitu iucondum cum fortasse hisce
diebus ad nostras manus pervenisset: ne tanta utilitate studentes
carerent. Illud latinum fecimus'. subscriptio est: *'ex aedibus
patriis XII Kal. Oetobris in. XI II VI et XIX Elemento a re-
conciliata divinitate?. titulus: *Euclidis Megarensis philosophi
Platonici mathematicique praestantissimi Phaenomena: ex tra-
. ditione Theonis Bartholomaeo Zam. Vene. interprete'. interpre-
tationis fundamentum est cod. Mon. 361, cuius omissiones apud
Zambertum inveniuntur omnes. codicem Leidensem 7, quem
ipse post Phaenomenorum interpretationem confectam e cod.
Mon. descripsit, eum adhibuisse non negaverim; sed ubi is cum
Mon. diserepat, hunc sequitur, non illum; v. p. 34, 15 óv6so:]
Mon., ϑέσεσι Leid., occasu Zamb.; p. 58,8 ἐπ᾽ αὐτοῦ] Mon., ἀπ᾽
αὐτοῦ Leid., in ipso Zamb.; : Ὁ. 88, 15 BA, EZ] Mon., EZ, BA
Leid., ba, ef Zamb.

a. 1558 Iiinenomiena *brevissime demonstrata! cum Theodosio,
ἀελίου; Autolyco Latine edidit Messanae Franciscus Mauroly-
eus. habet hui. ed. propp. I— XIII, reliquas non habet. post
prop. III est *additio duarum propositionum? et post prop. XI
*additio trium propositionum, quae sine dubio debentur recen-
sioni Arabicae. Maurolyci enim exemplar Arabicum, non Grae-
cum fuisse, rectissime iudicat Auria (v. eius Phaenomenorum

1) V. Steinschneider XXXI p. 99 sq. et Ztschr. d. D. Morgenl.
Ges. 50 p. 176 8α.; Suter p. 161.

2) V. Steinschneider X p. 469.

3) V. vol. V p. CIIsqq., vol. VI p. LVI sqq. et p. XXIII.

e*

XXXVI PROLEGOMENA

interpr. praef. et p.73 scholium I prop. XIII) in fine autem ita
gloriatur: *sic Euclidis Phaenomena Theodosii et Menelai Sphaeri-
corum adiumentis usi multa facilius quam author fecerat, de-
monstravimus?. Maurolyci interpretationem repetivit F. M. Mer-
sennus, Universae geometriae mixtae mathematicae synopsis
(Parisiis 1544) p. 249—255.

Dasypodius, qui *Euclidis omnes omnium librorum proposi-
tiones? Graece et Latine edidit Argentinae 1571, in Phaenome-
nis quoque scripturas habet codd. Marc. 301 et 302; usus est
autem cod. 302; nam p. 78,85 praebet Aíyóxsoo (v. supra). ea,
quae mutasse videtur suo Marte, omitto persequi. p.112,8 no-
vàm incipit propositionem (x^).

Post Maurolycum Latinam Phaenomenorum interpretationem
edidit Iosephus Auria; titulus est: "Euclidis Phaenomena. Post
Zamberti et Maurolyci editionem, nune tandem de Vaticana
Bibliotheca deprompta Scholiis antiquis et figuris optimis il-
lustrata et de Graeca lingua in Latinam conversa. A Iosepho
Auria Neapolitano. His additae sunt Maurolyci breves aliquot
annotationes. Romae 1591.) in praefatione Auria 'Graecum',
inquit, 'exemplar nostrum manuscriptum cum omnibus exem-
plaribus, quae in Vaticana servantur Bibliotheca, diligentissime
contulimus, Scholia omnia antiquiora, quae in diversis annotata
exemplaribus forte invenimus, latinitate donata suis proposi-
tionibus anneetenda putavimus'. sequitur Auria recensionem b;
habet enim demonstrationes alteras, scholia 197,128, 129 textui
inserta scripturasque m. 2 cod. Vat. (interpolationes m. rec. non
habet) verba p.8,27 κόσμου ---10, 2 τόπον Ἧτο hypothesi? de-
sumpsit e recensione à eodemque loco 'praebet, quo cod. V.
Graecum autem Auriae exemplar est cod. 29; omittit cum eo
p.38,18 λέγω — 920 φαίνεται; Ὁ. 98, 1ὅ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον (v. adp. cr.); p. 155,6 μή. non obstat, quod p. 20,2
pro ἔσται, quod cod. 22 omittit, habet est, licet aliis loeis aecu-
rate interpretetur: erit, velut p. 12, 22; 14, 2, 4; 16, 2; 20, 11 al.;
est Auria addidit de suo.

Gregorius in praefatione de Phaenomenis haec dicit: *in hoc
edendo codices mss. diligenter contulimus, ut textus Graecus,
qui nunc primo lucem aspicit, quam castigatissimus prodiret".
hos codices perspicuum est fuisse recensionis b atque abundan-
tes exhibuisse interpolationes cod. Vat. m. 2 et m. rec. in iis

1) Editionem a. 1609 non vidi.

PROLEGOMENA XXXVII

autem fuit cod. Savilianus 1, licet Gregorius eum non nominet,
nam cum eo omittit p. 12,9 0 et p. 16,10 có, scr. p.122,6 πλείονι
pro πλείστῳ, scholium nr.122 in textu praebet. codicem Bod-
leianum, ex quo scripturas discrepantes infra adfert, in biblio-
theca Bodleiana non repperi; in codice enim Barocciano 161
plurimae earum non exstant nec Gregorius scripturas huius
proprias habet. nonnulla credo eum suo, consilio emendasse,
velut scr. p. 12,11 οὗ pro καί et p.12,19 ἀρκτικοῦ pro φανε-
ροῦ πόλου; p.16,1 post Καὶ add., ὁ ζῳδιακός κύκλος (v. schol.
nr. 86); p. 16, 11 post 4 add. ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A4 καί: p. 68,8
ἀφῃρήσϑω ἡ ys: λοιπή hab. προσκείσϑω ἡ ys: ὅλη: p. 10,19 et
p. 72,3 insolitum verborum ordinem mutavit, inconstanter p.16,
5 et 9 non mutavit; scholii nr. 123 verba p.152,1 διά — 5 4BT'
uncis inclusa p. 194,4 post περιφερείας in textum recepit. ad
interpretationem Gregorius se usum profitetur *'versione Ios.
Auriae Anno 1591; at plurimis in locis emendata?'. ea, quae
emendasse sibi visus est, non plurimi aestimaverim. aliquoties
Auriam sequitur, contra sua verba Graeca, velut p. 78,8 ἐλα-
χίστοις — ἴσοις Greg., minimo — aequali Greg. Auria; p. 98,15
post H K Greg. add. ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, in inter-
. pretatione cum Auria omisit.

Germanice Phaenomena interpretatus est A. Nokk (Friburgi
1850). nititur editione Gregorii, sed complures locos sine codi-
cum ope correxit, velut p.34,24 addidit vs; p.68,3 Gregorii
fipura emendata pro eius προσκείσϑω --- ὕλη corr. ἀφῃρήσϑω —
λοιπή: p.80,11 add. καὶ δύνει; p. 82, 1 Keoxívov] Nokk, Aiyó-
«soo Greg.; p.102,4 post σημεῖον add. τὸ E Greg., om. Nokk,
quae emendationes praeter p.34,24 et p.80,11 codicum auc-
toritate comprobantur.

De seriptis musicis.

Euclidem de musica scripsisse testes sunt Proclus, Marinus,
Theodorus Metochita. atque apud Proclum in Comment. in Eu-
clidis Elementa (p. 69, 3 ed. Friedlein) legimus: τοιαῦται δὲ καὶ
αἱ κατὰ μουσικὴν στοιχειώσεις. Marinus autem in Comment. ad
Euclidis Data (vol. VI p.254, 19 huius Eucl. ed.) “καὶ μουσικῆς
δέ", inquit, στοιχεῖα παραδέδωκεν᾽. denique Theodorus Me-
tochita Miscell. (p. 108 ed. KieBling): Εὐκλείδης καὶ μουσικῶν
ἅπτεται — ἐπισκέφψεων. iam quaeritur, quae intercedat ratio
inter Elementa ila a Proclo Marinoque nominata et libellos

XXXVIII PROLEGOMENA

musicos, qui feruntur esse Euclidis. atque Introductio harmo-
nica quidem Euclidi tribui non potest, cum auctor eius sit
Aristoxenius, Euclides vero Pythagoreus. restat igitur Sectio
canonis et altera exsistit quaestio, num Proclus et Marinus
hune ipsum libellum appellaverint musicae Elementa et num
Sectio, qualem nunc legimus, ipsius sit Euclidis.

quamquam concedendum est, notionem στοιχείων sive στοιχει-
ὠσεῶς incertam esse infinitamque atque a scriptoribus varie usur-
pari, tamen, si legimus ea, quae Proclus p.72 sqq. de horum
verborum disputat notione et ambitu, non sane crediderim, hunc
libellum, quo partiuncula elementorum totius doctrinae musicae
continetur, ab ipso Proclo appellatas esse τῆς μουσικῆς στοιχει-
ὠσεις. ἢ neque aliter iudico de Marino. et ipse Carolus Ian (Mus.
Gr. p. 118) haud dubius est, Euclidem alterum de musica
librum scripsisse eumque illis musicae Elementis a Proclo et
Marino significari. suspicatur autem, Euclidem ipsum, post-
quam in illis Procli et Marini Elementis subtilius de sonis et
consonantiis egerit, summam rerum in hane Sectionem trans-
tulisse. manes viri egregie mihi condonent, quod id nego veri
simile esse. nam primum hoc genus translationis ab usu more-
que Euclidis prorsus abhorret; tum vereor, ne iniuste et desti-
nata iudicet sententia, qui sibi videtur opinari, Euclidem, quem
quidem constat in omnibus scriptis exemplar subtilitatis esse
et diligentiae, in excerpto ex aliquo libro suo minus subtiliter
distincteque egisse quam in libro ipso; id si verum esset, sum-
mus mathematicus existimandus esset aliquando parum sibi
constans conveniensque alienissimam ἃ 86 ipso. personam in-
duisse.

sequitur, ut videamus, haecne Sectio sine ullo dubio Euclidi
tribui possit. primum igitur inspiciamus codicum titulos, etsi
non sum nescius, lis, nisi consentiant, non ita multum auctori-
tatis esse tribuendum. ac mirum sane est, nonnullos codices
Sectionem Cleonidi vindicare, cum in ceteris Euclidis scriptis
omnes ad unum quod sciam in auctoris nomine congruant et

1) Miror, quod E. F. Bojesen in libello egregio *De harmo-
niea scientia Graecorum" (Hafniae 1833) p.28 not. dicit, Cano-
nis sectionem στοιχειώσεων nomine appellari apte potuisse, quia
hoc libro musica theoremata non minus accurate composita et
demonstrata continerentur, quam geometrica celeberrimis illis
Elementis.

PROLEGOMENA XXXIX

conspirent. ita Neap. III C 2, Barber. II 86 (v. Jan Mus. Gr.
p. LXXIX), Vat. 221 (v. ib. p. 170 not.) libellum Cleonidi tribu-
unt eique proprium titulum inscribunt “περὶ φϑόγγων᾽ (Neap.
in mg.) atque Bonon. Bibl. Un. 2432 (v. Olivieri, Studi ital. di
fil. elass. III p. 407sq.) et Riccard. 41 (v. Vitelli, Studi II p. 498)
Introductionem et Sectionem ita coniungunt, ut videatur esse
unum opus idque Cleonidi illi attributum. praeterea in cod.
Regin.108 titulus est: Anonymi κανόνος κατατομή.

ged doctorum quoque virorum sententiae de auctore Sectionis
variae sunt et discrepantes. ac primus quidem, quantum ego
video, Sectionem Euclidi abiudicavit Gregorius, qui in prae-
fatione ad Euclidem *hic tractatus', inquit, *nullo modo cen-
seri potest ab Euclide scriptus, cum haec Sectio non nisi longo
post Euclidem tempore primum innotuerit nullaque huius ex-
. Stent vestigia in quoquam scriptore musico (quod scimus), qui
sit antiquior Ptolemaeo'. contra Heiberg (Literaturgesch. Stu-
dien üb. Euclid p. 52 sq.) et Susemihl (Gesch. d. griech. Lit. I
p.717) Euclidi sine ulla dubitatione libellum adiudicandum cen-
sent. Westphal autem (Metr. d. Griech. II! p. 232) dicit, Sectio-
^ nem, licet alii auctori debeatur, tamen summo mathematico
, nequaquam esse indignam et Caesar (Grundz. d. gr. Rhythmik
p.28) eam adfirmat maiore probabilitate Euclidi adscribendam
esse quam Introductionem harmonicam. disertissime vero Eu-
clidis auctoritatem defendit Carolus Jan (Mus. Gr. p. 115 sqq.)
ac duobus maxime nititur argumentis. primum igitur in libello
ait idem esse cogitandi genus atque in geometriae Elementis,
eandem prorsus dictionem et demonstrationem, qua orsus ab
ἔστω et ὑποκείσθω auctor procedat per φημὶ δή, ut perveniat
ad ἄρα illud conclusionis. at enim Heiberg (Studien p. 35 sq.)
Procli testimonio nisus luculentissime demonstravit, universam
illam demonstrandi formam iam ante Euclidem usitatam fuisse.
itaque ex iis, quae Ian de hac forma disputat, concludere li-
cuerit, Euclidem Sectionis auctorem esse posse; ut sit, non
sequitur; nec quisquam Catoptrica, quae falso feruntur Eucli-
dis nomine, genuina esse arbitretur, quia ibi eadem fere illa
demonstrationis via invenitur et oratio progreditur per illa ἔστω
et ὑποκείσϑω et φημί vel λέγω. illud quoque animadvertendum
est, a prop. 3 et ab omnibus propositionibus inde a prop. 10 trans-
itum ad demonstrationem atque illud φημί vel λέγω plane abesse.
accedit, quod in Elementis ullam demonstrationem frustra quae-
siveris, quae similis sit priori demonstrationi propositionis XII.

XL PROLEGOMENA

eliam in rebus grammaticis mira quaedam in libello oceur-
runt. in iis numerandum est, quod particula ἄρα ter contra
usum sermonis Graeci aetatis Euclideae collocata est!), p.166, 25
primo loco totius enuntiationis, p. 168, 9 et 25 primo loco apo-
dosis; si quem forte iuverit, perversam istam particulae collo-
cationem librarii culpae tribuere, huius quasi perfugii me non
habebit socium. deinde offendor p.172,27 optativo cum ἄν,
quem crediderim adscribendum esse auctoris varietati cuidam
libidinique, quae ab Euclide sunt alienissimae; offendor deni-
que p.176,28 particula ἄν et p.180,22 collocatione part. μέν.
sed redeamus ad lanum. alterum argumentum, quo Euclidis
auctoritatem servari vult, testimonium adfert Porphyrii, qui in
Commentario in Ptolemaei Harmonica ter nominat Euclidem
Sectionis scriptorem (v. Wallis, opp. math. p. 267, 269, 272).?)
sed ne hoc quidem argumentum gravissimum est. iterum ad-
fero Catoptrica, quae, licet a Proclo in Euclidis scriptis refe-
rantur, tamen nostra aetate non facile quisquam Euclidi ad-
iudicabit. sed utut est, Ianum constat acerrimum esse originis
Euclideae propugnatorem. ei vero ceterisque Euclidis patronis
adversarius exstitit profecto haud contemnendus, Paulus Tan-
nery, qui mihi videtur hanc quoque quaestionem tractasse acu-
tissime. atque vir doctissimus statuit (Comptes rendus des séanc.
de l'Acad. des inscr. et belles lettr. 1904 p.439 sqq.), proposi-
tiones XIX et XX, quae in diatonico genere versantur, contra-
rias esse duarum propositionum proximarum, quae quidem ge-
neris essent enharmonii, et inde colligit, illas posteriore additas
esse aetate. contrarium illud esse non infitior atque hoc argumen-
ium avide arripio; verum quod Tannery censet, priores duode-
viginti Sectionis propositiones ante Euclidis aetatem compositas

1) De his locis v. adp. crit., de part. ἄρα posterioribus aeta-
tibus initio collocata Blass-Debrunner, Gramm. d. neutest. Griech.
p. 263 sq.

2) Quae ratio intercedat inter Sectionem, qualis in nostris
codicibus tradita est, et exemplum, ex quo Porphyrius partem
libel deprompsit, et quae emendationes Porphyrio ipsi de-
beantur, non prius potest discerni ac iudicari, quam codicibus
collatis iusta editione fundamentum firmum iactum sit. equi-
dem codice Monac. Gr. 385, quem nuper contuli, nisus rem per-
sequi non ausim; id profiteri non vereor, in Porphyrii excerpto,
quale apud Wallisium legitur, non pauca reperiri, quae digna
certe non sunt Euclide; v. infra p. XLVIII.

ν PROLEGOMENA XLI
esse, quoniam ibi ires propositiones arithmeticae ad demon-
strandum adhiberentur, quas in Euclidis Elementis frustra quae-
reres, a me impetrare non possum, ut ad hanc opinionem acce-
dam. nam has propositiones perspicuum est quibusdam propo-
sitionibus Elementorum vel simillimas esse vel ex iis facile
derivari", ut Euclidem ipsum eas in hoc libello adhibere non
sit quod miremur. quod autem Tannery probare studet, Era-
tosthenis aetati duas postremas propositiones deberi, et doctri-
nam viri sollertissimi admiror neque ignoro, τὸν ueri c haec
quoque studia amplexum esse, sed non probe intellego, quid
impediat, quominus Euclidis aetati atque adeo Euclidi ipsi eas
adscribere liceat.?) adde, quod, si propositiones illas longe alii
aetati tribuerimus atque eas, quae antecedunt, caputque, ut ait
poeta, absciderimus calido viventeque trunco, id quod Tannery
ipse quoque secundum suam quidem causam profert, absurdum
est inscribere Sectionem canonis. aliud denique aliquid, quod
Tannery ad opinionem suam stabiliendam adseverat, multum
habet dubitationis. in demonstratione enim propositionis X?)
Euclidis errorem arbitratur se deprehendisse atque eum ait pro
postulato quodam prooemii huius postulati adhibuisse inversio-
nem, quae plane esset absurda. quod si ad verba p. 170,28 sq.
et p.158, 29 sqq. referendum est, fateor, errorem et inversionem
ilam me non reperire et Euclidem mihi videri conclusisse
rectissime.

populari illustri non sine modestia et verecundia adversatur
Chr. E. Ruelle, Revue des ét. Gr. XIX (1906) p. 318 8qq. atque
auctoritatem Euclidis, cui ipsum prooemium attribuere non dubi-
tat, ita defendit, ut libelli summatim explicet argumentum. qua
quidem explicatione, quamvis perspicua sit et dilucida, tamen
non video, quomodo 'Tannery refellh censendus sit. et quod
Ruelle in fine explicationis dicit, genus enarmonium et chro-
maticum similiter tractari posse atque diatonicum, vereor, ne
vir diligentissimus difficultatem magis praeteriisse quam supe-
rasse videatur neve contrarium illud ita non tollatur aut in-
fringatur.

1) V. Heiberg l. c. p. 53 not. 2 et p. 161, 171 huius voluminis.

2) Numerorum doctrinam iam ante Euclidem simili quadam
via et ratione atque in Elementorum libris VII—IX tractatam
esse Tanneryio facile concesseris; v. Heiberg l. c. p. 33 sq.

3) II apud Tanneryium error est typographi.

XLII PROLEGOMENA ;

ne plura, suo quisque utatur arbitrio; equidem profiteri ausim,
Sectionem, qualis in manibus nostris est, non ipsius esse Eu-
clidis ac potius ex plenioribus illis musicae Elementis, quae
Proclus et Marinus commemorant, ab homine non admodum
sagaci diligentique petitam esse et excerptam. quod autem
nomen suum titulo non addidit, nemo erit qui mirabitur.

Deineeps videamus de libellorum codicibus.

ex iis, quae Ian in Prolegomenis de codicibus M N B W eorum-
que cognatione fuse et accurate disputat, hie repetere libet, il-
los ex eodem archetypo manasse omnes atque M principem esse
et aetate et dignitate, N vero proprium eumque egregium libel-
lorum Euclideorum fontem, cum N autem artiore necessitudinis
vinculo coniunctum atque fratrem eius vel consobrinum. codi-
cem W denique Ian optimo iure dicit in Sectione aut ipsum aut
eius archetypum e codicis M. propinquo quodam originem du-
cere, in Introductione contra ab M optimis lectionibus disce-
dere. ') quod cum ita sit, tamen ex iis non sum, qui W potiorem
esse censeant codice M.

cum e cod. Marc. 322, membr. s. XV (0, pro quo Ian Lipsien-
sem 25 (L) in Introductionis adparatum substituit, magnum nu-
merum codicum fluxisse constet (v. Ian p. LXXXVIsq.), scrip-
turas eius ab Iani scripturis discrepantes adferam, iis, quae in
U supra vel mg. rubro colore scripta sunt, stellula adposita et
addito (W), ubi W cum U congruit:

p.186,1 τε] om., item lin.3 (W) 2 δέ] δέ ἐστι (W) 8 τάξιν
τῶν συγκειμένων Eyov(W) p.188,83 τιϑιεῖσα] τιϑιεῖται (5810) 4 μετα-
βάσεις] διαστάσεις μεταβάσεις (W 2) 5 τὰ δέ] δὲ τὰ (W) 6 ἐπί-
τασις δέ ἐστι καὶ ἄνεσις τὸ ἀποτέλεσμα δὲ (δέ τούτων ὀξύτητι
καὶ βαρύτητι; supra: ὀξύτης καὶ βαρύτης" (cfr. W) 12 αἱ] om.
18 i eg dd xo" αὐτῶν (Νὴ) p.190,6 τρίτη] supra*; in textu:

1) Postquam cod. W nuper Romae iterum inspexi, nonnullis
eius scripturis Iani adparatum auxi (v. p. 158, 29; 170, 26; 186,
3, 4; 188, 3, ὃ; 190,18; 192, 26, 99; 196, 26; 200,14; 202,14;
204, 23; 206, 12, 13, 17, 20; 208, 28; 212,13, 18, 22; 214, 11, 22, 24;
216,4, 19; 218,3); alias et ipse cum Iano omisi ac sunt quidem
hae: p.158, 3 μέλειν p.188,2 κινεῖται] κι — ins. m. 2. 192, 12
évcouóviog] om., item p. 194, 19 p.194, 18 παρανήτη] νήτη
χρωματική] οἴη. 14 'διάτονος] om. 21 ἑστότες Ῥ. 200,1 ὁμοίως]
ἀνάπαλιν 16 7 χρώματος xci ἁρμονίας] om. 97 μ io] μίαν
Ῥ. 314,19 τῳ] τό.

2) In adparatu errore omisi.

PROLEGOMENA XLIII

vut (W) p.192,7 λιχανὸς ὑπάτων] in ras. 8. μέσων] — ov*
supra, in textu μέση (W); item lin. 9, 10 ante lin. 12 add. in ras.
λιχανὸς συνημμένων ἐναρμόνιος (W) 14, 15, 16, 28 hab. lectiones
codicis W. 17 ἐναρμόνιος] om., item lin.19 26 λιχανός — 29 u£-
cov] mg. m. 1 (j*); in textu: veouóviog, λιχανὸς ὑπάτων διά-
τονος, ὑπάτη μέσων χρωματικὴ λιχανὸς ὑπάτων p.194,11 τρί-
τῇ --- 18 yoouerix/á|mg.m.1; in textu: νήτη διεξευγμένων, παρα-
γνήτη διεζευγμένων, τρίτη ὑπερβολαίων χρωματική (W) 234 κινού-
μένοι, — 26 τάσεως] mg. τη. 1 80 oi] οἱ δὲ οἱ (of δὲ oi) (W)

Ῥ. 190, 9 παρυπάτη] παρ — 18 παρανήτη — 19 παρανήτη]) in
ras. 19 γρωματική] in ras., item lin. 20 20 οἱ δέ — 38 διά-
τονος] om. 26 σύνϑετα] ἀσύνθετα ἢ p.198,1 post δίτονον add.
τριημιτόνιον τόνος] τόνος καὶ τόνος ὃ (W) post ἡμιτόνιον add.
δίεσις 9 πάντα (alt.)] πέντε" ἐλάττω] ἐλλάττων 10 post τόνος
add. τριημιτόνιον 14 ὥστε μὴ κραϑῆναι)] μὴ ὥστε 7) καϑαρϑῆ-ς
vc. 19 ante μέσης add. ὑπάτης Ῥ. 200, 117 ἢ χρώματος καὶ ἀρ-
μονίας] om. ( 9) 19 φϑόγγων τόπους (W) 20 διεσιαίῳ] δὲε-
σίῳ (W) 21 ἑτέρου] ὀξυτέρου 22 τετράχορδον] — ον 28 μέν]
μέση Ῥ. 202,1 αὐτοῦ] αὐτῇ post διαιρέσει add. τῇ αὐτῇ 2. καί
— 6 δίέεσιν (pr.] mg. m.1 6 ante τριτημόριον add. τό τό] om.
"| post τρίτῳ add. ἀσύνϑετον διάστημα mg. add. m. 1: γράφεται
καὶ οὕτως" καὶ δίεσιν τὴν ἡμίσειαν ἡμιτονίου τόνου τὸ διὰ πέντε
καὶ τὴν ἴσην τόνῳ καὶ τὴν τετάρτην, τὸ δὲ ἡμιόλιον κατὰ δίεσιν
καὶ δίεσιν. ξ μὲν ἡμιτονίων σύνθετόν ἐστι διάστημα᾽ τρὶς γὰρ
ξ καὶ x καὶ α (cfr. W) 9. ἑπτὰ διέσεων τεταρτημορίων 10 χρόᾳ
κέχρηται χρόᾳ 12 κέκληνται (W) 14 σύνϑεσιν] συνϑέσεως 15 ἐν-
σπὍυπαρχουσῶν] -όντων διεσίων)] διάσεων 11 post ὡσαύτως add.
καί (W) 22 καί] καὶ κατά (W) ». 204,1 δι᾽] om. 16 post συμ-
φώνου add. καὶ διαφώνου p. 206, 10 post συνημμένον add. κα-

ἀρ αὐτῷ *

λούμενον 11 πρῶτον γραφῶν τὸ διὰ τεσσάρων 18 post διὰ τεσ-
σάρων add. πέμπτον τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, fwvov τὸ δὶς
διὰ πασῶν (W) 90 συγκειμένων (W) 924 ὑπό] ἀπό p.208,8 τό-
νοι] τονιαῖα 14 πρῶτον ἐπί] μέσον τῶν τόνων μέσον] πρῶτον
ἐπὶ τὸ ὀξύ 15 ἔστι] ἔχει ante γένεσιν add. τήν — 26 τέταρτον
δέ 21 προσλαμβανομένων Ῥ. 210,1 ἐπὶ τὸ βαρὺ κεῖται] om.

2 τρίτον — ὀξύ] om. 12 ἀπό] ὑπό 26 λοκριστί] λοκρικόν,

1) Ita scripsit librarius secutus codicem W, sed συνϑέτων (W)
pro &ovv9érov scribere neglexit.

2) Cum Iano in adparatu omisi.

XLIV PROLEGOMENA

supra -ozí* (W) 80 πρῶτον] ἕβδομον p.212,2 τρίτον] τέταρ-
τον (W) 838 πρῶτον] δεύτερον (W) ὅ τρίτον] πέμπτον 6 xot]
om. (W) 18 διὰ τῶν] om. (W) 25 αὐτῇ] αὐτὰ 26 νητῶν] om.
(W) 21 αὐτῇ] αὐτά, item p.214,2 ν. 2314, 4 αὐτά] αὐτήν (W)
8 νήτην] νήτηνγ 11 τῷ] τό (W) 19 διορίξεται) δὁρίξεται 21 ἀμε-
ταβόλῳ] ἐμμεταβόλῳ 28 ἑκατέρῳ] ἑκατέρων (W) Ῥ. 2316, ὃ cza-
0915 ὄντα] ἀπαϑοῦς ὄντος (W) 4 ἤ (pr.) — τόνον] ἤτοι σύνϑετον
3 (W) ὁ ὀξυτάτῳ)] -ov ἤτοι (alt.)] 7; (W) 18 λύρα] τήνδε
20 σ᾽ οὖν (W) 925 τόπος ὅταν λέγωμεν φωνῆς Ῥ. 318, ὅ ozso-
ιάστιος] ὑποιάστιος ὁ ὑπερδώριος] supra ózo* (W) 17 ὧν ὃ βα-
ρύτερος] om. 9 ὀξύτερος — 10 καλεῖται] ὁ μὲν βαρύς, ὃς καὶ
ἰάστιος, ὁ δὲ ὀξύς 16 ante ὑποδώριος ins. και 19 ἡμιτόνιον]
-ίῳ p. 220, 10 δ᾽ δ᾽ αἱ μέν μέν — 12 ἐμμελεῖς] om. 14 ὅσαις]
ὅλαις 22 διασταλτικοῦ]) διαστηματιχοῦ 234 διασταλτικόν] δια-
στιματικόν Ὁ. 222, 1 μερῶν τῆς ἁρμονικῆς καὶ ὑποκειμένων] mg.
m.1 11 τῶν] τῶν vs 17 ἡ (810). e Sectione, quam me ex U non
excussisse queror, Ian notavit: p. 160,10 τόν] τό (W) 11 πολλα-
πλάσιον p.102,12 post μετροῦνται add. ἐβιγ (W) 18 HZ] H
del. * ΟἹ καὶ ἐπεί] supra (yo.)* (W) 15 4H] Η del.* (W)
post ZZ mg. yo. tÓLEvL9* (W) p.166,11 τοῦ (pr. — 12 ΒΛ]
om. 20 A4] supra* Ρ.ὄ 114,9 δή] δέ p.176,21 óírovoc] διά-
τονος Ῥ. 180, 81 μέσων] corr. ex μέσον.

ex scripturis adlatis efficitur, codicem W vel eius adfinem
quendam in Rhosi, qui cod. U scripsit, manibus fuisse neque
obstant loci ab Iano p. LXXXV adn. 3 commemorati neque alii
complures (v. supra), quibus U ab W discedit.

ex U quin L descriptus sit, dubitari non potest; concordant
in textu his maxime locis: p. 186, 1, 2, 5; 188, 4, 5, 6, 12, 13;
190, 6; 192, 8; 194, 20; 196, 20, 26; 198, 1 (τριημιτόνιον), 9, 10,
14,19; 200, 21,23; 202,1 (αὐτῇ et τῇ αὐτῇ), 6, 7, 12, 14, 17, 22;
204,16; 206,13,924; 208, 3,14, 15, 25, 27; 210,1, 2, 12, 26; 212, 2,
3, 5, 6, 18, 25, 27; 214, 4, 8, 11, 21, 23; 210, 3, 4, 6 (ὀξυτάτου), 25;
218, 6, 9, 19; 220, 10, 14, 24; 222, 7, 11. memorabile est autem,
L p.220,20 contra U praebere rectissimum illud διασταλτικοῦ.
quae in U p. 192, 26; 194, 11, 24; 202,2; 222, 7 mg. m. 1 colore
nigro scripta sunt, in Lipsiensis textu leguntur; ex iis, quae in
U colore rubro correcta sunt, in Lipsiensis textu deprehendun-
tur seripturae p. 196, 9; 200, 22; 202, 6, 12; 204, 8; 206, 11;

1) Seripturae cod. L Iano debentur.

PROLEGOMENA XLV

218,16; reliquas in L non reperies. ceterum suspicor, librarium
codicis L et ipsum in consilium advocasse cod. W vel propin-
quum eius; habet enim mg. p. 198, 1 διάτονον; 200,21; ἑτέρου:
202, 9 σύνθετόν ἐστι διάστημα post διάστημα add. τρὶς καὶ ἑπτὰ
εἴκοσι καὶ £v; 208, 8 τόνοι, quae absunt ab U; fortasse etiam
p.198,1 mg. τόνοι τόνου (edd mendum librarii) ex W, non
ex U.

cod. Monacensem 104, chartac. s. XVI ex filiis cod. U natu
minimum esse non negaverim, verum idem dico fideliorem eum
esse quam L. nam contra L cum U consentit in textum receptis
etiam iis omnibus, quae in U supra vel mg. correcta sunt,
p.188,3; 190,6; 192,8; 194,30; 198,9 (πέντε πάντα); 200,19,
20; 202,15; 204,19 (καὶ ἐμμεταβόλου U Mon., om. L); 206,17
(τῶν [pr.] Ὁ Mon., καὶ τῶν L), 20; 210, 26, 30; 214, 8,19; 216,6
(ἤ τοι [alt.] L, ἢ U Mon), 18, 20; 218, 5, 1 (ὅς, quod pro ὧν ὃ
βαρύτερος hab. L, om. U Mon.), 10; 220,22. in Sectione p. 162,13
HZL,ZUMon. καὶ ἐπεί U Mon., om.L p.166,20 4] U Mon.,
supra ΤῊ

eiusdem familiae (U) sunt codd. Vatt. Reg. 94, chartac. s. XVI
et Urbinas 77, chartac. s. XVI.*) in Sectione quidem adfinitatem
cum Monacensi ostendunt scripturae communes p.166, 9 τεταρ-
τομόριον 16 voó(pr.| om. 19 τὸν ἥμισυν 22 τό] τόν p. 180,
18 τόν] τό 28 ὑπερβολαίων] παρανήτη. ὑπερβολαίων 2324 post
καί add. ἐν v (y? Mon. I', 94 mg. m. 2 ἑνί) 31 ΓΡῚ P c. signo
del. οὐ supra nr.1 O Mon., 94,77: O. figurarum quoque linea-
menta litteraeque in 94,71 eadem sunt atque in Mon. praeterea
94 p.162,12 post μετροῦνται: ιβιγ (U) 13 mg.: yo. καὶ ἐπεί
col. rubro (U) p. 176, 21 δίτονος] διάτονος (U), α m. 1 del.
p.180, 26 καί] in textu om. (U), supra add. m. 1 81 μέσων]
μέσον (U). atque his quidem locis praeter p. 180, 26 cod. 77
codicem U non sequitur; ad W autem non minus quam Mon.
correctus est p.162,13 HZ (H om.W) Mon. 15 ZH] H om.W,
punctos del. Mon. etiam in Introductione 94 proxime accedit
cod. U, quod demonstrant scripturae communes p.190,6; 194,30;
198,1 9 πάντα] πέντε supra U, πέντε πάντα 94; 200,921; 202,
10,12. Τῇ vero, licet cum U p. 208, 18 addat τήν, non paucis
locis ab eo discedit, velut p.194,30; 198,2,9; 200,21. mirum
est, quod p. 220, 22 solus cum L praebet διασταλτικοῦ illud, cum

1) De hoc cod. v. Breslauer Philol. Abhandl. I, 3 p. 127 sq.

XLVI PROLEGOMENA

Mon. συχαστικόν (Mon. sig σ.). librario cod. 77 cod. V praesto
fuisse, docent scripturae, quibus 77 et V soli conspirent: p. 200,
20 δεσιαίω 26 γένος 202, 8 ἡμιόλιον — δίελυν om. 9 ante
διάστημα add. τό.

denique cod. Vat. Reg. 169, chartac. s. XV ex U eiusve anti-
grapho pendere ostendunt scripturae communes p. 180, 23; 188,
ὅ (δὲ vd), 18; 208,14; 218,5,6. pluribus autem locis ab U disce-
dit, quam codd. 94,77. quod p.164,10 solus rectissime scripsit
τόν pro τό, 166, 2 δύο om. (cum M W), 188,15 solus cum W habet
δέκα καὶ ὀκτώ, 218, 9 post φρύγιοι add. δέ, librarii coniecturae
tribuendum arbitror.

restat, ut pauca disputem de ceteris codicibus ἃ me aut
collatis aut inspectis.?) atque initium facio a codice Vat. 221,
chartac. s. XVI, quem contuli abhine multos annos. rectissime
vidit Studemund, eadem eum manu scriptum esse ac B; utrum-
que ex eodem fonte derivatum esse, comprobatur his maxime
locis, ubi contra MW N ?) eorumque progeniem vel in minutiis
concinunt 5:

p.160,9 ἐγενήσϑω p.162," μέσοι οὐδεὶς οὔτε slg (B supra) *
(V) $8 post πλείους signum obscurum et deinde ἐβκδ (B mg.

cum signo omissionis)*(V) p.174,9 δή p.178,20 OuzA«ctoc, mg.

διπλοῦς (V) p.180,27 post ἔϑηκα add. ἴσον «v (sic lineola m. 1
subducta; ἴσον αὐτῷ M?) p. 192, 9 παρυπάτη μέσων", B mg.
12 év«ouóviog*, item lin. 16, 19, B mg. (V) 28, 29 διάτονος
ὑπάτων u£cov*, B mg.(V ins) p.194,12 év«ouóviog? | 24 ὅσοι)
εἰσι Ῥ. 190,9 oíós] om. ad lin.19 χρωματική (alt. — lin. 22
συνημμένων mg. rubra linea anguinea p.202,9 post ἀσύνϑε-
τον hab. x«l τό (τό mg.) post διάστημα hab. ἑπτὰ διέσεων ὁ

τρίτω ὁ τεταρτημορίω, B mg. (V) 15 ἀπό] ἀπό, mg. ἐστι τοῦ

(V) 25 καϑ' xa?', mg. κἀϑώς (V) ». 304,18 (8 (pr)] δέκα

^. 1) Valla *De expet. et fug. rebus? IX, 10: sychasticum, Bryemius
(Wallis opp. math. III p. 503): εἰς ἡσυχαστικόν.

2) De cod. V v. p. VII.

3) Mirum est, quod 221 p. 122, 8 cum N solo pro ἁρμονικῆς
hab. ἁρμονίας.

4) Iis scripturis, quibus in codd. 221 B lineola rubra sub-
ducta est (v. Ian p. LXXX), stellulam addidi; quae 221 et B
habent mg. vel supra, m. 1 sunt. (V) additum signifieat, has
scripturas in codicis V textu inveniri.

PROLEGOMENA XLVII

πέντε p.206,11 πρῶτον — 18 τεσσάρων] πρῶτον γὰρ αὐτῶν τὸ

διὰ τεσσάρων (om.V), mg.: πρώτων γὰρ αὐτῶν τὸ διὰ τεσσάρων,
-" ,
δευτέρων τὸ διὰ πέντε, τρίτων τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων

(V) 20 συγκείμεν (-ov V) si] εἴπερ p.208,17 τοῦ δέ] τοῦ,
mg.: τοῦτο δέ (V) p.210,9 ὑπάτων] ὑπὸ πασῶν, mg.: ὑπάτων
(V) 26 λοκριστί] λοκρικόν, mg.: λοκριστί (V) 21 τό] τοῦ, mg.:
τό (V) 28 οὗ (cum signo 6) — p. 2512, ὅ ὀξύ, mg.: 6 ἐν ἄλλῳ
(rubr). οὗ πρῶτόν τε καὶ τέταρτον ἐπὶ τὸ ἡμιτόνιον, δεύτερον
δέ, οὗ πρῶτόν ἐπὶ τὸ ὀξύ, τρίτον δέ, οὗ δεύτερον ἐφ᾽ ἑκάτερα,
τέταρτον δέ, οὗ πρῶτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, τέταρτον δὲ ἐπὶ ὀξύ,
πέμπτον δέ, οὗ πρῶτον ἐπὶ τὸ βαρύ, τέταρτον ἐπὶ τὸ ὀξύ, ἕκτον
δεύτερον δέ, πέμπτον ἐπὶ τὸ ὀξύ, ἕβδομον δέ, οὗ δεύτερον μὲν
ἐπὶ τὸ ὀξύ, τρίτον ἐπὶ τὸ βαρύ. et haec habet V omnia. p. 212,

19 ἀλόγων] ἀναλόγων (V), λύγων B 27 μέση] ἥ utcv, mg.: μέ-
ση (V) p.220,1 ἢ ἐκ χρώματος ἢ ἁρμονίας] om.

codicum 291, B alterum ex altero transcriptum esse facile
suspiceris; obstat, quod in 221 legitur p. 166,25 et 168,25 ὁ A
ἄρα et quod 210,30 ante οὗ habet i, quod B omittit. adparet
autem, utrumque codicem ad fidem codicis V correctum esse.

codices Vaticani Gr. 1341 et 1346 s. XV et Introductionem
p.222,14 finiunt et soli has scripturas praebent:

p. 186,5 περὶ συστημάτων, πεγὶ γενῶν 324 ἀφανῶς] ἀφανεῖς
p.188,9 καί] om. 26 δέ] οὖν p.190,11 διεξζευγμένων] συνημ-
μένων p.192,22 δὲ μίξιν] μίξιν δέ 26 ἐναρμόνιος — 28 διά-
τονος] διάτονος χρωματικὴ ἐναρμόνιος p.194,1 post μέσων add.
διάτονος χγρωματική Ὁ. 196, 8 post διάτονοι add. εἴτε οὖν ἄπυκνοι
20 οἱ --- διάτονος (alt.] om. p.200,10 μέλος] μέγεϑος p.202,
14 κατὰ σύνϑεσιν)] om. καί] καὶ τό p.206,10 usyol τετάρτου
συμφώνου πρόεισι 11 ἐν αὐτῷ) om. p.208,19 ἀπό] τὸ ἀπὸ
p. 210, 80 πρῶτον] ἕβδομον, item p.212, 8 (p.210,30 etiam U)
p. 212,4 δεύτερον] ἕχτον p.218,2 vy] δέκα τρεῖς 19 παράλλη-
λον — 20 τριημιτόνιον] om. 20 ἀναλόγως 1841, ἀναλόγος (sic)
1346 p.220,22 ἢ (pr.)] ἢ εἰς. notandum etiam est, utrumque
codicem p.194, 20 post ὑπερβολαίων habere quae leguntur apud
Aristidem Quintilianum de musica ed. Iahn p.6,22 λαμβανό-
μένος — 1,23 ἵσταται, atque his quidem diserepantiis: p. 6, 28
ἐναρμόνιος χρωματική τε καὶ διάτονος] διάτονος χρωματική τε
καὶ ἐναρμόνιος: item p. 7,9 80 ὑπερυπάται] παρυπάται p. 1,4
μέση] μεσωτάτη. congruunt codices sescentis locis contra W

XLVIII PROLEGOMENA

cum M, velut p.188, 3; 200,21; 202, 18, 22; 212,6; 218,2, 7 al.
mirum, quod p.212, 9 eum W pro τρίτον habent τέταρτον:
p.202,25 cum W κατά pro καϑ' nullius ponderis est. cod. 1346
ex 1841 transcriptum arbitror; p. 190, 14, 15 1346 mg. m. 2,
item p. 192, 7—21. 220

Porphyrii excerptum Sectionis (v. p. IX et XL), quod apud
Wallisium legitur, cum nostris Euclidis codicibus aliquantum
discrepat. nam prooemium Porphyrius non habet, pro priore
demonstratione prop. VI praebet alteram, *"4A4eg' illud Eueli-
dis.) continuo inserit propositionem nr. signatam, qua nul-
lam rationem multiplam esse demonstrat compositam ex rationi-
bus superparticularibus nisi solam rationem duplicem; v. Iam,
Proleg. in Sectionem p. 117. sequuntur Porph. propp. 8—12
— VII—XI hui. ed. in divisione propp. XII, XIII Porph. a nostris
Euclidis codicibus prorsus discedit: Porph. 13 — XII hui. ed.
p.172,12—21; 14 — 172,22 28; 15 — 174,1—4 (post lin. 4
τριπλάσιον add. Porph. ἀποδέδεικται, lin. 5 c0 — ἐστιν om.; 16
ei (pro ἀποδέδεικται) ἄρα — 174,6—15; 17 — XIV; 18 — XV;
19 — XVI. hane divisionem patet in Euclidem posse conferri
ac dubito an Porphyrio nemo exprobret ipsi. nec vero inutile
esse excerptum illud ad verba Euclidis constituenda declarant
loci, quibus Porph. contra nostros Euclidis codd. veram serip-
turam suppeditat: p.160,8,13; 162,9; 164,14?); 172, 25; 176,8
(xÀsio); praeterea cum W solo praebet p.162,3 ἐμάϑομεν, 8 éu-
πεσεῖται, 19 καὶ ἐπεί, cum B solo 174,9 δή. et hae lectiones
omnes inveniuntur in cod. Monacensi 385 s. XV Hardt IV p.197
(v. p. XL not), qui quidem cum Porphyrio p. 166,25; 168, 9,25
particulae ἄρα iustum locum adsignat. sed tamen in ceteris et
apud Porphyrium Wall. et in cod. Mon. multa deprehenduntur,
quae ab Euclide profecto sunt aliena. quod ut perspicuum sit,
collationem addam cod. Mon. omissis iis scripturis, quas modo
commemoravi, et stellula adposita, ubi Porph. et cod. Mon.
congruunt: |

p.160,8 τι διάστημα ἢ 10 τόν] καὶ τόν" τοῦ ΓῚ πρὸς τὸν I'
19 καί] om.* 18 ὁ (utrumque)] καὶ ó* καί] om. 16 πολλα-
πλάσιον ἔσται “ἡ 20 οὕτως] οὕτω καί" ». 1θ02,1 πολλαπλάσιον

1) Suspicari licet, Porphyrium utramque demonstrationem
ante oculos habuisse atque alteram priori praetulisse.

2) Adfert hanc prop. Porph. p. 272 Wall.

3) In adparatu cum Iano omisi.

PROLEGOMENA XLIX

εἶναι" 2 τόν] Mon., τοῦ codd. Wall, corr. Wall. 3 δέ] δὲ ἄρα",
δέ del. Wall. 1 οὐδείς] om.*5 μέσος] Mon., μέσοι codd. Wall.,
corr. Wall. 10 ἐλάχιστοι] -ov ^ 11 οἱ 4Z, Θ] ὁ 42 καὶ ὁ O*
18 ἄφελε] ἀφεῖλον" HZ] ΖΕ 14 ἐστιν] om.* 1 ὁ] 7*,
itemlin.16 7s] om.* 16 ἐστι] οἵη." 4H] Mon., z codd. Wall.,
4E Wall. 18 τοῦ] ro? μέν" 21 τούς] τόν" τις] οὐδείς 28 vo-
σοῦτοι] Mon., -ov codd. Wall, corr. Wall. 26 οὐδείς — ἐμπε-
σεῖται] om. οὐδέ] ὥστε οὐδέ" p.164,6 ὅτι] οὕτως" ὁ 47] ὁ δέ
(Bic) 9 ἐστι πολλαπλάσιον" 18 τοὺς 42, ΓῚ τὸν “] τὸν 4 τοῦ ΓῚ
τὸν BI'* 14 add. ὕπερ ἔδει δεῖξαι ὃ 16 ποιῇ] ποιεῖ 117 ἔσται]
ἐστι" 20 post πολλαπλάσιος (pr. add. ἔσται λέγω --- πολλαπλά-
σιος om. 21 ἐστιν] 7* ὁ B τοῦ ΓῚ om.* 22 ἄρα (pr)] om.*
οὐκ ἔστι δέ] om.*, add. Wall. p.166,17 ὁ] τό διπλάσιος] -ov
19 τό] τόν, item lin. 22, τό codd. Wall. 21 ὁ ἄρα B* 22 B]
δύο εἶσιν ἴσοι" 28 τρεῖς — 25 I'(pr)| om.* 26 sequitur
prop.7 Wallisii; v. supra p.168,5 τοῦ (alt.) — 7 4] Mon., om.
eodd. Wall. add. Wall. 5 ὁ] τό 6 τριπλάσιον 10 τό] τόν, item
lin.22 12 ἄρα (pr. — 13 4] om.* 13 I'] add. τριπλάσιος Wall.
19 4 ἄρα] ἄρα A* 20 ὀκτώ] T (sic) δώδεκα] (f, item lin. 93
(utrumque) 21 I' ἄρα] ἄρα I'" 22 ἐννέα] 9', item lin. 24
94 4 ἄρα] ἄρα A4 25 ὀγδόῳ] ἢ A4] om. p.170,2 διαστήμα-
τος] -ra* 4 εἷς] vig" 6 4 (a16.))] om. 7 A] AE 9 ἐπεί] οἵη."
εὑρεῖν] om., δέ codd. Wall. 9 post ἐπογδόους add. λαβεῖν Wall.
ἀλλήλων] ἀλλὴ (Sic), ἀλλ᾽ ἤ codd. Wall. 11 μύρια] μυριάδες, item
lin.19—17 22 τό] δύο 26 διαστήματα δύο τα] τό, om. codd.
Wall p.172,5 μέσων] om.* 4ΤΊ Γ΄", corr.Wall 6 ὄν] om.*
7 τὸ ὅλον] om.* 8. οὐδέ — πολλαπλάσιον] om.* 9 ἐπιμορίων,
-ov codd. Wall. 12 τό] τὸ δέ 20 ante διπλασίου add. τοῦ"
24 xe (pr.) — 25 μέγιστα] om.* 27 ἡμιόλιος, -ov codd. Wall.
p.174,1 δή] óé* 2. ἐστιν] om.* 4 xoí(pr)] om.* 14 ἄρα] γάρ
17 τό] τὸ δέ" post ἔλαττον add. ἐστιν 20 διαστήματα sici*
21 ἐστιν] om.* 25 Β] «' 26 μέση] μέσος" μέσων] om.*
p.176,1 doví* 9 τὰ] τὰ δέ" 8. ἐλάττονα — ΒΓ ΓῚ] om.* 8 ἴσα]
ἴσους" 9. δέ] om.* 10 οὔτε sig] οὔτε γὰρ εἰς codd. Wall,
εἷς corr. Wall. 11 ὁ τόνος] om.* ἴσα] Mon., ἴσας codd. Wall.

1) P. 267 Wall, ubi prop. III adfertur, οὐδείς non deest.

2) In fig. Wall. pro H est E, cod. Mon. figuras non
habet.

3) p. 272 Wall, ubi Porph. prop. XVI adfert, pro ἴσους
legitur. ἴσα.

Euolides, edd. Heiberg et Menge, VIII. d

Lux PROLEGOMENA

sequuntur in Mon. ea, quae leguntur apud Wallisium p. 276
δέδεικται — τοῦτο. τέλος κτλ. Mon. om.

plurimos errores cod. Mon. et codd. Wall. patet imputandos
esse librariis.

Boetius in Inst. mus. IV, 2 p. 302, 8—308, 9 ed. Friedlein Sec-
tionis propp. I— IX transcripsit." duarum demonstrationum
prop. VI cum Porphyrio alteram praebet; prop. 7? eius non
habet. de antigrapho Graeco Boetii nihil certi adfirmare pos-
sum; in fine prop. IV p. 305, 8 addit *quod oportebat ostendere"
(ὄπερ ἔδει δεῖξαι Porphyrius).

Primus duos libellos musicos in unum coniunctos Latine inter-
pretatus est Georgius Valla: *Cleonidae?) harmonicum introduc-
torium interprete Georgio Valla. Venetiis 1497.'?) usum esse
Vallam codice N, cuius in folio extremo legitur “Γεωργίου Βάλλα
ἐστὶ τὸ βιβλίον 5), hi loci dilucide docent: p.188,26 διατόνῳ]
add. γένει N, in diatono genere Valla p. 196,20 oi δὲ διάτονοι]
ἐν δὲ διατόνῳ N, at in diatono Valla p. 200,920 διεσιαίῳ] δὲ-
σιαίῳ N, disiaeo Valla p. 9202,92 δίεσιν (pr.)] δ. τεταρτημόριον N,
diesim quartam portionem Valla Τ κατά] καί N, et Valla 9 &cóv-
)srov xol διάστημα N, incompositum etiam intervallum Valla
p. 204,1 δι᾿ ἀριϑμῶν) ἐν ἀριϑμῷ N, in numero Valla 30 τριῶν
καὶ qu. N, trium et dimidii Valla p. 206,20 ἀριϑμοῦ] -ῷ N,
numero Valla εἰ περὶ ἄξης — 21 ἀνομοίου N, om. Valla; non
intellexisse videtur?) p. 212,924 τετραχόρδων N, tetrachordorum
Valla p.214,3 νητῶν] τῶν N, om. Valla 9 ὑπάτων μέσων] ὑπὸ
τῶν μέσων N, sub mediis Valla 23 ἑκατέρῳ N, utrique Valla
Ῥ. 210,14 ἔχεις ἀεί N, habes semper Valla p. 9220,22 διασταλ-
τικοῦ] διαστητικοῦ N, diastetico Valla. in Sectione (titulus: περὶ
φϑόγγων N, de phthongis Valla) v. p. 158, 2 οὐδέν] οὐδέ N, ne-
quidem nihil Valla p. 166,8 ἐπεί] om. N, Valla p.176,10 μέ-
σοι] N, medii Valla p.180,29 post ἔϑηκα add. ἴσον αὐτῶν N,
aequalem ipsis Valla.

1) Euclidem non nominat.

2) Valla etiam 'De expet. et fug. rebus? VII, 2 Cleonidem
nominat; post quam enim tria genera 'modulatus? enumeravit,
*Pappus tamen, inquit, 'et Cleonides addit commune vel
mixtum'.

3) Editionem ἃ, 1488, quam commemorat Fabricius Bibl. gr.
ed. Harles IV p. 56, non vidi.

4) V. Ian p. LIV.

5) V. Heiberg, Neue Jahrb. f. Philol. Suppl. XII p. 378.

PROLEGOMENA LI

Introductionem et Sectionem primus Graece et Latine edidit
Ioannes Pena Parisiis 1557; titulus est: Εὐκλείδου εἰσαγωγὴ &o-
μονική. τοῦ αὐτοῦ κατατομὴ κανόνος. codex quidam Parisinus
(tex bibliotheca Regia"), ex quo Pena libellos musicos edidit,
arta necessitudine cum familia cod. U coniunctus est et pluri-
mas habet cod.U ipsius discrepantias; v. in Introductione praeter
loeos ab Iano p. LXIX not. adlatos p. 188,4 μεταβάσεις] διαστά-
σεις μεταβάσεις: 198,19 ὑπάτης μέσης; 200,91 ὀξυτέρου; 202,1
αὐτῇ, 9 add. τῇ αὐτῇ 9 διέσεων τεταρτημορίων 10 χρόᾳ κέχρη-
ται χρόᾳ 14 συνθέσεως 15 ἐνυπαρχόντων; 204,1 δι᾽ om. 16 καὶ
διαφώνου; 9206,24 ἀπό 208,15 ἔχει; 210,12 ὑπό; 219,2 τρί-
vov] τέταρτον: 214,19 ὁρίζεται; 220,10 μέν — 19 ἐμμελεῖς] om.
ubi L ab U discedit, hunc potissimum sequitur: p. 192, 16, 19
éveouóviog] L, om. U, Pena; 198,1 add. τόνος καὶ τόνος Ὁ, Pena,
T. κι τόνοῦ L; 200,13 τό] U, Pena, om. L; 206, 17 τῶν (pr.)] U,
Pena, καὶ τῶν L; 210,30 πρῶτον] L, ἕβδομον Ὁ, Pena; 216,6
ἤτοι (alt.)] L, 7; Ὁ, Pena; 218,7 ὧν ὁ βαρύτερος] om. U, Pena,
ὅς L. cum L contra U Pena conspirat p.188, 8 (τέϑειται); 200, 20
(διεσίῳ); 204,19 καὶ ἐμμεταβόλου om.). itemque in Sectione cod.
Penae adfinitatem cum familia cod. U prae se fert; v. p. 166, 11
| τοῦ (pr.) — 12 B 4] om. U, Pena; p.174,9 δέ] U, Pena; p. 176,
21 óírovog] διάτονος U, Pena; p. 180,23 ante ὑπερβολαίων add.
παρανήτην Ὁ, Pena. praeterea cum Mon. 104 p.166,16 τοῦ (pr.)
om. (U?) animadvertendum est autem, Penam codicem suum
sine dubio secutum in Introductione addere p.198,13 διαφωνία
δὲ τοὐναντίον δύο φϑόγγων ἀμιξία et in Sectione p.170, 26 ἴσα.
p.168,25 particulae ἄρα iustum dat locum.

Dasypodius Introductionem integram, Sectionis praeter pro-
oemium propositiones solas in *Euclidis omnes omnium libro-
rum propositiones! (v. p. XXXVI) Graece et Latine recepit. totus
pendet a Pena, quocum in Introductione habet p.194,926 οὐ
μεταβάλλουσι; pro p.196,18 λιχανός — 28 διάτονος: παρανήτη
ὑπερβολαίων χρωματική Ὁ. 198,18 διαφωνία — ἀμιξία p. 202,8
δίτονον ἀσύνϑετον; pro 4 βαρυτάτη — 5 δέ: τὸ μὲν καλεῖται μα-
λακὸν χρῶμα, τὸ δὲ ἡμιόλιον, τὸ δὲ τονιαῖον. τὸ μὲν οὖν μαλα-
κὸν χρῶμα μελῳδεῖται ὁ τὸν τριτημόριον 1 τρίτῳ ἀσύνϑετον
διάστημα Ῥ. 204, 8 ἕκαστος Ῥ. 208, 17 εἰσι Ρ. 316, 20 σεπτάτο-
vov Ῥ. 218,4 ὧν ὀξύτερος καὶ β (sic) ὑποιάστιος καλεῖται. om.
cum Pena p.188,2 τάς p.198,8 πάντα -- 9 διὰ τεσσάρων
p.202,6 τό p.222,17 ἐν — 18 φϑόγγου. in Sectione hae nobis
occurrunt lectiones Dasypodio cum Pena communes: p. 158, 10

d*

LII PROLEGOMENA

ἐπείπερ] εἴπερ 11 σύγκειται, item lin.12. 14 κινήσεων 21 πολυ-
πλασίονι 174,9 δέ 17 post ἔλαττον add. ἐστιν. interpretatio
Dasypodii ex Pena ad verbum expressa est.

Penae interpretationem libellorum musieorum repetivit Pos-
sevinus in Bibliotheca selgcta Romae 1593 II p. 187—200 *Eu-
clidis Musiea e Bibliothecae Vaticanae ae Fulvii Ursini manu-
scriptis codicibus Graecis'. praesto ei fuit cod. Vat. Gr. 1341
(v. p. XLVID) atque eum sequitur Pena relicto p.196,188qq., ubi
18 λιχανός — 93 διάτονος (pr.) om. Pena, 20 οἱ — 38 διάτονος
(alt. om. Possevinus. mg. autem adnotavit ex 'ecod. Vat. ad
p.186,24 ἀφανεῖς, ad p. 200,10 μέγεϑος (pro μέλος), ad p.200, 19
ἐν διεσιαίῳ τόπῳ et hae ipsae sunt scripturae codicis 1341.
cum eodem codice Introductionis finem facit p.222,14. com-
pluribus Introductionis partibus Possevinus excerpta ex Aristi-
de Quintiliano et Bryennio Graece et Latine inseruit; v. lan
p. LXXIV not.

Tertius Penae interpretationem redintegravit Petrus Herigo-
nus 'Cursus mathematicus! Paris. 1644 vol. V p. 802—861 prae-
scripto titulo *Euelidis musica'. p.196,17 Herigonus et Penam
et Poissevinum reliquit; nam omittit lin. 17 λιχανός — 23 διά-
τονος (alt.); in Sectionis demonstrationibus mathematicorum ra-
tione procedit. interpretationi Latinae addidit Gallicam.

Inter *Antiquae musicae auctores septem?, quos Marius Mei-
bomius restituit et explicavit (Amstelodami 1652), etiam libel-
los Euclidis recepit, cui utrumque tribuere non dubitavit. ex
iribus codicibus, quos adhibuit, optimo iure cod. Leidensi 135
Vulcanii maxime confisus est. multa Penae menda correxit, ali-
quot scripturas veras sine codicum adiumento restituit, velut
p.164, 13, 14. τόν — πολλαπλάσιον — - ἐπιμόριον, p. 1606,28 δυσί,
p. 188, 7 add. καί p. 210, 1 add. ἐπὶ τὸ βαρύ p.9216,925 ser. vó-
πὸς φωνῆς, ὅταν λέγωμεν (p.178, 4 προσκείσϑω iam apud Pe-
nam legitur): sed cum codices illi non optimi sint generis,
minime mirum est, recensionem Meibomii nostris hominibus
minus probari Penae interpretationem propter multos eius
errores contempsit ac novam confecit. notae vero, quas ad
musicae antiquae imperitiores adiuvandos addidit, exquisitam
ut temporibus illis cognitionem et scientiam musicae Graecae
declarant.

Gregorius in praefatione profitetur, se in libellis musicis
edendis *Meibomii editionem in textu graeco fere per omnia?
secutum esse. Sectionis quidom uno, quantum video, loco &

PROLEGOMENA LIII

Meibomio recessit; p. 174, 6 enim habet τῶν — λόγοις, Meibom
vero ὅτι τῶν συμφώνων μέγιστον ἐν τρισὶ λόγοις. interpretatio-
nem quoque Meibomii “αὖ plurimum" retinuit, nonnulla autem
rectissime vituperavit, velut varietatem eius libidinemque in
convertenda voce τάσεως pro tensione et quod rationes nomi-
naí sescuplam, supertertiam, superoctavam et non sesqui alte-
ram cett.

Introductionem tamquam Pappi fron eiui (ἐκ τοῦ Ida
zov) e cod. Parisin. 2460 a. 1839 edidit L A. Cramer, Anec-
dota Paris. vol. I p. 47 sqq. cod. 2460 sine dubio originem ducit
e cod. B; eum eo omittit p. 186,1 Ἁρμονική — 4 ἑπτά, addit
p.188,18 τόν ante τόνον, habet p.198,14 τραχῦναν 25 ὁ δὲ
τόνος 928 διτόνιον ν. 200,1 διατόνου 9 ἔστω pro ἔσται 14 ἑστώ-
vov φϑόγγων 15 ἐνφαίνονται 2ὅ om. ἡ ἔΡ. 202, 14 hab. καὶ
. αὐτῷ 18 κλύεται Ῥ. 206,20 εἴπερ ἡ τάξις p.214,1 ἡ ἐκ τοῦ
p. 218,3 ὁ καί. ἢ

Α. 1896 Caroli Ian prodiit editio Musicorum Graecorum, in
qua libellos, qui Euclidis nomine feruntur, musicae Graecae
existimator doctus et intellegens noluit desiderari. atque Ian
codicibus antiquissimis et praestantissimis, Porphyrii emenda-
tionibus, suis aliorumque coniecturis nisus textum constituit,
quo nemo negabit huius aetatis iudicio et adprobationi ab-
unde satisfieri. verba autem singulorum scriptorum ita ad in-
tellegentiam legentium accommodavit, ut eos, quod supra com-
-memoravi, ad ceteros musicos Graecos delegaret et notis, qua-
libus nune utimur, difficillimam litterarum antiquarum partem
illustraret. idem secutus est cum in ceteris introductionibus
unieuique scriptorum praemissis, tum in iis, quae Euclidis Sec-
tioni de Pythagoreorum veterum doctrina praefatus est. in
tolius vero operis prolegomenis plus quam ducentorum codicum
conspectum dedit?) et, qua necessitudine inter se contineren-
tur, singulari ingenii acumine aperuit. quae cum ita sint, Ian
in hoe tanto tamque lubrico campo, in quo per duo proxima
saecula pauci iique ad exiguum tempus quasi praeludentes
versati sunt, monumentum aere perennius exegisse censen-
dus est.

1) Sie Cramer; cod.: ἐκ τῶν τοῦ Πάππου.

2) Iani codd. Parisinis addendus est Paris. Suppl. Gr. 195,
qui continet Euclidis Introductionem; v. hui. ed. vol. VII
p. XVII.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. dt

LIV PROLEGOMENA

Introductionem Germanice reddiderunt Ὁ. Paul, Boetius ἃ.
die griech. Harmonik 1872 p. 220—244 et O. Waldapfel, Über
das Idealschóne in der Musik 1892 p. 94— 102.

Chr. E. Ruelle, Annuaire des ét. Gr. 17, 1883, p. 261 sqq.,
postquam de libellorum Euclidis codd., edd., interpretationibus
disputavit, interpretationem addidit Gallicam, cui subiunxit ad-
notationes et criticas et explicantes.

TRÀ ed in

10

15

20

Ἐπειδὴ ὁρᾶται và ἀπλανῆ ἄστρα ἀεὶ ἐκ τοῦ αὐτοῦ
τόπου ἀνατέλλοντα καὶ εἰς τὸν αὐτὸν τόπον δυόμενα καὶ
τὰ ἅμα ἀνατέλλοντα ἀεὶ ἅμα ἀνατέλλοντα καὶ τὰ ἅμα
δυόμενα ἀεὶ ἅμα δυόμενα καὶ ἐν τῇ ἀπ᾿ ἀνατολῆς ἐπὶ
δύσιν φορᾷ τὰ πρὸς ἄλληλα διαστήματα τὰ αὐτὰ ἔχοντα,
τοῦτο δὲ γίνεται ἐπὶ τῶν ἐγκύκλιον φορὰν φερομένων
μόνον, ἑπὰν ἡ ὄψις πάντῃ τῆς περιφερείας ἴσον ἀπέχῃ,
ὡς ἐν τοῖς ὀπτικοῖς δείκνυται, ϑετέον, τὰ ἄστρα ἐγκυ-
κλίως φέρεσϑαι καὶ ἐνδεδέσθαι ἐν ἑνὶ σώματι xal τὴν
ὄψιν ἴσον ἀπέχειν τῶν περιφερειῶν. ὁρᾶται δέ τις ἀστὴρ
μεταξὺ τῶν ἄρχτων οὐ μεταλλάσσων τόπον Éx τόπου.
ἀλλ᾽ ἐν 4j ἐστι χώρα, ἐν ταύτῃ στρεφόμενος. ἐπεὶ δὲ οὗτος
πρὸς τὰς περιφερείας τῶν κύκλων, x«9' ὧν οἱ λοιποὶ
ἀστέρες φέρονται, ἴσον ἀπέχων πάντῃ φαίνεται, ϑετέον,
τοὺς κύχλους πάντας παραλλήλους εἶναι, ὥστε πάντα τὰ
ἀπλανῆ ἄστρα κατὰ παραλλήλων φέρεσϑαι πόλον ἐχόν-
τῶν τὸν προειρημένον ἀστέρα. τούτων δὲ ἔνια οὔτε ἀνα-
τέλλοντα οὔτε δυόμενα ὁρᾶται διὰ τὸ ἐπὶ μετεώρων κύ-
κλων φέρεσϑαι. o0g καλοῦσιν ἀεὶ φανερούς. ταῦτα δέ
ἐστι τὰ ἑπόμενα τῷ φανερῷ πόλῳ ἄστρα ἕως τοῦ ἄρκτι-
κοῦ κύκλου. καὶ ἐπὶ ἐλασσόνων μὲν κύκλων φέρονται οἱ
ἔγγιον τοῦ πόλου ὄντες ἀστέρες, ἐπὶ μεγίστου δὲ οἱ ἐπὶ
τοῦ ἀρκχτικοῦ, οἱ καὶ φαίνονται ξύοντες τὸν ὁρίζοντα. τὰ
δὲ πρὸς μεσημβρίαν τούτων ἐχόμενα πάντα καὶ ἀνατέλ-

TIT.: εὐκλείδου φαινόμενα codd. 1, ἐπειδή] in ras. V. ἀεί] om. Vat.
3. ἀνατέλλοντα (alt.)] ἀνατέλλονταιτα. 2Vat. 4. δυόμενα (pr. )] mut.
in δύονται m. 2 Vat. 6. γίγνεται m. 2Vat. ἐγκύκλιον) -0- in ras. v.
7. ἀπέχει Ll. 8. ómrvxoig v. 12. ἥ ἐστι χώρα Vat. ἐν (410.}} po-
stea add. m. 1 Vat. ταύτη Vat. 18. λοιποί] λοιπή (ἡ in ras.) v.
16. ἄστρα] ἄστμα v, sed supra pu ser. o m. 1. πόλον] corr.
ex πωλον Vat.; πόλιν v. 18. μετεώρων) μετεώρον V, μετεωρότε-
oov m. 2, μετεοροτέρων cett. 20. ἐστι] 866. τὰ νοτιώτερα αὐτῷ v
sed del m. 2. τὰ ἑπόμενα τῷ φανερῷ πόλῳ] eras. et ΒΟΥ. τὰ ἐχό-

Quoniam stellae inerrantes semper ex eodem loco orien-
tes et in eundem locum occidentes conspiciuntur et eae,
quae simul oriuntur, semper simul orientes et eae, quae
simul occidunt, semper simul oecidentes atque in motu
ab ortu ad occasum eadem inter se intervalla habentes,
id autem fit in iis solum, quae cireulari motu moventur,
eum visus in omnes partes ab ambitu aequali intervallo
distet, ut in opticis demonstratur, ponendum est, stellas
- eireulari motu moveri et in uno corpore illigatas esse
el visum a cireumferentiis aequaliter distare. cernitur
autem stella quaedam inter septentriones, quae locum
de loco non mutat, sed quo loco est, eo convertitur. quae
eum ad cireumferentias circulorum, per quos ceterae
stellae feruntur, in omnes partes aequaliter distans ad-
pareat, ponendum est, omnes circulos parallelos esse.
itaque omnes stellae inerrantes per parallelos feruntur,
qui polum habent stellam, quam modo commemoravimus.
ex iis autem nonnullae neque orientes neque occidentes
conspiciuntur, quia in sublimibus circulis feruntur, quos
voeant semper conspicuos. hae autem eae stellae sunt,
quae conspicuum polum sequuntur usque ad arcticum
cireulum. et in minoribus cireulis eae stellae feruntur,
quae polo propiores sunt, maximo autem, quae in aretico
sunt, quae etiam horizontem radentes adparent. eae
aulem, quae meridiem versus has deinceps sequuntur,

μενα τοῦ φανεροῦ πόλου m. 2 Vat.; idem, add. yo. in mg.V m. 2, L.
21. ἐπὶ ἐλασσόνων μὲν κύκλων) ἐλάχιστον uiv κύκλον Vat. 22. ἐγ-
γειον V, sed & (alt. punctis del. ἀστέρες — 23. ἀρκτικοῦ] mg.
m.1 V; ἐπὶ — ἀρκτικοῦ mg. Ll; om. v^; μέγιστον δὲ oi ἐπὶ τοῦ
ἀρκτικοῦ" οἱ δὲ ἐπὶ τοῦ ἀρχτικοῦ κύκλου ὄντες Vat. μεγίστου]
μεγίστων v. 23. οἱ καί] om. Vat. 24. πάντα) πάντη v, ἅπαντα

Vat.
1 *X

10

15

20

25

a o ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ

λοντα καὶ δυόμενα ὁρᾶται διὰ τὸ τοὺς κύχλους αὐτῶν
μὴ ὅλους εἷναι ὑπὲρ γῆς, ἀλλὰ μέρος μὲν αὐτῶν ὑπὲρ
γῆς, τὸ δὲ λοιπὸν ὑπὸ γῆς. τῶν δὲ ὑπὲρ γῆς τμημάτων
ἑχάστου αὐτῶν μεῖξον φαίνεται τὸ ἔγγιον τοῦ μεγίστου
τῶν ἀεὶ φανερῶν, τῶν δὲ ὑπὸ γῆν ἐλάχιστον τὸ ἔγγιόν
τοῦ εἰρημένου κύκλου διὰ τὸ τὸν χρόνον τῆς ὑπὸ γῆν
φορᾶς τῶν ἐπὶ τούτου τοῦ xóxAov ἀστέρων ὄντων ἐλά-
χιστον ἔχειν, τῆς δὲ ὑπὲρ γῆν φορᾶς πλεῖστον, τὰ δὲ
ἐπὶ τῶν ἀπώτερον τούτων ἀεὶ τῆς μὲν ὑπὲρ γῆς φορᾶς
ἐλάσσονα χρόνον ἔχειν, τῆς δὲ ὑπὸ γῆν πλείονα ἐλάχι-
στον δὲ χρόνον ἕξει τῆς ὑπὲρ γῆν φορᾶς τὰ ἔγγιστα τῆς
μεσημβρίας ὄντα, τῆς δὲ ὑπὸ γῆν πλεῖστον. φαίνονται
δὲ οἱ ἐπὶ τοῦ κατὰ μέσον τούτων ὄντες ἰσοχρόνιον ποιού-
μδνον τὴν ὑπὲρ γῆν φορὰν τῇ ὑπὸ γῆν᾽ διὸ λέγομεν
τοῦτον τὸν κύκλον ἰσημερινόν᾽ οἱ δὲ ἐπὶ τῶν ἴσον ἀπ-
ἐχόντων τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου icoyoóviov ποιούμενοι
τὴν φορὰν ἐν τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασιν, οἷον τὰ ὑπὲρ γῆς
τῶν πρὸς ἄρχτους ὄντων τοῖς ὑπὸ γῆν τῶν πρὸς μεσημ-
βρίαν, τὰ δὲ ὑπὲρ γῆς τῶν πρὸς μεσημβρίαν τοῖς ὑπὸ
γῆν τῶν πρὸς ἄρκτους ὄντων" ó δὲ συναμφότερος χρόνος
ἑχάστου κύκλου ὅ τε ὑπὲρ γῆς καὶ ὁ συνεχὴς ὑπὸ γῆν
ἴσος φαίνεται. ἔτι δὲ ὁ τοῦ γάλακτος κύκλος καὶ ὁ ξῳδια-
κὸς λοξοὶ ὄντες πρὸς τοὺς παραλλήλους κύκλους καὶ
τέμνοντες ἀλλήλους ἐν τῇ περιφορᾷ ἀεὶ ἡμικύκλια ὑπὲρ
γῆς ἔχοντες φαίνονται.

διὰ δὴ τὰ προειρημένα πάντα ὃ κόσμος ὑποκείσϑω
σφαιροειδής" εἴτε γὰρ ἦν κυλινδροειδὴς ἢ κωνοειδής, οἱ

2. γῆς] γῆν v', item lin. 8 (tert.). 3. γῆς (sec. γῆν Vat.,
add. m. 2 τήν. 4. μείζων ν. Eyysvov VL], ut lin.5. 8. τῆς]
τόν V. Tijg — φορᾶς] e corr. Vat, τήν — φοράν cett. γῆν] γῆς
Vat. corr. m. 9. 8—9. τὰ δὲ ἐπὶ τῶν ἀπώτερον] in ras. m. 2 V.
14. γῆν (pr)] γῆς Vat. 15. ἰσημερηνόν Vat., item lin. 17
ἰσημερήνου; corr. m. 2. ἴσον] γ΄, ἴσων cett. 17. γῆς] γῆν vv,
item lin. 19. 21. 25. γῆς] γῆν νγ΄, ut lin. 21, 26. — 20. ὄντων)

ὄντα v. ἴσος] supra add., τῷ συναμφοτέρῳἑκάστου m. 9 V,
in textu hab. Ll ν΄ Vat, τῶν ἀμφοτέρων ἑκάστου ἴσα v.

PHAENOMENA 5

omnes οὗ orientes et occidentes consplciuntur, quia cir-
culi earum non toti super terram sunt, sed pars eorum
super terram, reliqua autem sub terra. atque ex 118 seg-
mentis uniuscuiusque eorum, quae super terram sunt,
id maius adparet, quod maximo circulorum, qui semper
conspicul sunt, propius est, eorum autem, quae sub terra
sunt, id minimum, quod eidem circulo propius est, quo-
niam tempus motus subterranei earum stellarum, quae
in hoe cireulo sunt, minimum, motus autem, quem fa-
ciunt super terram, maximum, et eae, quae in circulis
ab his remotioribus sunt, motum super terram semper
per minus tempus habent, motum autem sub terra per
maius; minimum vero tempus motus super terram eae
habebunt, quae meridiei proximae sunt, motus autem
sub terra maximum. adparent autem eae stellae, quae
in medio inter illos circulos circulo sunt, tempore aequa-
lem facientes motum et super terram et sub terra; quam-
obrem hune ecireulum vocamus aequinoctialem et eae,
quae in eirculis a cireulo aequinoctiali aequaliter distan-
tibus sunt, motum tempore aequalem facientes adparent
in alternis segmentis, qualia sunt segmenta, quae super
lerram ad septentriones sunt, eaque, quae sub terra ad
meridiem sunt, atque ea, quae super terram ad meri-
diem sunt, eaque quae sub terra ad septentriones sunt.
coniuncta autem tempora uniuscuiusque circuli et super
terram οὖ continui sub terra aequalia adparent. praeterea
cireulus lacteus et zodiacus, qui ad parallelos circulos
obliqui sunt et inter se secant, in conversione semper
semicireulos super terram habentes adparent.

itaque propter haec omnia, quae supra diximus, mun-
dus ponatur sphaerae formam habens; nam si cylindri

22. καί] ins. m 2 V. 24. ἀεί] « supra add. m. 2. Vat. 27. oi
— p. 6 lin. 1. κύκλιον ὡς ἐπὶ τὸν λοξὸν κύκλον v.

10

20

6 | DAINOMENA

ἐπὶ τῶν λοξῶν κύκλων καὶ τεμνόντων τὸν ἰσημερινὸν
δίχα λαμβανόμενοι ἀστέρες ἐν τῇ περιφορᾷ οὐκ ἂν ἐφαί-
vovro ἀεὶ ἐπὶ ἡμικυκλίων ἴσων φερόμενοι, ἄλλ᾽ ὅτε μὲν
ἐπὶ μείζονος ἡμικυκλίου τμήματος. ὅτε δὲ ἐπ᾽ ἐλάσσονος.
ἐὰν γὰρ κῶνος ἢ κύλινδρος ἐπιπέδῳ τμηϑῇ μὴ παρὰ τὴν
βάσιν. ἡ τομὴ γίγνεται ὀξυγωνίου κώνου vow, ἥτις
ἐστὶν ὁμοία ϑυρεῷ. δῆλον οὖν, ὅτι τοιούτου σχήματος
διὰ τοῦ μέσου τεμνομένου κατά τὲ τὸ μῆκος καὶ πλάτος
ἀνόμοια τμήματα ποιεῖ" δῆλον δέ, ὅτι x&v λοξαῖς τομαῖς
τμηϑῇ διὰ τοῦ μέσου, καὶ οὕτως ἀνόμοια τμήματα ποιεῖς,
ὅπερ οὐ φαίνεται τοῦτο γινόμενον χατὰ τὸν κόσμον. διὰ
δὴ ταῦτα πάντα ὁ κόσμος ἐστὶ σφαιροειδὴς καὶ στρέφε-
ται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἄξονα, οὗ ὁ μὲν εἷς πόλος ὑπὲρ
γῆν, φανερός, ὃ δὲ εἷς ὑπὸ γῆν ἀφανὴς ὦν.

ὁρίζων δὲ καλείσϑω τὸ διὰ τῆς ὄψεως ἡμῶν ἐπίπεδον
ἐκπίπτον εἰς τὸν κόσμον xoi ἀφορίξον τὸ ὑπὲρ γῆν
ὁρώμενον τμῆμα᾽ ἔστι δὲ κύκλος" ἐὰν γὰρ σφαῖρα ἐπι-
πέδῳ τμηϑῇ, 7) τομὴ κύκλος ἐστίν.

μεσημβρινὸς δὲ κύκλος καλείσϑω ὃ διὰ τῶν πόλων
τῆς σφαίρας χαὶ ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρέζοντα.

τροπιχοὶ δέ, ὧν ὁ διὰ μέσων τῶν ξῳδίων κύκλος
ἐφάπτεται τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐχόντων τῇ σφαίρᾳ.

ó δὲ διὰ μέσων τῶν ξῳδίων κύκλος καὶ ὁ ἰσημερινὸς
μέγιστοί εἶσιν: δίχα γὰρ τέμνουσιν ἀλλήλους" ἥτε γὰρ
ἀρχὴ τοῦ Κριοῦ καὶ ἡ ἀρχὴ τῶν Χηλῶν χατὰ διάμετρόν
τέ εἶσι καὶ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ οὖσαι κατὰ συξυγίαν
ἀνατέλλουσί τε καὶ δύνουσι μεταξὺ αὐτῶν ἔχουσαι τῶν
μὲν δώδεκα ξῳδίων τοῦ ξῳδιακοῦ ἕξ, τοῦ δὲ ἰσημερινοῦ

8. ἴσων] ἴσην v. 4. ἐπὶ ἐλάσσονος Vat. ὅ. κύλινδρος]
ἡμικύλινδρος V, sed ἡἣμι- del. m. 1. 6. γίγνεται) γ (alt.)
ins. m. 2 Vat. 7. ϑυρεῷ] in ras. V, ϑηρεῷ L. 8. τεμνομένης v.
γιγνόμενον Vat. 12. ἐστῇ ἔσται Vat. 18. τόν] om. Vat.,
τῶν L. 14. γῆν] γῆς Vat. ἀφανής] « (pr. ins. m. 2 v.
ὦν] om. Gregorius. 15. ὁρίξω») in ras. m. 2 V. διὰ τῆς
ὄψεως] δι’ Vat. 16. ἐχπίπτον — ἀφορίξον] in ras. V.
ἀφορίξων Vat. 17. τμῆμα] ἡμισφαίριον v Vat, yo. ἡμισφαίριον

PHAENOMENA "5

aut coni formam haberet, eae stellae, quae in obliquis
et aequinoctialem bifariam secantibus circulis sumuntur,
in eonversione non adparerent in aequalibus semper semi-
eireulis moveri, sed modo in maiore semicirculi segmento,
modo in minore. nam si conus aut cylindrus plano
secatur basi non parallelo, sectio est coni acutianguli
sectio, quae clipeo similis est. [ Apollon. Con. I, 9; Ser.
de rect. cyl. 9]. manifestum igitur, talem figuram per
medium sectam et longitudine et latitudine dissimilia
segmenta efficere. manifestum autem, eam, etiamsi in
sectionibus obliquis per medium secetur, sic quoque
segmenta dissimilia efficere, id quod in mundo non fieri
adparet. itaque propter haec omnia mundus sphaerae
formam habet et aequabihter cirea axem convertitur,
euius alter polus super terram est conspicuus, alter sub
terra occultus.

horizon autem vocetur planum per visum nostrum in
mundum incidens et id segmentum, quod super terram
conspicitur, determinans; est autem circulus; nam si
sphaera plano secatur, sectio circulus est ['Theodos. I, 1].

meridianus autem 15 circulus vocetur, qui per polos
sphaerae transit et perpendicularis est ad horizontem.

iropiei autem ii circuli vocentur, quos circulus, qui
transit per media zodiaci signa, tangit et qui eosdem
polos habent, quos sphaera.

eireulus autem, qui per media zodiaci signa traasit,
οὖ aequinoctialis maximi circuli sunt [ib. I, 12]: nam
bifariam inter se secant. principium enim Arietis et
principium Librae iuxta diametrum opposita sunt, et
cum in aequinoetiali sint, coniugate et oriuntur et oc-
cidunt habentes inter se ex duodecim zodiaci signis sex,

supra m. 2 Vl. ἔστιν Vat. γάρ] δέ v. 20. ὀρθῶς Ll. 21. δύ-
νουσιν Vat. αὐτῶν] supra scr. τῶν ἀρχῶν m. 2 V et deleto
αὐτῶν m. 9 Vat. 98. τοῦ dod eiolt] om. Vat. ξξ] ἕξ ξῴδια
Vat. τοῦ δέ] corr. ex καὶ τοῦ V.

10

15

20

25

30

8 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ

κύκλου ἡμικύκλια δύο, ἐπειδήπερ ἑκατέρα ἀρχὴ ἐπὶ τοῦ
ἰσημερινοῦ κύκλου οὖσα ἐν τῷ αὐτῷ χρόνῳ φέρξεται,
ἡ μὲν τὴν ὑπὲρ γῆς φοράν, ἡ δὲ τὴν ὑπὸ γῆν. ἐὰν δὲ
σφαῖρα στρέφεται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, πάντα
τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα ἕν τῷ ἴσῳ
χρόνῳ τὰς ὁμοίας περιφερείας διέρχεται τῶν παραλλή-
λων κύκλων, καϑ' ὧν φέρεται" ὁμοίας ἄρα περιφερείας
διέξεισι τοῦ ἰσημερινοῦ xóxAov, ἧ μὲν τὴν ὑπὲρ γῆς, 1j
δὲ τὴν ὑπὸ γῆν ἴσαν ἄρα εἰσὶν oí περιφέρειαι" ἧμι-
κύκλιον ἄρα ἑκάτερόν ἐστιν᾽ τὸ γὰρ ἀπ᾿ ἀνατολῆς ἐπὶ
ἀνατολὴν ἢ ἀπὸ δύσεως ἐπὶ δύσιν ὅλος χύκλος ἐστίν"
δίχα ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλους ὅτε τῶν ζῳδίων κύκλος
καὶ ὃ ἰσημερινός. ἐὰν δὲ ἐν σφαίρα δύο κύκλοι τέμνωσιν
ἀλλήλους δίχα, ἑκάτερος τῶν τεμνόντων μέγιστος ἔσται"
ὁ ἄρα τῶν ξῳδίων κύκλος καὶ ὃ ἰσημερινὸς μέγιστοί εἶσιν.

καὶ ὃ δρίξων μὲν τῶν μεγίστων ἐστὶ κύκλων" τόν τὲ
γὰρ τῶν ξῳδίων κύκλον καὶ τὸν ἰσημερινὸν μεγίστους
ὄντας ἀεὶ δίχα τέμνει" τῶν τε γὰρ δώδεκα ξῳδίων τὰ
t£ ἀεὶ ὑπὲρ γῆς ἄνω ἔχει, καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ δὲ κύκλου
τὸ ἡμικύκλιον ὑπεράνω ἀεὶ ἔχει" καὶ γὰρ τὰ ἐπὶ τούτου
ἄστρα ἅμα ἀνατέλλοντα χαὶ δύνοντα ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ
παραγίγνεται, τὸ μὲν ἀπ᾽ ἀνατολῆς ἐπὶ δύσιν, τὸ δὲ ἀπὸ
δύσεως ἐπὶ ἀνατολήν. φανερὸν οὖν ἐκ τῶν πρότερον
ἀποδεδειγμένων, ὅτι τοῦ ἰσημερινοῦ ἀεὶ ὑπὲρ τὸν ὁρίέ-
ξοντά ἐστιν ἡμικύκλιον. ἐὰν δὲ ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος
δίχᾳ τέμνῃ τινὰ τῶν μεγίστων κύκλον ἀεὶ φερόμενον,
καὶ ὃ τέμνων μέγιστός écvw: ὁ ὁρίξων ἄρα τῶν μεγίστων
ἐστὶ κύκλων.

κόσμου περιστροφῆς χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἕκαστον τῶν
ἀπλανῶν ἀστέρων ἀπ᾽ ἀνατολῆς ἐπὶ τὴν ἑξῆς ἀνατολὴν

2. οὖσα] ὄντα v. 8. ἡ (pr.)] ὁ v. 6. διεξέρχεται Vat.
8. γῆς] γῆν ν΄ item lin. 19. ἡ — ἦ ἡ --- ἡ codd. ^ 10. ἀπὸ
ἀνατολῆς Vat., ut lin. 22. 18. ὁ] om. Ll. τέμνουσιν v.
16. μὲν] δέ m. 9 V, Vai, κύκλων] κύκλος Vat. 18. ἀεί]

PHAENOMENA 9

aequinoctialis autem cireuli duos semieireulos, quoniam
utrumque principium, quod in circulo aequinoctiali est,
eodem tempore fertur, alterum motum super terram
faciens, alterum sub terra. sin autem sphaera aequa-
biliter cirea axem suum convertitur, omnia in superficie
sphaerae puncta aequali tempore similes arcus circu-
lorum parallelorum, per quos feruntur, percurrunt [ Auto-
lyc. de sph. 2]. similes igitur arcus circuli aequinoctialis
pereurrunt, una ex parte arcum super lerram, altera ex
parte arcum sub terra. quare arcus aequales sunt. ita-
que uterque est semicireulus; quod enim ab ortu ad
ortum est vel ab occasu ad occasum, totus circulus est.
ergo circulus zodiaeus et aequinoctialis bifariam inter
se secant. sin autem in sphaera duo circul bifariam
inter se secant, uterque eorum, qui inter se secant, cir-
culus maximus erit [ib. 12]. ergo circulus zodiaeus et
aequinoctialis maximi sunt.

eb horizon ex maximis circulis est. nam circulum
zodiaeum et circulum aequinoctialem, qui maximi sunt,
semper bifariam secat; ex duodecim enim signis sex
semper super terram habet et cireuli aequinoctialis semi-
eireulum semper supra habet. etenim earum stellarum,
quae in eo sunt quaeque simul oriuntur et occidunt,
eodem tempore pars ab ortu ad occasum, pars ab oc-
easu ad ortum pervenit. adparet igitur ex iis, quae ante
demonstrata sunt, aequinoctialis semicireulum semper
super horizontem esse. sin autem in sphaera circulus
manens maximorum quendam circulorum, qui semper
fertur, bifariam secat, etiam ille, qui hune secat, maxi-
mus est [ib.] ergo horizon ex maximis circulis est.

mundi conversionis tempus est, quo unaquaeque stel-

αἰεί Vat. 19. ἀεί] αἰεί mg. m. 2 V; in textu Ll, item lin. 20.
29. κόσμου — p. 10 lin, 2 τόπον] om. Vat.

10

15

20

10 $AINOMENA

παραγίνεται ἢ ἀφ᾽ οὑδηποτοῦν τόπου ἐπὶ τὸν αὐτὸν
τόπον.

ἐξαλλαγὴ περιφερείας φανεροῦ ἡμισφαιρίου ἐστίν,
ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας ἐπὶ τῆς
ἀνατολῆς ὄντος τὸ ἑπόμενον ἀνατεῖλαν καὶ διελϑὸν ὅλον
τὸ ὑπὲρ γῆν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται" ἀφα-
νοῦς δέ, ὅταν τοῦ προηγουμένου σημείου τῆς περιφε-
o&(eg ἐπὶ τῆς δύσεως ὄντος τὸ ἑπόμενον δῦναν καὶ διελ-
ϑὸν ὅλον τὸ ὑπὸ γῆν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γέ-
vao.

,

α΄.

Ἡ γῆ ἐν μέσῳ τῷ κόσμῳ ἐστὶ καὶ κέντρου τάξιν ἐπ-
ἔχεν πρὸς τὸν κόσμον.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὃ AB, γῆ δὲ ἡμετέρα ὄψις. ἡ
πρὸς τῷ 41 σημείῳ, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ D
δυτικὰ δὲ τὰ 4, καὶ τεϑεωρήσϑω διὰ διόπτρας κειμένης
πρὸς τῷ Zl σημείῳ Καρκίνος ἀνατέλλων κατὰ τὸ Γ' δη-
μεῖον. ϑεωρηϑήσεται ἄρα διὰ τῆς αὐτῆς διόπτρας .Ai-
γόχερως δύνων ϑεωρείσϑω κατὰ τὸ .4 σημεῖον. καὶ
ἐπεὶ τὰ A, 4, I' σημεῖα διὰ διόπτρας τεϑεώρηται,. εὐὖ-
ϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν A, 4, I. ὥστε ἡ AAT διάμετρός
ἐστι τῆς τε τῶν ἀπλανῶν σφαίρας καὶ τοῦ ξῳδιακοῦ,
ἐπειδήπερ τοῦ ξῳδιακοῦ ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα ἕξ ξῴδια
ἀποτέμνει. πάλιν δὴ μετακινηϑέντος τοῦ τε τῶν ξῳδίων

8. ἐξαλλαγή — 9. γένηται] om. Vat.; v. schol. nr. 106 et 114.
ἐναλλαγήν. ἐστί V. 4. mosuyovuévov. v, Bed corr.; item lin. 9.

5. ὄντος] οὗτος v. ὅλον] ὅλου v τ΄. 6. P corr. ex τόν (comp.)
m. 2 V. 8. δύσεως] e corr. m. 1 V. ὄντος τὸ ἑπόμενον δῦναν]
in ras. v. δῦνα»] corr. ex ἀνατεῖλαν m. 1 V. 9. τὸ ὑπό] e

corr. m. 1 V. 14. AB] e corr. V. γῆ δέ] corr. ex γῆ δέ, ἐφ
jv m. 1 V. Ante ἡμετέρα add. ἡ m. 2 V. 15. μέν] om. ἃ.

19. ϑεωρείσϑο)] ϑεωρήσϑω vv; τεϑεωρήσϑω Vat. ut p. 12 lin. 4.
A] in ras. V. 20. 4 eras. Vat. Post τεϑεώρηται add. τῆς zl
m. 2 Vat. item p. 12 lin. 4. 21. ἡ] om. Vat., add. m. 2.

ὥστε] ἔστω ἡ 44 I. φανερὸν δή, ὅτι Vat. 22. ξῳϑδιακοῦ]) add.
κύχλου m. 2 Vat. ἐπειδήπερ — 34. ἀποτέμνει) fort. delenda,

Verba firdras adscripta hab. V, om. Vat,

PHAENOMENA 11

larum inerrantium ab ortu ad proximum ortum pervenit
vel a quolibet loco ad eundem locum.

permutatio eireumferentiae conspicui hemisphaerii est,
si, cum antecedens punctum circumferentiae in ortu est,
sequens, postquam ortum est et totum hemisphaerium,
quod super terram est, percurrit, in occasu est; occulti
autem, 51, cum antecedens punctum circumferentiae in.
occasu est; sequens, postquam occidit et totum hemi-
sphaerium, quod sub terra est, percurrit, in ortu est.

I.

Terra in medio mundo est et ad mundum centri
locum obtinet.

sib in mundo horizon 4B, terra autem visus noster
ad punctum Zf, et sint orientales partes I", occidentales
auiem 4, et conspectus sit per dioptram in puncto 7
positam Cancer in puncto I'oriens; itaque per eandem
dioptram Capricornus conspicietur occidens. conspiciatur
in puncto 4. et quoniam puncta "4, “1, I' per dioptram
conspecta sunt, linea per 4, 4, I' ducta recta est. quare
AAT' diametrus est et sphaerae stellarum inerrantium et
zodiaci, quoniam a zodiaco super horizontem sex signa ab-

10

15

20

25

12 $AINOMENA

κύκλου καὶ τῆς διόπτρας, τεϑεωρήσϑω “έων ἀνατέλλων
κατὰ τὸ B σημεῖον᾽ ϑεωρηϑήσεται ἄρα διὰ τῆς αὐτῆς
διόπτρας Ὑδροχύος δύνων. ϑεωρείσϑω κατὰ τὸ E ση-
μεῖον. καὶ ἐπεὶ τὰ E,21, B σημεῖα τεϑεώρητανι διὰ
διόπτρας. εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν E, 4, B. ἔστω ἡ EAB:
ἡ EAB ἄρα διάμετρός ἐστι τῆς τε τῶν ἀπλανῶν σφαί-
ρας καὶ τοῦ ξῳδιακοῦ κύχλου. ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ 44"
τὸ Z1 ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς τῶν ἀπλανῶν σφαί-
ρας, καί ἐστι πρὸς τῇ γῇ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ὃ ἂν
Ang σημεῖον ἐπὶ τῆς γῆς. κέντρον ἐστὶ τοῦ κόσμου.

ἡ γῆ ἄρα ἐν μέσῳ τῷ κόσμῳ ἐστὶ καὶ κέντρου τάξιν
ἐπέχει πρὸς τὸν χόσμον. |

νὴ

Ἐν μιᾷ κόσμου περιφορᾷ ὃ μὲν διὰ τῶν πόλων τῆς
σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρϑὺς πρὸς τὸν ὁρίζοντα" ὁ
δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος πρὸς μὲν τὸν μεσημβρινὸν δὲς
ἔσται ὀρϑός, πρὸς δὲ τὸν δρίξζοντα οὐδέποτε, ὅταν ὃ
πόλος τοῦ ὁρίξοντος μεταξὺ ἦ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ καὶ
τοῦ φανεροῦ πόλου. [ἐὰν δὲ ἐπί τινος τῶν τροπικῶν ὃ
πόλος ἦ τοῦ ὁρίζοντος, ὁ τῶν ξῳδέων κύκλος ἅπαξ ὀρϑὺὸς
ἔσται πρὸς τὸν ὁρίζοντα" ὅταν δὲ ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος
μεταξὺ τῶν τροπικῶν κύκλων ὑπάρχῃ, δὶς ἔσται ὃ τῶν
ξῳδίων κύκλος ὀρϑὸς πρὸς τὸν ὁρίζοντα.)

ἔστω ὁρίξων κύκλος ὃ EBI, καὶ μέγιστος μὲν τῶν
ἀεὶ φανερῶν κύκλων ἔστω ὃ 971, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ
ἀφανῶν ἔστω ὃ EZ, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς ὃ HOK,
χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ “ΜΝ, ὃ δὲ τῶν ξῳδέων κύκλος
ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν KA, πόλοι δὲ τῆς σφαίρας τὰ A, O
σημεῖα. καὶ γεγράφϑω διὰ τῶν Ξ. Ο μέγιστος κύκλος
τῆς 4 m. 2 Vat. ἔστω ἡ ΕΖ Β] mihi admodum suspecta.
6. ἡ (tert) — ἐστι] διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ EAB γ΄. EAB

(alt.)] 7« 48 (sic) v. ἄρα] comp. V, ἔτι L. 7. ἡ] «i v. 9. 6]
om. v. ἄν] ἐάν codd. 12. Post κόσμον del. «ο ἑξῆς m. 1 V.

PHAENOMENA 13

scindit. rursus et circulo zodiaco moto et dioptra Leo
conspieiatur oriens in puncto B. itaque per eandem di-
optram Aquarius conspicietur occidens; conspiciatur in
puneto E. et quoniam puncta E, Zl, B per dioptram con-
specta sunt, linea per E, 7/, B ducta recta est. sit EZB.
itaque ΕΖ Β diametrus et sphaerae stelltrum inerrantium
οὖ circuli zodiaci est. sed demonstratum est, etiam AZIT'
diametrum esse. ergo punctum Z/ centrum sphaerae stella-
rum inerrantium est, et est in terra. similter demon-
strabimus, quodeumque punctum in terra sumatur, id
mundi centrum esse.

. ergo terra in medio mundo est et ad mundum centri
locum obtinet.

II.

In una mundi conversione circulus per polos sphaerae
descriptus ad horizontem bis erit perpendicularis, cir-
culus autem zodiacus ad meridianum bis erit perpendi-
cularis, ad horizontem autem nunquam, si polus hori-
zontis inter aestivum tropieum et polum conspicuum
est. [sin autem polus horizontis in alterutro tropicorum
est, zodiacus semel ad horizontem perpendicularis erit.
sin vero polus horizontis inter circulos tropicos est,
zodiaeus bis ad horizontem perpendicularis erit.]|

sib cireulus horizon EBI, et maximus circulorum,
qui semper conspicui sunt, sit $227/, maximus autem
eorum, qui semper occulti sunt, sit EZ, et aestivus
tropicus ΗΘΚ, hiemalis tropicus 4MN, zodiacus autem
positionem habeat vel ut K 4, sphaerae autem poli sint
puneta ΚΞ, O. et describatur ,Z, O circulus maximus

18. ϑερείνου Vat. sed corr. m. 2; item lin. 26. 19. φανεροῦ
πόλου] supra scr. yg. καὶ τοῦ ἀρκτίνου m. 2 V. ἐάν — 93. ὁρί-
nid post Pappum interpolata; v. prolegomena. 20. ὀρϑός]
ὀρϑῶς v. 25. ἀεὶ ἀφανῶν) &sipovov V, sed corr. m. 2.
28. Post 4 ras. 1 litt. V. 29. τῶν &, ΟἹ τοῦ Ξ καὶ ἑνὸς τῶν
τοῦ EBI'xóxiov πόλων ἃ (τῶν om, v).

14 QAINOMENA

ὁ AAEOII: λέγω, ὅτι ἐν μιᾷ περιφορᾷ τῆς σφαίρας ὁ μὲν
διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος δὶς ἔσται ὀρϑὸς πρὸς
τὸν ὁρίζοντα, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος πρὸς μὲν τὸν
μεσημβρινὸν δὶς ἔσται ὀρϑός, πρὸς δὲ τὸν ὁρίζοντα οὐ-

ὅ δέποτε, ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίξοντος μεταξὺ τοῦ ΗΘΚ
κύκλου καὶ τοῦ Ξ πόλου ὑπάρχῃ.

ὅτι μὲν οὖν ὁ διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας πρὸς τὸν
BET δὶς ὀρϑός ἐστιν, δέδεικται.

1. AE EOII] II om. Vat., seq.: ἥξει ἄρα καὶ διὰ τοῦ OV,
sed punctis del., om. cett. 3. μέν] om. Vat. 6. τοῦ —
πόλου] supra scr. yg: καὶ τοῦ ΒΘ κύκλου m. 9 V, m. 1 ]; mg.
yo. τοῦ 94 v τῶν HOK, $4 Vat. ΗΘΚ] H9A40K v.
7. δ) supra scr. m. 1 V. 8. Post B EI' add. ὁρίζοντα v et supra
m. 2 V. Post δέδεικται hab. schol. 32 in textu L1 γ΄.

PHAENOMENA 15

5" EOIlI; dico, in una sphaerae conversione circulum
per polos sphaerae descriptum bis perpendicularem fore
ad horizontem, zodiacum autem bis perpendicularem fore
ad meridianum, ad horizontem autem nunquam, si polus
horizontis inter cireulum H0 K et polum 5 sit.

cireulum igitur per polos sphaerae descriptum ad
BET bis perpendicularem esse, demonstratum est (Au-
tolye. de sph. 10).

1) Fig. cod. V, in qua duplex duetus inter puncta et K, A4
et H, N quid sibi velit, non video. prior fig. cod. V mirifice
depravata est. 2) Fig. cod. Vat. ,

σι

10

1ὅ

20

2

I

30

16 $AINOMENA

λέγω, ὅτι καὶ ὁ KA πρὺς τὸν 4.0 μεσημβρινὸν δὶς
ἔσται. ὀρϑός. :

ἐπεὶ γὰρ év σφαίρᾳ δύο κύκλοι oi 4. BI, ΗΘΚ
τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν γέγρα-
πται μέγιστος κύκλος ὁ 400, iow ἄρα ἐστὶν ἡ HO
περιφέρεια τῇ ΘΚ' διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ 7) AII τῇ ΠΝ
περιφερείᾳ. καί ἐστιν ἴση ἡ HO K περιφέρεια τῇ 4ΠΝ
περιφερείᾳ. ἴση ἄρα καὶ ὁμοία ἡ 4 Π περιφέρξια τῇ ΚΘ
περιφερείᾳ. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ K σημεῖον ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΘ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παρα-
γίνεται. ἐν τούτῳ καὶ τὸ Α τὴν AII περιφέρειαν διελ-
ϑὸν ἐπὶ τὸ II παρέσται χαὶ ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν
ἕξει ὡς τὴν ΘΒ ΠΤ... ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οὗ
HOK, OGBIII' ἐφάπτονται ἀλλήλων. διὰ δὲ τῶν τοῦ
ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς γέγραπταν μέγιστος κύκλος ὃ
ΞΘΟΠ,. ó ΞΘΟΙΙ ἄρα ἥξειν καὶ διὰ τῶν τοῦ OBIIT
πόλων καὶ ἔσται ὀρϑὺς πρὸς αὐτόν᾽' ὥστε καὶ ὃ OBIIT
πρὸς τὸν Ξ ΘΟΠΙ ὀρϑός ἐστιν" πάλιν, ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν
ἡ ΘΗ περιφέρεια τῇ ΠΝ περιφερείᾳ, ἐν à ἄρα χρόνῳ
τὸ Θ ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται. ἐν τούτῳ καὶ τὸ Π ἐπὶ τὸ
Ν xoci ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν ΗΣΝ.
πάλιν, ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν 7) H.A περιφέρεια τῇ ΜΝ περι-
φερείᾳ, ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ Η ἐπὶ τὸ A παραγίνεται, ἐν τού-
τῷ καὶ τὸ Ν ἐπὶ τὸ M καὶ ó τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν
ἕξει ὡς τὴν 48Β ΜΙ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ
ΑΒΜΙ, 4 ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ évog
πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὃ 44,5 0 O0,
ὀρϑὸς ἄρα ἐστὶν ὁ 4,5 ΘΟ πρὸς τὸν ABMI"* ὥστε καὶ
ὁ ΑΒΜΓ πρὸς τὸν 4,Ξξ:ιΘῸ ὀρϑός ἐστιν. πάλιν, ἐπεὶ
ὁμοία ἐστὶν ἡ AK περιφέρεια τῇ ΔΜ περιφερείᾳ, ἐν

1, λέγω δή Vat. ὁ ΚΑ ἕῳδιακός v. 46Θ] 4Θ2 Ll, AO B
v, 40 Vat. 3. ἐπεί] ἐπειδή v. HOK] AHOK Vat, ut
lin. 14. 4. τέμνουσιν] τέμνουσι V, κτήνουσιν v. 5. Post ἡ

add. uév Vat. 6. διά — ἡ] ἡ δέ Vat. 7. περιφερείᾳ] om.
Vat. 8. ὁμοία] om. Vat. 10. παραγίγνεται Vat., ut

PHAENOMENA 11

dico, etiam Καὶ 4 ad meridianum “Θ᾽ bis perpendicu-
larem fore.

nam quoniam in sphaera duo circuh $9BI, ΗΘΚ
secant inter se, per polos autem eorum maximus Cir-
eulus 460 descriptus est, areus HO àrcui ΘΚ aequalis
est (Theodos. II, 9); eadem de causa etiam areus 411
arcui ΠΝ. et arcus HO K arcui AIIN aequalis est (ib.
II, 19). quare etiam arcus A41I arcui KO aequalis et
similis est. quo igitur tempore punctum K, postquam
incepit ἃ K et arcum KO percurrit, ad O pervenit,
. eódem etiam 4, postquam arcum 411 percurrit, ad 17
perveniet (Autolyc. de sph. 2) et cireulus zodiacus posi-
tionem habebit velut Θ B 171: 1am quoniam in sphaera
duo circuli 4 HO K, OG BIII'inier se contingunt, per
alterutrius autem polos et punctum contaetus maximus
eireulus /$901II descriptus est, ,S60II etiam per polos
cireuli 9.BII T veniet (Theodos. II, 5b) eritque ad eum
perpendieularis (ib.I, 15); quare etiam GBIII' ad 26011
perpendieularis est. rursus, quoniam arcus 6 H arcui
ΠΝ similis est, quo tempore Θ ad H pervenit, eo etiam
II ad Ν et circulus zodiacus positionem habebit velut
H2ZN. rursus, quoniam arcus H4 arcui MN similis
est, quo tempore Η ad 4 pervenit, eo etiam Ν ad M
et cisehtus zodiaeus positionem habebit velut 4 B MI.
lam quoniam in sphaera duo circuli 4B MI, A0 inter
se contingunt, per alterutrius autem polos et punctum
contactus maximus circulus 4,56 O descriptus est, cir-
culus 4,2090 ad 4B MI' perpendicularis est (ib. II 5;
I, 15); itaque etiam 4BMI' ad 4/00 τ μη οἷν
laris est. rursus, quoniam areus 4K arcui ΜΖ si-

lin. 20, 23. 11. Post 4 add. ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A καί Gre-
gorius. 16. καί OBIII'] supra scr. m. 2 V. 18. Post ἐστιν
lae. 4—6 litt. a praeter v. ἐπεὶ ὁμοία] ὁμοία ἐπεί v. 21. £o-
δίων] corr. ex ξῳδιακῶν V. 23. Η -- 4] A— H v. 29. Ante
πάλιν lac. 3 litt. V. 30. 4M] MA Vat.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. p.

10

15

20

25

18 OAINOMENA

ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ .4 ἐπὶ τὸ K παραγίνεται, ἐν τούτῳ x«l
τὸ M ἐπὶ τὸ 4 παρέσται καὶ ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέ-
σιν ξξει ὡςτὴν K A.
ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ .4
τὸ K ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν
K OH A K περιφέ-
ρειαν διελϑὸν ἐπὶ
τὸ K παραγίνεται,
ὅς ἐστι χρόνος μιᾶς
τοῦ κόσμου περι-
φορᾶς. ἐν τούτῳ
ὁ KA χύκλος δὶς
ἔσται ὀρϑὸς πρὸς
τὸν 40 χύκλον.

τῶν αὐτῶν ὑπο-
κειμένων ἔστω ὁ
πόλος τοῦ BEI

κύκλου μεταξὺ
τῶν Θ, Ξ σημείων"
λέγω, ὅτι οὐδέ-
ποτὲ ἔσται ὃ ΚΑ
ξῳδιακχὸς κύκλος
ὀρϑὸς πρὸς τὸν H
B EI' δρίξοντα.

εἶ γὰρ ἔσται ὁ ΚΑ ὀρϑὺς πρὸς τὸν ΒΕ ΓΚ, τεμεῖ
αὐτὸν διὰ τῶν πόλων καὶ ἐλεύδεται διὰ τοῦ πόλου τοῦ

Figuras p. 18, 20, 28 praebet Vat.

1. ἄρα] om. Vat. παραγίγνεται Vat., ut lin. 9. 2. ὁ] om. v.
3. KA] KZA in ras. Vat. 7. K OHA Vat. 9. παραγίνεται]
om. v. 10. μιᾶς τοῦ] mg. m. 2 V. 11. τοῦ --- 14. óg9 óc) περι-
φορᾶς τῆς σφαίρας, δὲς ἔσται ὁ KA κύκλος πρὸς ὀρϑάς Vat.
18. ὁ KA κύκλος] in ras. V. κύκλος] ξῳδιακός v; v. schol.
nr. 46. 14. Post ἔσται del. κύκλος v. 15. 40] AROGO Vat.
m. 2. 440 κύκλον] ὁρίξοντα V, sed del. οὐ mg. scr. AO κύκλον

PHAENOMENA 19

milis est, quo tempore 44 ad K pervenit, eo etiam M
ad Δ perveniet et cireulus zodiaecus positionem habebit
velut K 4. ergo quo tempore K, postquam a puncto K
incepit et areum. K 0 HAK percurrit, ad K pervenit,
quod tempus est unius mundi conversionis, eo circulus
ΚΑ ad eireulum 4 O bis perpendicularis erit.

iisdem suppositis polus circuli B EI' sit inter puncta
Θ, E: dico, cireulum zodiaeum K 4 ad horizontem BET'
nunquam perpendicularem fore.

nam si Καὶ Δ perpendicularis erit ad ΒΕ ΓΚ, secabit
eum per polos ((Theodos. I, 13) et veniet per polum ho-
rizontis, qui inter puncta O, ,Z est, et secabit circulum
AH K, 1d quod fieri non potest. ergo circulus zodiacus
ad horizontem ΒΕ ΓΚ nunquam perpendicularis erit.

[810 autem polus horizontis in cireulo A4HMK !)
punctum JM; dico, circulum zodiacum semel ad hori-
zontem perpendicularem fore.

nam quoniam areus KM arcui AN similis est, quo
tempore K, postquam areum KM percurrit, ad M per-
venit, eo etiam 74 ad N perveniet et circulus zodiacus

(comp.) m. 1. Post κύκλον add. ἤτοι τὸν μεσημβρινόν v; v. schol.
nr.47. 16. y vv. 18. BEI'] BAI'V, BEI'K Vat. 19. μεταξὺ
τῶν O, E σημείων] supra scr. m. 2 V et e corr. m. 2 Vat;
m. 1 V Vat: τὸ O σημεῖον. 25. ὁρίξοντα — 26. ΒΕΓΚΊ om.
Vat., mg. add. m. 2. 27. διά (alt. — p. 20 lin. 1 σημείων]
mg. m. 2 V (γράφεται); in textu διὰ τοῦ Θ᾽ σημείου punctis
del.; διὰ τοῦ αὐτοῦ τοῦ O (Ὁ) σημείου Vat., sed τοῦ Θ σημείου
eras. Οὗ in ras. scr. τοῦ πόλου, ὅς ἐστι μεταξὺ τῶν Θ, ΚΞ ση-
μείων τοῦ τροπικοῦ καὶ τοῦ ἀρκτικοῦ καί m. 9.

1) Ea manus, quae figuris cod. V (v. p. 21) litteras addidit,
per totam sequentem demonstrationis partem super M scr. 6,
II super N (om. p. 22 lin. 19); v. prolegomena.

9*

Cc

10

20

25

20 OAINOMENA

ὁρίξοντος, ὅς ἐστι μεταξὺ τῶν O, 5 σημείων, καὶ τεμεῖ
τὸν AH K, ὅπερ ἀδύνατον. οὐδέποτε ἄρα ἔσταν ὀρϑὸς
ὁ KA ξῳδιακὸς
πρὸς τὸν ΒΕΓΚ
ὁρίζοντα.

[ἔστω δὲ ὁ πό-
Aog τοῦ ὁρέξοντος
ἐπὶ τοῦ AH MK
τὸ M σημεῖον"
λέγω. ὅτι ἅπαξ
ἔσται ὁ ξῳδιακχὸς

κύκλος ὀρϑὸς
πρὸς τὸν ὁρίέ-
Covra.

ἐπεὶ γὰρ ὁμοία
ἐστὶν ἡ KM περι-
φέρεια τῇ AN
περιφερξίᾳ, ἐν ᾧ
χρόνῳ τὸ Καὶ τὴν
ΚΙὨπεριφέρειαν
διελϑὸν ἐπὶ τὸ M
παραγίγνεται. ἐν
τούτῳ καὶ τὸ 4
ἐπὶ τὸ Ν παρ-
ἕσται καὶ ὃ τῶν
ζῳδίων κύκλος
ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν
ΜΒΝΙ. ἐπεὶ οὖν
ὁ ΜΒΝΓ τὸν ΠΒΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει. δίχα τὲ αὐτὸν

2. AH K] AOK Vat. Supra AHK scr. τροπικόν m. 2. V,
in textu m. 1 Vat. ἄρα] comp. V, ἔτι L1; item saepissime.
6. ἔστω — p. 22 lin. 25 ὁρίξοντα post Pappum interpolatum; v.
prolegomena. — 11. ὁ ζωδιακός] ὁ KA Vat. 271. ὡς τήν] καὶ
τοῦ v. 929. MBNNT'] M corr. ex Καὶ m. 2 Vat; add. ξῳδιακός v.
HBI'| H mut. in Καὶ m. 2 Vat; add. ὁρίξοντα Vat. v et supra
m. 2 V. δίχα — p. 22 lin. 1 vsusi] supra ser. m. 2 V.

PHAENOMENA 21

positionem habebit velut MBNI: 1am quoniam eireulus
MBNT' cireulum HBI' per polos secat, et in duas partes
aequales eum secabit et ad angulos rectos ('Theodos. I, 15).
ergo circulus zodiacus ad horizontem perpendicularis est.

sib autem polus horizontis inter tropicos punctum O;
dico, cireulum KZ ad horizontem bis perpendicularem
fore.

describantur per polum O circuli maximi ZOT, ΠΟΡ
eireulum 4HMK contingentes; contingent igitur etiam
eireulum NP (ib. II, 6). et quoniam ΠΟΡ circulum

Figurae vitiosae codd. ἃ ad interpolatam demonstrationis
partem hae sunt:

9. α ϑερινός

᾿ !4
διὰ vo) πόλου τῆς σφαίρας ν χειμερινὸς
κύκλος μεσημβρινός.

In fig. 1 om. y, f, in fig. 2 u, y L. -

10

15

20

25

29 O$AINOMEN.A

τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρϑάς" ὀρϑὸς ἄρα ἐστὶν ὃ τῶν ξῳδίων
κύκλο: πρὸς τὸν ὁρίζοντα.

ἔστω δὲ ὁ πόλος τοῦ ὁρίξοντος μεταξὺ τῶν τροπικῶν
τὸ Ο σημεῖον" λέγω, ὅτι δὶς ἔσται ὁ ΚΑ κύκλος ὀρϑὸς
πρὸς τὸν ὁρίξοντα.

γεγράφϑωσαν διὰ τοῦ Ο πόλου μέγιστοι κύκλοι οἱ
ΣΟΊ, ΠΟΡ ἐφαπτόμενοι τοῦ ΔῊ Μ Κ᾽ ἐφάψονται δὴ
καὶ τοῦ ΝΡ, καὶ ἐπεὶ ὁ ΠΟΡτὸν HEK διὰ τῶν πόλων
τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρϑάς" ὀρϑὸς ἄρα
ἐστὶν ὁ ΠΡ xóxAog πρὸς τὸν HEK. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
ὁ ZO T πρὸς τὸν ΗΕ Καὶ ὀρϑός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτω-
τόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ Καὶ ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ K, 4 μέρη
τῷ ἀπὸ τοῦ 2) ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 2, T μέρη, ὁμοία
ἐστὲν ἡ ΚΣ περιφέρεια τῇ AT περιφερείᾳ. ἐν ᾧ ἄρα
χρόνῳ τὸ K ἐπὶ τὸ Σ' παραγίνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Δ
ἐπὶ τὸ T παρέσται καὶ ὃ KA κύκλος ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν
ΣΊ κύκλον" ὃ δὲ ZiT κύκλος ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν ΠΕΚ᾽
καὶ ὃ KA ἄρα κύκλος ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν HEK κύκλον.
πάλιν. ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ZMII περιφέρεια τῇ T NP,
ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Σ ἐπὶ τὸ Π παραγίνεται, ἐν τούτῳ
καὶ τὸ T ἐπὶ τὸ P παρέσται καὶ ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος
ἐφαρμόσει ἐπὶ τὸν IIOP xóxiov: ὁ δὲ HOP κύκλος
ὁρϑός ἐστι πρὸς τὸν HEK: καὶ ὃ τῶν ξῳωδίων ἄρα
κύχλος ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν ΠΕ Καὶ ὁρίζοντα. δὶς ἄρα
ἔσται ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος ὀρϑὺὸς πρὸς τὸν ὁρίζξοντα.]

1. ἄρα] comp. V, ἔτι Ll. 4. ΟἹ corr. ex 0 V. 6. ol 6 a.
7. OT, IIOP à (prius Θ᾽ corr. ex O m. 2 V); item lin. 23
IIOP (utrumque) 8. NP] TNP Vat. 9. αὐτόν] αὐτοῦ v.

10. IIP] IIOP Vat. 11. ZOT] ZOT a. 14. AT| supra HII
deletum scr. m. 1 V. 17. 2T (prius)] e corr. m. 2 V, ZII
Llv' ὁ — 18. καί] mg. m. 2 V (xs(usvon). 18. κύκλος] om.
Vat. ἐστι] om. Vat, add. m. 2; item τόν. 19. ZMII] deleto

TP scr. II m. 1 V; AMII v. 20. παραγίγνεται Vat.
21. παρέσται] παραγίνεται v. 22. Bpceuóc] -&& e corr. V.
κύκλος] om. Vat, add. supra m. 2. 24. τὸν] corr. ex τήν

m. 2 Vat.

PHAENOMENA 93

HEK per polos secat, et in duas partes aequales eum
secabit οὖ ad angulos rectos. itaque circulus ΠΡ ad cir-
culum HEK perpen-
dicularis est, eadem
de causa igitur etiam
Z0 T ad HEK per-
pendieularis est. et
quoniam semicircu-
lus ἃ puneto K ad
partes K, 4 cum se-
micirculo a puncto 2
ad partes Z, T non
coneurrit, arcus K X
arcui Z4 T' similis est
(Theodos.1I, 13). quo
igitur temporé K ad Σ᾿
pervenit, eo etiam .4
ad T perveniet et cir-
culus K 4 cum circulo
“Σ᾽ congruet. verum
circulus Z T ad HEK
perpendieularis est.
quare etiam circulus
K 4adcireulum HEK
perpendieularis est. rursus quoniam arcus 2M 1I arcui
TNP similis est, quo tempore Z/ ad JI pervenit, eo
eliam T ad P perveniet et circulus zodiacus cum cir-
eulo JO P congruet. verum circulus ΠΟΡ ad HEK
perpendieularis est. quare etiam circulus zodiaeus ad
horizontem ΠΕ Καὶ perpendicularis est. ergo circulus
zodiaeus ad horizontem bis perpendicularis erit.]

Fig. littera B addita integram dedi ex Vat., etsi Manitius
recte animadvertit, horizontem H Καὶ E per circulorum arctici et
antarctici polos & et B describendum fuisse; propter demon-
strationem ipsam nihil mutavi. à; ;

10

15

20

25

24 $AINOMENA

;
y.

Τῶν ἀπλανῶν ἄστρων τῶν ἀνατολάς ve καὶ δύσεις
ποιουμένων ἕκαστον κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ δὁρίξοντος
ἀνατέλλει καὶ δύνει.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ ABI, καὶ μέγιστος μὲν τῶν
ἀεὶ φανερῶν κύχλων ἔστω ὃ AZE κύκλος, μέγιστος δὲ
τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὁ BHZ, καὶ εἰλήφϑω ἄστρον τὸ Θ
τῶν ἀνατολὰς καὶ δύσεις ποιουμένων. καὶ ἔστω ἀνατο-
λικὰ μὲν τὰ Γ μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Κ΄ λέγω, ὅτι τὸ Θ
σημεῖον ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ δρέίζοντος ἀνατέλ-
λὲι τὸ καὶ δύνει στρεφομένης τῆς σφαίρας.

ἔστω κύκλος, xo" οὗ φέρεται τὸ Θ σημεῖον, ὁ KOI*
ὁ ΚΘΓ ἄρα κύκλος τέμνει vóv δρέξοντα καὶ ὀρϑός ἔστι
πρὸς τὸν ἄξονα τῆς σφαίρας. οἱ δὲ τῷ ἄξονι πρὸς ὀρϑὰς
ὄντες κύκλοι καὶ τέμνοντες vOv ὁρίζοντα τὰς τε ἀνατολὰς
καὶ τὰς δύσεις κατὰ τὰ αὐτὰ σημεῖα τοῦ ὁρίζοντος ποι-
οὔνται. ὃ ΚΘΓΙΓ ἄρα κύκλος ἀεὶ κατὰ μὲν τὸ Γ σημεῖον
ἀνατέλλει. κατὰ δὲ τὸ K δύνει. καὶ φέρεται τὸ Θ ἄστρον
ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΚΘΙΓ κύκλου" καὶ τὸ Θ ἄρα
ἄστρον ἀεὶ κατὰ μὲν τὸ I' σημεῖον ἀνατέλλει, κατὰ δὲ
τὸ K δύνει.

δ΄
Ὅσα τῶν ἄστρων ἐστὶν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφε-
οδίας, ὃς μήτε τέμνει τὸν μέγιστον τῶν ἀεὶ φανερῶν
κύκλων μήτε ἐφάπτεται αὐτοῦ. τούτων τὰ πρότερον

ἀνατέλλοντα καὶ πρότερον δύνει καὶ τὰ πρότερον δύ-
νοντὰ πρότερον ἀνατέλλει.

1, y'] ἄλλως v, δ΄ ν΄. 4. τε καί Vat. 6. κύκλων] in ras. V,
om. Vat. T. ἀφανῶν & postea add. m. 1 V, Vat. ἄστρον]
ἄστον v; σημεῖον Vat. ut lin. 18, 20. 11. στρεφομένης τῆς
σφαίρας] fortasse interpolatum. 12. οὗ ὅν a. 16. τάς]
om. Vat. 22. 0] ε΄ v. 24. τέμνη Vat. 25. ἐφάπτηται Vat.
πρότερα v. 21. ἀνατέλλει] ἀνατέλλοντα v.

PHAENOMENA 20

ΠΙ.

Unaquaeque stellarum inerrantium, quae et ortus et
oecasus faciunt, in iisdem punctis horizontis et oritur
eb occidit. - |

sit in mundo horizon A4BI' et maximus circulorum,
qui semper conspicui sunt, sit 471 E, maximus autem
eorum, qui semper occulti sunt, BHZ, et sumatur stella
€ ex iis, quae ortus οὖ occasus
faciunt, et sint partes orientales
I, occidentales autem £K; dico,
punetum Θ᾽ in sphaerae conver-
sione semper in iisdem horizontis
punctis et oriri et occidere.

sit circulus, per quem punctum
Θ᾽ fertur, KO I* itaque circulus
KOI' horizontem secat et ad
axem sphaerae perpendicularis
est (Autolye. de sph. 1). circuli
autem, qui ad axem perpendicu-
lares sunt et horizontem secant,
et orbus et occasus in iisdem ho-
rizontis punctis faciunt (ib. 7).
itaque cireulus K € I' semper in puncto I' oritur et in
K occidit. et fertur stella Θ᾽ in ambitu circuli K 9I.
ergo stella Θ᾽ semper in puncto [Γ΄ oritur et in K oc-
cidit.

IV

Quaecumque stellae 1n ambitu circuli maximi sunt,
qui maximum circulorum, qui semper conspicui suní,
neque secat neque contingit, earum, quae prius oriuntur,
eliam prius occidunt, et quae prius occidunt, prius ori-
untur, !

10

15

20

25

26 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξων ὁ ABI' καὶ μέγιστος τῶν ἀεὶ
φανερῶν ὃ A44 E, ἕτερος δὲ μέγιστος κύκλος ἔστω ὃ
IZB, μήτε τέμνων τὸν 44 E κύκλον μήτε ἐφαπτόμενος
αὐτοῦ. καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΓΖΒ κύ-
κλου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Z, H: λέγω, ὅτι τῶν Z, H
σημείων τὸ πρότερον ἀνατέλλον πρότερον δύνει καὶ τὸ
πρότερον δῦνον πρότερον ἀνατέλλει.

ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ Γ' μέρη, δυτικὰ δὲ và B, καὶ
ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, xo)" ὧν φέρεται τὰ Ζ, H
σημεῖα, οἱ ΘΙ, AM, καὶ διὰ τοῦ Ζ γεγράφϑω μέγιστος
κύκλος ὁ NZE ἐφαπτόμενος τοῦ 44} κύκλου, ὥστε
ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ Ε' ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ
E, Z, Ν μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ 4 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 4, Γ
μέρη. ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΖ περιφέρεια τῇ ΜΝ περι-
φερείᾳ᾽ λοιπὴ ἄρα ἡ ZO περιφέρεια καὶ 7) συνεχὴς αὐτῇ
ὑπὸ γῆν ἡ μέχρι τοῦ K σημείου ὁμοία ἐστὶ τῇ NAA περι-
φερξίᾳ καὶ τῇ συνεχεῖ αὐτῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ M ση-
μείου. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὰ Ζ, Ν σημεῖα τὰς ΖΘ, NA
καὶ τὰς συνεχεῖς αὐταῖς μέχρι τῶν K, M σημείων δια-
πορεύεται. τὰ Ζ, Ν ἄρα σημεῖα ἅμα ἀνατέλλει" τὸ δὲ
Η τοῦ Ν πρότερον ἀνατέλλει" χαὶ τὸ Η ἄρα τοῦ Ζ
πρότερον ἀνατέλλει.

λέγω. ὅτι καὶ πρότερον δύνει.

γεγράφϑω διὰ τοῦ Z σημείου μέγιστος κύκλος ὁ ΚΞ ΖΖ
ἐφαπτόμενος τοῦ 44 κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι
τὸ ἀπὸ τοῦ Zi ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ 41, Ζ, M μέρη τῷ
ἀπὸ τοῦ Α' ἡμικυχλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 4, Θ μέρη" ὁμοία ἄρα
ἐστὶν ἡ ZO περιφέρδια τῇ A περιφερείᾳ᾽ ἐν ἴσῳ ἄρα

. 9. Ip AZ E desinit v. 8. μήτε (pr.)] μή Vat. 6. Super
δύνει et 1. 7 super ἀνατέλλει add. καί m. 2 Vat. 18. E] om.
Vat. ΓῚ EK Vat. 17. αὐτῇ τῇ Vat. 421. καί — 92, &va-
τέλλει) supra m. 2 V. 26. 4 (prius)] corr. ex 4 m. 2 V.
28. ZO] ante Z 1 litt. del, O add. m. 2 V. mA] 4 corr.
ex Z4 m. 1 V.

PHAENOMENA 21

sit in mundo horizon 418 et maximus cireulorum,
qui semper conspicui sunt, 4471 E, alius autem circulus
maximus sib ΓΖ. circulum 44] E neque secans neque
contingens, et sumantur in ambitu cireuli I'ZB duo
quaevis puncta Z, H; dico, punctorum Z, H utrum prius
oriatur, id prius occidere, et utrum prius oecidat, id
prius oriri.

sint partes orientales I? occidentales autem B, et sint
circuli paralleli, per quos
puncta Z, H feruntur, ΘΚ,
AM, et per Z describatur
maximus circulus NZE cir-
culum 471 E ita contingens,
ut semieireulus ab E ad
partes E, Z, N cum semi-
eirculo ab 4 ad partes 4, I'
non concurrat ('Theodos. IT,
15). itaque arcus KZ arcui
MN similis est (ib. II, 13).
reliquus igitur arcus ΖΘ
el continua eius pars, quae sub terra est, usque ad
punetum Καὶ similis est arcui NA et continuae eius parti,
quae sub terra est, usque ad punctum M. aequali igitur
tempore puncta Z, N arcus ZO, N.4 et continuas eorum
partes usque ad puncta K, M perecurrunt (Autolyc. de
sph. 2). itaque puncta Z, N simul oriuntur verum H
prius oritur quam .N. ergo H etiam prius oritur quam Z.

dico, idem prius occidere.

describatur per punctum Z maximus circulus E ZZ
cireulum 471 E ita contingens, ut semicirculus ab Z/ ad
partes Z/, Z, ΚΞ cum semicirculo ab 44 ad partes 4, O9
non eoneurrat (lTheodos. II, 15). itaque arcus Z6 arcui

Figuras propp.IV et V praebet Vat., figg. codd. a depra-
vatae sunt.

10

15

20

28 $AINOMENA

χρόνῳ τὸ Z σημεῖον τὴν ZO περιφέρειαν διαπορεύεται
καὶ τὸ AM σημεῖον τὴν AA περιφέρειαν. τοῦ Z ἄρα ση-
μείου ἐπὶ τὸ Θ σημεῖον παραγενομένου καὶ τὸ A ἐπὶ τὸ
A παρέσται τὰ Ζ, A ἄρα σημεῖα ἅμα δύνει. τὸ δὲ H
τοῦ ΚΞ πρότερον δύνει' τὸ H ἄρα xal τοῦ Ζ πρότερον
δύνει.

ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ πρότερον δῦνον πρό-
τερον ἀνατέλλει.

,

€ .

Ὅσα τῶν ἄστρων ἐστὶν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφε-
οξίας, ὃς τέμνει τὸν μέγιστον τῶν ἀεὶ φανερῶν, τούτων
τὰ πρὸς ταῖς ἄρκτοις ὄντα πρότερον μὲν ἀνατέλλει,
ὕστερον δὲ δύνει.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ 48 καὶ μέγιστος τῶν ἀεὶ
φανερῶῃ ὁ 44 E, ἕτερος δὲ μέγιστος κύκλος ἔστω ὁ
ΓΖΒ τέμνων τὸν 44 Ε κύκλον. καὶ εἰλήφϑω ἐπὶ τῆς
περιφερείας τοῦ I'ZB κύχλου δύο τυχόντα σημεῖα τὰ
Z, H, καὶ ἔστω τὸ Z σημεῖον πρὸς ταῖς ἄρκτοις" λέγω,
ὅτι τὸ Ζ σημεῖον τοῦ Η πρότερον μὲν ἀνατέλλει, ὕστε-
ρον δὲ δύνει.

ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ I' μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ B, καὶ
ἔστωσαν κύκλοι παράλληλοι. καϑ' ὧν φέρεται τὰ Z, H
σημεῖα, οἱ O K, AM, καὶ γεγράφϑω διὰ τοῦ Ζ σημείου
μέγιστος κύκλος ὁ NZE ἐφαπτόμενος τοῦ AAE κύκλου,

1. Z] corr. ex K m. 1 V. 2. &] corr. ex M m. 1 V; item
lin. 3. 4. A4] corr. ex Z m. 1 V. 5. τό] τὸ δέ (comp.)
V, sed δέ del m. 2; καὶ τό Vat. καί] om. Vat. 9. &' Yl.
12. ταῖς] comp. Vl, τοῖς ν΄ Vat. 28. oi] corr. ex ἡ m. 2 V,
αἱ L].

PHAENOMENA 99

AA similis est. aequali igitur tempore punctum Z ar-
cum ΖΘ percurrit e£ punctum /5 arcum ,E Z4. itaque cum
punetum Z ad punctum Θ᾽ pervenit, etiam ,5 ad 4 per-
veniet. quare puncta Z;5 simul oecidunt. verum H prius
occidit quam X. ergo H etiam prius occidit quam Z.

similiter demonstrabimus, punctum prius occidens
etiam prius oriri.

Υ.

Quaecumque stellae in ambitu circuli maximi sunt, qui
. maximum circulorum, qui semper conspicui sunt, secat,
earum, quae ad septentriones sunt, prius oriuntur, poste-
rius autem occidunt.
sit in mundo horizon 4, Β Γ΄ οὐ maximus circulorum,

qui semper con-

Spieul sunt,
AA E, alius au-

tem circulus
maximus sit I'
ΒΖ cireulum
A 4 E secans et

sumantur in
ambitu circuli
I'ZB duo quae-
vispuncta Z, H,
et sit punctum
Z ad septentri-
ones;dico,punce-
tum Z prius
oriri quam 2H, posterius autem occidere.

sint partes orientales I, occidentales autem B, et sint
eireuli paralleli, per quos puncta Z, H feruntur, ΘΚ,
AM, et describatur per punetum Z maximus circulus
NNZE cireulum AZ ita contingens, ut semicirculus ab

σι

10

1ὅ

20

2ὅ

30

90 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμικύκλιον ὡς
ἐπὶ và Z, Ν τῷ ἀπὸ τοῦ A ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 4, I,
K μέρη" ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ περιφέρεια τῇ ΝΜ me-
ριφερείᾳ᾽ λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΖ περιφέρεια καὶ ἡ συνεχὴς
αὐτῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ K σημείου ὁμοία ἔσται τῇ AN
περιφερείᾳ καὶ τῇ συνεχεῖ αὐτῇ τῇ ὑπὸ γῆν μέχρι τοῦ
Μ σημείου. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὰ Ζ, Ν σημεῖα τὰς ΖΘ,
NA περιφερείας καὶ τὰς συνεχεῖς αὐταῖς τὰς μέχρι τῶν
K, M σημείων διαπορεύεται" τὰ Ζ, Ν σημεῖα ἄρα ἅμα
ἀνατέλλει" τὸ δὲ Ν τοῦ Η πρότερον ἀνατέλλει" καὶ τὸ
Z ἄρα τοῦ Η πρότερον ἀνατέλλει.

λέγω, ὅτι καὶ ὕστερον δύνει.

γεγράφϑω διὰ τοῦ Ζ σημείου μέγιστος κύκλος ὁ S Zz
ἐφαπτόμενος τοῦ 441 E κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι
τὸ ἀπὸ τοῦ 21 ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ zl, 5 μέρη τῷ ἀπὸ
τοῦ 4 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ 44, O μέρη. ὁμοία ἄρα ἐστὶν
ἡ ΖΘ περιφέρεια τῇ A περιφερείᾳ. ἐν ἴσω ἄρα χρόνῳ
τὸ Z τὴν ΖΘ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ ΚΞ τὴν
ΜΞ τοῦ Z ἄρα ἐπὶ τὸ € σημεῖον παραγενομένου καὶ
τὸ A ἐπὶ τὸ 4 παρέσται. τὰ Ζ, Ξ ἄρα σημεῖα ἅμα δύνει.
τὸ δὲ Η τοῦ A πρότερον δύνει᾽ xai τὸ H ἄρα τοῦ Z
πρότερον δύνει" ὥστε τὸ Z τοῦ Η ὕστερον δύνει"
ἐδείχϑη δὲ καὶ πρότερον ἀνατέλλον᾽ τὸ Z ἄρα τοῦ H
πρότερον μὲν ἀνατέλλει, ὕστερον δὲ δύνει.

ἘΣ

Τὰ ἐπὶ τοῦ ξῳδιαχοῦ κύκλου ἄστρα τὰ κατὰ διάμετρον
ὄντα κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει" ὁμοίως δὲ
καὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὃ ABI, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων
ἀύνλῦξ ϑέσιν Led τὴν AHBA, ἰσημερινὸς δὲ ἔστω ὃ

2. NI corr. ex K m. 2 V. Post N add. μέρη m. 1 Vat.
A (alt. )] om. Vat. 3. ὁμοία — 9. διαπορεύεται) mg. m. 2 V.
(κείμενον. 8. NM] MN Vat. 9. Post σημεῖα ras. 3 litt. V.

PHAENOMENA 31

E velut ad partes Z, N cum semicireulo ab A4 velut ad
partes I; K non concurrat (Theodos. II, 15). itaque
areus ΖΑ areui NM similis est (ib. II, 13). reliquus
igitur areus ΘΖ et continua eius pars, quae sub terra
est, usque ad punctum K similis erit areui ΔΝ et con-
tinuae eius parti, quae sub terra est, usque ad punc-
tum M. aequali igitur tempore puneta Z, N areus ΖΘ,
INA et continuas eorum partes usque ad puncta K, M
pereurrunt (Autolye. de sph. 2). itaque puncta Z, N
simul oriuntur. verum JN prius oritur quam H. ergo
. etiam Z prius oritur quam H.
. . dieo, idem posterius occidere.

describatur per punctum Z maximus circulus EZ
cireulum A4Z1E ita contingens, ut semicireulus ab 71
velut ad partes 7/, Κα cum semicireulo ab 4 ad partes
4, 6 non coneurrat (Theodos. II, 15). itaque arcus ΖΘ
arcul 44 similis est (ib. II, 13). aequali igitur tempore
Z arcum ΖΘ percurrit et /5 arcum &4 (Autolyc. de
sph. 2). itaque cum Z ad punctum 6 pervenit, etiam
A ad 4 perveniet. quare puncta Z, ΚΕ simul occidunt.
verum H prius occidit quam ;X. ergo Z posterius oc-
cidit quam H. sed demonstratum est, idem prius oriri.
ergo Z prius oritur quam H, posterius autem occidit.

VI.

Eae stellae, quae in circulo zodiaco iuxta diametrum
oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occidunt; simi-
hter etiam eae, quae in aequinoctiali sunt.

sit in mundo horizon ABI, zodiacus autem circulus
positionem habeat 4H B, aequinoctialis autem sit EZ f,

15. 47] (alt)] Z Vat. 16. 4, 0] O, 4 in ras. m. 2 Vat. ὁμοία
— 20. παρέσται mg. m. 2 V. ἄρα] ἔτι Ll. 20. Post τά add.
δέ (comp.) m. 2 V. 24. μέν] om. Vat. 26. e] f v.
30. ABZ Vat. Post ἔστω add, αὐτῶν Vat.

10

15

20

25

39 ÓAINOMENA

EZA: καὶ ἔστω và ὑπὲρ γῆν τμήματα τὰ AH B, ΕΗΖ’
κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν A4 σημεῖον τῷ B, τὸ δὲ
E τῷ Z' λέγω, ὅτι τά τε 4, B σημεῖα καὶ τὰ E, Z ση-
μεῖα κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει.

ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ A, I' μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ B, E,
καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, καϑ' ὧν φέρεται τὰ
A, B σημεῖα οἱ 40, BI καὶ ἔστω τὸ μὲν A40 τμῆμα
τὸ ὑπὲρ γῆν. τὸ δὲ Β Γ τὸ ὑπὸ γῆν. ἐπεὶ κατὰ διάμετρόν
ἐστι τὸ μὲν 4 σημεῖον τῷ B, τὸ δὲ E τῷ Z, ἴση ἄρα ἡ
EB περιφέρεια τῇ AZ. περιφερείᾳ ἀλλ᾽ ἡ ΕΒ τῇ ZI
ἴση ἐστίν: καὶ ἡ AZ ἄρα τῇ ZI' ἴση ἐστιν. καί ἔστι
μέγιστος τῶν παραλλήλων ὃ EZzft: ἴσος ἄρα ἐστὶν ὃ
49 κύκλος τῷ Β΄ κύκλῳ. καί ἕστιν αὐτῶν τὰ ἐναλλὰξ
τμήματα τὰ 40, BI" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 40 περιφέρεια
τῇ ΒΙ᾽ περιφερείᾳ ἐν loq ἄρα χρόνῳ τὸ .4 σημεῖον
τὴν A460 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παρέσται καὶ
τὸ B τὴν ΒΓ διελϑὸν ἐπὶ τὸ I' παρέσται. ἀλλὰ τὸ μὲν
A τὴν 40 διελϑὸν xai ἐπὶ τὸ Θ παραγενόμενον δύνει,
τὸ δὲ B τὴν BI' διελϑὸν καὶ ἐπὶ τὸ I' παραγενόμενον
ἀνατέλλει" τοῦ 4 ἄρα δύνοντος τὸ B ἀνατέλλει. ὁμοίως
0i δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ 4 ἀνατέλλοντος τὸ B δύνει.

πάλιν. ἐπεὶ ἡμικύκλιόν ἔστιν ἑχάτερον τῶν ΕΗΖ.
ZAE, ἴση ἐστὶν ἡ Z4 E περιφέρδια τῇ E H Z περιφερείᾳ"
ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΖΕ περιφέρειαν
διελϑὸν ἐπὶ τὸ E παρέσται καὶ τὸ E τὴν Ez Ζ περιφέ-

1. EZ4] EZ Vat. Post τά (pr) ins. μέν Vat. 2. ἄρα] om.
Vat, supra add. m. 2. 3. σημεῖα] punctis del. Vat. 65. I'| om.
Vat. E] om. Vat. 7. οἱ] corr. ex ὁ V. 8. γῆν (pr)] γῆς Vat.
ἐπεί] supra add. καί m. 2 Vat. 9. ἄρα] om. Vat. ἡ] ἐστίν ἡ
Vat. 11. καί ἐστι] mg. m. 2 V. 19. Ε 24] EAZ Vat.
14. 40 (pr)] AZ V. 15. τῇ BI' περιφερείᾳ] mg. m. 2 Vat.
21. δέ] δή Vat. 22. ΕΗΖ] corr. ex EZH V. 24. Z E]
ZHE Vat.

Verba figurae cod. V et adscripta et inscripta om. Vat.,
item in propp. seqq.

PHAENOMENA 38

eb sint eorum segmenta super terram .4HB, ΕΗΖ. ita-
que puncta 4, B et E, Z iuxta diametrum opposita sunt;
dieo, puneta et 4, B et E, Z coniugate et oriri et oc-
cidere.

sint partes orientales 4, I, occidentales autem B, E,
et sint circuli paralleli, per quos puncta 4, B feruntur,
A0, BI, et sit 46 segmentum super terram, BI'autem

segmentum sub

A παράλληλον terra. quoniam
puncta 4, B et E, Z
iuxta diametrum op-
posita sunt, arcus E B
arcui 412 aequalis
est; verum EB ipsi
ZI' aequalis est;
quare etiam 4722 ipsi
ZLI'aequalis est. et
EZ4 maximus cir-
culorum X parallelo-
rum est. itaque cir-
eulus 4 0 cireulo B I'aequalis est (Theodos. II, 11). et
40, BI'alterna eorum segmenta sunt. itaque arcus
446 areui BI' aequalis est (ib. II, 19). aequali igitur
tempore punctum 4, postquam arcum 446 percurrit,
ad 6 perveniet et B, postquam arcum BI' percurrit,
ad I' perveniet (Autolyc.de sph.2). verum .4, postquam
arcum 446) percurrit et ad € pervenit, occidit, B autem,
postquam arcum BI' percurrit et ad I' pervenit, oritur.
ergo puncto 4 occidente B oritur. similiter demonstra-
bimus, etiam 44 oriente B occidere.

rursus, quoniam uterque arcus ZHZ, ZZE semicircu-
lus est, ((Theodos. I, 11), areus ZZ E arceui EHZ aequalis
est. aequali igitur tempore punetum Z, postquam arcum
ZE percurrit, ad E perveniet οὖ ἢ, postquam arcum

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 9

10

15

20

25

30

34 bAINOMENA

ρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ζ παρέσται. ἀλλὰ τὸ μὲν Z τὴν
ΖΕ διελϑὸν καὶ ἐπὶ τὸ E παραγενόμενον δύνει, τὸ δὲ E
τὴν EAZ διελϑὸν καὶ ἐπὶ τὸ Z παραγενόμενον ἀνατέλ-
λδι᾽ τοῦ Z ἄρα δύνοντος τὸ E ἀνατέλλει. ὁμοίως δὴ
δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ Z ἀνατέλλοντος τὸ E δύνει. ὁμοίως
δὲ καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τοῦ ξῳδιακοῦ κύκλου ἄστρα, καὶ
τὰ ἐπὶ τοῦ ἰσημερινοῦ τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ
συξυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει.

τ

Ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρί-
ἕξοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν κύχλων ἀνατέλλει v6
καὶ δύνει, ὅταν ὁ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν μὴ μείζων
ἢ τοῦ τροπικοῦ κύκλου, καὶ τροπᾶς ποιεῖται ἐναντίως
μεϑιστάμενος. ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς uso-
ημβροίαν μεϑίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρχτους μεϑ-
ιστάμενος φαίνεται" ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρχτους
μεϑίστηται. ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεϑιστάμενος
φαίνεται. καὶ ἀλλοτε ἄλλως ὕπερ ἡμᾶς ἵσταται.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI' καὶ ϑερινὸς μὲν τρο-
πικὸς ὃ 444, χειμερινὸς δὲ ὁ BI, ὁ δὲ ζῳδίων κύκλος
ϑέσιν ἐχέτω τὴν AEB, καὶ ἔστω τὸ μὲν Ζ ΕΒ τμῆμα
ὑπὸ γῆν, τὸ δὲ 42 B ὑπὲρ γῆν᾽ λέγω, ὅτι ὃ τῶν ξῳδίων
κύκλος κατὰ πάντα τὸν τόπον τοῦ ὁρίζοντος τὸν μεταξὺ
τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει καὶ τροπὰς ποιεῖ-
ται ἐναντίως μεϑιστάμενος. ὅταν μὲν γὰρ ταῖς ἀνατο-
λαῖς πρὸς μεσημβρίαν μεϑίστηται, ταῖς δύδσεσι πρὸς
ἄρκτους μεϑιστάμενος φαίνεται" ὅταν δὲ ταῖς ἀνατολαῖς
πρὸς ἄρκτους μεϑίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν
μεϑιστάμενος φαίνεται. καὶ ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς
ἵσταται.

2. ΖΕ) ZH V, ZHE Vat. 4. δύναντος ἃ. E] Ez V, sed

4 del. m. 1. 6. δέ] δή Vat. 8. τέ] om. V. Seq. in Vat.
demonstr, alter&, v. app. 9. 5] «4 v. 10. τόν] om. Vat.

PHAENOMENA 35

E4Z percurrit, ad Z perveniet. verum Z, postquam
arcum ZE percurrit et ad E pervenit, occidit, E autem,
postquam areum Ez1Z percurrit et ad Z pervenit,
oritur. ergo puneto Z occidente E oritur. iam similiter
demonstrabimus, etiam puncto Z oriente E occidere.
similiter autem et omnes stellae, quae in circulo zodiaco
et eae, quae in aequinoctiali iuxta diametrum oppositae
sunt, coniugate et oriuntur et occidunt.

VII.

Cireulus zodiaeus toto loco horizontis, qui inter cir-
culos tropicos est, eb oritur et occidit, si maximus cir-
eulorum, qui semper conspicui sunt, non maior est,
quam eireulus tropicus, et conversiones facit in contra-
rias partes se movens, nam si ortibus ad meridiem se
movet, oceasibus ad septentriones se movens adparet;
sin autem ortibus ad septentriones se movet, occasibus
ad meridiem se vertens adparet. et alio tempore aliter
super nos stat.

sit in mundo horizon A4BI, et aestivus tropicus sit
471, hiemalis autem BI, zodiacus autem circulus posi-
tionem habeat ΖΕ, et segmentum ZEB sub terra sit,
2128 autem super terram; dico, circulum zodiacum toto
loeo horizontis, qui inter tropicos sit, et oriri et occi-
dere δὺ conversiones facere in contrarias partes se mo-
ventem. nam si ortibus ad meridiem se movet, occa-
sibus ad septentriones se movens adparet, sin autem
orltibus ad septentriones se movet, occasibus ad meri-
diem se movens adparet. et alio tempore aliter super
nos stat.

19. ὅταν — 18. κύκλου] mg. m. 2 Vat. 18. ἄλλοτε] -o- in
ras. V. 19. Post roozixóg add. ἔστω Vat. 20. Post δέ (pr.
add. τροπικός Vat. 23. τόν] om. Vat., item p. 36 lin. 2.

24. τε] om. Vat.
3

10

96 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ

ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ 4, D' μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ 4,
B. ὅτι μὲν οὖν ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος κατὰ πάντα τὸν
τόπον τοῦ ὁρίξοντος τὸν μεταξὺ τῶν τροπικῶν ἀνατέλλει
τὸ καὶ δύνει, φανερόν, ἐπειδήπερ μειζόνων κύκλων ἐφ-
ἅπτεται ἢ ὧν ὁ δρίξων ἐφάπτεται.

λέγω, ὅτι καὶ τροπὰς ποιεῖται ἐναντίως μεϑιστάμενος.

εἰλήφϑωσαν γὰρ ἴσαι τὲ καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι
et AE, ZB, καὶ γεγράφϑωδσαν παράλληλοι κύκλοι, καϑ'
ὧν φέρεται τὰ E, Z σημεῖα, οἱ HEO, KZA. ἐπεὶ ἴση
ἐστὶν ἡ AE περιφέρεια τῇ ZB περιφερείᾳ, κοινὴ προῦσ-
κείσϑω ἡ EB: ὅλη ἄρα ἡ 4EB ὅλη τῇ ΕΒ Z ἐστιν loq:
ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ 4 ΕΒ ἡμικύκλιον ἄρα καὶ τὸ
EBZ: κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ E σημεῖον τῷ 27 ση-
μεδίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Ε Ζ' περιφέρεια τῇ ΖΜ
περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΝ, ἀλλ᾽ ἡ AE τῇ ZB ἐστιν

4. ἐπειδήπερ --- 5. ἐφάπτεται] fortasse interpolata. 4. μειξόνων]
in ras. V. κύκλων) Supra comp. add. m. 1 V. κύκλων ἐφάπτε-

ται] ἐφάπτεται κύκλων Vat. ὅ. 7 ὧν] in ras. V. ó] om. a.
ὁρίζων ἐφάπτεται] supra m. 2 V. 6. ira] λέγω δὲ Vat.
7. ἀπειλήφϑωσαν Vat. γάρ] om. Vat. . ἐπεί add. καί m.

2 Vat. 10. τῇ ZB περιφερείᾳ] supra m. "s Vat. 12. ἡμι-
κύκλιον δέ ἐστι τὸ A4EB]| supra m. 2 Vat. Post ἄρα add ἐστί
Vat. 15. ἀλλά Vat.

In figg. codd. a 44 et BI semicirculi sunt; litteras M,
II add. m. 29 V.

PHAENOMENA 9(

sint partes orientales 7/, I, occidentales autem 4, B.
zodiacum igitur cireulum toto loco horizontis, qui inter
iropicos sit, et oriri et occidere, manifestum est, quo-
niam maiores circulos tangit quam quos horizon tangit
(Autolye. de sph. 11).

dico, eundem conversiones facere in contrarias partes
se moventem.

ϑιερινός

χειμερινὸς τροπικός

sumantur enim aequales et oppositi arcus ΖΕ, ZB,
et deseribantur eireuli paralleli, per quos puncta E, Z,
feruntur, HEO, KZA. quoniam areus ZE arcui ZB
aequalis esí, communis adieiatur arcus E B. totus igitur
areus ZEB toti arcui EBZ aequalis est. sed ZEB
semicirculus est; quare etiam EBZ semicirculus est;
itaque puncta E, Z iuxta diametrum opposita sunt. et
quoniam arcus Ez/ arecui Z/M aequalis est et arcus
ZB arcui ΒΝ (Theodos. II, 13), areus 44E autem

10

15

20

30

38 QAINOMENA

ἴση, καὶ ἡ 4 M ἄρα τῇ ΒΝ ἐστιν ἴδη" κοινὴ προδκείσϑω
ἡ MB: ὅλη ἄρα ἡὴ 4M B ὅλῃ τῇ ΜΒΝ ἐστιν ἴση. ἡμι-
κύκλιον δέ ἐστι τὸ ZZM B: ἡμικύκλιον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ
ΜΒΝ' κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ M σημεῖον τῷ IN
σημείῳ. καὶ ἐπεὶ τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τὰ κατὰ διά-
μετρον ὄντα δημεῖα κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ
δύνει. τοῦ Z1 ἄρα σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Zi δη-
μεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Β δύνει κατὰ τὸ Β
σημεῖον καὶ τοῦ E ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ € σημεῖον τὸ
κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Z δύνει κατὰ τὸ K σημεῖον
καὶ τοῦ Ν σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ 44 σημεῖον τὸ
κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ M δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον,
καὶ ἔτι τοῦ Β σημείου ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Γ σημεῖον
τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ 4 δύνει κατὰ τὸ 4 σημεῖον.
ὅταν ἄρα ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς
μεσημβρίαν μεϑέστηται. ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρχτους μεϑ-
ἱστάμενος φαίνεται.

λέγω. ὅτι καί, ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρχτους μεϑ-
ἔστηται ; ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεϑιστάμενος
φαίνεται.

ἀνατείλαντος γὰρ τοῦ ZEB ΑΕ ὁ τῶν ἕῳ-
δίων κύκλος ϑέσιν ἕξει τὴν AXI. καὶ ὁμοίως δείξο-
μεν, ὅτι κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ μὲν A σημεῖον τῷ O
σημείῳ, τὸ δὲ P τῷ II. καὶ ἐπεὶ τοῦ I' σημείου ἀνα-
τέλλοντος κατὰ τὸ l' σημεῖον τὸ χατὰ διάμετρον αὐτῷ
τὸ 4 δύνει κατὰ τὸ 4 σημεῖον. τοῦ δὲ Ο σημείου ἀνα-
τέλλοντος κατὰ τὸ 4 σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ
τὸ X δύνει κατὰ τὸ Η σημεῖον, τοῦ δὲ II σημείου ἀνα-
τέλλοντος κατὰ τὸ Θ᾽ σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ
τὸ P δύνει κατὰ τὸ K σημεῖον καὶ ἔτι τοῦ 4 σημείου
ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ 4 σημεῖον τὸ κατὰ διάμετρον
αὐτῷ τὸ Γ δύνει κατὰ τὸ Β σημεῖον, ὅταν ἄρα ὃ τῶν

2. ἴση] supra m. 2 Vat. ὄ, κύκλου] corr. ex κύκλων m. 2

PHAENOMENA 39

arcui ZB aequalis est, etiam arcus 7/ M arcui B N ae-
qualis est. communis adiciatur areus MB; totus igitur
areus Z4M B toti areui MBNN aequalis est. sed 4M B
semieirculus est; quare etiam MB N semicirculus est;
itaque puncta M, N iuxta diametrum opposita sunt.
el quoniam. ea cireuli zodiaci puncta, quae iuxta dia-
metrum opposita sunt, coniugate et oriuntur et occidunt
(prop. VI), puncto z/ oriente in Z7/ punctum B iuxta
diametrum ei oppositum in puncto B occidit et puncto
E oriente in 6 punctum Z iuxta diametrum ei oppo-
situm in puncto K occidit et puncto NN oriente in puncto
4 punctum M iuxta diametrum ei oppositum in puncto
H oecidit et praeterea puncto B oriente in puncto I'
punctum z/ iuxta diametrum ei oppositum in puncto 4
occidit. ergo circulus zodiacus, si ortibus ad meridiem
se movet, occasibus ad septentriones se movens adparet.

dico, eundem, si ortibus ad septentriones se moveat,
occasibus ad meridiem se moventem adparere.

nam postquam semicirculus 7// E B ortus est, circulus
zodiaeus positionem habebit A4,ZI* et similiter demon-
strabimus, punctum ,Z puncto O iuxta diametrum op-
positum esse, P autem puncto 77. et quoniam puncto I'
in puneto [Γ΄ oriente punetum 4 iuxta diametrum ei
oppositum in puncto α΄ occidit, puncto O autem in
puneto 4 oriente punetum ,5 iuxta diametrum ei op-
positum in puncto H occidit, puncto IJ autem in puncto
Θ᾽ oriente punctum P iuxta diametrum ei oppositum
in puncto K occidit et praeterea puncto 4 in puncto 7
oriente punctum [Γ᾽ iuxta diametrum ei oppositum in
puneto B occidit, cireulus zodiacus, si ortibus ad sep-

Vat. 21. ἀνατείλαντος] corr. ex ἀνατέλλοντος m. 2 V. 28. O]
e eorr. V. 80. ἔτι] e corr. V. 47 corr. ex M V, 82. I'] in
ras. V,

gi

10

15

20

25

40 $AINOMENA

ξῳδίέων κύκλος ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς ἄρκτους μεϑίστηται,
ταῖς δύσεσι πρὸς μεσημβρίαν μεϑιστάμενος φαίνεται.
ἐδείχϑη δέ. ὅτι καὶ ὅταν ταῖς ἀνατολαῖς πρὸς μεόημ-
βρίαν μεϑίστηται, ταῖς δύσεσι πρὸς ἄρκτους μεϑιστά-
uevog φαίνεται.

καὶ φανερόν, ὅτι ἄλλοτε ἄλλως ὑπὲρ ἡμᾶς ἵσταται.

ὅταν μὲν γὰρ ἡ συναφὴ τοῦ ζῳδιακοῦ κύκλου καὶ τοῦ
ϑερινοῦ τροπικοῦ ἐπὶ τῆς διχοτομίας ἦ τοῦ ὑπὲρ γῆν
τμήματος τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ κύκλου, ὀρϑότατος ἔσται
πρὸς ἡμᾶς" ὅταν δὲ ἐπὶ τῆς διχοτομίας τοῦ ὑπὸ γῆν
τμήματος τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ, ταπευνότατος ἔσται
πρὸς ἡμᾶς" καὶ ἀεὶ μὲν ποῤῥώτερον γιγνόμενος τῆς
διχοτομίας τοῦ ὑπὲρ γῆν τμήματος τοῦ ϑερινοῦ τροπι-
χοῦ, μᾶλλον ἔσται κεκλιμένος" ὁμοίως δὲ ἔσται κεκλι-
μένος, ἴσον ἀπέχων ὁποτεραδοῦν τῶν διχοτομιῶν.

η΄.

Τὰ ξῴδια ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλλει
τὲ καὶ δύνει" καὶ ἐν μεγίστοις μὲν τὰ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ,
ἐν ἐλάσσοσι δὲ τὰ ἑξῆς τούτων. ἐν ἐλαχίστοις δὲ τὰ
πρὸς τοῖς τροπικοῖς. ἐν ἴσοις δὲ τὰ ἴσον ἀπέχοντα τοῦ
ἰσημερινοῦ κύκλου.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων κύκλος ὁ ABI, τροπικοὶ δὲ
οἱ AI, BZ, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν
BI, ἰσημερινὸς δὲ κύχλος ὁ EZ, καὶ διῃρήσϑω ἕκα-
τέρα τῶν ΓΗ͂, HB εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ Ν, K, II, T
δσημεῖα᾽ λέγω. ὅτι αἱ ΓΝ. NK, KH, HH, IIT, TB
περιφέρειαν ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρίζοντος ἀνατέλ-
λουσί τε x«l δύνουσι, καὶ ἐν μεγίστοις μὲν αἱ KH,
ΗΠ. ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΚΝ. IIT, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ

7. καὶ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ] om. Vat. 8. 5] post κύκλου
(lin. 7) scr. Vat. 9. κύκλου] om. Vat. ὀρϑότατος] ὀρϑό- in
ras. V. 13. γῆν] γῆς Vat. 16. y] 9' v. 17. év] supra ΒΟΥ,

PHAENOMENA 41

tentriones se movet, oecasibus ad meridiem se movens
adparet. demonstratum autem est, eundem, si ortibus
ad meridiem se moveat, occasibus ad septentriones se
moventem adparere.

οὖ manifestum est, eum alio tempore aliter super nos
stare.

nam si eontaetus circuli zodiaci et circuli aestivi in
puncto medio est segmenti circuli aestivi, quod super
lerram est, ad nos rectissimus erit; sin autem in puncto
medio est segmenti circuli aestivi, quod sub terra est,
ad nos humillimus erit; et remotior semper factus a
. puncto medio segmenti circuli aestivi, quod super terram
est, magis erit inclinatus; similiter autem erit inclinatus,
si ab utrovis puncto medio aequali intervallo distat

(Theodos. 11, 22).

VIII.

Signa inaequalibus segmentis horizontis et oriuntur
el occidunt, ac maximis quidem ea, quae ad aequi-
noctialem sunt, minoribus autem ea, quae haec deinceps
sequuntur, minimis autem ea, quae ad tropicos sunt,
aequalibus autem ea, quae ab aequinoctiali aequali inter-
vallo distant.

sit in mundo circulus horizon ABIZi, tropici AT,
B4, zodiacus autem circulus positionem habeat BI,
aequinoctialis autem circulus EZ, et uterque arcus ΓΗ͂,
HB 1n ires partes aequales dividatur in punctis NN, Καὶ,
II, T; dico, arcus ΓΝ, NK, KH, HII, II T, TB in-
aequalibus segmentis horizontis et oriri et occidere, ac
maximis quidem KH, HII, minoribus autem ΚΝ, IIT,
m. 1 V. ἀνίσοις] « in ras. V. 22. ἐν κόσμῳ] om. Vat.
24. BI' ΓΒ Vat. BI'] mg. μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανερῶν ὁ

ΦΧ m. 2 V (κείμενον), in textu Doe BI'v, post B4 Vat.
26. ὅτι καί Vat,

10

15

20

25

42 $AINOMENA

IN, B T, ἐν ἴσοις δὲ ἡ uiv KH τῇ HII, ἡ δὲ ΚΝ τῇ
IIT, ἡ δὲ ΝΙ τῇ TB.

ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι, καϑ’ ὧν φέρεται τὰ Ν,
K, II, T δημεῖα. οἱ ΜΞ. 071, ΟΡ, ΣΎ. καὶ ἐπεὶ περι-
φέρειαι αἷ HK, ΚΝ, NI' ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ Ζ4,
4.5. EI ἄρα μείζους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναν ἀπὸ με-
γίστης τῆς ΖΑ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ μὲν EO, 0 M,
MA μείξους εἰσὶν ἀλλήλων &oyóusvor ἀπὸ μεγίστης τῆς
ΕΘ. καὶ ἔτι αἱ μὲν Z P, PT, TA μείξους εἰσὶν ἀλλήλων
ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ZP, καὶ ἔτι αἱ EO, OZ,
ZB μείξους εἰσὶν ἀλλήλων ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς
EO. καὶ ἐπεὶ ei ΓΝ, NK, KH, HII, IIT, TB ἀνα-
τέλλουσι uiv κατὰ τὰς ΓΞ. A4, AZ, LP, PT, TA
περιφερείας, δύνουσι δὲ κατὰ τὰς 4M, MO, OE, EO,
ΟΣ, ZB, [ὥστε] ἐν ἀνίδοις τμήμασι τοῦ ὁρίξοντος ἀνα-
τέλλουσί τε καὶ δύνουσιν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλλη-
λοι κύκλοι οἱ 04, OP μεγέστου τινὸς κύκλου περιφε-
ρείας τοῦ ΓΒ τὰς ΠΗ. ΗΚ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν
u£yvorov τῶν παραλλήλων τὸν EZ, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὃ
04 κύκλος τῷ ΟΡ κύκλῳ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴδοι τὲ
καὶ παράλληλοι κύκλοι οἵ ΘΑ͂. ΟΡ μεγίστου τινὸς κύ-
xAov περιφερείας τοῦ ABI τὰς 242. ZP ἀφαιροῦσι
πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν EZ, ἴση ἄρα
ἐστὶν ἡ AZ περιφέρεια τῇ ZP περιφερείᾳ. ὁμοίως δὴ
δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ (5 2 περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ Z T περι-

8. παράλληλοι κύκλοι] post σημεῖα (li. 4) scr. Vat. 4. καὶ
ἐπεὶ περιφέρειαι] ἐπεὶ οὖν Vat. (οὖν supra m. 2). — 5. εἰσί V,
ut lin. 6, 8. 6. μείξονες Vat., αὖ lin. 8, 9, 11. 10. £zi] corr.
ex ἄρα (comp. m. 2 V. 1. ὥστε] deleo. 23. τόν ἌΝ corr.
ex τῶν m. 2 V. ἄρα] om. Vat. 24. περιφέρεια] om. Vat. δή]
corr. ex δέ V et m. 2 Vat. 25. Post καί ras. 1 litt. V. Post
περιφερείᾳ add. ὧν ἡ AZ τῇ ZP ἐστιν ἴση Vat.

Figuram bis praebet V (in altera *óoífo»' om.) in fig. V at
add. arcticum; v. adp. crit. verba figurae inscripta hab. V; item
in propp. seqq.

PHAENOMENA 43

minimis autem ΓΝ, B T, aequalibus autem KH et HII,
KN et IIT, NI' et TB.

sint eireuli paralleli, per quos puncta N, K, II, T fe-
runtur, M5, 64, OP, ΣΎ. et quoniam arcus HK, ΚΝ.
NI'inter se aequales sunt, Z4, 4,5, &I' maiores inter
sesuntineipientes a maximo Z /| ('Theodos. IIT, 1). eadem
de causa etiam arcus E 0, 6 M, MA maiores inter se
sunt incipientes a maximo £O, et praeterea ZP, PT,
Tf maiores inter se sunt incipientes a maximo ΖΡ, et
praeterea EO,
ΟΣ. XB ma-
iores inler se
sunt incipien-
tes a maximo
EO. et quo-
niam arcus
ΓΝ. ΝΚ, ΚΗ,
ΗΠ, ΠΤ, TB
inarcubusI 5,
A4, AZ, ZP,
: PT, TA ori-

B διμερινὸς τροπύκοβ g untur et 1n
wser
EO, OZ, XB

occidunt, in-
aequalibus horizontis segmentis et oriuntur et occidunt.
el quoniam in sphaera circuli paralleli 9/4, OP maximi
alicuius cireuli ΓΒ aequales arcus ΠΗ͂. HK ad maxi-
mum parallelorum £Z auferunt, circulus 6 circulo
OP aequalis est (ib. IL, 17). iamquoniam in sphaera
eireuli aequales et paralleli 9/4, OP maximi alicuius
cireuli 4BI arcus 4Z, ZP ad maximum parallelorum
EZ auferunt, areus 4Z arcui ΖΡ aequalis est (ib. II, 18).
iam similiter demonstrabimus, etiam arcum (ΞΖ arcui

τροπικὸς ϑερινός

10

15

44 $ AINOMENA

φερείᾳ᾽ λοιπὴ ἄρα ἡ Ξ4 λοιπῇ vij PTT lox ἐστίν. διὰ
τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΓΙΞ ἴση ἐστὶ τῇ TA.

τὰ ἄρα ξῴδια ἐν ἀνίσοις τμήμασι τοῦ ὁρέζοντος ἀνα-
τέλλει τε καὶ δύνει. xol ἐν μεγίστοις μὲν τὰ πρὸς τῷ
ἰσημερινῷ., ἐν ἐλάσσοσι δὲ τὰ ἑξῆς τούτων. ἐν ἐλα-
χίστοις δὲ τὰ πρὸς τοῖς τροπικοῖς. ἐν ἴσοις δὲ τὰ ἴσον
ἀπέχοντα τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου.

ὃ. .ἢ

Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τὰ ἡμικύκλια, ὅσα τὰς ἀρχὰς
μὴ ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἀνίσοις χρό-
νοις ἀνατέλλει, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν τὸ μετὰ τὸν Καρκί-
νον, ἐν ἐλάσσονι δὲ τὰ μετὰ αὐτὸν ἑξῆς, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ
τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερων, ὅταν ὃ βόρειος πόλος ὑπὲρ τὸν
ὁρίζοντα ἦ καὶ ἔτι ὃ μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ἐλάττων
ἦ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ" ὅσα δὲ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ
αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει.

Recensio b.

9. Τοῦ τῶν ἕξῳδίων κύκλου và ἡμικύκλια, ὅσα μὴ τὰς ἀρχὰς
ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνα-
τέλλει ὅλα, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν τὸ μετὰ τὸν Καρκένον, ἐν
ἐλάσσονι δὲ τὰ ἑξῆς τούτου, ἐν ἐλαχίστοις δὲ τὸ μετὰ τὸν
Alyóxsoo ὅσα δὲ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλ-
λήλων, ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει.

a. 1. ἐστιν ἴση Vat. 8. 9/] V v. 11. τό V, item lin. 13;

τά Ll. μετα] κατά L; κατὰ (us m. 1) ν΄; item lin. 12. 18. ὅταν
— 15. τροπικοῦ] expunctum, sed punctis erasis restitutum V;
fort. interpolatum. 13. Post πόλος del. τῶν παραλλήλων γ᾽
om. cett. 14. καί] expunctum V. ὁ] V, mg. ὅταν ὃ m. 2. ἀεὶ
φανερῶν) ἴῃ ras. V. φανερῶν] comp. l, φανῶν Lv. 15. ἀρχάς]
supra m. 1 V. :

—

b. 4. ὅλα] fort. interpolatum.

PHAENOMENA 45

Z' aequalem esse. itaque reliquus arcus ,Z/f reliquo
arcui PT! aequalis est. eadem de causa etiam arcus ΓΞ
areui T71 aequalis est.

ergo signa inaequalibus segmentis horizontis et oriun-
tur et occidunt, ac maximis quidem ea, quae ad aequi-
noetialem sunt, minoribus autem ea, quae haec deinceps
sequuntur, minimis autem ea, quae ad tropicos sunt, et
aequalibus ea, quae ab aequinoctiali eireulo aequali inter-
vallo distant.

IX.

Cireuli zodiaci semicirculi, quieumque in eodem cir-
eulo parallelo principia non habent, inaequalibus tem-
poribus oriuntur, ac maximo quidem is, qui post Can-
erum est, minore autem 11. qui hunc deinceps sequuntur,
minimo autem is, qui post Capricornum est, si polus
septentrionalis supra horizontem est atque etiam maxi-
mus cireulorum, qui semper conspicui sunt, minor est
iropieo aestivo; quicumque autem principia in eodem
eireulo parallelo habent, aequali tempore oriuntur.

Recensio b.

IX. Circuli zodiaci semicirculi, qui in eodem circulo parallelo
principia non habent, inaequalibus temporibus toti oriuntur
ae maximo quidem is, qui post Cancrum est, minore autem
11, qui hune deinceps sequuntur, minimis autem is, qui post
Capricornum est; quicumque autem principia in eodem cir-
eulo parallelo habent, aequalibus temporibus oriuntur.

1) In baec propositione cod. V ad cod. Vat. eiusve adfinem
ἃ m. 2 correctus est; etiam litterae textus ad figuram perti-
nentes et ipsius figurae in litteras rec. b mutatae sunt; ego
priores litteras, quarum magna pars plane evanuit, restitui.
Llv' eorrectiones manus 2 V in textum receperunt. in figura
cod. V pro N est M; M igitur bis usurpatur; verba có μετὰ
(μετὰ τά V) τὸν αἰγόκερω et τὸ μετὰ τὸν καρκίνον m. 2 V, item
δύσις. in figg. codd. Ll Z et N desunt; in v' pro N est Z,
om. N.

10

15

20

46 QAINOMENA

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς
ὃ 4A, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ EI, ὁ δὲ τῶν ξωδίων
κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 41 ΓΖ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν
Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ 42Γ' τὸ 0$ l'HA
ἡμικύκλιον
ἔστω τὸ μετὰ
τὸν «Αἰγόκε-
ρῶν καὶ ἔστω
ὑπὲρ γῆς.
ἀπευλήφϑω-
σαν δὴ ἴσαι
περιφέρειαν
aL UD ΖΩ͂.
ὥστε εἶναι TO
Ζ τῷ Η κατὰ
διάμετρον,
καὶ ἔστωσαν
παράλληλοι
κύκλοι, Xo
ὧν φέρεται τὰ
Z, H σημεῖα,
οἱ ΒΖΘ, KH.4: τὸ ἄρα M τῷ Ν κατὰ διάμετρον" λέγω

ὸν

PLA

t^
[d
ὃν

-ὦ
ῳ
ΒΞ
-

[3

τὸ μετὰ τ

ἔστω ἐν κόσμῳ ὀρίξζων ὁ ABI, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς
M Pi M

ἔστω ὁ 44. χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ BI, ὃ δὲ τῶν ξωδίων
κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AEBZ, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν τὰ
1, 4 μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ Α, B, καὶ τὸ μὲν AEB ἔστω τὸ
μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον, τὸ δὲ ΒΖ4 τὸν μετὰ τὸν
Αἰγόκερω" λέγω, ὅτι τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου và ἡμικύκλια,
ὅσα μὴ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν
ϑ'“ ἢ , 3 , A , , A ^ M
ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλει, καὶ ἐν πλείστῳ μὲν τὸ μετὰ τὸν
Καρκίνον τὸ 4EB, ἐν ἐλάσσονι δὲ τὰ ἑξῆς τούτου. ἐν ἐλα-

Ἃ; 3. Supra AI'Z add. m. 2 V secundum rec. b lin. 3. καί
— lin. 4. 4, B (κείμενον), in textu cett. có] supra m. 1 L.
b. 1. ABI'] add. “ m. 2 Vat.

PHAENOMENA 41

sit ἴῃ mundo horizon 4.8 [ΓΓ, aestivus.autem tropicus
41A, hiemalis autem tropicus EI zodiacus autem cir-
eulus positionem habeat A4I'Z, et sit semieirculus 421"
qui post Cancrum est, sub terra; I'H.4 autem semicir-
culus sit post Capricornum et sit supra terram.

iam auferantur arcus aequales ΓΗ͂, Z4, ut sit Z
puneto H iuxta diametrum oppositum, et sint cireuli
paralleli, per quos puncta Z, H feruntur, BZO, KH.4;
punctum M igitur puncto N iuxta diametrum oppositum;

sit in mundo horizon ABI, et aestivus tropieus sit 44,
hiemalis autem tropicus BI' zodiacus autem circulus posi-
lionem habeat z/EBZ, et sint partes orientales Ij. 2. oc-
cidentales autem 4,
B, et AEB sit semi-
cireulus post Can-
crum, BZz autem
semicirculus — post
Caprieornum; dico,
eos circuli zodiaci
semicireculos, qui
principia in eodem

circulo parallelo
non habeant, in-
aequalibus tempo-
ribus oriri ac maxi-
mo quidem semi-
circulum ZEB, qui
post Canerum est,
minore autem eos, qui hune deinceps sequantur, minimo

6. ἔστω corr. ex ἐστί V; item lin. 8. 9. vis] γῆν ν΄. Post γῆς
mg. add. m. 2 V secundum rec. b lin. 6 λέγω --- p. 48 lin. 2
ἀνατέλλει, in textu cett. 29. Supra KH.A add. m. 2 V se-
cundum rec. b p. 48 lin. 6. καί — lin. 8. Z (xsíusvov), in textu
cett. Post KH. del. καὶ ἔστω ὁμοι (sic) m. 1 V. λέγω — p. 48
lin. 3. Γ᾿ ΜΑ] del. m. 2 V, om. cett. -

b

€

10

10

μ᾿
ell

48 óAINOMENA

δή, ὅτι àv πλείστῳ uiv χρόνῳ τὸ AZI' ἡμικύκλιον &va-
τέλλει, ἑξῆς δὲ τὸ ZI'H, μετὰ δὲ τοῦτο τὸ NI'M, ἐν
ἐλαχίστῳ δὲ τὸ I'MA.

ἐπεὶ γὰρ μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ μὲν 214 περιφέρεια
τῆς BMO, 1 δὲ ΒΜΘ τῆς AHK, ἡ δὲ AHK τῆς ΓΕ,
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ .À τὴν Az περιφέρειαν δια-
πορεύεται ἤπερ τὸ Z ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν OM B
διαπορεύεται. ἐν πλείονι δὲ ἀρξάμενον χρόνῳ τὸ Z ἀπὸ
τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διαπορεύεται ἤπερ τὸ Ν ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΗ 4 διαπορεύεται καὶ τὸ Ν ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ Καὶ ἐν πλείονι χρόνῳ τὴν KH. διαπορεύεται
ἤπερ τὸ r ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ I' τὴν EI διαπορεύεται"
ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ Α ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AZ n
φέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ

χίστῳ δὲ τὸ μετὰ τὸν Αἰγόκερω τὸ BZ4, ὅσα δὲ τὰς ἀρχὰς
ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνα-
τέλλει.

ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ Zl E, ΒΖ καὶ γεγράφϑω-
σαν παράλληλοι κύκλοι οἱ HEO M, KZAN, καϑ᾽ ὧν φέρε-
ται τὰ E, Z σημεῖα, καὶ ἔστω αὐτῶν τὰ ὑπὲρ γῆν τμήματα
τὰ ΗΜΘ. ΚΖΩΑΩ. ὁμοίως δὴ δείξομεν τοῖς πρότερον, ὅ ὅτι κατὰ
διάμετρόν ἐστι τὸ μὲν Ε σημεῖον τῷ Ζ σημείῳ, τὸ δὲ Μ τῷ
Ν. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἡ 44 περιφέρεια τῆς ΗΜ 6
περιφερείας, ἡ δὲ HM O τῆς KZ.A καὶ ἔτι ἡ KZ.A τῆς BI,
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ Z1 σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4
τὴν Z4 περιφέρειαν διαπορεύεται ἤπερ τὸ Εἰ ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ Θ τὴν ΘΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ τὸ E ἀρξά-
μένον ἀπὸ τοῦ Θ ἐν πλείονι χρόνῳ τὴν ΘΙΜΜΗ͂ διαπορεύεται

5 ἤπερ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AZ K περιφέρειαν

διαπορεύεται, καὶ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 24 ἐν πλείονι
χρόνῳ τὴν AZK διαπορεύεται ἤπερ τὸ Β ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ 1᾿ τὴν ΓΒ περιφέρειαν διαπορεύεται. ἀλλὰ ἐν ᾧ μὲν

ἃ. 5. BM O (utrumque) B om. γ΄. 6. Post .4 supra add.

ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 V (m. 2) l, mg. ἴω, in textu v'. 8. δια-

PHAENOMENA 49

dico igitur, maximo tempore semicireulum 4 ZI" oriri,
deinceps autem ZI'H, post hunc autem N I'M, minimo
autem I'M A. |
nam quoniam maior est quam similis areus z//4 arcui
BMO, BMO autem arcui A4HK, AHK autem areul ΓΕ,
maiore tempore 44 arcum 42] percurrit quam Z exor-
sum ἃ 9 arcum ΘΒ percurrit, maiore autem tempore
Z exorsum a 9 arcum ΘΒ percurrit quam IN exorsum
a Καὶ areum KH. percurrit οὐ N exorsum a K maiore
tempore arcum K HA percurrit quam Γ᾽ exorsum a I'
areum EI' percurrit. verum quo tempore 44 exorsum
ab 44 arcum 412] percurrit, eo Γ΄ iuxta diametrum ei

autem BZzZ, qui post Capricornum est; quicumque autem
in eodem cireulo parallelo principia habeant, eos aequa-
| libus temporibus oriri.

auferantur aequales arcus ΖΕ. ΒΖ et deseribantur cir-
culi paralleli HEOM, KZAAN, per quos puneta E, Z ferun-
tur, et sint segmenta eorum super terram H MO, KZ A.
similiter igitur atque antea demonstrabimus, puncta E, Z
et M, N iuxia diametrum opposita esse. et quoniam arcus
A4 maior est quam similis areui HM, HM autem arcui
ΚΖ. et praeterea KZ arcui ΒΓ (Theodos. II, 20), maiore
tempore punctum zZf exorsum a zZf arcum Z1 A percurrit quam
E exorsum ἃ 0 arcum 0M H percurrit e£ E; exorsum a Θ
maiore tempore areum 0M H percurrit quam JN exorsum
a 44 arcum ZAZK percurrit et /V exorsum a Z4 maiore tem-
pore arcum Z4Z K percurrit quam B exorsum a [᾿ arcum

πορεύεται] 8Seq.: ἤπερ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν KHA
διαπορεύεται καὶ ἔτι τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ K ἐν πλείονι
χρόνῳ V, sed punctis notatum; om. cett. ἐν — 11. διαπορεύεται)
om. L. 8. ἀρξάμενον — Z] χρόνῳ τὸ Z ἀρξάμενον γ΄. 10. τὴν
KHA διαπορεύεται] punctis del. V. Ante τό 1 litt. (comp.?)
macula del. V; post N add. ἄρα v. 18. περιφέρειαν] supra
comp. add. V.

b. 5. οἱ] om. Vat
Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 4

10

15

10

50 bAINOMENA

τὸ I' ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ I' τὴν ὑπὸ γῆν διαπορεύεται
τοῦ ΓΕ κύκλου καὶ ἀνατέλλει τὸ 42ΖΓ ἡμικύκλιον" ἐν
ᾧ δὲ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν 0 M B διαπορεύεται,
ἐν τούτῳ καὶ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Η ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ 4 τὴν ANK διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ
ΖΓῊ ἡμικύκλιον" ἐν à δὲ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ
τὴν KHA περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ
κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Β τὴν
ΒΖ6Θ περιφέρειαν διαπορεύξται καὶ ἀνατέλλει τὸ .:N I'M
ἡμικύκλιον. ἐν à δὲ τὸ I' ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ E τὴν
ΕΓ ὑπὲρ γῆν περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ
κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ .4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν
Z4 ὑπὸ γῆν περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει
τὸ ΓΜΑ͂ ἡμικύκλιον. ἐν πλείστῳ μὲν ἄρα χρόνῳ τὸ
AZI' ἀνατέλλει, τουτέστι τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον, ἑξῆς
δὲ τὸ ΖΓΗ͂, μετὰ τοῦτο τὸ ΝΓΜ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ
ΓΜΑ͂, τουτέστι τὸ μετὰ τὸν Alyóxsgow.

χρόνῳ τὸ 4 σημεῖον τὴν 44 περιφέρειαν διαπορεύεται. iv
τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Β σημεῖον τὴν ἐναλλὰξ
τὴν Br περιφέρειαν διαπορεύεται, καὶ ἀνατέλλει τὸ 4ΕΒ
ἡμικύκλιον" ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ E ἀρξ ξάμενον. ἀπὸ τοῦ Θ τὴν
ΘΜΗ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐ ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον
αὐτῷ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν KNA διαπορεύεται καὶ
ἀνατέλλει τὸ EBZ ἡμικύκλιον" ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ Ν ἀρξάμε-
vov ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AZK διαπορεύεται; ἐν τούτῳ τὸ κατὰ
διάμετρον αὐτῷ τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΗΕΘ δια-
πορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΝΒ Μ᾿ ἡμικύκλιον" ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ
τὸ Β ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Γ τὴν ΓΒ διαπορεύεται, ἐν τούτῳ
τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Zl ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ .4 τὴν ἐν-
αλλὰξ τὴν 414 διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΒΖ4 ἡμι-

ἃ. 2. 427] AZIZ V. 4. καί] δὲ καί VLL. 8. B] om.lv'
(lac. 1 litt), E L. 11. EI'] E sustulit macula in V. ὑπὲρ
γῆν] lineola del. m. 2 V, om. cett. Ante τό hab. καί ex-
punctum m. 1 V. 18. ὑπὸ γῆν] del. et supra ser. ἐναλλάξ V

PHAENOMENA 51

oppositum exorsum a I' eum arcum circuli ΓΕ per-
eurrit, qui sub terra est (prop. VI), et semicirculus A4ZI'-
oritur. quo autem tempore Z exorsum a Θ᾽ arcum 9MB
pereurrit, eo etiam H iuxta diametrum ei oppositum
exorsum a ΖΔ areum ΔΝ percurrit, et semicirculus
ZI'H oritur. quo autem tempore N exorsum a K ar-
eum KH.A percurrit, eo etiam M iuxta diametrum ei
oppositum exorsum a B arcum BZO percurrit et semi-
eireulus NI'M oritur. quo autem tempore I' exorsum
ab E areum EI qui super terram est, pereurrit, eo 4
iuxta diametrum 6] oppositum exorsum a Ζ΄ arcum Z1 A,
qui sub terra est, percurrit et semicireulus I'M A oritur.
ergo maximo tempore 421, ἢ. e. semicireulus post
Canerum oritur, deinceps autem ZI'H, post eum NI'M,
minimo autem I'MA, h.e. semicireulus post Cajpri-
cornum.

ΓΒ pereurrit. verum quo tempore punctum zf arcum 24
pereurrit, eo punetum JB iuxta diametrum ei oppositum
alternum arcum BI' percurrit (prop. VI) et semicirculus
A4EB oritur; quo autem tempore E exorsum a (9 arcum
0MH percurrit, eo Z iuxta diametrum ei oppositum exor-
sum ἃ Καὶ areum KV A4 percurrit et semicireulus EBZ oritur;
quo autem tempore JN exorsum a 74 arcum /ZK percurrit,
eo M iuxta diametrum ei oppositum exorsum ab H arcum
HEO pereurrit et semicireulus N B.M oritur; quo autem
tempore B exorsum a l' arcum I'B percurrit, eo Ζ΄ iuxta
diametrum ei oppositum exorsum ab A4 alternum arcum 424
percurrit et semicireulus BZZf oritur. ergo maximo tem-

(m. 2) L; ἐναλλάξ in textu lv. 14. χρόνῳ] supra V1, om. L.
16. NI'M] NI'MH V, sed lineola del. et supra ser. ἐν ἐλάσ-
σονι καὶ ἔτι τοῦ EBZ ἐν ἐλάσσονι τὸ NB m. 2, et ita in
textu cett. (NAz pro NBz v); v. p. 52 lin. 28q. rec. b.
17. l'MA] om. Ll, lac. 3 litt.

b. 6. K NA] add. περιφέρειαν Supra, m. 2 Vat.
4 *

59 O$AINOMENA

λέγω δέ, ὅτι καὶ Occ τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ

᾿ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει.

10

15

10

ἐπεὶ γὰρ ἐν ᾧ τὸ Z ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ
περιφέρειαν διαπορεύεται, ἕν τούτῳ καὶ τὸ M ἀρξάμε-
νον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν OMB περιφέρειαν διαπορεύεται,
ἀλλ᾿ ἐν ᾧ τὸ Z ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΒ διέρ-
χεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Η ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AN K περιφέρειαν διέρχεται καὶ ἀνατέλ-
Ae. τὸ ΖΓΗ ἡμικύκλιον, [προανατέλλει γὰρ τὸ μὲν Z
τοῦ I, τὸ δὲ Γ τοῦ H:] ἐν ᾧ δὲ τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ Θ τὴν 6M B διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διά-
μέτρον αὐτῷ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν ANK
διέρχεται καὶ ἀνατέλλει τὸ ΜΑ͂Ν ἡμικύκλιον, [προανα-
τέλλει γὰρ τὸ μὲν M τοῦ Z, τὸ δὲ Ζ τοῦ Νἠ τὰ ΖΓΗ,
MAN ἄρα ἡμικύκλια ἐν ioc χρόνῳ ἀνατέλλει.

κύκλιον. ἐν πλείστῳ ἄρα χρόνῳ ἀνατέλλει τὸ μετὰ τὸν Καρ-
κίνον ἡμικύκλιον τὸ 4 E B, ἐν ἐλάσσονι δὲ τοῦ AEB τὸ EBZ
καὶ ἔτε τοῦ EBZ ἐν ἐλάσσονι τὸ NB.M, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ τὸ
μετὰ τὸν Αἰγόκερω τὸ BZA.

λέγω, ὅτι ὅσα τὰς ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλ-
λήλων. ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει.

ἐχέτω γὰρ τὰ MAN, EBZ ἡμικύκλια τὰς ἀρχὰς ἐπὶ τοῦ
αὐτοῦ τῶν παραλλήλων" λέγω. ὅτι ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλει
τὰ MAN, EBZ ἡμικύκλια.

ἐπεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Μ σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ
τὴν ΘΜῊ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ Εἰ ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜῊ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ
μὲν χρόνῳ τὸ M σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Θ τὴν ΘΜΗ
διαπορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ν ἀρξά-
μένον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΝΑ͂ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ
ἀνατέλλει τὸ MAN ἡμικύκλιον, ἐν à δὲ χρόνῳ τὸ E σημεῖον
ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ O σημείου τὴν OM H περιφέρειαν δια-

a. 2. Post ἀνατέλλει add. secundum rec. b lin. 7. ἐχέτω --- 9.
ἡμικύκλια (κείμενον) supra et mg. V, in textu cett. 9. ZI'H]

PHAENOMENA 53

dico autem, etiam quieumque semicireuli principia
in eodem circulo parallelo habeant, eos aequali tempore
oriri.

nam quoniam quo tempore Z exorsum a Θ᾽ arcum
6MB percurrit, eo etiam M exorsum a Θ᾽ arcum 9MB
pereurrió, verum quo tempore Z exorsum a Θ᾽ arcum
0MB percurrit, eo H iuxta diametrum ei oppositum.
ab 4 exorsum arcum ΔΝ K percurrit et semicirculus
ZI'H oritur, [nam Z ante I' oritur, I' autem ante H];
quo autem tempore .M a Θ᾽ exorsum arcum OMB per-
currit, eo N iuxta diametrum ei oppositum ab Z4 exor-
sum arcum ZNK percurrit, e£ semicirculus MAN oritur,
[nam .M ante Z oritur, Z autem ante Ν [; semicireuli
ZI'H, MAN aequali tempore oriuntur.

pore semicireulus Ζ EB, qui post Cancrum est, oritur, minore
autem quam ZEB semicirculus EBZ et praeterea minore
quam £BZ semicireulus NBM, minimo autem is, qui post
Capricornum est, BZ A.

dico, eos semicirculos, qui principia in eodem circulo
parallelo habeant, aequalibus temporibus oriri.

nam habeant semicirculi MAZN, EBZ principia in eodem
circulo parallelo; dico, semicirculos MN, EBZ aequalibus
temporibus oriri.

quoniam aequali tempore punctum JM exorsum a Θ᾽ ar-
cum 0MH percurrit et E exorsum a 0 arcum ΘΗ per-
currit, verum quo tempore punctum M exorsum a Θ᾽ arcum
0OMH percurrit, eo Ν iuxta diametrum ei oppositum exor-
sum a K arcum K N Δ percurrit et semicirculus MAN oritur,
quo autem tempore punctum E exorsum a puncto € arcum
om. Ll, lac. 8 litt. προανατέλλει — 10. H et 13. προανατέλλει
— 14. N] lineolis del. V, om. cett, interpolata sunt. 10. M]
om. Ll, lac. 1 litt. 14. τά — 15. ἡμικύκλια] del. et supra £v
add. ἄρα (comp), mg. τὰ MAN, EBZ ἡμικύκλια (κείμενον) V,
et ita in textu cett.

b. 10. ἐπεί] add. γάρ m. 2 Vat.

10

15

54 OAINOMENA

τοῦ ἄρα τῶν ξῳδίων κύκλου và ἡμικύκλια, ὅσα τὰς
ἀρχὰς ἔχει ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων, ἐν ἴσῳ χρόνῳ
ἀνατέλλει.

,

L.

'Eàv τοῦ τῶν ξῳδίων κύχλου δύο ἡμικύχλια ἐν &v-
ίδοις χρόνοις ἀνατέλλῃ κοινήν τινὰ ἔχοντα περιφέρειαν,
καὶ αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνα-
τέλλουσιν, καὶ ἡ αὐτὴ διαφορὰ ἔσταν τῶν χρόνων, ἐν
οἷς τά τε ἡμικύκλια ἀνατέλλει καὶ αἱ ἀπεναντίον περι-
φέρειαι ἀνατέλλουσιν᾽ καὶ ἐὰν τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου
δύο ἡμικύκλια ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλῃ κοινήν TUVO ἔχοντα
περιφέρειαν, καὶ αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ
ἀνατέλλουσιν.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων
κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4 ΕΙΓ4. καὶ ἀπειλήφϑωσαν
ἴσαι περιφέρειαι αἱ 421, ΓΕ" κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ
τὸ 4 τῷ E. τὰ δὲ AAT, 4 ΓΕ ἡμικύκλια ἐν ἀνίσοις
χρόνοις ἀνατελλέτω᾽ λέγω, ὅτι καὶ αἱ ἀπεναντίον περι-
φέρειαι αἱ 421, ΓΕ ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσι καὶ

πορεύεται, ἐν τούτῳ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ζ ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ K τὴν ΚΝΝΖ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἀνατέλλει
τὸ ΕΒΖ ἡμικύκλλιον, ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ἀνατέλλει τὰ ΜΩ͂Ν,
EBZ ἡμικύλλια.

4. v] vov. ν΄. 6. ἀνατέλλῃ) post ἡμικύκλια (lin. δ) gcr. Vat.

7. ἀπεναντίων V. ἀνατέλλουσι V, ut lin. 18. 8. ἡ — ἔσται]
αἱ αὐταὶ διαφοραὶ ἔσονται Vat. 10. ἀνατέλλουσιν)] om. Vat.
Recensio b.

p. 54,14 sqq. ἔστω κύκλος ὁρίζων 0 4.84 ΓΔ, καὶ ϑερινὸς
μὲν τροπικὸς ὃ AL, χειμερινὸς δὲ ὁ ΒΖ, ξωδιακὸς δὲ ὁ ΓΒ,
καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΓΕ, BZ' τὰ ἄρα

PHAENOMENA 55

ergo cireuli zodiaci semicirculi, quicumque principia
in eodem circulo parallelo habent, aequali tempore ori-
untur.

X.

S1 duo circuli zodiaci semicirculi communem aliquem
habentes arcum inaequalibus temporibus oriuntur, etiam
arcus oppositi inaequalibus temporibus oriuntur et eadem
differentia erit temporum, quibus et semicirculi et arcus
oppositi oriuntur; et si duo circuli zodiaei semicirculi
communem aliquem habentes ar-
cum aequali tempore oriuntur,
etiam arcus oppositi aequali tem-
pore oriuntur.

sit in mundo horizon ABI,
zodiacus autem circulus positio-
nem habeat A4EI'Z, et auferantur
aequales arcus 24271, ΓΕ iuxta
diametrum igitur oppositum est
punctum Z/ puncto E. iam semi-
eireuli 441, 4 ΓΕ inaequalibus temporibus oriuntur;
dico, etiam arcus oppositos 47/1, ΓΕ inaequalibus tem-

0MH percurrit, eo Z iuxta diametrum ei oppositum exor-
sum à Καὶ arcum KNA4 percurrit et semicireulus EBZ oritur,
aequali tempore semicirceuh. Mzf N, EBZ oriuntur.

11. ἐν ἴσοις χρόνοις Vat., ut lin. 12. ἔχοντα) -τὰ COIT. eX τῶν
m. 2 V 14. ζῳδίων] corr. ex ξῳδιακῶν m. 1 V. 17. ἀνίσοις]
ἀν- add. supra m. 2 V, ut p. 56 lin. 4 et 7 (ἀνίσῳ).

Recensio b.
sit cireulus horizon 4182 et aestivus tropicus AI, hie-
malis autem ΒΖ et zodiacus I'B, et auferantur aequales
areus | E, ΒΖ. itaque semicirculi ΓΕΒ, EBZ inaequalibus

10

10

56 $AINOMENA

ἡ αὐτὴ διαφορά ἔστι τῶν χρόνων, ἐν οἷς τὰ AAT, ATE
ἡμικύκλια ἀνατέλλει, καὶ ἐν oig αἱ 424, ΓΕ SHQHEETE ες
ἀνατέλλουσιν. |
ἐπεὶ yàg τὰ 441, ΔΓΕ duco ἐν ἀνίσοις χρό-
νοις ἀνατέλλει, κοινὸς ἀφῃρήσϑω ὃ τῆς ΖΓ' ἀνατολῆς
χρόνος" (ἡ γὰρ ZI' περιφέρεια ἑαυτῇ ἀεὶ &v ἴσῳ χρόνῳ
ἀνατέλλει)" λοιπαὶ ἄρα αἱ 421, ΓΕ περιφέρειαι ἐν ἀνίσῳ
χρόνῳ ἀνατέλλουσι καὶ αἵ αὐταὶ διαφοραί εἶσι τῶν χρό-
vov, ἐν οἷς τά τὲ AAT, ATE ἡμικύκλια ἀνατέλλει. καὶ
αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαν αἱ 421, ΓΕ. πάλιν δὴ τὰ
AAT, ADE ἡμικύκλια ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει" κοινὸς
ἀφῃρήσθω ὃ τῆς Γ4 περιφερείας χρόνος᾽ λοιπαὶ ἄρα
ci 44. ΓΕ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλουσιν.

ΓΕΒ. EBZ ἡμικύκλια ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλει" λέγω,
ὅτι καὶ αἱ ΓΕ, ΒΖ περιφέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλ-
λουσιν.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ΓῈΒ τοῦ EBZ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει,
κοινὸς ἀφῃρήσϑω ὃ τῆς EB περιφερείας ἀνατολῆς χρόνος᾽
ἣ γὰρ EB περιφέρεια ἑαυτῇ ἀεὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει"
{98 ἄρα ἡ ΓΕ τῆς ΒΖ ἐν πλείονι χρόνῳ ἀνατέλλει, καὶ
φανερόν, ὅτι αἵ αὐταὶ διαφοραί εἶσι τῶν χρόνων, ἐν οἷς τά
τε ΓΕΒ, EBZ ἡμικύκλια ἀνατέλλει καὶ of ἀπεναντίον περι-
φέρειαι at 1Ὲ. ΒΖ. φανερὸν δέ, ὕτι, κἂν ἡμικύκλιά τινα ἐν
ἴσοις χρόνοις ἀνατέλλῃ. καὶ at ἀπεναντίον περιφέρειαι ἐν ἴσοις
χρόνοις ἀνατέλλουσιν.

a. 1. 4 (alt)] mg. add. m. 2 V. 3. ἀνατέλλουσι V, ut
lin. 18. 6. ἡ — ". ἀνατέλλει) fort. interpolata.

b. 6. ἡ — ἀνατέλλει) fort. interpolata. 8. αἱ αὐταί] corr.
ex αὐταὶ αἱ m. 2 Vat.

PHAENOMENA 51

poribus oriri οὖ eandem differentiam temporum esse,
quibus semicirculi 42411, ΔΓΕ oriantur et quibus arcus
AA, UE oriantur.

nam quoniam semicireuli 47/1, 4 ΓΕ inaequalibus
temporibus oriuntur, commune auferatur tempus ortus
areus ΖΓ; arcus Ζ΄ Γ΄ enim semper aequali tempore oritur.
itaque reliqui areus 4471, I'E inaequali tempore oriuntur
el eaedem differentiae sunt temporum, quibus semicir-
cul A4z I1, ΖΓΕ et areus oppositi 471, ΓΕ oriuntur.
lam rursus semicirculi 4711; 4 ΓΕ aequali tempore ori-
. untur; commune auferatur tempus arcus I1. ergo 4421,
ΓΕ aequali tempore oriuntur.

temporibus oriuntur (prop. IX); dico, etiam areus ΓΕ, ΒΖ
inaequalibus temporibus oriri.

nam quoniam I'EB maiore tempore oritur quam EBZ,
commune auferatur tempus ortus arcus EB (nam arcus EB

semper aequali tempore oritur). itaque reliquus arcus ΓΕ
maiore tempore oritur quam ΒΖ, et adparet, easdem diffe-
rentias esse temporum, quibus et semicirculi I EB, EBZ
et arcus oppositi ΓΕ, ΒΖ oriantur. manifestum est autem,
si aliqui semicirculi aequalibus temporibus oriantur, etiam
arcus oppositos aequalibus temporibus oriri.

10

15

10

58 $AINOMENA

να΄.

Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον
περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ 1 ἑτέρα ἀνατέλλει, ἡ ἑτέρα
δύνει, καὶ ἐν & χρόνῳ ἡ ἑτέρα δύνει, ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει.

ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξων ὃ ABI, ó δὲ τῶν ξῳδίων
κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AED, καὶ ἔστω ὑπὸ γῆν τὸ
AAT ἡμικύκλιον. καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι τε καὶ ἀπε-
ναντίον περιφέρειαι αἱ 44], ΓΕ; λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ
ἡ 44 περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ I'E περιφέρεια
δύνει, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΓΕ ἀνατελλει, ἐν τούτῳ ἡ 44
περιφέρεια δύνει.

ἔστωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι, x«9* ὧν φέρεται τὰ
E, 4 σημεῖα, οἱ EO B, KA. καὶ ἐπεὶ τὰ ἐπὶ τοῦ τῶν
ξῳδίων κύκλου ἄστρα κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συξζυ-
γίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, τοῦ E ἄρα ἀνατέλλοντος

Recensio b.

p. 958, 5 564. ἔστω ὁρίζων πύκλος ὁ ABAT, καὶ ϑερινὸς
μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ AT χειμερινὸς δὲ ὁ BA, ἕῳδιακὸς δὲ
ἔστω ó ΓΒ. καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἐπ᾽ αὐτοῦ ἴσαι καὶ ἀπεναντίον
περιφέρειαι αἱ ΓΕ. BZ' λέγω, ὅτι. ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ DE ἀνα-
τέλλει; ἡ ΒΖ δύνει.

ἔστωσαν καϑ᾿ ὧν φέρεται τὰ E, Ζ σημεῖα παράλληλοι
κύκλοι οὗ ΝΘ, KA. καὶ ἐπεὶ τὰ ἐπὶ τοῦ ἑῳδιακοῦ ἄστρα κατὰ
διάμετρον ὦ ὄντα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει τε καὶ δύνει, τοῦ Ε
ἄρα ἀνατέλλοντος τὸ Ζ δύνει" ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ E à φξά-
μένον ἀπὸ τοῦ E τὴν EO περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ

ἃ. 1. ταΊ εβ΄ γ΄. 2. ἀπεναντίων V. 3. περιφερειῶν») περι-
gupra m. 1 V. 4. καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ] ἐν ᾧ δέ Vat. 18. ΕΔ]
AE V. EGB, K44] 4ΘΗΒ, ZKOA V. — 15. ἄρα] corr. ex
γάρ V.

b. 7. Post ἕξῳδιακοῦ add. κύκλου m. 2 Vat.

PHAENOMENA 59

XI.

Cireuli zodiaci areuum et aequalium et oppositorum
quo tempore alter oritur, alter occidit, eb quo tempore
alter occidit, alter oritur.

si& in mundo horizon ABI, circulus autem zodiacus
positionem habeat AEI'f, et sit sub terra semicirculus
AA T, ei auferantur arcus et aequales et oppositi 4f,
I'E; dico, quo tempore ar-
cus Z1 oriatur, eo arcum
I'E occidere, et quo tem-
pore L'E oriatur, eo arcum
A44 occidere.

nam sint circuli paralleli,
per quos puncta £, z/ fe-
runtur, EO B, ΚΩ͂ 4. et quo-
niam eae stellae, quae in
eireulo zodiaco iuxta dia-
metrum oppositae sunt,
coniugate et oriuntur et
occidunt [prop. VI], puncto

Recensio b.

sit eireulus horizon A4B4 1, et aestivus tropicus sit AI;
hiemalis autem Bzf, zodiacus autem sit I'B, et auferantur
in eo aequales et oppositi arcus I'E, ΒΖ: dico, quo tem-
pore ΓΕ oriatur, arcum BZ occidere.

sint circuli paralleli, per quos puncta E, Z feruntur,
NO, ΚΑ. et quoniam eae stellae, quae in zodiaco iuxta
diametrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occidunt
[prop. VI], puncto E oriente Z occidit. itaque quo tempore
E ab E exorsum, postquam arcum EO percurrit, ad Θ᾽ per-

In fig. cod. V, puncta, in quibus circuli ΒΘ et AK zodiaco
. gecantur, litteris zf, H et Z, E notantur, sed 41 et E deletae
et iusto loco positae sunt; H, Z plane inutiles sunt.

Qt

10

15

20

25

60 $AINOMENA

κατὰ τὸ Θ τὸ κατὰ διάμετρον αὐτῷ TO 4] δύνει κατὰ

ε

τὸ 1’ ἐν ᾧ ἄρα τὸ E τὴν EO περιφέρειαν διελθὸν ἐπὶ
τὸ Θ παραγίνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Zi τὴν 414 διελϑὸν
ἐπὶ τὸ 4 παραγίνεται. ἀλλ᾿ ἐν ᾧ μὲν τὸ Zl τὴν 4 Α' δια-
Oro ἡ 44 dm 7 ἐν ᾧ δὲ τὸ E τὴν EO δια-

παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ζ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ζ τὴν
ΖΚ διελϑὸν ἐπὶ τὸ K παραγίγνεται ἀλλ᾽ ὅταν μὲν τὸ E τὴν
ΕΘ διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ EI' περι-
φέρεια, ὅταν δὲ τὸ
Z τὴν ΖΚ διελϑὸν
ἐπὶ τὸ Καὶ παραγέ-
vitet, δύνει ἡ 1 BZ
περιφέρεια ᾽" ἐν ᾧ
ἄρα χρόνῳ ἡ ΓΕ
περιφέρεια ἀνατέλ-
λει, ἐν τούτῳ καὶ
ἡ ΒΖ περεφέρεια
δύνει.

λέγω, ὅτι καὶ ἐν
ᾧ χρόνῳ ἡ ΒΖ
ἀνατέλλει. ἡ ΓΕ
δύνει. μεταΐκξπι-
νήσϑω γὰρ ἐν τῇ
Do πτώσει ὃ τῶν
ἕῳ δίων κύκλος καὶ
ϑέσιν ἐχέτω τὴν ΓΕ ΒΖ. [Aéyo, ὅτι, ἐν & χρόνω ἡ ΒΖ ἀνα-
τέλλει, ἡ ΓΕ δύνει.]

ἐπεὶ κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ Ζ σημεῖον τῷ E σημείω. τοῦ
ἄρα Ζ ἀνατέλλοντος τὸ E δύνει" ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Ζ τὴυ
ZA περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ .4 παραγίγνεται, ἐν τούτῳ
καὶ τὸ E τὴν ΕΝ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ IN παρέσται.
ἀλλ᾽ ὅταν μὲν τὸ Ζ τὸν ZA περιφέρειαν διελϑὺν ἐπὶ τὸ 4

a. 2. ΕἸ inras. V. ΕΘ] E corr. ex 4 V. Post ΕΘ scr. ἄρα V.

“περιφέρειαν — 8. 0] supra add. m. 2 V. 8. παραγίνεται)

γίν- in ras. V. Z4] corr. ex Z V. Post 4 supra add. ἀρξάμε-
vov ἀπὸ τοῦ 4 (corr. ex Z) m. 2 V. 44] corr. ex ZA V.

PHAENOMENA 61

E oriente in 6 punctum 7/, quod iuxta diametrum ei
oppositum est, in 4 occidit. itaque quo tempore E,
postquam areum EO percurrit, ad Θ᾽ pervenit, eo etiam
Zl, postquam arcum z//í percurrit, ad 4 pervenit. verum
quo tempore z/ arcum 71/4 percurrit, 4144 oritur, et quo

eurrit, ad Καὶ pervenit. verum cum Εἰ, postquam arcum EO0
percurrit, ad O0 pervenit, arcus EI' oritur, cum autem Z,
postquam arcum
ZK percurrit, ad
K pervenit, arcus
ΒΖ occidit. ergo
quo tempore areus
ΓΕ oritur, eo
etiam areus ΒΖ
oceidit.

dico, etiam quo
tempore BZ oria-
tur, arcum IE oc-
cecidere. nam mo-
veatur in altero
casu circulus zo-

diacus et

positionem habeat
I'EBZ.

quoniam punctum Z puncto E iuxta diametrum opposi-
tum est, puncto Z oriente E occidit [prop. VI]. itaque quo
tempore Z, postquam arcum Z.4 percurrit, ad 74 pervenit,
eo etiam E, postquam areum EN percurrit, ad N perveniet.
verum, eum Z, postquam arcum Z4 percurrit, ad 71 per-

Post z14 in V 5 litt. evan. ruptura bombyc. διελϑ ἐπί] in
rag. V. 4. τὸ 4 παραγίνεται) supra m. 2 V. 44] corr. ex ΖΘ V.
5. 44] mut. in l'E m. 1(? V. ΕΘ] EA0 (0 supra m. 2) V.

b. 19. go] eras. et scr. δευτέρᾳ m. 2 Vat. 21. Post Z (pr)
add. 4 m. 9 Vat. λέγω — 32. δύνει] deleo. 23. Post ἐπεί
add. ydo m. 2 Vat. j

10

10

15

69 $AINOMENA

πορεύεται, ἡ ΓΕ δύνει. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ 44 ἀνατέλ-
λει, ἐν τούτῳ ἡ ΓΕ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι, ἐν ᾧ
ἡ 414 δύνει, ἐν τούτῳ ἡ ΓΕ ἀνατέλλει.

ιβ΄.

Τοῦ μετὰ τὸν Καρχίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαν περιφέ-
θείαν ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν
αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν. ἐν ἐλάσσονι δὲ
αἵ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ,
ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύ-
νουσι καὶ ἀνατέλλουσιν.

ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξων ὃ ABI, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ
φανερῶν ὁ PZ/T, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ AE, χειμερι-
νὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΓΖ, ἰσημερινὸς δὲ ὁ BH, ὃ δὲ
τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AHI, καὶ ἔστω

παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ ΒΖ᾽ ὕταν δὲ v0 E τὴν ΕΝ περι-
φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγένηται, δύνει ἡ DE iv o
ἄρα χρόνῳ ἡ ΒΖ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ ΓῈ περι-
φέρεια δύνει.

Lp.

Toi μετὰ τὸν Καρκίνον quvwvxMOov αἵ ἴσαι περιφέρειαι ἐν
ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἵ πρὸς ταῖς
συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν
ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἵ ἴσον ἀπ-
ἔχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν.

ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ 4814, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανε-
ρῶν ὃ EZ, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς ὁ BA, χειμερινὸς δὲ
τροπικὸς ὁ TA, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον
τὸ B4 ὑπὲρ γῆς» ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ὁ ΗΘ, καὶ διῃρήσϑω
ἑκατέρα τῶν ΒΞ » 45 εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ K, 4, M, N

ἃ. 1. δύνει) supra ser. ἀνατέλλει m. 2 V. ἐν — 92. δύνει)
om. a. 6. ἀνίσοις] &v- supra m. 2 V. 7. ἐν] addidi.

b. 11. AB ΓΔ] 44ΓΒ m. ἃ Vat. 12. ΒΑ] AB m. 2 Vat.
13. I4] 4Γ' m. ὃ Vat. 15. 4E] Ez m. 2 Vat.

PHAENOMENA 63

tempore E areum EO percurrit, ΓΕ occidit. ergo quo
tempore Z/4/ oritur, eo I'E occidit. iam eodem modo
demonstrabimus, quo tempore 24471 occidat, eo ΓΕ oriri.

XII.

Semicireuli, qui post Canerum est, aequales arcus in-
aequalibus temporibus occidunt, ae maximis quidem ii,
qui ad eontaetus tropicorum sunt, minore autem ii, qui
hos deinceps sequuntur, minimis autem ii, qui ad aequi-
.noetialem sunt, aequali autem ii, qui ab aequinoctiali
aequali intervallo distant, et occidunt et oriuntur.

sib in mundo horizon 4BI, maximus autem cireu-
lorum, qui semper conspicui sunt, PZ/T, aestivus autem
tropieus 4E, hiemalis autem tropicus I'Z, aequinoctialis
autem BHZ, zodiacus autem circulus positionem habeat

venit, ΒΖ oritur; cum autem Κ᾽, postquam areum EJN per-
eurrit,ad JN pervenit, I'E occidit. ergo quo tempore arcus
ΒΖ oritur, eo arcus I'E occidit.

XII.

Semicireuli, qui post Canerum est, aequales areus in-
aequalibus temporibus occidunt, aec maximis quidem, qui
&d eontactus tropicorum sunt, minoribus autem, qui hos
deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequinoctialem
sunt, aequalibus vero ii, qui ab aequinoctiali aequali inter-
vallo distant, et occidunt et oriuntur.

sit eireulus horizon 4BI', maximus autem circulorum,
qui semper conspicul sunt, EZ, et aestivus tropicus BA,
hiemalis autem tropicus 11, et sit semicireulus ΒΖ, qui
post Canerum est, super terram, aequinoctialis autem cir-
eulus sit ΗΘ, et dividatur uterque arcus BÀ, 4f A in tres
partes aequales in punctis K, 4, M, JV; dico, arcus BK,

64 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ

τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆν τὸ AHI,
καὶ διῃρήσϑω ἑἕχάτερον τῶν ΑΗ, HI' τεταρτομορίων
εἷς τὰ ζῳδία κατὰ τὰ O, K, A, M: λέγω, ὅτι αἱ 40,
ΘΚ, KH, HA, AM, ΜΓ ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι.
5 καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ 4Θ, ΓΜ, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ
ΘΚ, AM, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ KH, HA, ἐν ἴσῳ δὲ ἡ
μὲν 4Θ τῇ ΜΙ, ἡ δὲ OK τῇ MA, ἡ δὲ KH τῇ AH.

σημεῖα" λέγω, ὅτι αἱ BK, ΚΑ, AX, ΞΜ, MN, NA ἐν

ἀνίσοις χρόνοις δύνουσι, καὶ ἐν πλείστοις μὲν a BK, NA,

ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ Κι. ΜΝ, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἴ AR, EM,

ἐν ἴσοις δὲ ἡ μὲν AR τῇ ΞΜ, ἡ δὲ KA τῇ MN, ἡ δὲ BK
ὅ τῇ ΝΖ.

a. 7. M4] MK a.

------ -

In fig. cod. L altera zodiaci positio deest; litt. 4/ om. I.

PHAENOMENA 65

AHLI, οὖ sit semicireulus, qui post Canerum super ter-
ram est, 4HI' et dividatur uterque quadrans AH, HI'
in signa in punctis Θ, K, 4, M; dico, arcus 40, ΘΑ͂,
KH, HA, AM, MTI' inaequalibus temporibus occidere,
ac maximis quidem 440, I'M, minoribus autem ΘΚ,
AM, minimo autem KH, ΗΔ, aequali autem 49 et MI
ΘΚ et MA, KH et AH. |

KA, AES, ΕΜ, MN, N4 inaequalibus temporibus occidere,
ac maximis quidem BK, ΝΖ, minoribus autem K 4, MN,
minimis autem X, XM, aequalibus vero 4X et EM, Κα
et ΜΝ, BK et NA.

In fig. cod. Vat. et Gregorii Oy secat P4 inter s et ^, Ps
secat inter α et f; primus corr. Nokk., Phaenomena p. 508q.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. b

66 QAINOMENA

γεγράφϑωσαν γὰρ διὰ τῶν O, K, 4, M παράλληλοι
κύχλοι οἱ NO, &K, Ο4. ΠΗ, διὰ δὲ τῶν O, K μέ-
γιστοι κύκλοι γεγράφϑωσαν ἐφαπτόμενον τοῦ P2 oi
ΣΘΦ, TKX, ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν AP, ΣΘΦ. TKX
τῶν παραλλήλων κύκλων ὁμοίας εἶναι, τουτέστιν οὕτω
γεγράφϑωσαν, ὡς τὸ ἀπὸ τοῦ P ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ

᾿4..Ν μέρη ἀσύμπτωτον εἶναι τοῖς διὰ τῶν Z2, T ἡμι-

10

10

κυκλίοις ὡς ἐπὶ τὰ X, Φ. αἱ μὲν ΝΘ, ΞΎ, ΒΦ ἀπεναν-
τίον εἰσίν" καὶ ἄρα αἱ TK, D X. ὥστε ἐν à τὸ Θ τὴν
ΘΝ διέρχεται. ἐν τούτῳ τότε T τὴν Ὑ διαπορεύεται
καὶ τὸ D τὴν ΦΒ διαπορεύεται. καὶ ἐπεί, ἐν ᾧ χρόνῳ
τὸ Θ τὴν ΘΝ διαπορεύεται, ἡ ΘΑ͂ δύνει, ἐν ᾧ ἄρα τότε
T τὴν Υ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ ᾧ τὴν ΒΦ,
ἡ 0.4 δύνει. πάλιν, ἐπεὶ ἐν à τότε Καὶ τὴν KA διέρχεται
καὶ τὸ X τὴν XB, ἡ ΚΑ δύνει, ἐν à ἄρα τὸ Καὶ τὴν
K διέρχεται, τουτέστι τὸ X τὴν X Φ᾽ ὅμοιαι γάρ slow:

ἔστωσαν x«9' ὧν φέρεται τὰ K, 4, M, IN. σημεῖα παράλ-
ληλοι κύκλοι of. ΟΠ, ΡΣ, TT, OX, καὶ γεγράφϑωσαν διὰ
τῶν K, A μέγιστοι κύκλοι οἵ "Do, $8 ἐφαπτόμενοι τοῦ EZ
κύκλου. ἐπεὶ αἱ BK, Κα, 458 ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, αἱ Ha,
«B, BA ἄρα μείξονές εἰσιν ἀλλήλων, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης
τῆς Hoe. ἐπεὶ οὖν μείξων deriv ἡ He τῆς «p, ἀλλ᾽ 1 uiv
Ha τῇ OK ἐστιν ὁμοία, ἡ δὲ «B τῇ ς 4, καὶ ἡ ΟΚ ἄρα
τῆς ΤΠ, μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία, τῆς. 05 AP ἐλάσσων 1 ἢ ὁμοία
ἡ ΟΚ. ἔστω τῇ ΟΚ ὁμοία ἣ ay" ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ K
σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΟ περιφέρειαν διελθὸν
ἐπὶ τὸ O παραγίγνεται; ἐν τούτῳ καὶ τὸ 44 ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ Δ τὴν Ay. διελϑὸν ἐπὶ τὸ y παρέσται καὶ ó τῶν ξῳδίων
κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν y O0. ἐπεὶ οὖν ὁμοία ἐστὶν ἡ ΟΚ

a. 3. oi] scripsi; roig à. 8. ET]ZT a. Post ΒΦ add. ΟΨ a.
9. ὥστε — 16. διέρχεται) xal ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ τὸ T" τὴν TA
περιφέρειαν διαπορεύεται, ἡ 4Θ δύνει, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΝ
διαπορεύεται, ἡ TAE δύνει" ἐν δὲ τὸ T τὴν TXZX, καὶ τὸ Φ

4

τὴν ΦΒ διαπορεύεται. ὥστε ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΝ διέρχεται, ἐν

τούτῳ τό τε T τὴν TA διαπορεύεται καὶ τὸ O τὴν ΦΠ δια-
πορϑδύεται. πάλιν ἐπεὶ ἐν ᾧ τὸ K τὴν KA διέρχεται, ἡ ΚΑ δύνει,

PHAENOMENA 61

nam describantur per O, K, 4, M circuli paralleli
NO, 5K,04,IIM et per OK circuli maximi descri-
bantur 2200, TKX circulum PZ contingentes, ut arcus
cireulorum parallelorum inter AP, 220, TK X similes
sint ['Theodos. II 13], hoc est ita describantur, ut semi-
eireulus ab P ad partes 4, N non concurrat cum semi-
circulis per Z2, T descriptis ad X, o. arcus NO, 7T,
ΒΦ inter se oppositi sunt; quare etiam arcus TK,
ΦΧ. itaque quo tempore 9 areum ON percurrit, eo et
T arcum T5 percurrit οὐ arcum 9 B percurrit. et
. quoniam quo tempore € areum ON percurrit, ΘΩ͂ oc-
cidit, quo tempore et ^ arcum T3 percurrit et Ó arcum
ΒΦ, ΘΑ͂ occidit. rursus, quoniam quo tempore et Κα
arcum Καὶ percurrit e£ X arcum X B, KA occidit, quo
tempore K arcum K7 percurrit, hoc est X arcum ΧΦ
(nam similes sunt) K6 occidit. eadem de causa etiam,

sint circuli paralleli, per quos puncta K, 4, M, N ferun-
tur, ΟΠ, ΡΣ. T T, X, et describantur per K, Z/ maximi
eirculi «v, 5.8 cireulum EZ contingentes (Theodos. II, 15).
quoniam arcus BK, Κα. 445 aequales inter se sunt, Ho,
«B, B. maiores inter se sunt ἃ maximo Ho incipientes (ib.
ΠῚ, 8). iam quoniam arcus Hc maior est quam «f, arcus
Ho autem similis areui OK (ib.IT, 13) et of similis arcui
c1, etiam OK maior est quam similis arcui c4, OK autem
minor est quam similis areui //P. sit arcui OK similis Zfy.
itaque quo tempore punctum K exorsum a K, postquam
arcum KO percurrit, ad O pervenit, eo etiam 74 exorsum
& 44, postquam arcum 44y percurrit; ad y perveniet et cir-
culus zodiacus positionem habebit y 09. iam quoniam. arcus

1) Ea, quae sequuntur, in codd. à pessime depravata sunt σ. ad-
par. erit. ); ego vestigia cod. V, quantum fieri potuit, secutus sum.

ἐν ᾧ δὲ τὸ T τὴν TA διέρχεται, 3 ΘΑ δύνει, ἐν à ἄρα τὸ K
τὴν K T (corr. ex KE) διέρχεται, ἡ KA δύνει, iv ᾧ δὲ τὸ T:
(ἡ ΚΑ — 7T lineolis del.) a.

b. 4. ἐπεί] καὶ ἐπεί m. 2 Vat. s

δὲ

ζι

10

1

1

σι

0

σι

68 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ἡ ΚΘ δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν ᾧ ó τὸ H τὴν HX
διέρχεται, ἡ HK δύνει. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρα μέγιστος
κύκλος ὁ ABI' κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ
PZT ἐφάπτεται, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ AHT'
λοξὸς Qv πρὸς τοὺς παραλλήλους μειξόνων ἐφάπτεται ἢ
ὧν ὁ 418 Γ ἐφάπτεται, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περι-
φέρειαι o 4Θ. ΘΑ, ΚΗ ἑξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῦ μεγίστου
τῶν παραλλήλων τοῦ B HAZ, διὰ δὲ τῶν O, K σημείων
μέγιστοι κύκλοι γεγραμμένοι εἰσὶν οὗ 220, T'X ἐφαπτό-
μενοι τοῦ PZ/ T κύκλου, οὗ καὶ ὁ ἐξ ἀρχῆς .4BI' ἐφήπ-
τετο, ἀσύμπτωτα ποιοῦντες τὰ ἀπὸ τῶν 2j, T ἐπαφῶν
ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ K, Θ μέρη τῷ PAB ἡμικυκλίῳ
τοῦ Óoífovvog, ἐφ᾽ οὗ ἐστιν ἡ συναφὴ τοῦ λοξοῦ κύκλου

περιφέρεια τῇ γά4, ἀλλὰ ἡ OK τῇ Pg ὁμοία ἐστίν, καὶ ἡ Pe
ἄρα τῇ y.4 ἐστιν ὁμοία καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἴση ἄρα
ἐστὶν ἡ Ps τῇ y.4. κοινὴ ἀφῃρήσϑω ἡ γς᾽ λοιπὴ ἄρα ἡ Py
τῇ ς.4 ἐστιν ἴση. ἡ δὲ OK τῆς &.4 μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία"
καὶ ἡ ΟΚ ἄρα τῆς Py μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία ἐν πλείονι ἄρα
χρόνῳ τὸ K τὴν ΚΟ deg διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παρα-
γίγνεται, ἤπερ τὸ γ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ γ τὴν yP περιφέρειαν
διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παρέσται. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Καὶ τὴν
ΚΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται, δύνει ἡ BK
περιφέρεια, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ γ τὴν γ περιφέρειαν διελϑὸν
ἐπὶ τὸ P παραγίνεται, δύνει ἡ K.4 περιφέρεια ᾿ ἐν πλείονι
ἄρα χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει ἤπερ ἡ Kd. πάλιν ἐπεὶ μείξων ἐστιν
ἡ «B τῆς BE, ἀλλ᾽ ὴ «B τῇ «4 ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ «4 ἄρα
τῆς BA μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία᾽ πολλῷ ἄρα ἡ PA τῆς BA
μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία, τῆς δὲ HE ἐλάσσων ἢ ὁμοία. ἔστω τῇ
PA ὁμοία ἡ Ξε᾿ ivo ἄρα χρόνῳ τὸ A τὴν Ξε περιφέρειαν.
διελϑὸν ἐπὶ τὸ & παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ A τὴν AP
περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παρέσται καὶ ὁ τῶν ζῳδίων

ere

κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν sPqm. ἐπεὶ ovv ὁμοία ἐστὶν ἡ PA

a. 5. λοξὸς ὧν πρὸς Tovg παραλλήλους] addidi. μειζόνων)
μείξων ἃ. 6. ἀπειλημέναι a. 8. BHzl] BHA ἃ. δέ] addidi.
11. τῶν] supra m. 1 V.

PHAENOMENA 69

quo tempore H arcum H X percurrit, Η K occidit. iam
quoniam in sphaera circulus maximus 4 B I" circulum
aliquem sphaerae P2/T contingit, alius autem circulus
maximus 4 HI, qui obliquus est ad cireulos parallelos,
maiores circulos contingit, quam quos 4 BI' contingit,
ei abseisi sunt arcus aequales 40, ΘΚ, ΚΗ deinceps
ad partes easdem maximi parallelornm B Hzf et per
puneta 6, Καὶ circuli maximi descripti sunt 20, TX
contingentes circulum PZ/T, quem etiam circulus ab
initio positus contingebat, et efficientes, ut semicirculi
. a punctis contactus Z2, Τ' ad partes K, 9 tendentes non
concurrant eum eo semieireulo horizontis PAB, in quo
eireuli obliqui est contactus inter polum conspicuum et

OK similis est areui y 4, OK autem similis est arcui Pc
(Theodos. II, 13), etiam Pg arcui y 4 similis est; et sunt
eiusdem circuli. quare Pc aequalis est arcui y4. communis
auferatur 7c. itaque reliquus areus Py arcui c4 aequalis
est. OK autem maior est quam similis arcui g 7. quare
etiam OK maior est quam similis arcui Py. itaque K, post-
quam areum KO percurrit, maiore tempore ad O pervenit
quam y exorsum ἃ y, postquam arcum yP percurrit, ad P
perveniet. verum quo tempore K, postquam arcum KO
percurrit, ad O pervenit, arcus B K occidit, et quo tempore
y. postquam arcum y P percurrit, ad P pervenit, areus K 1
occidit. itaque BK maiore tempore occidit quam K ZJ. rursus
quoniam αβ maior est quam 9,5, verum «f similis est arcui
c4, etiam c// maior est quam similis areui 4. itaque P/
multo maior est quam similis arcui 9,5, minor autem quam
similis areui HX. sit arcui P^ similis Ee. itaque quo tem-
pore A4, postquam arcum (Ξε percurrit, ad & pervenit, eo
eliam 74, postquam arcum 74P percurrit, ad P perveniet et
circulus zodiaeus positionem habebit s P*«. iam quoniam ΡΖ

——————

b. 2. εἰσιν Vat. 19. & Pm] x add. m. 2 Vat.

10

10

15

10 $AINOMENA

ἡ μεταξὺ τοῦ τε φανεροῦ πόλου καὶ τοῦ μεγίστου τῶν
παραλλήλων. ἀνίσους ἀπολήψονται περιφερείας τοῦ με-
γίστου τῶν παραλλήλων κύκλων τὰς μεταξὺ αὐτῶν"
μείξων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν B περιφέρεια τῆς ΦΧ, ἡ δὲ
ΦΧ τῆς ΧΗ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ τὸ ᾧ τὴν OB
διέρχεται, ἤπερ τὸ X τὴν ΦΧ διέρχεται" ἐν πλείονι δὲ
χρόνῳ τὸ X τὴν ΦΧ ἤπερ τὸ Η τὴν HX: ἀλλ ἐν ῳ
μὲν τὸ Φ τὴν ΦΒ διέρχεται, ἡ ΘΑ͂ δύνει, ἐν ᾧ δὲ τὸ X
τὴν ΧΦ διέρχεται, ἡ ΘΚ δύνει, ἐν à δὲ τὸ H τὴν HX
διέρχεται, ἡ HK δύνει" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ μὲν
A0 τῆς ΚΘ δύνει. ἡ δὲ ΘΚ τῆς KH.

λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν αἱ ἴσον
ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ. μετακεκινήσϑω γὰρ ὃ τῶν

τῇ £8, ἀλλ᾽ ἡ PA τῇ HB ἐστιν ὁμοία, καὶ ἡ HB ἄρα τῇ εξ
ἐστιν ὁμοία καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ HB
τῇ 8X περιφερείᾳ. κοινὴ ἀφῃρήσϑω q εβ᾽ λοιπὴ ἄρα ἡ He
λοιπῇ τῇ BA ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἡ sd τῆς DA μείξων ἐστὶν
ἢ ὁμοία, ἴση δὲ ἡ μὲν 5.4 τῇ Py, ἡ δὲ BA τῇ Hs, καὶ ἡ
ἐν ἄρα τῆς He μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία" ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ
τὸ y τὴν M περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται, ἤπερ
τὸ e τὴν ΕΗ διελϑὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίνεται. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν
χρόνῳ τὸ γ τὴν yP περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνε-
ται: 7 y0 περιφέρεια δύνει, τουτέστιν 7 ΚΑ περιφέρεια " ἐν
ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ ε τὴν EH διελϑὸν ἐπὶ τὸ H παραγίγνεται; δύ-
νει ἡ €P, τουτέστιν ἡ 4 περιφέρεια ᾿ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ
ἡ KA δύνει ἤπερ ἡ ΛΞ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ TM τῆς ΗΕ μείξων
ἐστὶν ἢ ὁμοία, ἔστω τῇ HX ὁμοία ἡ Mf' ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ
τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ΚΞ τὴν EH περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ
τὸ Η παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ ΜΙ τὴν ME περιφέρειαν
διελϑὸν ἐπὶ τὸ ξ παρέσται καὶ ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν
ἕξει ὡς τὴν CH. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἵ
TT, PX μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ΒΖ τὰς A4,

—

0 &M ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν

à. 8. τῶν] punctis del. V.

PHAENOMENA 73

maximum circulorum parallelorum, inaequales arcus
maximi eireulorum parallelorum inter se abscindent
[| Theodos. III, 8]. itaque arcus ΒΦ maior est quam ΦΧ,
Q X autem quam XH; maiore igitur tempore P arcum
$QB percurrit quam X arcum ΦΧ percurrit, maiore
autem tempore X areum X quam H arcum HX. verum
quo tempore arcum OB percurrit, €4 occidit et quo
X arcum ΧΦ percurrit, 6 K occidit, et quo H arcum
HX pereurrit, HK occidit. ergo 4 9 maiore tempore
occidit quam .K 9, 60 K autem maiore quam K H.
. Alam dico, eliam eos arcus, qui ab aequinoctiali aequali
intervallo distent, aequali tempore occidere. nam mo-

similis est areui ε τ. verum P^ similis est arcui Hf (Theo-
dos. 1I, 13), etiam Hf arcui e,5 similis est. et sunt eiusdem
circuli. itaque H aequalis est arcui eX. communis aufe-
ratur ef. itaque reliquus arcus He reliquo arcui BÀ ae-
qualis est. et quoniam g// maior est quam similis arcui β
verum c; aequalis arcui Py et 8,5 arcui Hz, Py maior est
quam simils arcui He. itaque y, postquam arcum P per-
eurrib, maiore tempore ad P pervenit, quam e, postquam
arcum & H percurrit, ad H pervenit. verum quo tempore »,
postquam areum yP percurrit, ad P pervenit, I'O, hoc est
arcus K.4 occidit. quo autem tempore e, postquam arcum
€ H percurrit, ad H pervenit, £ P, hoc est areus 44A occidit.
itaque K 4 maiore tempore occidit quam 7/5. rursus, quo-
niam T'M maior est quam similis arcui HX, sit arcui HX
similis Mf. itaque quo tempore ΚΠ exorsum a ,Z, postquam
arcum 4H percurrit, ad H pervenit, eo etiam M, postquam
arcum ]M$ percurrit, ad $ perveniet et circulus zodiacus
positionem habebit velut $.H9. et quoniam in sphaera cir-
euli paralleli Τ᾽ T, PZ maximi alicuius circuli ΒΖ aequales
arcus 4/5, AM ad maximum parallelorum HO auferunt,

b. 10. Post περιφέρξια (alt) lineolis del. δύνει m. 1 Vat.
11. ΕΗ] mg. add. περιφέρειαν (comp.) m. 2 Vat,

e

10

15

20

25

19 óAINOMENA j

ξῳδίων κύκλος x«l τὸ Η ἐπὶ τὸ B παραγινέσϑω" ἕξει
ἄρα ϑέσυιν ὁ ξῳδιακὸς τὴν 4) Β Ψ. xoi ἴση ἐστὶν ἡ KH
τῇ ΗΔ ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ 2.Β τῇ ΒΨ, καί ἐστι μέ-
γιστος τῶν παραλλήλων ὃ B HZ, καὶ παράλληλον κύκλοι
οἱ SK, *P/4* ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ € K τῷ A. ὥστε καὶ
ἡ ΒΞ τῇ BO ἴση ἐστίν, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ € ἄρα ἐπὶ τὸ X
ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ O ἐπὶ τὸ "P. ὥστε καὶ ἡ $55 περι-

ΗΘ, ἴσος ἐστὶν ὃ P: τῷ ΤΎ. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε
καὶ παράλληλοι κύκλοι of ΡΣ, ΤΎ μεγίστου τινὸς κύκλου
περιφερείας τοῦ 48Β4 τὰς TH, HP ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν
μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν HO, ἴση ἐστὶν ἡ TH τῇ ΗΡ.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ζΗ τῇ H9 ἴση, ἐπεὶ καὶ ἡ 4.5 ἴση ἐστὶ τῇ
EM: ἴση ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ ϑ' ἐπὶ τὸ P τῇ ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ τὸ ξ.
καί ἐστιν ἴσος ὁ ΡΣ κύκλος τῷ TT κύκλῳ" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
9P περιφέρεια τῇ Tt περιφερείᾳ. ἀλλ᾽ ἡ Ρ τῇ Ηε TEQHpE-
ρείᾳ ἐστὴν ὁμοία᾽ καὶ ἡ Hs ἄρα τῇ Τξ ἐστὶν ὁμοία" ἐν ᾧ
ἄρα χρόνῳ τὸ ε ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ ε τὴν ΕΗ περιφέρειαν
διελϑὸν ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται; ἐν τούτῳ καὶ τὸ ἕξ τὴν CT
διελϑὸν ἐπὶ τὸ Τ' παραγίγνεται. ἀλλὰ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ 8
ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, δύνει ἡ εἐΡ περιφέρεια; τουτέστιν ἡ
AB περιφέρεια" ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ τὸ τ ἐπὶ τὸ Τ παραγίγνεται;
δύνει ἡ ζΗ περιφέρεια, τουτέστιν ἢ ΞΜ ἡ 4Ξ ἄρα περι-
φέρεια τῇ ΞΜ περιφερείᾳ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ὁμοίως δὴ
δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ KE τῇ EN ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει" λοιπὴ
ἄρα ἡ ΚΑ τῇ ΜΝ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ὁμοίως δὴ δείξομεν,
ὅτι καὶ ἡ BK τῇ ΝΖ ἐν ἴσῳ φόνῳ δύνει.

καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ὴ ΒΚ δύνει ἤπερ ἡ ΚΑ, 5 δὲ
KA ἤπερ ἡ AR, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΒΚ δύνει, ἐν τούτῳ
καὶ ἡ 4Ν, ἐν ᾧ δὲ ἡ KA, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΜΝ, ἐν à δὲ ἡ
AR, ἐν τούτῳ καὶ ἡ EM, καὶ ἡ μὲν ΔΝ ἄρα τῆς NM iv
πλείονι χρόνῳ δύνει, ἡ δὲ N M τῆς ΜΕ.

λέγω, ὅτι καὶ ἡ μὲν AR τῇ ΞΜ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει,

ἡ δὲ ΚΑ τῇ MN, ἡ δὲ ΒΚ τῇ NA.

a. 3. ΗΔ NA ν᾽. 5, ΨΑ (utrumque) ΘΑ ἃ. 6. ΒΟ]
92 X] a.

PHAENOMENA 19

veatur circulus zodiacus et H ad B perveniat. zodiacus
igitur positionem habebit €) ΒΨ. et aequalis est ΚΗ
arcui ΗΔ. quare etiam (2B aequalis est arcui B3. et
maximus circulorum parallelorum est Β ΗΖ et circuli
paralleli sunt $2 K, 95/4. itaque circulus Δ Καὶ circulo 95 /
aequalis est (Theodos. II, 17). quare etiam BA areui BO
aequalis est (ib. II, 18). itaque recta ab (ὦ ad /z aequalis
est rectae ab O ad Ψ' (ib. IIT, 3). quare etiam arcus

PX circulo T' aequalis est ((Theodos.II, 17) iam quoniam
in sphaera circuli aequales et paralleli ΡΣ, T T maximi
-alieuus circuli 4814 arcus TH, HP ad maximum paral-
lelorum H 0 auferunt, T'H arcui H P aequalis est (ib. IT, 18).
est autem etiam ΖΗ arcui HO aequalis, quia etiam 4X
aequalis est arcui Ak M. itaque recta ab 9 ad P aequalis
est rectae ab T ad f£ (ib. III, 3). et circulus PX aequalis
est circulo T T. quare arcus 9 P arcui Τ᾿ ζ aequalis est. verum
9 P arcui Hc similis est. quare etiam He arcui Τῷ similis
est. itaque quo tempore s ab e exorsum, postquam arcum
&H percurrit, ad H pervenit, eo etiam 4, postquam arcum
£T percurrit, ad T'pervenit. verum quo tempore s ad H
pervenit, arcus £P, hoc est arcus 44A occidit et quo tem-
pore £ ad T' pervenit, arcus ΚΗ, hoc est 4M occidit. ita-
que arcus 74,5; aequali tempore atque arcus AM occidit.
iam similiter demonstrabimus, etiam K;5 aequali tempore
atque AN occidere. ergo reliquus arcus K4 aequali tem-
pore atque MN occidit. iam similiter demonstrabimus,
etiam BK aequali tempore occidere atque ΝΖ.

et quoniam BK maiore tempore occidit quam K A4 et K A4
quam 445, verum quo tempore BK occidit, eo etiam 4f N,
quo KA, eo etiam MN, quo 4X, eo etiam EM, etiam
AN maiore tempore occidit quam NM, NM autem quam M.

dico, etiam 445 aequali tempore oriri atque X M, ΚΑ
atque M N, BK atque ΝΖ.

b. 8. τὰς TH, HP] in ras. m. 1 Vat. 18. ΕΡῚ pro e in ras.

ἢ m. 2 Vat. 16. Post δύνει add. ὧν ἐπεὶ ἡ AR τῇ ΞΜ ἐν ἴσῳ
χρόνῳ δύνει m. 2 Vat,

10

14 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

φέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΟΨ. ἐν ᾧ ἄρα τὸ 9, ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ A τὴν EQ, διέρχεται, ἐν τούτῳ χαὶ τὸ UI τὴν ΨΟ.
ἀλλ ἐν à μὲν τὸ £2 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ AL τὴν Af
διέρχεται, ἡ ΒΩ, δύνει" ἐν ᾧ δὲ τὸ Ψ τὴν OV διέρχεται,
ἡ BU δύνει. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ αἱ 428, Β Ψ' περιφέρειαι
δύνουσιν᾽ ὥστε καὶ αἱ KH, ΗΖ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνου-
σιν ὁμοίως καὶ αἱ OK, 4Μ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ oi
40, ΜΓ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ

καὶ ϑεωρείσϑω τὰ λεγόμενα ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς.
καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ 41,
καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα τῶν AH, ΗΓ εἰς τρία ἴσα κατὰ τὰ O,
Κ, 4, Μ σημεῖα, καὶ ἔστωσαν 359 ὧν φέρεται và O, K, 4,
Μ SPARE παράλληλοι κύκλοι οὗ NE, ΟΠ. PZ, TT. Ps
ZH τῆς KII μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία. ἔστω τῇ KI ὁμοία ἡ
Hó: iv à ἄρα χρόνῳ τὸ Καὶ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Καὶ τὴν ΚΠ
περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Π παραγίγνεται; ἐν τούτῳ καὶ τὸ
Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΗΦ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ
τὸ ( παρέσται καὶ Ó τῶν ἕῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν
DIIX. πάλιν, ἐπεὶ 5 1Σ τῆς HZ μείζων ἐστὶν ἢ ὁμοία,

ἃ. 6. ci] ἡ ἃ.

b. 5. ἐπεί] καὶ ἐπεί m. 2 Vat,

PHAENOMENA 15

£2, 5 arcui O *I aequalis est. quo igitur tempore & ex-
orsum a 4 arcum ,5 2 percurrit, eo etiam JF arcum UO.
verum quo tempore (ὦ exorsum a 5 arcum XX per-
eurrit, B $2 occidit, et quo tempore 7 arcum O P. per-
currit, B*I* occidit. itaque arcus £2B, Β ΔΨ aequali tem-
pore oeeidunt. quare etiam ΚΗ, H4 aequali tempore
occidunt; eodem modo etiam ΘΚ, 4M. eadem de causa
etiam 440, MI' aequali tempore occidunt. verum maiore

et considerentur ea, quae diximus, in secunda figura, et
.Sit semieirculus, qui post Cancrum est, sub terra AI et
dividatur uterque arcus 4H, H]I' in tres partes aequales

in punctis Θ, K, 4, M, et sint circuli paralleli, per quos
puneta 0, K, 4, M feruntur, NX, OII, PX, TT. quoniam
ZH maior est quam similis areui K II, sit arcui K II similis
H4. itaque quo tempore K ab Καὶ exorsum, postquam ar-
cum KII percurrit, ad II pervenit, eo etiam H ab H ex-
orsum, postquam arcum JH percurrit, ad Φ perveniet et
cireulus zodiacus positionem habebit velut IIX. rursus,
quoniam 442 maior est quam similis arcui HZ, sit arcui

Qt

10

15

20

25

16 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

ἡ μὲν A0 τῆς ΘΚ δύνει, ἡ δὲ OK τῆς K H: ἐν πλείονι
ἄρα χρόνῳ δύνει καὶ ἡ μὲν ΓΜ τῆς MA, ἡ δὲ M A τῆς
A H. τὰ αὐτὰ δειχϑήσεται καὶ ὅταν ὃ πόλος τῶν παραλ-
λήλων ἐπὶ τοῦ δρίξοντος ἧ, καὶ γραφομένων διὰ τῶν K,
0 μεγίστων κύκλων καὶ διὰ τοῦ πόλου [γραφομένων
ὥστε τῷ ἕκτῳ ϑεωρήματι τοῦ τρίτου βιβλίου τῶν Zipou-
ρικῶν!.

ἔστω τῇ ΗΖ ὁμοία ἡ AU. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Η τὴν ΗΖ
περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ
4A τὴν ΑΨ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ψ παρέσται καὶ ὃ
τῶν ἕῳδίων κύκλος ϑέσιν ἕξει ὡς τὴν 15 2.42. καὶ ἐπεὶ ἐν
σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἵ OII, ῬΖ' μεγίστου τινὸς κύκλου
περιφερείας τοῦ 4Γ τὰς 4H, ΗΚ ἴσας ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν
μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν EZ, ἴσος ἐστὶν ὁ ΟΠ và ΡΣ.
ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οὗ IIO,
PX μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας τοῦ ABI τὰς ZZ,
ZII ἀφαιροῦσι πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν E Ζ,
ἴση ἐστὶν ὴ ΣΖ τῇ ZII' ἔστι δὲ καὶ ἡ ΨΖ τῇ 2. ἴση"

ἴση ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ II ἐπὶ τὸ 9b τῇ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὸ Σ.

καί ἐστιν ἴσος ὁ OII κύκλος τῷ ΡΣ κύκλῳ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
ΠΩ τῇ ΨΣ περιφερείᾳ. ἐπεὶ δὲ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ἀπὸ
τοῦ X ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ X, II μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ $5 ἡμι-
κυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ $5, Z μέρη, ὁμοία ἐστὶν ἡ IIS) περιφέρεια
τῇ ΦΖ περιφερείᾳ. ἀλλὰ ἡ IIS τῇ J X ἐστιν ὁμοία᾽" καὶ ἡ
oZ ἄρα vij «P2 ἐστιν ὁμοία. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Φ τὴν ΦΖ
περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ζ παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ
Ψ τὴν UX διελϑὸν ἐπὶ τὸ Σ παραγίγνεται. ἀλλ᾽ ὅταν μὲν
τὸ Φ ἐπὶ τὸ Z παραγένηται, ἀνατέλλει ἡ ΠΦ περιφέρεια,
τουτέστιν ἡ K H* ὅταν δὲ τὸ Ὁ ἐπὶ τὸ Σ παραγένηται, ἀνα-
τέλλει ἡ ΨΖ περιφέρεια, τουτέστιν ἡ ΔΗ" 5 KH ἄρα τῇ
AH ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. ὁμοίως δείξομεν, ὅτε καὶ ἡ ΚΘ
τῇ 4M ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει, ἡ δὲ A40 τῇ ΜΓ.

τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου ef ἴσαι περιφέρειαι
ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν. αἷ πρὸς ταῖς

a.9. DM] ΓΝ ἃ. MA (pr.)] corr. ex MA V. 4. καί]
τῶν ἃ. 5. γραφομένων --- 6. Σιφαιρικῶν)] deleo.

PHAENOMENA 11

lempore 446 occidit quam ΘΚ et ΘΚ maiore quam KH.
ergo maiore tempore occidit etiam I'M quam M4, M4
autem quam 4H. eadem etiam demonstrabuntur, si po-
lus eireulorum parallelorum in horizonte est atque per
6, K el per polum circuli maximi describuntur [ib. III, 6].

HZ similis 4*P. quare quo tempore H, postquam arcum -
HZ percurrit, ad Z pervenit, eo etiam 7, postquam areum
A percurrit, ad *"U perveniet et circulus zodiaeus posi-
tionem habebit velut 3PZ£2?. et quoniam in sphaera circuli
paralleli OIJ, P2/ maximi alieuius circuli. 4 Γ΄ aequales ar-
eus 4H, HK ad maximum parallelorum EZ auferunt, ΟΠ
eireulo P2 aequalis est ('Theodos. II, 17). iam quoniam in
sphaera circuli aequales et paralleli IIO, PZ/ maximi ali-
euius cireuli 4BI'Z arcus ZZ, ZII ad maximum paralle-
lorum EZ auferunt, ZZ arcui ZII aequalis est (ib. II, 18).
verum *PZ arcui Z$) aequalis est. aequalis igitur etiam
recta ἃ Π ad δὰ rectae ab "7 ad 2 (ib. III, 3). et circulus
OI circulo P2 aequalis est. itaque 11$. arcui P2 ae-
qualis est. quoniam autem semicirculus ab X ad X, II
partes cum semicirculo ab $?) ad (ὁ, Z partes non concurrit,
arcus II$2 arcui ΦΖ similis est (ib. II, 13). verum II»
similis est arcui *«PZ. quare etiam OZ arcui *UZ similis est.
itaque quo tempore ὦ, postquam arcum GZ percurrit, ad
Z pervenit, eo etiam *P, postquam ὩΣ percurrit, ad X
pervenit. verum cum Φ ad Z pervenit, arcus IIO, hoc est
KH oritur; eum autem *P ad 2 pervenit, arcus 'PZ, hoc
est ΖΗ oritur. itaque KH aequali tempore atque ΖΗ ori-
tur. similiter demonstrabimus, etiam K 0 aequali tempore
oriri atque ΔΜ, et 46 aequali tempore oriri atque MI.
ergo semicireuli, qui post Canerum est, aequales arcus
inaequalibus temporibus occidunt, ac maximis quidem, qui

b. 20. παραγίγνεται] del. et scr. παρέσται m. 2 Vat.
26. Post MI add. ἐν ἴσω χρόνω ἀνατέλλει Vat., sed postea del.

18 ΦΑΙΝΟΜΈΝΑ

τοῦ ἄρα μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περι-
φέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις δύνουσιν, καὶ ἐν πλείστῳ
uiv αἷ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν. ἐν ἐλάσσονι
δὲ αἱ ἑξῆς τούτων. ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἱση-
μερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀλλήλαις

- ἀνατέλλουσιν.

10

15

Ly.
Τοῦ μετὰ τὸν Aiyóxsoov ἡμικυχλίου αἱ ἴσαι περι-
φέρειαι ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλεί-
ὅτοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάτ-
coG, δὲ αἱ ἑξῆς τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ
ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαν τοῦ ἰσημερι-
νοῦ xoi δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν.
ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ ABI, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς
ὁ AE, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὃ ΓΖ, ἰσημερινὸς ὁ BA,
ὁ δὲ τῶν ξωδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4Η ΓΘ, καὶ
ἔστω τὸ μετὰ τὸν AlyóxsQov ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ
ΓΗ Α, καὶ διῃρήσϑω ἕκάτερον τῶν ὑπὸ γῆν ΓΗ͂, HA
τεταρτημορίων εἰς τὰ ξῴδια κατὰ τὰ K, 4, M, N* λέγω,

συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλλάσσοσι δὲ of ἑξῆς τούτων, ἐν
2 , M Ὁ MI aui 2" 30 γα - 2 » M £M ?
ἐλαχίστοις δὲ αἷ πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσοις δὲ ai ἴσον ἀπ-
, - - ᾿ , u , ΝΣ ,
ἔχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν.

Recensio b.
ιγ΄. Τοῦ μετὰ τὸν “Αἰγόκερων ἡμικυκλίου «f ἴσαι περιφέ-
, 9 , , 3 , M ,
ρειαν ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις uiv
δ 1 - ^ m^ - , 2 /, ^ —
αἵ πρὸς ταῖς συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσοσι δὲ af ξξῇς
, ? 2 , ji δ M ἂν" τὰ - 2 LU x e
τούτων, ἐν ἐλαχίστοις δὲ af πρὸς τῷ ἰσημερινῷ, ἐν ἴσω δὲ αἱ
4 4. ,

à. 2. ἀνίσοις] ἴσοις ἃ. 5. αἱ] supra m. 1 V. 19. ἑκάτερον)
addidi. τῶν — 20. τεταρτημορίων] τό — τεταρτομόριον ἃ.

PHAENOMENA 19

ergo semicireuli, qui post Canerum est, aequales areus
inaequalibus temporibus occidunt, ac maximo quidem,
qui ad contaetus tropieorum sunt, minore autem, qui
hos deinceps sequuntur, minimis autem qui ad aequi-
noctialem sunt, aequalibus autem 1i, qui ab aequinoctiali
aequali intervallo distant. iam similiter demonstrabimus,
eos aequali inter se tempore oriri.

XIII.

Semieirculi, qui post Caprieornum est, aequales arcus
Anaequalibus temporibus oriuntur, ac maximis quidem,
qui ad contactus tropicorum sunt, minoribus autem, qui
hos deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequi-
noctialem sunt, aequalibus autem 11, qui ab aequinoctiali
aequali TUA NR distant, et néciduni et oriuntur.

sit in mundo horizon A BI, aestivus autem tropicus
A E, hiemalis autem tropicus ΓΖ, aequinoctialis ΒΖ,
zodiaeus autem circulus positionem habeat 4 HI'O, et
sit semieireulus, qui post Caprieornum sub terra est,
I'HA, et dividatur uterque sub terra quadrans ΓΗ͂, H.4
in signa in punctis K, 4. M, N; dico, arcus ΓΚ, ΚΑ,

ad contactus tropicorum sunt, minoribus autem, qui hos
deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequinoctialem
sunt, aequalibus vero, qui ab aequinoctiali aequali intervallo
distant, et occidunt et oriuntur.

Recensio b.

XIIL Semicireuli, qui post Capricornum est, aequales
&reus inaequalibus temporibus oriuntur, ac maximis quidem,
qui ad contactus tropicorum sunt, minoribus autem, qui hos
deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequinoctialem

b. 3. Seq. scholium nr. 102 et demonstr. altera, v. app.
8. ioo] ἴσοις supra m. 2 Vat.

1

ex

ex

e

80 $AINOMENA

ὅτι αἱ ΓΚ, KA, AH, HM, MN, ΝΑ περιφέρειαι ἐν
ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλείστοις μὲν αἱ
ΓΚ, NA, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ KA, ΜΝ, ἐν ἐλαχίστοις
δὲ αἱ AH, HM, ἐν ἴσοις δὲ ἡ μὲν ΓΚ τῇ ΝΑ, ἡ δὲ
ΚΑ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΛΗ τῇ ΗΜ.

ϑερινός

E ἀνατολή

διῃρήσϑω δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν 40, OI' τεταρτημο-
ρίων τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου sig và ξῴδια
κατὰ τὰ Ξ, O, Il, P" ὃ ἄρα κύκλος ἔσται διῃρημένος

ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημεριυοῦ κύκλου καὶ ἀνατέλλουσι καὶ
δύνουσιν.

ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ ABI'A, καὶ ϑερινὸς μὲν τροπικὸς ὃ
BA, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὃ ΓΖ, καὶ ἔστω τὸ μετὰ τὸν Ai-
γόκερω ἡμικύκλιον ὑπὸ γῆν τὸ 4 ΗΒ, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος
ὁ EOHZ, καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα τῶν BH, HA εἰς τρία ἴσα,
κατὰ τὰ K, 4, M, Ν σημεῖα᾽ λέγω, ὅτι αἱ BK, ΚΑ, AH,
HM, ΜΝ, ΝΖ ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἀνατέλλουσιν, καὶ ἐν πλεί-
στοις μὲν αἱ BK, ΝΖ, ἐν ἐλάσσοσι δὲ αἱ ΚΑ͂, MN, ἐν ἐλα-
χίστοις δὲ αἱ 4H, HM, ἐν ἴσῳ δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ NA, ἡ δὲ
KA τῇ MN, ἡ δὲ AH τῇ HM ἀνατέλλει καὶ δύνει.

&. 2. ἀνατέλλουσι V; item p. 82 lin. 14 utrumque. 4. HM]
NM a. 6. ἑκάτερον] τὸ ἕτερον i.

PHAENOMENA 81

AH, HM, MN, NA inaequalibus temporibus oriri, ac
maximis quidem ΓΑ, N.4, minore autem K.4, MN, mi-
nimis autem ΔΗ. HM, aequalibus autem ΓΚ et N.A,
KA et MN, AH et HM.

dividatur etiam uterque quadrans 449, ΘΙ semicirculi,
qui post Cancrum est, in signa in punctis 5, O, II, P.
cireulus igitur in duodecim partes aequales divisus erit,

sunt, aequales autem ii, qui à circulo aequinoctiali aequali
intervallo distant, et oriuntur et occidunt.

sit cireulus horizon ABI et aestivus tropicus B4, hie-
malis autem tropicus I'4, et sit semicireulus Z/HB, qui post
Caprieornum est, sub terra, aequinoctialis autem circulus
sit EGHZ, et dividatur uterque arcus BH, ΗΔ in tres
partes aequales in punctis K, 4, M, N; dico BK, ΚΑ. AH,
HM,MN, ΝΖ inaequalibus temporibus oriri, ac maximis
" quidem BK, IZ, minoribus autem Καὶ 4, MN, minimis autem
AH, HM, aequalibus autem BK et ΝΖ, Καὶ et MN, AH
et HM oriri.

b. 8. Post Nzf ins. περιφέρειαι m. 2 Vat. 10. ἴσῳ] ἴσοις m. 2
Vat. 11. ἀνατέλλει] ἀνατέλλουσι m, ἃ Vat. καὶ δύνει) add. Nokk.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 6

ex

10

[^u

10

15

20

82 QAINOMENA

εἷς và δώδεκα ἴσα, καὶ φανερόν, ὅτι αἱ 4, ΞΟ, OO,
GI, ΠΡ, ΡΓ ταῖς ΓΚ, KA, AH, HM, MN, NA
ἴσαι vé εἶσι xol ἀπεναντίον. καὶ ἐπεὶ τοῦ μετὰ τὸν
Καρκίνον ἡμικυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ
χρόνῳ δύνουσιν, ἀλλ᾽ ἐν πλείστοις μὲν αἱ πρὸς ταῖς
συναφαῖς τῶν τροπικῶν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ ἑξῆς τού-
vOv, ἐν ἐλαχίστοις δὲ αἱ πρὸς τῷ ἰδσημερινῷ, év
ἴσῳ δὲ αἱ ἴδον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ, ἐν πλεί-
στῷ μὲν ἄρα αἱ ΑΞ, PI' δύνουσιν, ἐν ἐλάσσονι
δὲ αἱ ΞΟ, ΠΡ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ OO, ΟΠ, ἐν ἴσῳ
δὲ ἡ μὲν AA τῇ PI, ἡ δὲ ΞΟ τῇ ΠΡ, ἡ δὲ OO τῇ
ΘΙ. ἀλλ᾽ ἐν ᾧ ᾧ αἱ A&, &O, OO, ΘΠ. ΠΡ, PI' δύ-
νουσιν, ἐν τούτῳ αἱ ΓΚ, KA, AH, HM, MN, NA
ἀνατέλλουσιν. ἐν πλείστῳ ΕΝ 1905] αἱ ΓΚ, NA àva-

ἔστω γὰρ τὸ μετὰ τὸν “Καρκίνον ἡμικύκλιον ὑπὲρ γῆς τὸ
ΒΘΖ. καὶ διῃρήσϑω ἑκατέρα τῶν BO, 94 εἰς τρία ἴσα κατὰ
τὰ O, II, P, Σ. ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ὴ ΒΟ δύνει ἤπερ ὃ
OII, ἀλλ᾽ ἂν ᾧ μὲν χρόνῳ ὴ ΒΟ δύνει, ἡ AN ἀνατέλλει, ἐν
ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ὍΠ δύνει, ἡ j| MN ἀνατέλλει, ἐν πλείονι ἄρα
χρόνω ἡ ΝΖ ἀνατέλλει ἥπες ἡ ΝΜ. πάλιν, ἐπεὶ ji OII ἐν
πλείονι ἀρόνῳ δύνει ἤπερ ἡ ΠΘ, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ 3 OII
δύνει, ἡ NM ἀνατέλλει, b ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΄ΠΘ δύνει, ὴ ΗΜ
ἀνατέλλει; ἐν πλείονι à ἄρα χρόνῳ ἡ INM ἀνατέλλει ἤπερ ἡ M H.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ uiv: BK τῆς ΚΑ ἐν πλείονι χρόνῳ
ἀνατέλλει, q δὲ KA τῆς AH. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ὴ ΠΘ
δύνει, ἐν τούτῳ καὶ n OP, ἀλλ᾽ ἐν à μὲν 1 I0 δύνει, ἡ MH
M Eine ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἣ ΘΡ δύνει, q H4 ἀνατέλλει, καὶ

ἡ MH ὅρα τῇ HA ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνατέλλει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ
καὶ ἡ μὲν KA τῇ ΜΝ ἐν ἴσῳ «χρόνῳ ἀνατέλλει, ἡ δὲ ΒΚ τῇ
4 Ν. πάλιν, ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἣ IIO ἀνατέλλει, ev τούτῳ καὶ
ὴ ΘΡ, ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ II 6 URS U MH δύνει,
ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΘΡ ἀνατέλλει, ἡ ἢ HA δύνει, ἡ AH ἄρα τῇ
HM iv ἴσῳ χρόνῳ δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ΚΑ τῇ
ΜΝ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει, ἡ δὲ ΒΚ τῇ 4Ν.

ἃ. 1. rd] τὰ (comp.)supram.1 V. 2. ΚΑ] 4 δ οοστ. V. 8. ἐπεί)
ἐπί ἃ. ὅ. δύνουσι V; item lin. 12. 9. δύνουσιν)] δύνουσαι ἃ.

PHAENOMENA 83

οὐ adparet, arcus 44,5, ΞΟ. O9, ΘΙ, ΠΡ, PI' arcubus
ΓΚ, ΚΖ, AH, HM, MN, NA et aequales esse et oppo-
sitos. et quoniam semicirculi, qui post Canerum est,
aequales arcus non aequali tempore occidunt, sed maxi-
mis, qui ad contactus tropicorum sunt, minore autem,
qui hos deinceps sequuntur, minimis autem, qui ad aequi-
noetialem sunt, aequali autem ii, qui ab aequinoctiali
aequali intervallo distant [prop. XII], maximo 43. PI'oc-
cidunt, minore autem ,5O, ΠΡ, minimo autem O6, ΘΙ,
aequali autem 4,5 et PI? EO et ΠΡ, O9 et ΘΠ. verum
quo tempore 4,5, ΞΟ, OO, OII, ΠΡ, PI' occidunt, eo
ΓΚ, KA, AH, HM, MN, NA oriuntur. itaque maximo
tempore ΓΚ, N.4 oriuntur, minore autem K A4, MN, mi-

nam sit semicireulus B 07/1, qui post Cancrum est, super
lerram, et dividatur uterque arcus B 0, ΘΖ in tres partes
aequales in punctis O, JI, P, 2. quoniam BO maiore tem-
pore occidit, quam O11 [prop. XII], verum quo tempore BO
oecidit, 4N oritur, et quo tempore OII occidit, MN oritur
[prop. XI], ΝΖ maiore tempore oritur quam JN .M. rursus
quoniam ΟἿ] maiore tempore occidit quam 110, verum quo
tempore ΟΠ occidit, INN M oritur, et quo tempore IIO oc-
cidit, H M oritur, N M maiore tempore oritur quam M ἢ.
eadem de causa etiam BK maiore tempore oritur quam
KA et KA quam AH. et quoniam quo tempore 116) oc-
eidit, eo etiam OP [prop. XII], verum quo ΠΘ occidit, MH
oritur, et quo tempore 60 P occidit, H4 oritur, etiam MH
aequali tempore oritur atque 7/4. eadem de causa etiam
ΚΑ aequali tempore oritur atque MN et BK atque 4 N.
rursus, quoniam quo tempore IIO oritur, eo etiam OP (ib.),
verum quo tempore {0 oritur, MH occidit, et quo tempore
6 P oritur, H4 occidit, 4H aequali tempore occidit atque
HM. eadem de causa etiam Καὶ 4 aequali tempore occidit
atque M N et BK atque Z N.

b. 1. Καρκίνον] in ras. Vat. 3. Post Z add. σημεῖα. καί m. 2 Vat.

6*

1

τῷ

Cx

0

cx

84 OAINOMENA

τέἕέλλουσιν, ἐν ἐλάσσονι δὲ αἱ KA, ΜΝ, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ
ci AH, ΗΜ, ἐν ἴσῳ δὲ ἡ uiv AN τῇ ΓΚ, ἡ δὲ MN
τῇ KA, ἡ δὲ HA τῇ MH. καὶ ἐπεὶ, ἐν ᾧ χρόνῳ ἀνα-
τέλλει ἡ OO, ἐν τούτῳ καὶ ἡ OII, ἀλλ᾽ ἐν à μὲν χρόνῳ
ἡ ΟΘ ἀνατέλλει, ἡ AH δύνει. ἔν à δὲ χρόνῳ ἡ ΘΠ
ἀνατέλλει, ἡ HM δύνει, ἡ H.A ἄρα τῇ ΗΜ ἐν i69 χρόνῳ
δύνει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ΜΝ τῇ AK, ἡ δὲ ΝΑ
vjj KI.

[4ijuu a.
Tob τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν ἴσων περιφερειῶν καὶ
ἴσον ἀπεχουσῶν ἀπὸ τῆς τροπικῆς συναφῆς ὁπότερας-

e

obv, ἐν ὦ ἡ ἑἕτέρα ἀνατέλλει, ἡ ἑτέρα δύνει καὶ τὸ
ἀνάπαλιν.

ἔστω ἐν κόσμῳ δρίξων κύκλος 0 ABI, ϑερινὸς δὲ
ὁ AZ, χειμερινὸς δὲ ὁ BI, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος
ϑέσιν ἐχέτω τὴν BEA, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι τε καὶ
ἴσον ἀπέχουσαι τῆς τροπικῆς συναφῆς περιφέρειαι cl
EZ, ΗΘ’ λέγω, ὅτι ἐν ᾧ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, ἡ HO δύνει.

ὑποχείσϑω. ὅτι τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικύκλιον
τὸ ΒΘΖ δύνει. εἰλήφϑω δὲ τῇ ΗΘ ἴση ve καὶ ἀπεναν-
τίον ἣ ΚΑ περιφέρεια οὖσα τοῦ μετὰ τὸν Aiyóxsoov
ἡμικυκλίου. αἱ ΚΑ, EZ ἄρα ἴδον ἀπέχουσαι τοῦ τὲ ἰδη-
μερινοῦ καὶ τῶν τροπιχῶν συναφῶν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἀνα-
τέλλουσιν᾽ ἀλλ᾽ ἐν ᾧ ἡ KA ἀνατέλλει, ἡ ἀπεναντίον ἣ
ΘΗ δύνει" καὶ ἐν ᾧ ἄρα ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, ἡ ΘΗ δύνει
καὶ τὸ ἀνάπαλιν. ὅπερ ἔδει δεῖξαι.]

3. HA] ΚΑ ἃ. MH] AH ἃ. 4. ΘΠῚ OP a. 6. ΗΔ] ΑΝ a.
9. Λῆμμα] (0 ^ Vl (L numeros propositionum 0om.), &s' ν΄.
14. ὁρίξων) om. a. 18. ἡ (alt.) om. a. 19. ὑποκείσϑω, ὅτι)
addidi; lac. 10—12 litt. a. 21. οὖσα] addidi; lac. 5 litt. a.

Aiyóxsoov| -v add. m. 2 V. 22. ΚΑ, EZ] addidi. 24. ἡ
(tert.)| supra add. m. 1 V. 26. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. γ΄.

1) Hoc lemma pro scholio habent codd. rec. b; v. schol.
nr. 107 et prolegomena.

PHAENOMENA 85

nimo autem 4H, HM, aequali autem 4N et ΓΚ, MN
οὐ ΚΖ, HA et MH |prop. XII]. et quoniam, quo tem-
pore O9 oritur, eo etiam ΘΙ [1ib.], verum quo tempore
OO oritur, 4H occidit, quo autem tempore OII oritur,
HM occidit [prop. XI], HA et HM aequali tempore
occidunt. eadem de causa etiam MNN et AK, NA et ΚΓ.

[Lemma.!)

Circuli zodiac! arcuum qui aequales sunt et ab utrovis
. eontaetu tropieo aequali intervallo distant, quo tempore
alter oritur, alter occidit et vicissim.

sit in mundo circulus
horizon ABI 4, aestivus
autem tropicus “44. hie-
malis autem BI zodia-
eus autem circulus po-
sitionem habeat BEZ
eb auferantur arcus ae-
quales et a contactu tro-
pico aequali intervallo
distantes EZ, HO; dico,
quo tempore EZ oriatur,
eo HO occidere et vicis-
sim.

supponatur, semicireulum B 07, qui post Canerum
est, occidere. sumatur autem arcui HO aequalis et op-
positus areus ΚΖ, qui semieireuli post Capricornum
est. arcus KA, EZ igitur et ab aequinoctiali et a con-
tactibus tropicis aequaliter distantes aequali tempore
oriuntur [prop. 12]; verum quo tempore K^ oritur,
arcus oppositus 6 H occidit [prop. 11]; ergo quo tem-
pore EZ oritur, 6 H occidit et vicissim. quod erat de-
monstrandum. |

τὸ μετὰ τὸν

χαρχίνον

86 $AINOMENA

ιδ΄.

Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν
ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσδουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽
ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώ-

ὅ τερον, ὅταν ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ ἧ τοῦ τὲ
ἀρκτικοῦ καὶ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ.
ϑερινός

ξῳδιακός

χειμερινός

Recensio b.
ιδ΄. Τοῦ τῶν ζῳδίων κύκλου αἵ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν
ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν
πλείονι ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώ-
ὅ τερον, ὅταν ὃ πόλος τοῦ ὁρίζοντος μεταξὺ ἦ τοῦ τε ἀρχτικοῦ
καὶ τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ.

PHAENOMENA 81

XIV.

Cireuli zodiaci aequales arcus non aequali tempore
hemisphaerium conspicuum permutant, sed maiore sem-
per is, qui propior est aestivo tropico quam remotior, si
polus horizontis inter arcticum et aestivum tropicum est.

Recensio b.

XIV. Circuli zodiaei aequales arcus non aequalibus tem-
poribus hemisphaerium conspicuum permutant, sed maiore
tempore arcus, qui propior est contactui tropici aestivi
quam remotior, si polus horizontis inter arcticum et aesti-
vum iropicum est.

Eua. Yl, ις΄ v. 4. ἔγγειον ἃ. ἀπότερον a.

10

σι

10

20

88 OQAINOMENA

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ go-
νερῶν ὁ 44, τῶν δὲ ἀεὶ ἀφανῶν ὁ ZH, καὶ ϑερινὸς μὲν
τροπιχὸς 0 BI'K, χειμερινὸς δὲ ὁ ΜΝ, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων
κύκλος ϑέσιν ἐχέτω ὁτὲ μὲν τὴν ΚΟ, ὃτὲ δὲ τὴν
II TP, καὶ ἀπειλήφϑω ἡ KO περιφέρεια μὴ μείξων
ἡμικυχλίου, καὶ διὰ τοῦ E γεγράφϑω μέγιστος κύκλος
ἐφαπτόμενος τοῦ Α4 Ε΄ ἐφάπτεται δὴ καὶ τοῦ ZH:
ἤτοι δὴ διὰ τοῦ K ἐλεύσεται [ὃ EH Θ κύκλος] ἢ ὑπερ-
πεσεῖται τὸ K ὡς ἐπὶ và B μέρη᾽ οὐδὲν γὰρ διαφέρει"
ἔστω ὁ EHO καὶ ἔστω ἀσύμπτωτον τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμι-
κύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ P μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ .4 ἡμικυκλίῳ ὡς
ἐπὶ τὰ B μέρη. ἐπεὶ oov τοῦ ABI' κύκλου ὁ πόλος
μεταξύ ἐστι τῶν AA E, BKI', καὶ γεγραμμένοι εἰσὶ

ἔστω ὁρίζων κύχλος ὁ ABI, μέγιστος δὲ τῶν ἀξὶ φανε-
ρῶν ἔστω ὁ EZ, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ BA, καὶ ἔστω ὃ τοῦ
41ΒΓ4 πόλος μεταξὺ τῶν EZ, BA, ὃ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος
ποτὲ μὲν ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν O HK, ποτὲ δὲ ὡς τὴν AM N,
καὶ ἀπειλήφϑω ἡ HK μὴ μείξων ἡμικυκλίου, καὶ γεγράφϑω
διὰ τοῦ K σημείου μέγιστος κύκλος 0 ΚΙΝΖ ἐφαπτόμενος
τοῦ EZ. :

ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ AB ΓΖ κύκλου τινὸς EZ
ἐφάπτεται, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τέμνει τὸν B.4, καί
ἐστιν 0 τοῦ 48ΒΓ4 πόλος μεταξὺ τῶν AB, ΕΖ, καὶ γεγραμ-
μένοι εἰσὶ μέγιστοι κύκλοι of ΘΗ K, AM N ἐφαπτόμενοι τοῦ
BA, μείξων ἐστὶν ἡ OM περιφέρεια τῆς ΟΖ περιφερείας.
πάλιν, ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ 4Β ΓΖ κύκλου τινὸς
τοῦ ΕΖ ἐφάπτεται, ἕτερον δὲ τούτῳ παράλληλον τὸν BA
τέμνει, καί ἐστιν 0 τοῦ ABI κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν BA,
EZ, καὶ γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ZIN K ἐφαπτόμενος τοῦ
EZ, καὶ ὃ τοῦ ZINK ἄρα κύκλου πόλος μεταξὺ τῶν EZ,
B.A ἐστιν᾽ ὃ ἄρα ἕτερος πόλος αὐτοῦ μεταξὺ τῶν ἴσων τε καὶ
παραλλήλων τοῖς EZ, BA ἐστιν. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΟ
τῆς ΟΜΝ, ὧν ἡ &MO τῆς OZ μείξων ἐστίν" λοιπὴ ἄρα ἡ

ἃ. 2. ἀφανῶν] φανερῶν ἃ. ὅ. ΚΟ] Ο ecorr. V. 8. ὁ ΕΗ Θ
κύκλος] deleo.

PHAENOMENA 89

sit in mundo horizon ABI, maximus autem circulo-
rum, qui semper conspieul sunt, 4471 et eorum, qui
semper oeculüi sunt, ZH, et aestivus tropieus BI'K,
hiemalis autem 4MN, zodiacus autem circulus positio-
nem habeat modo K,ZO, modo II TP et auferatur arcus
KO non maior semiciréulo, e£ per punctum E deseri-
batur cireulus maximus contingens 42] E; contingit igitur
eliam ZH; iam aut per K veniet aut ultra K cadet ad
partes B (nihil enim interest); sit EH O0 et sit semi-
eireulus ἃ puncto E ad partes P cum semicirculo a
.puneto 44 ad partes B non concurrens. iam quoniam
polus eireuli 4B I' inter 44 E, BKT' est et descripti

sit cireulus horizon 4BI'1, maximus autem circulorum,
qui semper conspieul sunt, sit EZ, aestivus autem iropicus
BA, et sit polus circuli 4BI' inter EZ, B.A4, circulus zo-
diacus positionem habeat modo 0 HK, modo 4M N, et
auferatur arcus HK ita, ut non maior sib semicirculo, et
describatur per punctum K circulus maximus K /IVZ con-
tingens EZ.

quoniam in sphaera circulus maximus 4 Β ΓΖ circulum
aliquem EZ contingit, alium. autem huie parallelum ΒΑ
secat, et polus circuli 4BI'f inter AB et EZ est, et de-
scripti sunt circuli maximi O HK, 4M N contingentes BA,
arcus OM areu Ozf maior est. rursus, quoniam in sphaera
ecireulus maximus A4BI'7 circulum aliquem EZ contingit,
alium autem huic paralleum B.4 secat, et polus circuli
ABI inter B.A et EZ est, et descriptus est circulus maxi-
mus Z NK contingens EZ, etiam polus circuli Z NK inter
EZ et BA est. itaque alter polus eius inter circulos ae-
quales et parallelos EZ, B.A4 est. itaque KO maior est quam
OMN, quorum ,£MO maior est quam O4; itaque reliquus

b. 2. τοῦ] om. Vat. sed add. m. 1. 8. Ante ἐπεί add. καί
m. 2 Vat, item p. 90 lin. 8. 16. B4] Β4 Vat. 20. OMN]
O eras. Vat. *

10

10

15

90 O$AINOMENA

κύκλοι τέμνοντες TOv BAT, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ TD
περιφέρεια τῆς IIT. πάλιν, ἐπεὶ τοῦ 48ΒΓ' xóxAov ὃ
πόλος μεταξύ ἐστι τῶν 44Ε. BKI' καὶ τοῦ AAE
ἐφαπτόμενός ἐστιν ὃ EPO, καὶ τοῦ EPO ἄρα ὃ πόλος
μεταξύ ἐστι τῶν AZ E, BKI* ὃ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος
μεταξύ ἐστι τῶν ΖΗ, MN. A'* ἱιείζων ἄρα ἐστὶν ἡ P0
περιφέρδια τῆς ὙΠΡ' ἡ δὲ TO τῆς TIIT ἐλάσσων
ἐστίν" λοιπὴ ἄρα ἡ OO τῆς PT μείζων ἐστίν. κείσϑωσαν
ὅμοιαι καὶ ἴσαν περιφέρειαι αἱ ΤΡ, ΦΧ, xol ἔστωσαν
παράλληλοι κύκλοι, καϑ' ὧν φέρεται τὰ P, X σημεῖα, οἱ
UW'X2,545,P: ὅμοιαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΨΧΣ, 522} Ρ' ἐν ᾧ
δὲ τὸ 2] τὴν ZEX P περιφέρειαν διαπορεύεται, ἐν τούτῳ
καὶ τὸ Ρτὴν P5 περιφέρειαν διαπορεύεται. ἐν πλείονι

AK τῆς EN μείζων ἐστίν. κείσϑω τῇ INE ion ἡ 4Π, καὶ
ἔστωσαν xaO ὧν φέρεται τὰ IN, II σημεῖα. παράλληλοι κύκλοι
of N P, Γ ΠΣ. ἐπεὶ ἀσύμπτωτόν ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμικύκλιον
ὡς ἐπὶ và E,P μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ Z ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ Z,
Ν μέρη, ὁμοία ἐστὶν ἡ NP “περιφέρεια τῇ ΓΣ περιφερείᾳ"
ἡ NP ἄρα M III μείξων ἐστὶν 1) ὁμοία" ἐν πλείονι ἄρα
χρόνῳ τὸ Ν ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΡ περιφέρειαν
διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίνεται ἤπερ τὸ Π ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ
Π τὴν ΠΙ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ I' παραγίνεται. ἀλλ᾽
ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ τὸ Ν τὴν ΝΡ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ
παρα γίγνεται; ἡ ΝΕ ἐξαλλάττει, τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον᾽ ἐν
o δὲ χρόνῳ τὸ Π ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Π τὴν Ir διελϑὸν
ἐπὶ τὸ Γ παραγίγνεται. ἡ Π4 ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἣμι-
ΤΕΣ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ EIN ἐξαλλάττει τὸ φανε-
ρὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ 4 Π. λέγω; ὅτι καὶ ἔγγιόν ἐστιν ἡ
AN τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ILA. γεγράφϑω
διὰ τοῦ A παράλληλος κύκλος ὁ AKT" ἴση ἄρα ἐστὶν 5 EM
περιφέρεια τῇ ΗΨ' μείξων ἄρα ἐστὶν ἡ Hf τῆς ΜΕ. 7 AN
ἄρα Éyyióv ἐστι τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἤπερ ἡ ILA.

ἃ. 1. τόν] τήν ἃ. ἄρα] comp. 1, ἔτι ἴω; item p.92 lin. ὅ. Post
T0 1 litt. (O?) evanuit in V. ?. τῆς] τὴ ἃ. TIIT] II corr.
ex o V. ὃ. Post BK I' hab. ὁ ἄρα ἕτερος αὐτοῦ πόλος ex-

PHAENOMENA 91

sunt eirculi secantes B.41, arcus T'Ó minor est arcu
TIIT. rursus, quoniam polus circuli A4BI' inter AAE,
BKI'est et EPO circulum 44 E contingit, etiam cir-
euli EPO polus inter 441E, ΒΚΤ est. itaque alter polus
eius inter ZH, MNA est; areus igitur TOO maior est
arcu ΠΡ. verum Ὑ᾽ minor est quam TIIT. itaque
reliquus areus O maior est quam PT. ponantur similes
el aequales arcus ΤΡ, ΦΧ, οὐ sint circuli paralleli,
per quos puncta P, X feruntur, tX X, 29) P. similes
igitur sunt arcus «UP X 2, 552P. verum quo tempore 2
arcum ΣΙΧ V percurrit, eo eliam P arcum P£5 per-
eurrib. itaque maiore tempore P arcum P£25 percurrit,

areus ΖΚ arcu XN maior est. ponatur arcui IVA aequalis

AIL, et sint circuli paralleli, per quos puncta JV, II feruntur,
ΝΡ, I'IIZ. et quoniam semicirculus ἃ puncto E ad partes
EP cum semicirculo a puncto Z ad partes Z, IN non con-
eurrit, arcus ΝΡ arcui I'Z similis est. (Theodos. II, 13).
quare VP maior.est quam similis arcui ΓΙ (ib. II, 20).
itaque maiore tempore JV exorsum a JV, postquam arcum
ΝΡ percurrit, ad P pervenit quam ΠῚ exorsum a I1, post-
quam areum ΠῚ᾿ percurrit, ad 1᾿ pervenit. sed quo tem-
pore JV, postquam arcum ΝΡ percurrit, ad P pervenit, ΝΞ
conspicuum hemisphaerium permutat, et quo tempore II
exorsum à II, postquam arcum IIT' percurrit, ad I' pervenit,
ILA conspicuum hemisphaerium permutat. itaque maiore
tempore XN conspicuum hemisphaerium permutat quam ZI.
dieo, etiam propiorem esse arcum ,ZN contactui aestivi tro-
piei quam Π4. describatur per punctum (ΚΞ circulus par-
allelus ET. arcus XM igitur aequalis est areui Η Ψ (Theo-
dos. II, 13). quare ΗΔ maior est quam ME. ergo EN
propior est contactui aestivi tropici quam 114.

punctum V. 7. TIIP] IITZ a. TIIT] IITZ a. 9. αἱ TP,
$ X] addidi. 10. P] Φ a. οἱ] ἡ ἃ. 11. ΨΧΣ (pr)] V/ corr.

ex 6 ]. 18. P95] ΡΩ Π (II corr. ex T) V, PST L, PST;
item p. 92 lin. 1.

b. 5. τῇ] seq. ras. 1 litt. Vat.

10

10

15

99 $AINOMENA

ἄρα χρόνῳ τὸ P τὴν ΡΩ5 περιφέρειαν διαπορεύεται
ἤπερ τὸ Χ τὴν ΨΧ' ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν τὸ P τὴν ΡΩ5 δια-
πορεύεται. ἡ PT ἐξαλλάσσει. τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον"
ἐν à δὲ τὸ X τὴν X WV διαπορεύεται, 3) D X ἐξαλλάσσει
τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον᾽ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΤΡ
τῆς ΦΧ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον.

ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ αἱ ἴσαι
περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς
τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον
ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ó ABI, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς
ὁ AEZ, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν

ὡσαύτως δὲ καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ al ἴσαι περιφέρειαι
, 9$. , , / N ' e , ι
ἐν ἀνίσοις χρόνοις ἑξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαέριον, καὶ
ἐν πλείονι μὲν ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ
τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ af ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ϑερινοῦ τρο-
πικοῦ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἡμικυκλίων.

ἔστω ὁρίζων κύκλος ὁ 4814, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ φανε-
ρῶν ὁ ΕΖ, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ BHA, ἑῳδιακὸς δὲ κύκλος
ϑέσιν ἐχέτω τὸν ΓΗΖ᾿ λέγω. ὅτι καὶ ἐν τῷ ἑτέρῳ ἡμικυκλίῳ
τῷ ἐπὶ τὰ H, I' μέρη af ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις Agóvoic
Esp eim τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον
τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ
cf ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἐν ἑκατέρῳ τῶν ἡμι-
κυκλίων.

γεγράφϑω παράλληλος κύκλος ὁ 4Θ᾽ ἴση ἄρα ἐστὶν 7) K H
τῇ HA. καὶ μετακεκινήσϑω ὃ τῶν ζῳδίων κύκλος καὶ ϑέσεν

a. 2. ΡΩ3] PO T a. ὅ. ἐν --- 6. ἡμισφαίριον) et in textu et
m. 2 mg. addito κείμενον 1 (ἔτι pro ἄρα). 7.2: VoM
9. 9. ἔγγειον V. 10. ἀπότερον V.

— b. 1. κε΄ Vat. Post ἑτέρῳ del. ete τοῦ Vat. ἡμικυκλίῳ]
του Vat, sed ov mut. in o m. 1. — 3. ἡ] Ambr. 101, αἱ Vat. ;
item lin. 10. 7. Ante ξῳδιακός add. ὁ m. 2 Vat. 14. Post
γεγράφϑω add. διὰ τοῦ zí m. 2 Vat.

PHAENOMENA 93

quam X arcum *PX. verum quo tempore P areum P425
pereurrit, eo PT' conspicuum hemisphaerium permutat;
quo autem X areum ΧΡ percurrit, $ X conspicuum
hemisphaerium permutat. ergo maiore tempore TP con-
Sspieuum hemisphaerium permutat quam ΦΧ.

eodem modo ne in altero quidem semicirculo aequales
arcus aequah tempore conspicuum hemisphaerium per-
mutant, sed maiore semper is, qui contaectui tropici
aestivi propior est, quam is, qui remotior est, aequali
autem ii, qui ab utrovis contactu aequali spatio distant.

sib in mundo horizon ABI aestivus autem tropicus
AEZ, zodiacus autem cireulus positionem habeat velut

eodem modo etiam in altero semicirculo arcus aequales
inaequalibus temporibus conspieuum hemisphaerium per-
mutant ae maiore quidem is, qui contactui aestivi tropici
propior est quam is,
qui remotior est, ae-
quali autem, qui ab
aestivo tropico in utro-
quesemicireulo aequali
spatio distant.
sit circulus horizon
ABI'A,maximus autem
eireulorum, qui semper
. eonspicui sunt, EZ,
tropicus aestivus BH 4.
et circulus zodiacus po-
: sitionem habeat I'H4;
dico, ne in altero quidem semicireulo ad H, Γ' partes arcus
aequales aequalibus temporibus hemisphaerium conspicuum
permutare, sed maiore eum, qui propior contactui aestivi
iropici sit, quam eum, qui remotior sit, aequali autem eos, qui
ab aestivo tropico in utroque semicirculo aequali spatio distent.
describatur circulus parallelus ΖΘ. itaque KH aequalis est
areui Hzf (lTheodos.II, 13). moveatur cireulus zodiacus et

94. O$AINOMENA

| BET, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαν αἱ ΚΗ. HM:

10

[ee
σι

20

95

λέγω, ὅτι ἡ ΚΗ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάδσσει τὸ φανε-
ρὸν ἡμισφαίριον ἤπερ. ἡ H M.

ἐχέτω ὡς τὴν ΘΑ͂Ρ, ἐπεὶ oí KH, HA ἴσον ἀπέχουσι τῆς
συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ, ἐν ᾧ ἄρα φόνῳ ἡ 4H &va-

4
,

τέλλει, ἐν τούτῳ ἡ KH δύνει, τουτέστιν ἡ 40. ἀλλ᾽ ὁ μὲν
χρόνος, ἐν à ἡ AH ἀνατέλλει, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Η ἀρ-
ξάμενον ἀπὸ τοῦ A4 τὴν AH περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ H
παραγίγνεται; ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ 4 δύνει, ὃ χρόνος ἐστίν,
ἐν ᾧ τὸ 4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AB περιφέρειαν διελϑὸν
ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται" ν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ H τὴν AH διελ-
ϑὸν ἐπὶ τὸ H UNE: ἐν τούτῳ καὶ τὸ Z4 τὴν 4 B περι-
φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται. κοινὸς προσκείσϑω ὃ
χρόνος, ἐν ᾧ τὸ 4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν ΔΡΚΘ περι-
φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίγνεται " ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ
τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AH περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ
τὸ Η παραγίγνεται; μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν ᾧ 10 4 ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ 4 τὴν 409 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίγνε-
ται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ 4 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν
AB περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίγνεται μετὰ τοῦ
χρόνου, ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν AK e περι-
φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίγνεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος,
ἐν ᾧ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4 τὴν .AH περιφέρειαν διελϑὸν
ἐπὶ τὸ Η παραγίγνεται, μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν ᾧ τὸ 4 ἀρξάμε-
vov ἀπὸ τοῦ Z4 τὴν ΖΘ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παρα-
γίγνεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν 6 ἡ ΗΔ περιφέρεια ἐξαλλάσσει
τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ὃ δὲ χρόνος, ἐν & τὸ 4 ἀρξάμενον
ἀπὸ τοῦ Δ τὴν 48 περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ B παρα-

b. 1. Ante ἐπεί add. καί m. 2 Vat.

Figuram bis hab. V.

PHAENOMENA 95

BEL, et auferantur arcus aequales KH, HM; dico arcum
KH maiore tempore conspicuum hemisphaerium per-
mutare, quam Η M.

ϑερινός

παράλληλοι

positionem habeat ut 604P. quoniam K H, H4 a contactu
aestivi tropiei aequali spatio distant, quo tempore ZH
oritur, eo KH, hoe est 216 occidit. verum tempus,
quo ΖΗ oritur, tempus est, quo H exorsum ab A4, post-
quam arcum 44H percurrit, ad H pervenit, tempus autem,
quo 446) occidit, tempus est, quo 44 exorsum ἃ 74, postquam
areum ZB percurrit, ad B pervenit. itaque quo tempore ἢ,
postquam AH percurrit, ad H pervenit, eo etiam 44, post-
quam areum ΔΒ percurrit, ad B pervenit. commune ad-
ieiatur tempus, quo zf exorsum a Zf, postquam arcum zf PK 6)
percurrit, ad 6 pervenit. itaque tempus quo H exorsum
ab 4, postquam arcum 4H percurrit, ad H pervenit cum
lempore, quo zf exorsum a zf, postquam arcum Z1) per-
currit, ad € pervenit, aequale est tempori, quo 44 exorsum
à 44, postquam arcum 4B percurrit, ad B pervenit cum
lempore, quo Θ᾽ exorsum a zf, postquam arcum Ζ Καὶ per-
currit, ad € pervenit. verum tempus, quo H exorsum ab A,
postquam areum 44H percurrit, ad H pervenit, cum tem-
pore, quo Ζ΄ exorsum ἃ zZf, postquam arcum Zf6) percurrit,
ad € pervenit, tempus est, quo ΗΖ conspicuum hemisphae-
rium. permutat, tempus autem, quo Δ ἃ 74 exorsum, post-

σι

10

Cc

10

15

20

96 QAINOMENA

γεγράφϑωσαν γὰρ παράλληλοι κύκλοι, καϑ᾽ ὧν φέρε-
ται τὰ K, H, M, οἱ KA, HO, MN: αἱ & ἄρα ΚΗ, A40
περιφέρειαι ἴσαι εἰσὶ καὶ ἴδον ἀπέχουσιν ἀπὸ τῆς συν-
αφῆς ὁποτερασοῦν. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ ἡ 4Θ ἀνατέλλει, ἐν
τούτῳ ἡ KH περιφέρεια δύνει. ἀλλὰ μὴν καὶ ἐν ᾧ τὸ
0 ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A τὴν ΘΟ διαπορεύεται, ἐν
τούτῳ καὶ τὸ H ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ τὴν ΘΟ δια-
πορεύεται, ὁ ἄρα χϑόνος, ἐν à ἡ 40 ἀνατέλλει, Odd

-

λαμβάνων τὸν χρόνον, ἐν à τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A
viv Ξ ΘΟ διαπορεύεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν à τὸ H
ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ E τὴν ΞΗΟ διαπορεύεται. προσλαμ-
βάνων τὸν χρόνον, ἐν ᾧ ἡ HK δύνει. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος,
ἐν à ἡ 4Θ ἀνατέλλει, προσλαβὼν τὸν χρόνον, ἐν à τὸ Θ

Co ee. LN OP dni a e um a, qo cote —MWe—— ur τυ cá cám

γίγνεται μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν ᾧ τὸ Θ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 4
τὴν 4 ΡΘ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Θ παραγίγνεται; ὁ χρό-
vog ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ 40 ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον,
τουτέστιν ἡ KH: ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΚΗ περιφέρεια ἐξαλ-
λάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΗΖ.
εἰλήφϑω δή τι σημεῖον τὸ M, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν HA τῇ
4M, καὶ ἔστω x«9' οὗ φέρεται τὸ Μ σημεῖον παράλληλος
κύκλος ὁ MENO: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ 4M τῇ ΚΠ, καὶ ἴσον
ἀπέχουσιν at 4M, KII τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ"
ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ὴ ΔΜ περιφέρεια ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ὴ IIK
δύνει, τουτέστιν ἡ ΘΟ. ἀλλ᾽ Ó μὲν χρόνος, ἐν ᾧ μὲν ἡ 4M

τ

ἀνατέλλει. ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ῷ τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Μ
τὴν ΜΕ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ A 5 παραγί νεται ὁ δὲ
χρόνος, ἐν o5 ΘΟ δύνει, ὁ χρόνος ἑστίν, ἐν ᾧ τὸ Ο à ρξά-
μενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν ΝΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O
παραγίγνεται" ὁ ἄρα χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Μ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ
Μ τὴν ΜΗ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ A παραγίγνεται, ὁ
αὐτός ἐστι τῷ χρόνω, ἐν ὡ τὸ O ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ν τὴν
ΝΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίνεται. κοινὸς προσ-

κείσϑω ὃ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ E τὴν EN

à. 2. οἱ] evan. in V. ἄρα] comp. l, ἔτει L. 6. ΞΘΟ] ΞΟῸΘ ἃ

PHAENOMENA 97

nam describantur eirculi paralleli, per quos K, H, M
feruntur, K4, ΗΘ, MN. itaque arcus KH, 40 aequales
sunt (Theodos. ll, 13) et ab utrovis contactu aequali
spatio distant. et quoniam quo tempore 40 oritur, eo
arcus KH occidit, quo autem 6 exorsum a ,5 arcum
A090 percurrit, eo etiam H exorsum ab & arcum E690
pereurrit, tempus, quo ZO oritur, TONIDS tempus,
quo (6 exorsum a ΚΞ arcum ΘΟ percurrit, aequale
est tempori, quo H exorsum a A arcum Ξ HO percur-
rib, adsumens tempus, quo HK occidit. verum tempus,
quo 46 oritur, adsumto tempore, quo € exorsum ἃ κπ

quam areum Z/B percurrit, ad B pervenit, cum tempore,
quo Θ a Ζ΄ exorsum, postquam areum ZPO percurrit, ad
(9 pervenit, tempus est, quo 740, hoc est Καὶ H conspicuum
hemisphaerium permutat. itaque quo tempore arcus KH .
conspicuum hemisphaerium permutat, eo etiam H4.

iam sumatur punctum aliquod M ita, ut ΗΖ aequalis
sit areui ΖΜ. et sit circulus parallelus, per quem punctum
M fertur, MENO. 4M igitur aequalis est areui ΚΠ ((Theo-
dos. III, 3), et 4M, KII a contactu aestivi tropici aequali
Spatio distant. ER quo tempore areus Ζ ΜΙ oritur, eo
ΠΑ. hoc est 0 O occidit. verum tempus, quo ΖΜ oritur,
tempus est, quo M exorsum ἃ M, postquam ME pereurrit,
ad X pervenit; tempus autem, quo ΘΟ occidit, tempus est,
quo O exorsum ἃ NN, postquam areum JNVO percurrit, ad O |
pervenit. itaque tempus, quo /M exorsum a M, postquam
arcum ΜΙ X percurrit, ad X pervenit, idem est ac tempus,
quo O exorsum a JV, postquam areum NO percurrit, ad Ὁ
pervenit. commune adiciatur tempus, quo ,* exorsum ἃ (Ἔν

8. ἄρα] ἔτι Ll. 9. τόν] om. a; item lin. 12. 11. προσλαμβά-
vov| τῷ Vl, v add. m. 2 L. 13. 40] Mamitius, HK a. τὸ O
ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ 5A] addidi, lac. c. 9 litt. a.

b. 11. Post OO del. δύνει Vat. 4M] πὰ Δ 4 et M ras. 1
litt. (N?) Vat.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VILI. γ

10

15

10

15

98 OAINOMENA

ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A τὴν Ξ ΘΟ περιφέρειαν διαπορεύε-
ται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ 40 ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον" ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Η ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ Ξ τὴν ΞΗΟ διαπορεύεται, προσλαβὼν τὸν χρόνον,

rg ἡ ΚΗ δύνει, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΚΗ ἐξαλλάσ-
σει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" αἱ 40, 'KH i ἄρα ἐν ἴσῳ
χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. καὶ ἡ ΘΝ
διὰ τὰ αὐτὰ ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἡ HM ἐξαλλάσσουσι τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον. ἐν πλείονι δὲ χρόνῳ ἡ 44Θ ἐξ-
αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ OIN ἐδείχϑη
γὰρ ἐν τῷ πρὸ τούτου᾽ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ KH ἐξ-
αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἥπερ ἡ ΗΜ. καὶ συν-
αποδέδεικται, ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τῆς συναφῆς ὁποτε-
ραδσοῦν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡἧμι-
σφαίριον.

περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίνεται" ὁ ἄρα χρόνος,

ἐν ᾧ τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ M τὴν ΜΝ περιφέρειαν
διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ν παραγίνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ
Ο ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ξ τὴν ΞΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ
O παραγίνεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν 9: τὸ M ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ M τὴν ΜΝ “περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ v0 IN παραγίγνεται,
ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ 5 4M περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον " ὁ δὲ χρόνος, ἐν Qo τὸ O ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ A
τὴν Ξο περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παραγίγνεται, ὁ χρόνος
ἐστίν, ἐν ᾧ 5 O 0, τουτέστιν j KII ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον᾽ ἐν δὲ ἄρα χρόνῳ ἡ 4M ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ καὶ j ΚΠ. xol ἐπεὶ àv πλείονι χρόνῳ
ὴ HA ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΔΜ, ἀλλ᾽
ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ 3] HA ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον,
ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΗΚ, ἐν ᾧ δὲ ἡ 4Μ, ἐν τούτῳ καὶ U KII,
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ HK ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἣἧμι-
σφαίριον ἤπερ ἡ ΚΠ.

ἃ. 1. Ξ:ΘΟ περιφέρειαν] addidi, lac. 11 lit. a. 38. H] Ma-
nitius, Θ᾽ a. 6. φανερόν] $6oóv 1, αν add. m. 2. αἱ —

PHAENOMENA 99

arcum ΘΟ percurrit, tempus est, quo 449 conspicuum
hemisphaerium permutat; tempus autem, quo H exorsum
a ΚΞ arcum 5 HO percurrit, adsumto tempore, quo ΚΗ
occidit, tempus est, quo KH conspicuum hemisphaerium
permutat. itaque 4/0 et KH aequali tempore conspi-
euum hemisphaerium permutant. atque ΘΙΝ eandem ob
causam et HM aequali tempore conspicuum hemisphae-
rium permutant. verum maiore tempore “ΖΘ conspi-
euum hemisphaerium permutat quam ΘΝ (nam demon-
stratum est in priore propositionis parte). ergo maiore
tempore K H conspicuum hemisphaerium permutat quam
HM. et simul demonstratum est, eos arcus, qui ab
utrovis contactu aequaliter distent, aequali tempore con-
Sspicuum hemisphaerium permutare.

postquam areum NN percurrit, ad IN pervenit. itaque tem-
pus, quo JM exorsum ἃ JM, postquam arcum MN percurrit,
ad JV pervenit, aequale est tempori, quo Ὁ exorsum a 5X,
postquam arcum AO percurrit, ad O pervenit. verum tem-
pus, quo JM exorsum a M, postquam arcum MN percurrit,
ad Ν᾽ pervenit, tempus est, quo arcus Ζ ΜΙ conspicuum
hemisphaerium permutat, tempus autem, quo Ὁ exorsum a
A. postquam areum ΞΟ percurrit, ad O pervenit, tempus
est, quo OO, hoc est Καὶ II conspicuum hemisphaerium per-
mutat. iiaqjue quo tempore ΖΜ conspicuum hemisphaerium
permutat, eo etiam Καὶ Π. et quoniam maiore tempore H4
conspicuum hemisphaerium permutat quam ΖΜ, verum quo
lempore ΗΖ conspicuum hemisphaerium permutat, eo etiam
HK, et quo ΔΜ. eo etiam ΚΠ, HK maiore tempore con-
Spicuum hemisphaerium permutat quam Καὶ Π.

7. ἡμισφαίριον] addidi. ON] ΘΔ a. 8. HM] MON a.
9. 40] AE ἃ. 10. φανερόν] corr. ex φανερόν m. 2 1.

b. 10. Post O9 add. περιφέρεια m. rec. Vat. 12. KII] e
corr, Vat. 1. Post H K del. ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαί-
ριον Vat. Seq. demonstr. altera, v. app. -

1*

10

15

σι

10

100 ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

,

UE.

Τοῦ τῶν ξῳδίων xóxAov τῶν ἴσων τε καὶ ἀπεναντίον
περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα
τὸ ἀφανές, ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν.

ἔστω ἔν κόσμω ὁρίζων ὁ ABI, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων
κύκλος ϑέσιν ἐχέτω
ὡς ZAEI καὶ ἀπει-
λήφϑωσαν ἴσαι τὲ καὶ
ἀπεναντίον περιφέ-
οεξιαί cl AE, I'Z:
λέγω, ὅτι ἐν ᾧ χρόνῳ
ἡ AE ἐξαλλάσθδει τὸ
φανερὸν ἡμισφαίρι-
ον, ἡ ΓΖ τὸ ἀφανές.
καὶ ἀνάπαλιν, ἐν ᾧ ἡ
ΑΕ ἐξαλλάσσει τὸ
ἀφανὲς ἡμισφαίριον,
ἡ ΓΖ τὸ φανερόν.

Recensio b.

p. 100,6sqq. ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABI, xol ϑερι-
νὸς μὲν τροπικὸς ἔστω ὁ 44, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὃ BI,
ὁ δὲ τῶν ζῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AEBZ, καὶ ἔστω
τὸ μὲν 4ΕΒ ἡμικύκλιον τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ὑπὸ γῆν, τὸ
δὲ ΒΖ4 τὸ μετὰ τὸν Alyóxsgo ὑπὲρ γῆν, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ
μὲν τὰ Z4 μέρη, δυτικὰ δὲ và B, καὶ ἀπειλήφϑωσαν δύο ἴσαι
τε καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ 4 E, ΒΖ᾽ λέγω, ὅτι, ἐν ᾧ
χρόνῳ ἡ AE, ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ
ZB τὸ ἀφανές, καὶ ἐν à χρόνῳ ἡ 4E τὸ ἀφανές, ἡ ΒΖ τὸ
φανερόν.

1, i8] «£ Vl, εη΄ τ΄, τις΄ Vat. 9. ἀπεναντίων ἃ. 8. ἐξαλ-
λάσσει ἡ ἑτέρα Vat. 4. ἡ (alt.) add. m. 2 L. 8. Post ὡς supra
add. ἡ v. 11. AE] in ras. V. 19. Ante ἡ add ἐν τούτω νγ΄.

PHAENOMENA 101

XV.

Cireuli zodiaci areuum, qui et aequales et oppositi
sunt, quo tempore alter conspicuum hemisphaerium per-
mutat, eo alter occultum, et quo tempore alter occul-
tum, eo alter conspicuum.

sib in mundo horizon ABI, zodiacus autem cireulus
positionem habeat velut ZAAEI', et auferantur arcus ae-
quales et oppositi 4E, ΓΖ; dico, quo tempore AE per-
mutat conspieuum hemisphaerium, eo [ΓΖ permutare
occultum, et vicissim, quo tempore 44 E permutet oc-
eultum hemisphaerium, eo ΓΖ conspicuum.

Recensio b.

p.101,6sqq. sit in mundo horizon A4BI'4 et aestivus
tropicus sit 444, hiemalis autem tropicus BI', circulus
zodiacus autem po-

sitionem habeat

AEBZ, et sit semi-
circulus 4 EB post
Cancerum sub terra,
BZz4 autem post
Capricornum super
terram, et sint par-
tes orientales Zf, oc-
cidentales autem B,
et auferantur duo
arcus aequales et
oppositi ΔΕ, BZ;
dico, quo tempore
ΖΕ conspicuum he-
misphaerium per-
mutet, eo ZB occultum permutare, et quo tempore ZE oc-
eultum, eo BZ conspicuum.

ἢ, 10, Ante ἡ (alt.) add. ἐν τούτῳ m. 2 Vat,

10

15

10

15

102 $AINOMENA

“ἔστω γὰρ ὑπὸ γῆν τὸ ΑΕΓ ἡμικύκλιον καὶ ἔστωσαν
παράλληλοι κύκλοι, xo9' ὧν φέρεται τὰ E, Z σημεῖα, οἵ
EHB, Ζ2Θ4. καὶ ἐπεὶ τὰ ἐπὶ τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου
ἄστρα τὰ κατὰ διάμετρον ὄντα κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλει
τε καὶ δύνει. τοῦ ἄρα E δύνοντος κατὰ τὸ B τὸ κατὰ διά-
μέτρον αὐτῷ τὸ Ζ ἀνατέλλει κατὰ τὸ zl: ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ
τὸ E τὴν EH B περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ B παραγίνε-
ταις ἐν τούτῳ τὸ Z τὴν ΖΘ Ζ περιφέρειαν διελθϑὸν ἐπὶ
τὸ 4 παραγίνεται. ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ E τὴν EHB
περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Β παραγίνεται. ὃ χρόνος
ἐστίν. ἐν ᾧ ἡ AE ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον"
ὁ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ζ τὴν ΖΘΖ διαπορεύεται, ὃ χρό-
3: ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΓΖ ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον.
e ἄρα ἡ AE ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον,
ἐν τούτῳ καὶ ἡ ΓΖ τὸ ἀφανές.

γεγράφϑωσαν παράλληλοι κύκλοι οἵ HEO, ΚΖ, καϑ᾽ ὧν
φέρεται τὰ E, Ζ σημεῖα. καὶ ἐπεὶ τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τὰ
κατὰ διάμετρον ἄστρα ὄντα κατὰ συζυγίαν ἀνατέλλει. τε καὶ
δύνει, τοῦ Εἰ ἄρα σημείου δύνοντος κατὰ τὸ Η σημεῖον τὸ
κατὰ διάμετρον αὐτῷ τὸ Ζ ἀνατέλλει κατὰ τὸ 24 σημεῖον"
ἀλλὰ τὸ μὲν E τὴν ΕΘΗ διελϑὸν δύνει, πὸ δὲ Z τὴν ZKA
διελϑὸν ἀνατέλλει" ἐν ᾧ à ἄρα χρόνῳ τὸ E τὴν ΕΘΗ περι-
φέρειαν διαπορεύεται, καὶ τὸ Z τὴν ΖΚΖ. ἀλλ᾽ ὁ μὲν χρόνος,
ἐν ᾧ τὸ E τὴν ΕΘΗ διαπορεύεται, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ
4Ε ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον᾽ ὃ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ
τὸ Ζ τὴν ZKA διαπορεύεται. ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ZB
ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ ὴ AE
ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον καὶ ἡ D ZB τὸ ἀφανές.

ὁμοίως δὲ δείξομεν. ὃ ὅτι καί, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ AE. ἐξαλλάσσει
τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἡ ZB τὸ φανερόν.

ἃ. 8. ZOZ4] Z04 ἃ. 5. ἄρα] comp. 1, ἔτι L. 6. χρόνο]
om. & 717. EHB] ΕΒ a. 12. Z τήν] om. τ΄, 14. ἡ AE]
τὸ 4 ἃ. 1. ἡ] τό ἃ.

PHAENOMENA 103

nam sib semicirculus A4EI' sub terra, et sint circuli
paralleli, per quos puncta E, Z feruntur, EHB, Z04.
et quoniam eae circuli zodiaci stellae, quae iuxta dia-
metrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur et occi-
dunt (prop. VI), puncto E occidente in B punctum Z
iuxta diamelrum ei oppositum in Z/ oritur. itaque quo
lempore E, postquam arcum EHB percurrit, ad B per-
venit, eo Z, postquam arcum Z7 percurrit, ad Ζΐ
pervenit. verum tempus, quo £, postquam arcum EHB
pereurrit, ad B pervenit, tempus est, quo 4 E conspi-
cuum. hemisphaerium permutat; tempus autem, quo Z
arcum Ζ ΘΖ percurrit, tempus est, quo [ΓΖ occultum
hemisphaerium permutat. ergo quo tempore AE con-
spicuum hemisphaerium permutat, eo etiam ΓΖ occultum.

describantur circuli parallelh HEO, KZ^A, per quos
feruntur puncta E, Z. et quoniam eae circuli zodiaci stellae,
quae iuxta diametrum oppositae sunt, coniugate et oriuntur
et occidunt (prop. VI), puncto E occidente in puncto H
punctum Z iuxta diametrum ei oppositum in puncto 4
oritur. verum E, postquam arcum EH percurrit, occidit,
Z autem, postquam arcum ΖΚ percurrit, oritur. itaque
quo tempore E areum EO H percurrit, eo etiam Z arcum
ZK.A. verum tempus, quo E arcum EH percurrit, tempus
est, quo Z/E conspicuum hemisphaerium permutat; tempus
autem, quo Z arcum ΖΚ percurrit, tempus est, quo Z B
occulium hemisphaerium permutat. ergo aequali tempore
4E conspicuum hemisphaerium permutat et Z B occultum.

similiter demonstrabimus, etiam quo tempore AE occultum
hemisphaerium permutet, eo ZB conspicuum permutare.

*b. 4. E] add. m. 2 Vat. 12. ἀφανές] φανερόν Vat., ἀφανές
Vat. 191, 192, 202. 14. δέ] mut. in δή m. 2 Vat. 165. Seq.
demonstr. altera, v. app. ἢ

ct

10

15

104 $AINOMENA

ws.

To? τῶν ξῳδίων κύκλου cli ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν
ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽
ἐν πλείονι ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ χειμερινοῦ
τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι
τῆς συναφῆς ὁποτερασοῦν. :

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ ABI, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων
κύχλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν AZI, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι
περιφέρειαι αἱ 4Ε, ΕΖ: λέγω. ὅτι αἱ AE, ΕΖ περι-
φέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς
ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ΖΕ τῆς E.

κείσϑω γὰρ τῇ μὲν ΖΕ ἴση vs καὶ ἀπεναντίον ἡ O K,
τῇ δὲ EL ἴση τε καὶ ἀπεναντίον ἡ Κ᾽ καὶ ἡ ΘΚ ἄρα
τῇ ΚΑ ἴση ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ΚΘ
ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ KA, |

. l.isg] ιη΄ V, νϑ' ν΄. 38. ἀφανές] φανερόν ἃ, sed corr.

ἃ
m. 1 v. ὅ. ἀπότερον ἃ. 9. ὕτι] in hoc vocab. desinit v'.
ἐν] ἐπί a. — 15. ἤπερ] ἥπερ Ll. In KA desinunt VLI.

PHAENOMENA 105

XVI)

Circuli zodiaci arcus aequales non aequali tempore ob-
securum hemisphaerium permutant, sed 1s, qui contactui
hiemalis tropici propior est, maiore semper tempore
remotiore, aequali autem 11, qui ab utrovis contactu
aequali spatio distant.

ϑερινὸς τροπικός

χειμερινός

si& in mundo horizon 4], zodiacus autem circulus
positionem habeat A4ZI, et auferantur aequales arcus
ΖΕ. EZ; dico, arcus ΖΕ. EZ non aequal tempore
occultum hemisphaerium permutare, sed ZE maiore
quam £4.

nam ponatur arcui ZE aequalis et oppositus arcus
6 K, arcui autem EZ/ aequalis et oppositus Καὶ. ita-
que ΘΑ arcui Κα aequalis est. et quoniam maiore
tempore K6 conspicuum hemisphaerium permutat
quam KA, |

1) Recensionem b propositionem XVI—XVIII v. 1068qq.

106 QAINOMENA

Recensio b.

(S. ToU τῶν ξῳδίων κύκλου αἱ ἴσαν περιφέρειαι οὐκ
ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽
ἐν πλείονι χρόνῳ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ χειμερινοῦ τροπικοῦ
τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτερασοῦν
τῶν συναφῶν.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὁ ABT, καὶ ϑερινὸς μὲν τρο-
πιχὺς ἔστω 0 4B, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ἔστω ὁ ΓΤ,
ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν 4ΓΕ. i
10 ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΖΕ. ΕΖ: λέγω, ὅτι

αἱ 4 E, ΕΖ οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς

ἡ ΩΝ ἀλλ᾽ ὃν πλείονι ἡ 4 Ε περιφέρεια τῆς ΕΖ
περιφερείας.

ἀπειλήφϑωσαν γὰρ ταῖς ΖΕ, ΕΖ περιφερείαις ἴσαι

15 τὲ x«i ἀπεναντίον περιφέρειαν αἱ HO, ΘΚ' αἱ HO,

ΘΚ ἄρα περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι

τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ΗΘ τῆς ΚΘ'

ἀλλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ ἡ ΗΘ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον, ἡ ΖΕ τὸ ἀφανές, ἐν à δὲ ἡ OK τὸ φανε-
20 ρὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει. ἡ ΕΖ τὸ ἀφανές" αἱ ΖΕ,

ΕΖ ἄρα περιφέρειαν οὐκ ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι

τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ 4E τῆς EZ.

eot

2. vg] v£ Vat. 10. Ante ἴσαι del. αἱ Vat. 15. «i ΗΘ,
OK] supra add. m. 2 Vat.

PHAENOMENA 101

Recensio b.

. KVI. Circuli zodiaci arcus aequales non aequali tem-
pore obseurum hemisphaerium permutant, sed is, qui
hiemali tropico propior est, maiore semper tempore re-
motiore, aequali autem ii, qui ab utrovis contactu ae-
quali spatio distant.

sit in mundo horizon ABI, et aestivus tropicus sit
AB, hiemalis autem tropieus sit I'T, et circulus zodia-
eus positionem habeat 4 ΓΕ. et auferantur aequales
arcus ΖΕ. EZ; dico, ΖΕ. EZ non aequali tempore
occultum hemisphaerium permutare, sed maiore arcum
4E arcu EZ. |

nam auferantur arcus arcubus 71 E, EZ aequales et
oppositi H9, ΘΑ. itaque areus H0, 9 K non aequali

! tempore con-
spieuum hemi-
sphaerium per-

mutant, sed.

maiore HO
quam K O| prop.
XIV]. verum
quo tempore
HO conspicu-
um hemisphae-
rium permutat,
eo ΖΕ occul-
tum, et quo
lempore ΘΚ
conspicuum he-
sphaerium per-
mutat, eo EZ occultum [prop. XV]. ergo arcus AE, EZ
non aequali tempore occultum hemisphaerium permu-
tant, sed maiore ΖΕ quam EZ.

ox

10

20

108 OAINOMENA

λέγω. ὅτι καὶ ἐν i6Q χρόνῳ ci ἴσον ἀπέχουσαι ὁπο-
τεραδοῦν τῶν τροπικῶν συναφῶν ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφα-
νὲς ἡμισφαίριον.

ἔστωσαν γὰρ καϑ’ ὧν φέρεται τὰ Zl, E, Z, K, 0, H
σημεῖα παράλληλοι κύκλοι οἱ Ζ0. ES, ZP, ΚΝ, ΘΜ.
HA: αἱ HO, AM ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλ-
λάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἀλλ᾽ ἐν à μὲν χρόνῳ
ἡ HO τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει, ἡ 4E τὸ
ἀφανὲς ἐξαλλάσσε:" ἐν ᾧ δὲ ἡ AM τὸ φανερὸν ἡμισφαί-
οιον ἐξαλλάσσει. ἡ EO τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει" αἱ EZ,
OA ἄρα περιφέρειαν ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ
ἀφανὲς ἡμισφαίριον.

ιζ΄. Τῶν ἐφ᾽ ἑκάτερα τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν ἴσων
τε καὶ ἴσον ἀπεχουσῶν τοῦ ἰσημερινοῦ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ

ς

ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα. τὸ
ἀφανές, καὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς
ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν.

ἔστω ἔν κόσμῳ δρίξων ὁ ABI, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος
ἔστω ὁ BAT, ὃ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω ὡς
τὴν 4ΕΘ, καὶ τοῦ BAT ἰσημερινοῦ ἐφ᾽ ἑκάτερα ἴσαι
τὲ καὶ ἴσον ἀπέχουσαι περιφέρειαι ἔστωσαν αἱ ΘΚ, ZH:
λέγω. ὅτι, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ OK ἐξαλλάσδει τὸ φανερὸν

ἡμισφαίριον. ἡ ZH τὸ ἀφανές.

2. ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς rc ur addidi. 4. Καὶ, 0,
Η] H, O, K Vat, 18. εξ εη΄ Vat,

. PHAENOMENA 109

dico, etiam aequali tempore eos arcus, qui ab utrovis
contactu tropicorum aequali spatio distent, occultum
hemisphaerium permutare.

nam sint circuli paralleli, per quos puncta Ζ,, E, Z,
Κι, 0, H feruntur, 40, ΕΞ, ZP, ΚΝ, ΘΜ, HA. itaque
areus HO, 4M aequali tempore conspicuum hemisphae-
rium permutant [prop. XIV]. verum quo tempore H 9
conspieuum hemisphaerium permutat, eo Z4 E occultum
permutat, et quo tempore 44M conspicuum hemisphae-
rium permutat, eo ,£O occultum permutat [prop. XV |.
ergo areus Ezí, O' aequali tempore occultum hemi-
Ssphaerium permutant.

XVII. Arcuum, qui ad utramque partem aequinoctialis
sunt atque et aequales et aequali spatio ab aequinoctiali
distantes, quo tempore alter permutat conspicuum hemi-
sphaerium, eo alter occultum, et quo tempore alter per-
mutat occultum hemisphaerium, eo alter conspicuum.

sitin mundo ho-
rizon A4 BI aequi-

noctialis autem
cireulus sit BAT,

zodiacus autem
circulus positio-
nem habeat velut
“ΕΘ, et ad utram-
que partem aequi-
noctialis areus et
aequales et ab ae-
quinoctiali aequali
spatio distantes
sint ΘΚ, ZH; dico,
quo tempore ΘΚ permutet conspicuum hemisphaerium,
eo ZH permutare occultum.

οι

10

15

20

25

110 QAINOMENA

κείσϑω γὰρ τῇ ZH ἴδη ve καὶ ἀπεναντίον περιφέρεια
ἡ 4M: αἱ MA, OK ἄρα περιφέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ
ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἀλλ᾽ ἐν ᾧ χρόνῳ
ἡ MA τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσει,. ἡ ZH τὸ
ἀφανὲς ἐξαλλάσσει" καὶ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΑ͂ περι-
φέρεια ἐξαλλάσδει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ ΗΖ περι-
φέρεια τὸ ἀφανὲς ἐξαλλάσσει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἐν ᾧ

χρόνῳ ἡ ΘΚ περιφέρεια ἐξαλλάσσει τὸ ἀφανὲς dpiagak.

θέον, ἡ HZ τὸ φανερὸν ἐξαλλάσσδει.

νη΄. Τῶν δὲ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπολαμβὰνομένῳ ὑπὸ
τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ ϑερινῷ τροπικῷ ἴσων περιφε-
ρειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ἑτέρα αὐτῶν ἐξαλλάσδει τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανὲς καὶ ἡ
τυχοῦσα τῆς τυχούσης.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὃ ABI, καὶ ϑερινὸς μὲν τρο-
πικὸς ἔστω ὃ 44, χειμερινὸς δὲ ὁ A40, ἰσημερινὸς δὲ
κύκλος ἔστω ὁ BEI, ó δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν
ἐχέτω τὴν 4 ΠΟ. καὶ ἐν τῷ TAE ἡμικυκλίῳ ἴσαν περι- —
φέρειαι ἔστωσαν αἱ ZH, ΘΚ, ἔγγιον δὲ ἔστω τοῦ ϑερι-
νοῦ τροπικοῦ ἡ ΖΗ λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ HZ
ἐξαλλάδσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ O K τὸ ἀφα-
νὲς καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης.

κείσϑω γὰρ τῇ ΘΑ͂ περιφερείᾳ iov vs καὶ ἀπεναντίον
περιφέρεια ἡ ΜΝ: ἔγγιον ἄρα ἡ ΖΗ τοῦ ϑερινοῦ τρο-
πικοῦ ἤπερ ἡ ΜΝ᾽ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ZH ἐξαλ-
λάδσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΜΝ τὸ φανερόν.

6. ἄρα] om. Vat, supra add. m. 2. 10. ia] εϑ' rm δέ]
del. m. 2 Vat. 94. ZH] add. περιφέρεια m. 2 Vat

PHAENOMENA 111

nam ponatur arcui ZH et aequalis et oppositus arcus
AM. itaque arcus MA, € K conspicuum hemisphaerium
aequali tempore permutant. verum quo tempore MA
conspieuum hemisphaerium permutat, eo ZH occultum
permutat [prop. XV]. itaque quo tempore arcus 6 K
conspieuum hemisphaerium permutat, eo arcus HZ oe-
eultium permutat. eadem igitur de causa etiam quo
lempore areus 60 K occultum hemisphaerium permutat,
eo HZ conspicuum permutat.

XVIII. Areuum autem aequalium in semicirculo, qui
aequinoctiali ad aestivum tropicum abscinditur, alter ma-
jore tempore conspicuum hemisphaerium permutat quam
reliquus occultum
et quilibet quolibet.

8it in mundo ho-
rizon ABI, et ae-
stivus tropieus sit
AR, hiemalisautem
40; aequinoctialis.
cireulus sit BEI,
zodiacus autem cir-
culus positionem
habeat A4EO, et in
semicireulo TA4E
arcus aequales sint
ZH, ΘΑ͂, propior
autem sit aestivo tropico areus Z H; dico, maiore tem-
pore areum HZ conspicuum hemisphaerium permutare
quam ΘΑ occultum et quemlibet quolibet.

nam ponatur arcui OK et aequalis et oppositus arcus
MN. quare ZH aestivo tropico propior est quam MN.
itaque maiore tempore ZH conspicuum hemisphaerium
permuta quam MN conspieuum [prop. XIV]. verum

1

1

0

5

0

119 ΦΑΙΝΟΜῈΝΑ

ἀλλ᾽ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΜΝ περιφέρεια ἐξαλλάσδει τὸ φα-
νερὸν ἡμισφαίριον, ἡ OK τὸ ἀφανές" ἐν πλείονι ἄρα
χρόνῳ ἡ ZH περιφέρεια ἐξαλλάσδει τὸ φανερὸν ἣμι-
σφαίριον ἤπερ ἡ OK τὸ ἀφανές.

ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης
ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον
ἤπερ ἡ λοιπὴ τὸ ἀφανές.

ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν ἐν τῷ ἕτέρῳ ἡμικυκλίῳ τῷ ἀπο-
λαμβανομένῳ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ πρὸς τῷ χειμερινῷ
τροπικῷ ἴσων περιφερειῶν ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ ἑτέρα
αὐτῶν ἐξαλλάδσδει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ λοιπὴ
τὸ φανερὸν καὶ ἡ τυχοῦσα τῆς τυχούσης.

quo tempore arcus ΜΙΝ conspicuum hemisphaerium
permutat, eo ΘΚ obscurum [prop. XV].' itaque maiore
tempore arcus ZH conspicuum hemisphaerium per-
mutat quam OK obscurum.

iam similiter demonstrabimus, etiam quemlibet quo-
libet conspicuum hemisphaerium maiore tempore per-
mutare quam reliquum obscurum.

eadem ratione arcuum aequalium in altero semi-
eireulo, qui aequinoectiali ad hiemalem tropicum ab-
scinditur, maiore tempore alter obscurum hemisphae-
rium permutat quam reliquus conspicuum et quilibet
quolibet.

8. τῶν] eorr. ex τῷ m. 2 Vat. In fine: τῆς τυχούσης ἵ τέλος

(minio), mg.: gu? wg m. 2 Vat.

Li ] ὃ : |
Y | τ |
| ; : : - ΄ Ν
-—— (C Φ ἂ ; | ᾿ β |
* : |
£F , * | |
* ] A: , «Γὶ à * f | E
| | : " ,
X ; ^ "D 7 4
| : -w Y
| | | : 3 "
ws ἡ , " 3 ) j | | :
2) vd ! Η ὅλ - vus QE aeo 3 ^
| " * -
4 € "y ir , "e , » 5i
* - [! 4 " É :
í , - 3 x ^ Ἢ E
S . L , Ξ
E : ὦ ι ; 4 J E ι [^ * 24 » *
- e - * : : | |
| ! , ies "a “μα J M -
" pex Ι ; $ d » - :
; ᾿ : Ji * - » ͵
᾿ : x y » , |
* * E * - 3 |
il - -^. : L ᾿ : ; ' |
“τὰν ] - y : | |
1 2 : | :
* 5" Ἢ A " « » 2 z J : ' | | |
— E À "
» 3 » ν : | |
D , A e
cs | |
Β

Nw

2 Eon
b j ῇ ,

1

1

ex

0

[o

DEMONSTRATIONES ALTERAE RECENSIONIS b.

1.
Ad prop. VI.
"Ἄλλως τὸ αὐτό.

Ἔστω ὃ óoítov κύκλος ὃ 48ΒΓ4, καὶ ϑερινὸς μὲν
τροπικὸς ἔστω ὃ 44, χειμερινὸς δὲ ὁ BI, ὃ δὲ τῶν
ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν 4M HBZ, καὶ ἔστω
ἐπὶ τοῦ 4 H B Z κατὰ διάμετρον τὰ Z, Η σημεῖα" λέγω.
ὅτι τοῦ Ζ ἀνατέλλοντος τὸ Η δύνει.

εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ δυνέτω, ἀλλ᾽ ἔστω τὸ Θ δῦνον,
καὶ διὰ τῶν Ζ, Θ παράλληλοι κύκλοι γεγράφϑωσαν οἱ
ΝΘ, ΖΚ. ὥστε τοῦ Z ἀνατέλλοντος κατὰ τὸ Καὶ σημεῖον
τὸ Θ δύσεται κατὰ τὸ Ν καὶ ὃ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν
ἕξει τὴν MNAK. καὶ ἐπεὶ ἑκάτερος τῶν ABIVI, MNAK
κύκλων μέγιστός ἐστιν, κατὰ διάμετρόν ἐστι τὸ Καὶ τῷ IN*
ἀλλὰ τὸ μὲν Καὶ τῷ Z ἐστι τὸ αὐτό, τὸ δὲ Ν τῷ Θ᾽’ καὶ
τὸ Ζ ἄρα τῷ Θ ἐστι κατὰ διάμετρον" ἀλλὰ καὶ τῷ H-
ὕπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοῦ Z ἀνατέλλοντος τὸ H οὐ
δύνει" δύνει ἄρα.

7. 4H BZ] Z add. m. 2 Vat. 10. διά] supra add. m. 2
Vat. παράλληλοι] comp. m. 1 Vat., omnibus litteris supra m. 2.
18. καί — MNAK] mg. m. 2 Vat.

kh
Ad prop. VI.
Aliter idem.

Sit eireulus horizon 4 BI', et aestivus tropicus sit
44, hiemalis autem BI' zodiacus autem cireulus posi-
tionem habeat velut Z4 H B Z, et sint in circulo ZHBZ
puncta Z, H iuxta dia-
metrum opposita; dico,
puneto Z oriente H oc-
cidere. |

nam si fieri potest, ne
occidat, sed sit punetum
€) occidens, et per puncta
Ζ. O circuli paralleli
deseribantur NO, ΖΚ.
itaque Z in puneto K
oriente € in N oceidet
et circulus zodiacus
positionem habebit MN
AK. et quoniam uterque circulus 48ΒΓ4. MNAK
maximus est, K puncto N iuxta diametrum oppositum
est. verum K idem est quod Z, N autem idem quod 6.
quare Z puncto (€ iuxta diametrum oppositum est;
verum etiam puncto H, quod fieri non potest. itaque
fieri non potest, ut Z oriente H non occidat; ergo oc-
eidit.. |

8*

116 APPENDIX

2.
Ad prop. XII.
Ἄλλως τὸ vB.
Αὕτη δὲ ἐστιν ἡ σαφεστέρα ἔκϑεσις.

5 ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὃ ABI, καὶ ϑερινὸς μὲν
τροπικὸς ἔστω ὃ 44, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ BI , ξῳ-
διακοῦ δὲ ἡμικύκλιον τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἔστω ὑπὲρ
γῆν τὸ AI, καὶ ἔστω ἀνατολικὰ μὲν μέρη τὰ Zi, l,
δυτικὰ δὲ τὰ 4, B, ἰσημερινὸς δὲ κύκλος ἔστω ὁ ΕΖ,

10 καὶ διῃρήσθω τὸ AI ἡμικύκλιον εἷς τὰ ἐν αὐτῷ ξῴδια
κατὰ τὰ H, 0, 4, M σημεῖα, καὶ γεγράφϑωσαν παράλ-
ληλοι κύκλοι οἱ NHAE, ΟΘΠ. PAZ, TMT, xa9? ὧν
φέρεται τὰ H, O, 4, M δημεῖα᾽ λέγω, ὅτι ἐν πλείστῳ
μὲν χρόνῳ δύνουσιν αἱ AH, MI' περιφέρειαι, ἐν ἐλάσ-

15 Gov. δὲ αἱ HO, AM, ἐν ἐλαχίστῳ δὲ oi OK, AK, ἐν
ἴσῳ δὲ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ.

8. ἄλλως — 4. ἔκϑεσις) atram. rubro m. 1 Vat. (δέ et ἔκϑεσις
postea add. m. 2). Seq. repetitio propositionis. 12. TMT]
add. m. 2 Vat.

APPENDIX 117

2.
Ad prop. XII.
Aliter propositio ΧΙ].

Haec autem est expositio magis perspicua.
sit in mundo horizon ABIT, et aestivus tropicus sit
44, hiemalis autem tropicus sit. BI, zodiaci autem

semicireulus 4I, qui post Cancrum est, sit super ter-
ram, et sint partes orientales 7f, I, occidentales autem
A, B, aequinoctialis autem circulus sit EZ, et dividatur
semicireulus 4I'in signa, quae in eo sunt, in punctis
H, 0, 4. M, et describantur circuli paralleli N HS,
OOII, PAZ, TMT, per quos puncta H, 0, 4, M ferun-
tur; dico, maximo tempore arcus 4 H, MI" occidere,
minore autem HO, 4M, minimo autem Θ K, 4K, ae-

Qt

10

15

20

2

3

x

c

118 APPENDIX

ἔστω μέγιστος τῶν ἀεὶ φανερῶν ὃ vv D, καὶ ysyod-
φϑωσαν διὰ τῶν H, Θ μέγιστοι κύκλοι ol v H£ X, ΦΘΨ
ἐφαπτόμενοι τοῦ vv ᾧ κύκλου, ὥστε ἀσύμπτωτα εἶναι
τὰ ἀπὸ τῶν v, ᾧ ἡμικύκλια ὡς ἐπὶ τὰ HX, ΘΨ μέρη
τῷ ἀπὸ τοῦ τ ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ τὰ v, 4 μέρη" ὁμοία
ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΗΝ περιφέρεια ἑκατέρᾳ τῶν $O, XE,
ἡ δὲ 09, τῇ ΨΧ' ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ H τὴν HN
περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ €, τὴν $20. ἀλλ᾽ ὃ
χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Η τὴν ΗΝ περιφέρειαν διαπορεύεται,

6 χρόνος ἐστίν, ἐν à δύνει ἡ HA περιφέρεια᾽ καὶ ὁ
χρόνος ἄρα, ἐν ᾧ τὸ €, τὴν 2.0 διαπορεύεται, ὁ αὐτός
ἐστι τῷ χρόνῳ, ἐν à δύνει ἡ ΗΑ περιφέρεια. πάλιν ἐπεὶ
ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν ΘΟ διαπορεύεται, ὃ χρόνος
ἐστίν, ἐν ᾧ δύνει ἡ ΘΑ͂ περιφέρεια, ὧν ἀφαιρεῖται ὃ
χρόνος, ἐν à τὸ ὦ τὴν 20 διαπορεύεται, ὃ αὐτὸς ὧν
τῷ χρόνῳ, ἐν à δύνει ἡ H.A περιφέρεια, λοιπὸς ἄρα Ó

χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν O0 9, διαπορεύεται, ὁ αὐτός ἐστι

τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ δύνει ἡ HO περιφέρεια" ὁμοία δὲ ἐστιν
ἡ μὲν O9 τῇ EX, ἡ δὲ 0 τῇ X: καὶ ὁ χρόνος ἄρα,
ἐν à τὸ X τὴν XE διαπορεύεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ
δύνει ἡ ΗΑ͂ περιφέρεια᾽ ὃ δὲ χρόνος, ἐν à τὸ Ψ' τὴν
Jf X διαπορεύεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν à δύνει ἡ ΘΗ
περιφέρεια. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Καὶ
τὴν KW διαπορεύεται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν à δύνει ἡ
KO περιφέρεια. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος ὃ ΑΒΓ
ἐφάπτεταί τινος κύκλου τῶν παραλλήλων τοῦ τυ Φ καὶ
τὸν ABI' τέμνουσιν οἱ μέγιστοι κύκλοι οἱ EZ, AT,
ὧν ὃ μὲν ΕΖ μέγιστος τῶν παραλλήλων, ὃ δὲ ΑΓ λοξὸς
πρὸς τοὺς παραλλήλους. καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶ περιφέ-
θείαν αἱ 4 H, HO, 0 K ἐπὶ τῆς τοῦ λοξοῦ κύχλου περι-
φερείας ἴσαι ἕξῆς ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν
παραλλήλων, καὶ διὰ τῶν H, O0 σημείων γεγραμμένοι
εἰσὶ μέγιστοι κύκλοι οἱ v H X, 0 0 Ψ ἐφαπτόμενοι τοῦ

17. ὁ] supra add. m. 1 Vat. 28. τά] -« supra m. 1 Vat.

4,
δύ

-

APPENDIX 119

quali vero tempore eos, qui ab aequinoctiali aequali
intervallo distent.

sib maximus circulorum, qui semper conspicui sunt,
τυφ, οὐ describantur per puncta H, € circuli maximi
vHOX, O0 ita contingentes cireulum rv Ó, ut semi-
eireuli ab v, Φ ad partes HX, 9 cum semicirculo ab
v velut ad partes τ, 44 non concurrant ['Theodos. II, 15].
itaque areus HN utrique arcui $0, XE similis est, 6£2
autem arcui 7X [ib. II, 13]. aequali igitur tempore H
arcum HN percurrit atque f$) areum £20. verum tem-
pus, quo H areum HN percurrit, tempus est, quo arcus
HA occidit. quare etiam tempus, quo “ὦ arcum £20
percurrit, idem est atque tempus, quo arcus ΠΑ occi-
dit. rursus quoniam tempus, quo 6 arcum 60 per-
currit, tempus est, quo arcus 64 occidit, a quibus tem-
pus aufertur, quo (ὦ arcum £10 percurrit, quod idem
est ac tempus, quo arcus H.4 occidit, reliquum tempus,
quo 9 arcum 60$) percurrit, idem est ac tempus, quo
arcus H 9 occidit. verum arcus O9) arcui EX similis
est, $209 autem areui XU. quare etiam tempus, quo X
arcum XE percurrit, tempus est, quo arcus ΠΑ occidit,
lempus autem, quo δ arcum PX percurrit, tempus est,
quo areus 6 H occidit. eadem de causa etiam tempus,
quo Καὶ arcum KU percurrit, tempus est, quo arcus ΚΘ
oecidit. et quoniam in sphaera circulus maximus 48 Γ
aliquem parallelorum cireulum vv4 contingit et cir-
eulum A4BI'circuli maximi EZ, AT' secant, quorum
EZ maximus est parallelorum, 4 Γ' autem obliquus ad
parallelos, et abscisi sunt arcus 4H, HO, 6 K in circuli
obliqui circumferentia aequales deinceps ad partes eas-
dem maximi parallelorum, et per puncta H, O circuli
maximi parallelorum v HX, $ 0 circulum vv Φ con-

925. ABI'] add. 4 m. 2 Vat. item lin. 27. 88. vH X] post H
inser. $, m. 2 Vat.

ex

10

15

20

2

σι

80

120 APPENDIX

τυ xóxAov, μείξων ἐστὶν ἡ uiv EX περιφέρεια τῆς
ΧΡ περιφερείας. ἡ δὲ X Ψ τῆς ΨΚ' ἐν πλείονι ἄρα
χρόνῳ τὸ X τὴν X E διαπορεύεται ἥπερ τὸ Ψ τὴν *P X,
καὶ τὸ Ψ τὴν *"D X ἐν πλείονι χρόνῳ διαπορεύεται ἤπερ
τὸ K τὴν ΚαΨ' ἀλλ᾽ ὁ μὲν χρόνος, ἐν à τὸ X τὴν XE
διαπορεύεται. ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν à τὸ Η τὴν HN περι-
φέρειαν διαπορεύεται. τουτέστιν ἐν ᾧ δύνεν ἡ «4 H περι-
φέρεια᾽ ὃ δὲ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Ψ τὴν WV X διαπορεύεται,
ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ Θ τὴν 6 €, διαπορεύεται, τουτ-
ἕστιν ὁ χρόνος, ἐν à δύνει ἡ OH περιφέρεια" ὁ δὲ
χρόνος, ἐν ᾧ τὸ Καὶ τὴν ΚΨ διαπορεύεται, Ó χρόνος
ἐστίν, ἐν à δύνει ἡ KO περιφέρεια" ἐν πλείονι ἄρα
χρόνῳ δύνει ἡ μὲν A Η περιφέρεια τῆς ΗΘ περιφερείας.
ἡ δὲ ΗΘ τῆς ΘΚ.

λέγω δή, ὅτι ἐν ἴδοις χρόνοις αἱ ἴδον Miis TOU
ἰσημερινοῦ δύνουσιν.

γενομένου γὰρ δὴ τοῦ K σημείου ἐπὶ τὸ E σημεῖον,
ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν ςΕλ. καὶ ἐπεὶ
(Gy ἐστὶν ἡ ς Ε περιφέρεια τῇ EA περιφερείᾳ καί ἐστι
μέγιστος τῶν παραλλήλων ὃ EZ, ἴσος ἄρα ἐστὶν δΞ ΘΠ
κύκλος τῷ PAZ κύκλῳ" ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ O E περι-
φέρεια τῇ EP περιφερείᾳ. ἔστι δὲ καὶ 7 gE τῇ EÀ*
ἴση ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ς ἐπὶ τὸ Ο τῇ ἀπὸ τοῦ Ρ ἐπὶ
τὸ λ. καί εἶσιν ἴσοι κύκλοι οἱ c OII, PAZ" ὁμοία ἄρα
ἐστὴν ἡ 50 περιφέρεια τῇ PÀ περιφερεία" ἐν ἴσῳ ἄρα
χρόνῳ τὸ À σημεῖον τὴν AP διαπορεύεται xol τὸ O τὴν
Oc. ἀλλ᾽ ὁ μὲν χρόνος, ἐν à τὸ À τὴν AP διαπορεύεται,
ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν à δύνει ἡ AE περιφέρεια, ὃ δὲ χρό-
νος, ἐν ᾧ τὸ Ο τὴν Ος διαπορεύεται, ἴσος ἐστὶ τῷ
χρόνῳ, àv à δύνει ἡ Ec περιφέρεια " ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ
δύνουσιν αἱ AE, Es περιφέρειαι. ἴση δὲ ἡ μὲν AE τῇ
AK, ἡ δὲ Ec τῇ ΚΘ' αἱ AK, ΚΘ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ
δύνουσιν. ὁμοίως δὲ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ MK, ΚΗ͂ ἐν
ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν, ὧν αἱ ΑΚ, KO ἐν ἴσῳ χρόνῳ

APPENDIX 121

tingentes, maior esí arcus EX arcu X*P, XU autem
areu *PK [Theodos. III, 8]. itaque X areum XE maiore
tempore percurrit quam 7f arcum 9X et «P arcum *PX
maiore tempore pereurrit quam .K areum K*P. verum
lempus, quo X arcum XE percurrit, tempus est, quo H
areum HN percurrit, hoe est, quo arcus 44H occidit;
tempus autem, quo *I/ arcum ^X percurrit, tempus est,
quo Θ᾽ areum O2 percurrit, hoe est tempus, quo arcus
ΘΗ occidit; tempus autem, quo K arcum KZ? percurrit,
tempus est, quo arcus K occidit. ergo maiore tem-
pore arcus 44 H occidit areu H0, HO autem areu Θ K.

iam dico, eos arcus, qui ab aequinoctiali aequali inter-
vallo distent, aequalibus temporibus occidere.

nam cum punctum K ad punctum E pervenerit, cir-
culus zodiaeus positionem habeat ς E. et quoniam arcus
c E arcui EA aequalis est et EZ maximus parallelorum
est, cireulus s 9 II circulo PAZ2/ aequalis est [ib. II,
17] quare etiam arcus OE arcui EP aequalis est
[ib. II, 18]; verum etiam 5 E arcui EA; itaque etiam
recta ab s ad O rectae ab P ad 4 aequalis est [ib. IIT, 3].
et aequales sunt circuli € 9II, P442. quare arcus cO
areui P4 similis est [ib. II, 13]. aequali igitur tempore
punctum 4 arcum AP percurrit atque O areum Oc.
verum tempus, quo 4 arcum AP percurrit, tempus est, quo
arcus A E occidit, tempus autem, quo O arcum Os per-
currit, aequale est tempori, quo arcus Es occidit. aequali
igitur tempore arcus AE, Ec occidunt. verum aequalis
est AE arcui 4K, Ec autem arcui KO. ergo AK, ΚΘ
aequali tempore occidunt. similiter autem demonstra-
bimus, etiam arcus MK, KH aequali tempore occidere,
quorum partes ΜΚ, KO aequali tempore occidunt. ita-

1. μεῖζον Vat. 10. δύνει] add. m. 1 Vat. 88. δέ] mut. in
δή m. 2 Vat.

Io

10

15

20

30

122 APPENDIX

δύνουσιν᾽ λοιπαὶ ἄρα αἱ MA, OH ἐν ἴσῳ χρόνω δύ-
νουσιν. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἵ MI, AH περι-
φέρειαι ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνουσιν. καὶ ἐπεὶ ἐν πλείονι
χρόνῳ δύνει ἡ AH περιφέρεια ἤπερ ἡ HO καὶ ἡ ΗΘ
ἤπερ ἡ ΘΚ, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ δύνει ἡ ΓΜ περι-
φέρεια ἤπερ ἡ M.A, καὶ ἡ MA ἤπερ ἡ 4K. ἐν πλείστῳ
ἄρα χρόνῳ δύνουσιν αἱ A4 H, MI' περιφέρειαι, ἐν ἐλάσ-
cov, δὲ αἱ HO, AM ἐν ἐλαχίστῳ δὲ αἱ O K, AK, ἐν
ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ δύνουσι
καὶ ἀνατέλλουσιν.

8.
Ad prop. XIV.
"4λλως τὸ ιδ΄.

Ἔστι δὲ καὶ αὕτη ἔχϑεσις δαφεστέρα τῆς προτέρας.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίζων ὃ ABI, καὶ μέγιστος μὲν τῶν
ἀεὶ φανερῶν ὃ Α44Ε, μέγιστος δὲ τῶν ἀεὶ ἀφανῶν ὃ
ΖΗΘ. καὶ ϑερινὸς μὲν τροπιχκὸς ἔστω ὃ KA, χειμερι-
νὸς δὲ τροπικὸς ὁ ΒΙΓ, καὶ ἔστω Ó τοῦ ABI' κύκλου
πόλος μεταξὺ τῶν AAE, KA κύχλων. καὶ ἔστω ἀνα-
τολικὰ μὲν τὰ 4, Γ' μέρη, δυτικὰ δὲ τὰ K, B, ξωδιακοῦ
ὃξ ϑέσεις ἔστωσαν τοῦ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμικυκλίου
αἱ NE, Oll. καὶ ἀπειλήφϑω y ΟἿ περιφέρεια μὴ
μξίξων ἡμικυκλίου οὖσα. καὶ γεγράφϑω διὰ τοῦ II μέ-
γιστος κύκλος ἐφαπτόμενος τοῦ 44 Ε᾽ ἐφάψεται ἄρα
καὶ τοῦ ΖΗΘ. ἤτοι δὴ διὰ τοῦ O σημείου ἥξει ἢ ὕπερ-
πεσεῖται τὸ Ο σημεῖον. γεγράφϑω καὶ ἔστω ὁ EOII,
ὥστε ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ E ἡμικύκλιον ὡς
ἐπὶ và E, E, Π μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ A4 ἡμικυκλίῳ ὡς ἐπὶ
τὰ 4, K, P μέρη. καὶ προςαναπεπληρώσϑωσαν οἱ ΗΝΝς,
ΠΟΡ κύκλοι. ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ

7 (alt. add. καί m. 2 Vat. 10. Seq. in Vat. schol. nr. 122

APPENDIX 123

que reliqui areus M4, 6 H aequali tempore occidunt.
iam similiter demonstrabimus, etiam arcus MI, 4H
aequali tempore occidere. et quoniam areus 44H maiore
tempore occidit quam ΗΘ et ΗΘ quam ΘΚ, arcus I'M
maiore tempore occidit quam MA et MA quam AK.
ergo maximo tempore arcus 44H, MI' occidunt, minore
autem HO, 4M, minimo autem ΘΚ, 4K, aequali autem
ii, qui ab aequinoctiali aequali intervallo distant, et oc-
cidunt et oriuntur.

9.
Ad prop. XIV.
Aliter propositio XIV.

Est autem etiam haec explicatio magis perspicua
priore.

sib in mundo horizon 4BI'et maximus circulorum,
qui semper conspicui sunt, 471 E, maximus autem eorum,
qui semper occulti sunt, ΖΗΘ, et aestivus tropicus sit
KA, hiemalis autem tropieus BI? et sit polus circuli
ABI' inter circulos 424E, K A, et sint partes orientales
4, I, occidentales autem .K, B, zodiaci autem semicir-
culi, qui post Cancrum est, positiones sint. |V,5, ΟΠ. et
auferatur arcus O I] ita, ut non maior sit semicirculo,
et; describatur per 77 cireulus cireulum 4ZE contingens.
quare etiam circulum ΖΗΘ continget. iam aut per
punctum O veniet aut punctum O superabit. describa-
tur et sit EG II, ita ut semicirculus ab E velut ad E,
E, Il partes cum semicirculo ab 44 usque ad 4, K, P
partes non concurrat, et compleantur circuli 5 Ne, ΠΟΡ.
textui m. rec. insertum. 16. ἀφανῶν" &- add. m. 2 Vat.
20. 4, I'] 4 om. Vat. add. m. 2. 25. ἢ] om. Vat., add. m. 2.
26. ὁ EO II] ὁ et II 1n ras. Vat. 28. E] del. m. 2 Vat.

29. 4] del m. 2 Vat. 29. ENs] ENB] Vat. 80. ἐπεί] xoi
ἐπεί m. 2 Vat.

124 APPENDIX

ABI καὶ τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι ἀλλήλους ol
ςΝΣ. POTII καί ἐστιν ὃ τοῦ ABI' κύχλου πόλος
μεταξὺ τῶν 44 Ε. KA περιφερειῶν, μείζων ἄρα ἐστὶν
ἡ ENT περιφέρεια τῆς DT περιφερείας" ἡ TT ἄρα
5 περιφέρεια τῆς ΝΣ ἐλάσσων ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ
δύο μέγιστοι κύκλοι ob .4BI, EOII τοῦ αὐτοῦ κύκλου
ἐφάπτονται τοῦ 44Ε καὶ τῷ 44 Ε παράλληλον ὄντα
τὸν ΚΑ τέμνουσι καί ἐστιν ὁ τοῦ ABI' πόλος μεταξὺ
τῶν AZ E, ΚΑ κύκλων. καὶ ὃ τοῦ EOII ἄρα πόλος
10 μεταξύ ἐστι τῶν 44 E, ΚΑ κύκλων. ὃ ἄρα ἕτερος αὐ-
τοῦ πόλος ἐστὶ μεταξὺ τῶν ΗΖ2ΖΘ. ΒΓΓ κύκλων. ἐπεὶ
οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΘΠ καὶ τὸν
EOII τέμνουσι δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ POII, S NA
καί ἐστιν ὃ τοῦ EOII πόλος μεταξὺ τῶν ΒΙΓ ΗΘΖ,
15 μείξων ἐστὶν ἡ IIT περιφέρεια τῆς TNAÀ περιφερείας,
ὧν ἡ TT τῆς TNZ ἐλάσσων ἐστίν: λοιπὴ ἄρα ἡ ΤΠ
λοιπῆς τῆς XA μείξων ἐστίν. κείσϑω τῇ ΣΙ περιφερεία
ἴση περιφέρεια ἡ TX καὶ γεγράφϑωσαν παράλληλοι
κύκλοι, καϑ' ὧν φέρεται τὰ A. X σημεῖα, οἱ E Ψ, Qe
20 ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ E Ψ᾿ὶ περιφέρεια τῇ $9 περιφερείᾳ"
ἡ A Ψ ἄρα τῆς Xs μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία" ἐν πλείονι
ἄρα χρόνῳ τὸ X σημεῖον τὴν AV περιφέρειαν διαπο-
ρεύεται ἤπερ τὸ X τὴν Xc. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ

2. «ΝΣ] ΒΝΣ Vat. 5. TN X] add. περιφερείας m. 2 Vat.
13. eN E] BN S Vat. 17. λοιπῆς] add. m. 2 Vat.

APPENDIX 125

quoniam in sphaera cireulus maximus 4BI' est et duo
eireuli maximi g/NZ, POTII inter se secant et circuli
-ABI' polus inter areus 42. ΚΑ est, arcus ZiN' arcu
TT maior est ['Theodos. II, 22]. quare areus T'T' arcu
TNZ minor est. et quoniam in sphaera duo circuli
maximi 4181, EOII eundem circulum 441 Ε contingunt
et eireulum KA, qui eireulo A421 E parallelus est, secant
et polus circuli
A BI" inter cireu-
los A44 E, KA est,
etiam cireuli £O1I
polus inter eircu-
los 441, KA est.
itaque alter eius
polus inter circu-
los HZO0, BI' est.
iam quoniam in
Sphaera circulus
maximus E011 est
et duo cireuli ma-
ximi POII, «NX
cireulum E0711 se-
eant et polus cir-
euh EO1l inter
BI HOZ est, ar-
eus ΠΥ arcu PN
maior est, quorum
TT arcu TN2 minor est; reliquus igitur arcus ΤΠ
reliquo Z4 maior est. ponatur arcul ΣΙ aequalis arcus
TX et describantur circuli paralleli, per quos puncta
A, X feruntur, A, £c. itaque areus AP arcui £c
similis est [ib. II, 13]. quare ,$"7 arcu Xg maior
est quam similis. maiore igitur tempore punctum A4
areum AP percurrit quam X areum Xg. verum tempus,

σι

10

1ὅ

20

2

[ou

126 APPENDIX

A σημεῖον τὴν & V περιφέρειαν διαπορεύεται, ὁ χρόνος
ἐστίν, ἐν ὦ ἡ ZA περιφέρεια ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον" ὁ δὲ χρόνος, ἐν à τὸ X σημεῖον τὴν Xc
περιφέρειαν διαπορεύεται. ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΤΧ
ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἐν πλείονι ἄρα
χρόνῳ ἡ ΣΙ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἥπερ
ἡ TX. καί ἐστιν 4 ZA ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ
ἤπερ ἡ TX. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον ἡ ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώ-
τερον.

ὡσαύτως ὃὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἧμι-
κυκλίου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλ-
λάδσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἀλλ᾽ ἐν πλείονι 1)
ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώτερον, ἐν ἴσῳ δὲ
αἱ ἴσον ἀπέχουδαι ὁποτεραδσοῦν τῶν συναφῶν.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ 4ΒΓ4, καὶ ϑερινὸς μὲν
τροπικὸς ὃ 444, ὁ δὲ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω
τὴν BEI, καὶ ἔστω ἡ μὲν B E περιφέρεια ἐπὶ τοῦ μετὰ
τὸν Alyóxsoov ἡμικυκλίου, ἡ δὲ ΕΓ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν
Καρκίνον, καὶ ἔστωσαν ἀνατολικὰ μὲν τὰ Zl μέρη, δυ-
τικὰ δὲ τὰ B, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι περιφέρειαι αἱ
ZH, ΗΘ᾽ λέγω, ὅτι ἡ ΖΗ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει
τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἥπερ ἡ ΗΘ.

γεγράφϑωσαν παράλληλοι κύκλοι οἱ ΚΑ, MN, KO,
x«9" ὧν φέρεται τὰ Z, H, Θ σημεῖα" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
ΖΗ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΗΘ τῇ ΡΣ'
ἀλλ᾽ ἡ ΖΗ τῇ HO ἐστιν ἴση καὶ ἡ ΠΡ ἄρα τῇ ΡΣ

11. ιε΄ Vat, sed atram. rubro del. et mg. ser. eio τὸ ιε΄.
96. Post ΗΘ add. περιφέρεια (comp.) m. 2 Vat.

APPENDIX 191

quo punctum ;5 arcum ,Z*I percurrit, tempus est, quo
arcus ΣΙ conspieuum hemisphaerium permutat, tempus
autem, quo punctum X arcum Xs percurrit, tempus est,
quo T'X eonspiecuum hemisphaerium permutat; maiore
igitur tempore 2/4 conspicuum hemisphaerium permutat
quam T'X. et arcus ΣΦ aestivo tropico propior est
quam T'X. maiore igitur tempore arcus, qui aestivo
iropieo propior est, conspicuum hemisphaerium per-
mutat quam is, qui remotior est.

eadem ratione etiam in semiecirculo, qui post Capri-
eornum est, arcus aequales non aequalibus temporibus
conspicuum hemi-
Sphaerium permu-
tant, sed maiore
is, qui tropico ae-
stivo propior est,
quam qui remo-
tior, aequali autem
ii, qui ab utrovis
contaetu aequali
intervallo distant.

sil in mundo
horizon 4 BIA, et
| tropieus aestivus
AZ , eireulus zodiaeus autem positionem habeat BEI,
οὐ sit areus BE in semicireulo post Capricornum, ET'
autem in semicirculo post Cancerum, et sint partes orien-
tales z/4, occidentales autem B, et auferantur arcus ae-
quales ZH, ΗΘ; dico, areum ZH conspicuum hemi-
sphaerium maiore tempore permutare quam JO.

describantur circuli paralleli Κα, ΜΝ, &O, per quos
puneta Z, H, O0 feruntur. itaque areus Z H areui ΠΡ
aequalis est, ΗΘ autem arcui ΡΣ. verum ZH arcui
ΗΘ aequalis est. quare etiam ΠΡ areui P aequalis

σι

1

Θ

1

e

20

25

30

198 APPENDIX

ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΠΡ δύνει, ἡ ZH ἀνα-
τέλλει, κοινὸς προσκείσϑω ὃ χρόνος, ἐν à τὸ II σημεῖον
τὴν ΚΑ περιφέρειαν διαπορεύεται, ἴσος ὧν τῷ χρόνῳ,
ἐν ᾧ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΑ περιφέρειαν διαπορεύεται.
ὁ ἄρα χρόνος, àv ᾧ τὸ II σημεῖον τὴν KA περιφέρειαν
διαπορεύεται καὶ ἡ ΠΡ δύνει, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν à
ἡ ΖΗ περιφέρεια ἀνατέλλει καὶ τὸ Ζ σημεῖον τὴν ΚΑ
περιφέρειαν διαπορεύεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν ᾧ τὸ
Π σημεῖον τὴν ΚΑ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ ἡ ΠΡ
δύνει, ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΠΡ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον" ὁ δὲ χρόνος, iv à ἡ ΖΗ ἀνατέλλει καὶ
τὸ Z σημεῖον τὴν ΚΔ περιφέρειαν διαπορεύεται, ὃ χρό-
νος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΖΗ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαί-
ριον" oi ΖΗ, ΠΡ ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι xal αἱ
ΗΘ. ΡΣ &v ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμι-
σφαίριον. ἡ δὲ ΠΡ τῆς ΡΣ ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάτ-
T£, τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, καὶ ἀπεδείχϑησαν αἱ ΖΗ,
IIP ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουδαι τὸ φανερὸν ἡμισφαί-
ριον" xci ἡ ΖΗ ἄρα ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάττει τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΗΘ.

τοῦ ἄρα τῶν ξῳδίων κύκλου αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ
ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον,
ἀλλ᾽ ἐν πλείονι ἡ ἔγγιον τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ τῆς ἀπώ-
τερον. καὶ συναποδέδεικται, ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἐν
ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσσουσιν.

4.
Αἀ prop. 15.
Ἄλλως τὺ αὐτό.
Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν (Gov τε καὶ ἀπεναντίον
περιφερειῶν ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ μία ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν
6. δύνει] add. m. 2 Vat. Seq. in Vat. scholia nr. 197, 128,

APPENDIX 129

est. et quoniam quo tempore ΠΡ occidit, ZH oritur,
commune adieiatur tempus, quo punctum ΠῚ arcum K 4
percurrit, quod aequale est tempori, quo punctum Z
arcum Κα percurrit. itaque tempus, quo punctum lI
areum Κα 4 percurrit et ΠΡ occidit, aequale est tempori,
quo areus ZH oritur et punctum Z arcum Κα percur-
ri. verum tempus, quo punetum 1] arcum KA per-
currit et 77 P occidit, tempus est, quo //P conspicuum
hemisphaerium permutat; tempus autem, quo ZH oritur
et punetum Z arcum KA percurrit, tempus est, quo
- ZH conspicuum hemisphaerium permutat. itaque ZH,
ΠΡ aequali tempore conspicuum hemisphaerium per-
mutant. iam similiter demonstrabimus, etiam ΗΘ, PZ
aequali tempore conspicuum hemisphaerium permutare.
verum ΠΡ maiore tempore conspicuum hemisphaerium
permutat quam PZ, et demonstratum est, ZH, ΠΡ ae-
quali tempore conspicuum hemisphaerium permutare.
itaque ZH maiore tempore conspicuum hemisphaerium
permutat quam H O.

ergo aequales circuli zodiaci arcus non aequali tem-
pore conspicuum hemisphaerium permutant, sed maiore
is, qui aestivo tropico propior est, quam is, qui remo-
lior est. et simul demonstratum est arcus, qui aequali
intervallo distent, aequali tempore permutare.

4.
Ad prop. XV.
Aliter idem.

Cireuli zodiaci arcuum, qui et aequales et oppositi
sunt, quo tempore unus econspieuum hemisphaerium

129. 29. ις΄ ἐκ περισσοῦ Vat., sed atr. rubro del. et scr.
ἄλλως τὸ αὐτό. 80. κύκλου] κύκλον (-ον in ras.) Vat.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 9

ex

10

15

20

130 APPENDIX

ἡμισφαίριον, ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανές, καὶ πάλιν, ἐν à χρόνῳ
ἡ μία τὸ ἀφανές, καὶ ἡ ἑτέρα τὸ φανερόν.

ἔστω δρίξων κύκλος ὁ ABI, καὶ ϑερινὸς μὲν τρο-
πικὸς ὃ B.A, χειμερινὸς δὲ ὁ I4, ὃ ξῳδιακὸς δὲ κύκλος
ϑέσιν ἐχέτω ὡς τὴν AEIZ, καὶ ἀπειλήφϑωσαν ἴσαι τὲ
καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ EH, ZO* λέγω. ὅτι, ἐν
ᾧ χρόνῳ ἡ Z6 ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἡ
EH τὸ ἀφανές.

ἔστωσαν καϑ'᾽ ὧν φέρεται và 0, Z, E, H σημεῖα παρ-
ἄλληλοι κύχλοι οἱ ΚΘΩ. MNEZ, EOIIP, ΣΗΊ,
καὶ μετακεκινήσϑω ὃ τῶν ξῳδίων κύχλος καὶ ὅτε uiv.
ϑέσυιν ἐχέτω τὴν TAO, ὅτε δὲ τὴν XZ V. καὶ ἐπεὶ αἱ
ΖΘ. EH περιφέρειαι ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσίν, ἴδοι
εἰσὶ καὶ οἱ MNA, OIIP κύκλοι, τῶν δὲ ἴσων τε καὶ
παραλλήλων κύκλων τὰ ἐναλλὰξ τμήματα ἴσα ἐστὶν ἀλ-
λήλοις" τὸ ἄρα ὑπὲρ γῆν τοῦ MN & Z κύκλου τὸ ΜΝΞ
ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ γῆν τοῦ OEPII κύκλου τῷ OIIP.
πάλιν ἐπεὶ αἱ ZO, EH ἴσαι τε καὶ ἀπεναντίον εἰσέν,
ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΘ ἀνατέλλει, ἐν τούτῳ ἡ EH δύνει.
ἀλλ᾽ ὃ μὲν χρόνος, ἐν à ἡ ΖΘ ἀνατέλλει. τουτέστιν ἡ
T4, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ IP σημεῖον ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ T τὴν TA περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ A παραγίγνε-
ται, ὁ δὲ χρόνος, ὃν ᾧ 1 EH δύνει, τουτέστιν ἡ XX,

€

: ὁ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ X τὴν

80

ΧΟ περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ O παραγίγνεται" ὃ ἄρα
χρόνος, ἐν ᾧ τὸ T ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ IP τὴν T περι-
φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ξ παραγίγνεται, ἴσος ἐστὶ τῷ
χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ Χ ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Χ τὴν ΧΟ περι-
φέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ο παραγίγνεται. κοινὸς προσ-
κείσϑω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὸ T? ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ & τὴν
AN M περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ M παραγίγνεται, ἴσος
ὧν τῷ χρόνῳ, ἐν à τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ O τὴν OIIP
περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται" ὃ ἄρα χρό-
νος, ἐν à τὸ T ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ T τὴν TENM περι-

E APPENDIX 131

iat, aller permutat oceultum, et rursus, quo tem-
bore unus oceultum, etiam alter conspicuum.

sit eireulus horizon 4BI'Z, et aestivus tropieus B.4,
is autem 174, zodiacus autem circulus positionem
, velut A4EI'Z, et auferantur arcus et aequales et

js ; je sintcireuli
i. H paralleli,per
CP --2 quos puncta
g- ἘΠῊΝ, feruntur, K
E 04,MN&EZ,
dw | T, et movea-
Aj tur eirculus
! zodiacus et
positionem

E P habeat mo-
E doT40,mo-

I n do XX VW. οἱ
BEES — T quoniam ar-
L » E — "1 cus Z0, EH
E. et aequales
EL. et oppositi
-Runt, eliam cireuli M NE, OIIP aequales sunt. verum
creulorum et aequalium et parallelorum alterna seg-
menta inter se aequalia sunt [Theodos. II, 19]. itaque
egmentum MNA cireuli MNAEZ, quod super terram
est, aequale est segmento OIIP circuli OEPII, quod
Sub terra est. rursus quoniam arcus ΖΘ, EH et ae-
quales et oppositi sunt, quo tempore ZO oritur, eo EH
ecidit [prop. XI]. verum tempus, quo ΖΘ, hoc est T4
ce] dit, tempus est, quo punetum T, postquam ab 7
: 9*

"

E"
ES

» )

σι

10

132 APPENDIX

ἐρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ M παραγίγνεται. ἴσος ἐστὶ τῷ
φ 0 hi 0 T 7 ? 4

e

χρόνῳ, ἐν ᾧ τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ X τὴν XOIIP
περιφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ Ρ παραγίγνεται. ἀλλ᾽ ὃ μὲν
χρόνος, ἐν ᾧ τὸ T ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ D τὴν TPENM
περιφέρειαν διελθϑὸν ἐπὶ τὸ M παραγίγνεται. ὁ χρόνος
ἐστίν, ἐν à ἡ T.A ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον,
τουτέστιν ἡ ΘΖ᾽ ὁ δὲ χρόνος, ἐν à τὸ X ἀρξάμενον ἀπὸ
τοῦ Χτὴν ΧΟΠΡπεριφέρειαν διελϑὸν ἐπὶ τὸ P παραγίγνε-
ται, ὃ χρόνος ἐστίν, ἐνὼ ἡ ΧΣ ἐξαλλάσδει τὸ ἀφανὲς ἡμι-
σφαίριον, τουτέστιν ἡ EH: ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΘΖ ἐξαλλάσ-
ὅει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ EH τὸ ἀφανές.

exorsum arcum TA percurrit, ad ,$ pervenit, tempus
autem, quo EH, hoe est XX ἜΣ Ἐν tempus est, quo X,
postquam ab X exorsum arcum XO percurrit, ad O per-
venit. itaque tempus, quo 7, postquam ab 7᾽ exorsum
arcum T5 percurrit, ad 5 pervenit, aequale est tempori,
quo X, postquam ab X exorsum arcum XO percurrit, ad
O pervenit. commune adiciatur tempus quo 7 postquam
ab 5 exorsum arcum AM percurrit, ad M pervenit, quod
aequale est tempori, quo X, postquam ab O exorsum
arcum OZIIP percurrit, ad P pervenit. itaque tempus,
quo T postquam ab T? exorsum arcum TENM percurrit,
ad M pervenit, aequale est tempori, quo X, postquam ab
X exorsum arcum XOIIP percurrit, ad P pervenit. verum
tempus, quo 7, postquam ab T exorsum areum T5 N M per-
currit, ad M pervenit, tempus est, quo 4, hoc est ΘΖ
conspicuum hemisphaerium permutat; tempus autem, quo
X, postquam ab X exorsum arcum XOIIP percurrit, ad
P pervenit, tempus est, quo X2, hoc est EH occultum
hemisphaerium permutat. ergo quo tempore ΘΖ con-
spicuum hemisphaerium permutat, eo EH occultum.

4. TENM] M add. m. 2 Vat. 11. ἀφανές] sequitur in
Vat. m. 2: ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἐν à χρόνω ἡ ΘΖ ἐξαλ-
λάσσει τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ EH τὸ φανερόν.

P
E
P
E
"P
*
Y
I]

SX

E

1. Ad iit. Τρία μόνα ξητοῦνται ἐν τῷδε τῷ Gvv-
τάγματι᾽ τὸ σφαῖραν εἶναι τὸ πᾶν, τὸ σφαιροειδὲς τὸ
ὅμοιον εἷναι, τὸ τὴν γῆν κέντρου λόγον ἐπέχειν.

9. ΖΔιαστήματα τὰ αὐτὰ ἔχοντα p. 2,5] οἷον τοῦ Θρίω-

ὅ νος τὸ τυχὸν τὸ ἀπὸ τῆς ζώνης ἄχρις τῶν ποδῶν αὐτοῦ
διάστημα τὸ αὐτό ἔστιν ἀεί.

3. Ταῦτα δέ ἔστι p. 2,19] τὰ μήτε ἀνατέλλοντα δηλα-
δὴ μήτε δυόμενα.

4. P. 4,10544ᾳ.] ταῦτα ὡς πρὸς τοὺς πρὸς τῷ φανερῷ

10 πόλῳ ἀστέρας.

D. Ταῦτα πάντα ἔδειξεν ὃ “ὐτόλυκος.

6. 'Ev τοῖς ἐναλλὰξ τμήμασι p. 4,11] τοῦτο ἐδείχϑη
ἐν τῷ ιϑ' ϑεωρήματι τοῦ δευτέρου βιβλίου τῶν Σφαι-
ρυκῶν.

15 1. ᾿Επὶ τῶν λοξῶν κύκλων p. 0,1] τοῦ τοῦ γάλακτος
δηλαδὴ καὶ τοῦ ξωῳδιακοῦ.

T. Περὶ γάλακτος καὶ ξῳδιακοῦ.

8. Δαμβανόμενοι p. 0,2] ὁρώμενοι.

9. ἀεὶ ἐπὶ ἡμικυκλίων ἴσων φερόμενοι p. 0,3] διὰ

50 τοὺς ὅλους ἀστέρας τοῦτό φησι τοὺς δὁρωμένους év τῷ
ξωδιακῷ καὶ ἐν τῷ τοῦ γάλακτος κύκλῳ, ὅτι, εἰ μὴ ἦν
ὁ χόσμος σφαιρικός. ἀλλὰ κῶνος ἢ κύλινδρος, οὐ μὴν
ἐφαίνετο πάντα ἡμικύχλιον τὸ φαινόμενον τμῆμα τοῦ
ζῳδιακοῦ κύχλου ἢ τοῦ γάλακτος, ἀλλά ποτε μεῖξον ἣμι-
κυχλίου. ποτὲ ἔλαττον, καὶ ἄλλου μέντοι καὶ ἄλλου κύ-

1. Vl. 2. Vat' CDA Α p!qrsx. 8." 4 Ι Υ Ε
6. V», 1. γῆῦνν!, Τ΄, Vatp*. 8. ΥΠννυ δ

r$
gt

5. τό (pr)] om. 4. ἄχρι A r. 17. γάλακτος] γαλαξίου p.
18. ἢ ὁρ. Llvvt

SCHOLIA IN PHAENOMENA 135

xÀov τμῆμα, καὶ οὐδὲ κύκλοι δὲ εἶεν οὗτοι, ἀλλὰ παρ-
ἐγκεκλιμένοι τὰ μάλιστα.

10. Μὴ παρὰ τὴν βάσιν p.6,5|] μὴ παραλλήλω δη-
λαδή. |

11. Μὴ παράλληλα παρὰ τὴν βάσιν.

12. Τοιούτου σχήματος p. 0,1] κώνου ἢ κυλίνδρου.

18. "4vóuow τμήματα p. 0,9] τὰ κατὰ μῆκος τοῖς
κατὰ πλάτος.

14. Ζιὰ δή p.6,11] ὅτι ἀδύνατον, τὸν κόσμον μὴ
εἷναι δφαιροειδῆ.

16. Ἐν τῷ ἴσῳ χρόνῳ p.8,5] διὰ τὸ β΄ τοῦ Αὐτο-
. λύκου. |

16. Ἑκάτερος τῶν τεμνόντων p. 8,14] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ
α΄ τῶν Σφαιρικῶν.

11. ᾿Εὰν δὲ ἐν σφαίρᾳ p. 8,20] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ 40το-
λύχου. ἐκ τούτου δὲ δῆλον. ὅτι οἱ προδιωρισμένοι ἐπὶ
τοῦ ιβ΄ ἀργοὶ φανήσονται. εἴγε οὕτως κείσονται" ἐὰν
ἐν σφαίρα μένων κύκλος κύκλον μέγιστον τῶν ἐν τῇ
σφαίρᾳ δίχα τέμνῃ, καὶ ὃ μένων μέγιστος ἔσται. ἐπεὶ δὲ
ὁ “ὐτόλυκος οὐ δύναται ὁρᾶν μέγιστον, διὰ τοῦτο προ-
διορίξεται λέγων ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων κύκλος φερό-
uevóv τινα τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων ἀεὶ δίχα τέμνει. ὃ
δ᾽ ἔτερος αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρϑὰς ἡ τῶ ἄξονι μήτε διὰ
τῶν πόλων τῆς σφαίρας. ἑκάτερος αὐτῶν μέγιστος ἔσται.

18. Διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ Αὐτολύκου. εἰ γράφεταν" ὁ δ΄
ἔτερος αὐτῶν μήτε πρὸς ὀρϑὰς 7) τῷ ἄξονι μήτε διὰ τῶν
πόλων. ἀλλὰ μὴ γράφεται ᾿μηδέτερον᾽.

19. Τί ἐξαλλαγὴ τῆς περιφερείας ἢ ἡμισφαιρίου;

20. P. 10,3] τουτέστι τότε διέρχεταί τις περιφέρεια τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον ἐξαλλάσσουσα τὴν κίνησιν ἀπὸ τοῦ

ΕπΠπξυ Vat p*. 12. V'lIvy* 13. V?lvy*.- 314, V?

EM IP V'B. 16. Υ18Β: 17. V*:l. 18. BCM*. 19. Vl.
20. V?].

9. μὴ εἶναι τὸν κόσμον Vat p. 927. πόλλων M.

10

20

10

15

20

25

30

136 SCHOLIA IN PHAENOMENA

φανεροῦ ἡμισφαιρίου ἐς τὸ ἀφανὲς μεταμείβουσα, ὅταν
-τὸ A σημεῖον τὸ προηγούμε-
νον, ἔστω δὲ ἡ AB περιφέρεια
ἐπὶ τὴν ἀνατολὴν δείξασα —
A τὸ ἑπόμενον τὸ B ἀνατείλῃ καὶ
πρὸς δυσμὰς γενομένη κρύ-
ψασα τὸ ἡγούμενον σημεῖον τὸ Α΄ ἐπικρύψῃ καὶ τὸ
ἑπόμενον τὸ Β.

B

Ad prop. I.

21. Εὐϑεῖά ἐστιν p. 10,20] διὰ τὸν ὅρον τῶν Ὀπτι-
κῶν [def. I].

229. Μετακινηϑέντος p. 10,24] πῶς μετακινηϑείσης
τῆς διόπτρας καὶ τοῦ ξῳδιακοῦ ὁραϑήσεται ὁ Δέων; καὶ
μὴν ἀφ᾽ ἧς περιφερείας ἀνατέλλει 0 Καρκίνος, ἀπ᾿ ἐκεί-
vue καὶ ὁ “έων ἀνατέλλει. ὥστε οὐ μετακινηϑήσεται ἡ
διόπτρα διὰ τὸ ἀπὸ τῆς τοῦ Keoxívov ἀρχῆς ἀνατολῆς

᾿ἀνατέλλειν καὶ τὸν “έοντα. ἰστέον οὖν. ὅτι ἀνατολὴ ἐν-

ταῦϑα οὐ τὴν ὅλην ἀρχὴν τοῦ ζῳδίου ὑπὲρ τὸν ὁρίζοντα
λέγει ἀνάβασιν. ἀλλὰ τὴν τῆς ἀρχῆς καὶ μόνην αὐτοῦ,
ἐπειδὴ ἡ δύσις οὐ τὴν ὅλην ὑπὸ ὁρίζοντα κατάβασιν
τοῦ “έοντος. ἀλλὰ τοῦ προηγουμένου σημείου τὴν δύσιν.
ἐπεὶ τοίνυν. κἂν ἀπὸ τῆς αὐτῆς περιφερξίας τοῦ δρίζον-
τος τὰ ζῴδια τὴν ἀνάβασιν ποιῶνται. 0 Καρκίνος δηλαδὴ
καὶ ὁ Δέων ἀπὸ ἄλλου καὶ ἄλλου σημείου τὰς ἀρχὰς
τῆς ἀνατολῆς ποιοῦνται. ἔνϑα μὲν γὰρ ἡ ἀρχὴ τοῦ “έον-
τος πρώτως ἀνατέλλει. ἐχεῖϑεν τὸ τέλος τοῦ Καρκίνου
φαίνεται" ἔνϑα δὲ πάλιν τὸ τοῦ “έοντος τέλος ἀναφε-
ρόμενον δείκνυται. ἐκεῖϑεν πάλιν πρώτως ἡ ἀρχὴ ἀνα-
τέλλει τοῦ Καρκίνου ξῳδίου. διὰ τοῦτο μετακινεῖσϑαι
λέγει ὁ Εὐκλείδης τὴν διόπτραν καὶ ἐξ ἄλλου καὶ ἄλλου

2}. ΟΝ ΒΘ. Y?I.

6. κρυ-] in V legi non potest. 17. Post “έοντα comp. ob-
scurum et deinde lac. 2—3 litt. V. 28. Καρκίνος 1 xo- (sic) V.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 131

σημείου τὰς ἀρχὰς τῶν ξῳδίων τοῦ Καρκίνου καὶ τοῦ
“Μέοντος ἀνατελλούσας. ἃς ἀρχὰς βούλεται καὶ κατ-
οπτεύειν τὸν διορῶντα. τοῦτο τοίνυν καὶ ἐπὶ τῶν δύσεων
τῶν ζῳδίων. κἂν γὰρ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ χαὶ ἑνὸς τόπου
S dp τμήματος ὅτε “έων καὶ ὁ Καρκίνος δύνουσι

π᾿ ἄλλου καὶ ἄλλου σημείου. τὰς ἀρχὰς καὶ τὰ τἕλη
αὐτῶν χρύπτουσι τὰ ξῴδια. ἔνϑα μὲν γὰρ ἡ ἀρχὴ τοῦ
“έοντος. δύνει ἐκεῖσε τὸ τέλος τοῦ Καρκίνου" ἔνϑα δὲ
τὸ τέλος τοῦ “έοντος. ἐκεῖσε ἡ τοῦ Καρκίνου ἀρχή ἐστιν.

28. ἀνατέλλων p.12,1] ἀρχὴν ποιούμενος τῆς ἀνα-
τολῆς.

24. Ζύνων p. 12,3] ἀρχὴν ποιούμενος τῆς δύσεως.

Ad prop. Il.

25. Ad fig. p. 14 Ὁ πόλος τοῦ ὁρίζοντος ἕν τῷδε vo
διαγράμματι μεταξύ ἐστι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ καὶ ἀεὶ
φανεροῦ κύκλου κατὰ τὸ P σημεῖον.

26. P. 12 14] μία κόσμου περιφορά ἐστι τὸ ἀπὸ τοῦ
αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὴν κίνησιν φϑάσαι.

21. Τῆς σφαίρας πόλοι λέγονται τὰ μέρη ἐχεῖνα. ἐν
οἷς ὁ ἄξων αὐτῆς στρέφεταν᾽ κύκλου δὲ πόλος λέγεται
σημεῖόν τι ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.

28. Ὅταν μεσουρανῇ τὰ τροπικά, τουτέστιν ὅταν ἐπὶ
τοῦ μεσημβρινοῦ γένωνται.

29. Ὅπερ ἐστὶν ἀπὸ τῆς ὀρϑῆς σφαίρας ἄχρις Συήνης.

30. Emi τῆς ἡμετέρας ἄρα οἴκήσεως οὐδέποτε ὁ ξῳ-
διαχκὺς πρὸς τὸν ὁρίζοντά ἐστιν ὀρϑός.

91. Μεταξύ p. 12 18) ἤτοι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἤτοι
τοῦ μεγίστου τῶν ἀεὶ φανερῶν ἤτοι τῶν ἀρκτικῶν.

28. VÀ 94. τ 925. V*. 26. Vat!Cp?stx. 27. Vat?.
28. Vat! BDM*p*. 29. Vat! Bp*. 30. BCM?qsx. 31. Vat?p

2. Post καί 4 litt. a tineis rosae, item lin. 6 post Xi
et lin. 8 post ἐκεῖσε V. 1. αὐτῶν] supra Vl. 8. δέ] addidi.
9. ἐστιν] om. 1. 16. P] litt. est fig. depravatae eod. V (v.
p. 15 adn. 1).

10

15

25

10

15

20

25

138 SCHOLIA IN PHAENOMENA

32. Ζέδεικταν p. 14,8] ἐν τῷ v ϑεωρήματι τοῦ “40-
τολύχου.

83. ἀπὸ τοῦ ι΄ τοῦ περὶ κινουμένης σφαίρας.

94. Διὰ τῶν πόλων τῆς σφαίρας κύκλος μεσημβρι-
νός.

95. Ὁ ΚΑ p. 10,1] ὁ ξῳδιακός.

50. Ἴδη ἄρα ἐστίν p. 10,5] διὰ τὸ ϑ' τοῦ B' τῶν Σφαι-
ρυκῶν.

91. ἀπὸ τοῦ 9' τοῦ ἐν τῷ β΄ τῶν Σφαιρικῶν.

88. ᾿Επὶ τὸ II παρέσται p. 10,12] διὰ τὸ β΄ τοῦ Α7{ὐτο-
λύχου.

99. ἀϊπὸ τοῦ β΄ τοῦ περὶ κινουμένης σφαίρας.

40. Ὁ ΞΘΟΠ ἄρα p. 16,116] διὰ τὸ ε΄ τοῦ β΄ τῶν
Σφαιρικῶν.

41. Ὁ γὰρ μεσημβρινὸς ἀεὶ ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν δρί-
ἕοντα. ἐπεὶ γὰρ ἂν σφαίρᾳ δύο κύκλοι. 0 ὁρέζων καὶ ὃ
ἀρκχτικός, ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν πόλων τοῦ
ἀρκτικοῦ ἔστιν ὃ μεσημβρινός, ἥξει ἄρα καὶ διὰ τῶν τοῦ
ὁρίζοντος πόλων διὰ τὸ ε΄ τοῦ f) τῶν Σφαιρικῶν.

42. Ἔσται ὀρϑός p. 10,11] διὰ τοῦ ιε΄ τοῦ o τῶν
Σφαιρικῶν.

48. ἀπὸ τοῦ α' τῶν Σφαιρικῶν.

44, Ὁ € BIIT' p. 16,111] ὁ ξῳδιακός.

458. τὸν ΞΘΟ II p. 10,18] τὸν μεσημβρινόν.

46. ὁ KA χύκλος p. 18,113] ὁ ξῳδιακός.

41. AO κύκλον p. 18,15] ἤτοι τὸν μεσημβρινόν.

48. P. 18,15] ὥστε ἔχεις καὶ τὴν δευτέραν πρότασιν
ἀποδεδειγμένην" διὸ γὰρ ὁ ξῳδιακὸς ἀπεδείχϑη ὀρϑὸς
πρὸς τὸν μεσημβρινὸν καὶ ἀπὸ τῆς ϑέσεως.

32. V?. 88. Vat! 84. 75. 35. V*. 86. 73. 87. Vat!.
38. V?. 89. Vat? . 40. V?Vat.?. 41. V*lVat!'BCD M?p!qsx.

49. Vat?. 48. Vat! 44. Vat?. . 46. γα. 46. V*lw Vai*
4". V?v!Vat?. 48. Vat?p?.

18. τό] vo? Vat. 15. γάρ] om. q. 18. ἄρα] ἔτι l 36. ἤτοι]
om. v'Vat.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 139

49. P. 18,16] νῦν τὰ μετὰ τὴν δευτέραν ἀποδείκνυσι
πρότασιν x«i πρῶτον τοῦτο, ὅτι οὐδέποτε ἔσται ὀρϑὸς
πρὸς τὸν ὁρίζοντα ὁ ξῳδιακός, ὅταν 0 πόλος μέσον ἐστὶ
τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ xci τῶν μεγίστων ἀεὶ φανερῶν
καὶ καϑεξῆς τὰ ἄλλα.

50. Ad fig. 1 p. 21] Ὁ βόρειος πόλος τοῦ ὁρίζοντος
ἐπὶ τοῦ ϑερινοῦ ἐστι τοῦ τροπικοῦ κατὰ τὸ M σημεῖον.

Dl. Τεμεῖ αὐτὸν διὰ τῶν πόλων p. 18,26] διὰ τοῦ ιγ΄
τοῦ α΄ τῶν Σφαιριχῶν.

52. Ὅπερ ἀδύνατον p. 20,2] ἐφάπτεται γὰρ τοῦ τρο
πικοῦ ὃ ζῳδιακός, οὐ μὴν τέμνει αὐτόν.

53. Asi γὰρ ἐφάπτεται.

54. Ad ἢρ. 2 p.21] ἐν τῷ πόλῳ τοῦ ὁρίξοντος μεταξὺ
τῶν τροπικῶν. ἐστι κατὰ τὸ Θ σημεῖον.

55. Ἐφάψονται δή p.22,0(] διὰ τὸ ζ΄ τοῦ β' τῶν
Σ φαιρικῶν.

56. Aya τε αὐτὸν τεμεῖ p.22,9] διὰ τοῦ ιε΄ τοῦ c
τῶν ΖΣφαιρικῶν.

51. Ὁμοία ἐστὶν ἡ K X p. 22,19] διὰ τοῦ ιγ΄ τοῦ β΄
τῶν Σφαιρικῶν.

58. Πάλιν, ἐπεὶ p. 22,19] ἐπεὶ γὰρ ὁμοία ἐδείχϑη ἡ
KM τῇ AN, ἐξ ὧν ἡ KZ τῇ AT ὁμοία, λοιπὴ ἄρα ἡ
ZM λοιπῇ τῇ TN ὁμοία ἐστίν. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΜΠ
τῇ ΝΡ ἐστιν ὁμοία, ἐὰν τὸν ξῳδιακὸν ὁμοίως γράψωμεν.

Àd prop. ΠΙ.
59. Ὁ ΚΘΓ ἄρα p. 24,13] διὰ τὸ α' τοῦ Αὐτολύκου.

49. Vat*p?. 50. 75. 51. Vat*. 62. Vat?. 53. γαὐ!. 54. V.
55. V?Vat*. 56. Vat?. | 57. V?!Vat!. 58. V!l1Vat!'BCD4
M'n'ax.. 59. V*

15. τό] τοῦ Vat. £'] ς΄ Vat. 21. ὁμοία] om. sx. 22. λοιπῇ]
V], om. cett. 23. ἐστίν] V1, om. cett.; item lin. 25 ἐστιν.
NP] ΜΡ,.

τῷ
c

10

15

20

25

140 SCHOLIA IN PHAENOMENA

Ad prop. IV.

60. Οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ ζωδιακοῦ δύνατον καὶ ἐπὶ ἄλλου.

61. Ὁμοία ἄρα p. 26,14] διὰ τὸ ιγ΄ τοῦ f τῶν Σφαι-
ρικῶν.

62. Δοιπὴ ἄρα p. 26,15] ἐπειδὴ πᾶς κύκλος παντὶ
κύκλῳ ὅμοιός ἐστιν.

63. “έγω ὅτι p. 26,23] ἢ καὶ οὕτως" λέγω, ὅτι τὸ H
πρότερον δύνεται τοῦ Ζ. ἐπεὶ γὰρ ἡ ΚΘ μείξων ἐστὶν
ἢ ὀμοία τῆς MA, ὧν ἡ ΚΖ ὁμοία ἐστὶ τῇ MN, λοιπὴ
ἄρα ἡ ΘΖ μείξων ἐστὶν ἢ ὁμοία τῆς NJ. πρότερον ἄρα
δύνεται τὸ IN τοῦ Z: ἀλλὰ καὶ τὸ H τοῦ IN πολλῷ ἄρα
τὸ H πρότερον δύσεται τοῦ Ζ.

64. Ὁμοία ἄρα p. 26,21] διὰ τὸ ιγ΄ τοῦ β' τῶν Σφαι-
ρικῶν.

Ad prop. VI.

65. Κατὰ συξυγίαν p. 30,21] τουτέστιν, ὅτε ἐναντίον
τὸ ἕν δύνει. τὸ ἄλλο ἀνατέλλει, καὶ ὅτε δύνει τόδε. ἀνα-
τέἕέλλει τὸ ἕτερον.

66. Κατὰ συξυγίαν ἀνατέλλειν καὶ δύνειν ἄστρα
λέγεται, ὅσα κατὰ διάμετρον ὄντα ἐν ἴσῳ χρόνω ἴσας
περιφερείας διέρχεται καὶ τὸ μὲν ἀπὸ ἀνατολῆς ἐπὶ
δύσιν πορεύεται. τὸ δὲ ἀπὸ δύσεως ἐπ᾽ ἀνατολήν.

61. "Icy ἄρα ἡ EB ν. 52,9] ἐὰν γὰρ ἐπιξεύξωμεν
τὰς 4B, EZ, δύο δυσὶν ἴσαι ἔσονται. ὡς ἐκ τοῦ κέν-
τρου καὶ αἱ γωνίαι ἴσαν αἱ κατὰ κορυφήν᾽ βάσις ἄρα ἡ
ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὸ B βάσει τῇ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὸ Ζ ἐστιν

60. Vat!Ap?x. 61. V?Vat*. 62. Vat?*p?*. 68. C (m. rec.)
A sx. 64. V?, 065. V?l. 66. Vat?p?t. 67. V?l Vat'M?p!q.

2. ἄλλου] τῶν ἄλλων Δ. 8. διὰ τό] ἀπὸ τοῦ Vat. 16. ἐν-
αντίον — 11. ἀνατέλλει] ἀνατέλλει τὸ ἕν, δύνει τὸ ἄλλο 1.
24. ὡς] Vl, καί Vai p, om. cett. 26. αἱ (alt.)] om. q. Post
κορυφήν add. γάρ supra m. rec. q.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 141

ἴση. ὥστε x«l περιφέρεια ἡ EB τῇ AZ περιφερείᾳ
ἐστὶν (6x.

68. MAX ἡ EB p. 32,10] ἐπεὶ γὰρ δύο ἐπίπεδα παρ-
ἄλληλα τὰ EZ, ΒΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τέμνεται τοῦ
A6 ΒΓ αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἶσυν" παρ-

ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ἀπὸ

Θ τοῦ E ἐπὶ τὸ Z τῇ ἀπὸ τοῦ

B ἐπὶ τὸ I. ἐὰν ἄρα ἐπι-

ξεύξωμεν ὡς τὴν ΕΤ᾽ καὶ

τὴν ΒΖ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι

Ε z αἱ ὑπὸ ΕΓΒ. ΓΕΖ ἴσαι

ἀλλήλαις ἔσονται. ὥστε καὶ

περιφέρεια ἡ ΕΒ τῇ ΓΖ

ἐστιν ἴση. ἐν γὰρ τοῖς ἴσοις

8 T κύκλοις αἱ γωνίαι τὸν αὐτὸν

λόγον ἔχουσι τῶν περιφε-

ρθειῶν. ἐφ᾽ ὧν βεβήκασιν. ἐάν τε πρὸς τοῖς κύκλοις, ἐάν
τὲ πρὸς ταῖς περιφερείαις ou βεβηκυῖαι.

09. "Icoe ἄρα p. 32,12] διὰ τὸ ιζ΄ τοῦ β' τῶν Σφαιρικῶν.

10. Ἴση ἄρα p. 32,14] διὰ τὸ ιϑ' τοῦ β΄ τῶν Σφαι-
ρικῶν.

11. 'Ev ἴσῳ ἄρα p. 32,15] διὰ τὸ f' τοῦ Αὐτολύκου.

12. Πάλιν, ἐπεί p. 32,22] ὑπὸ γὰρ μεγίστου τοῦ ὁρί-
Covrog ἑχάτερος αὐτῶν μέγιστος ὧν δίχα τέμνεται.

Ad prop. VII.

18. Μεϑιστάμενος p. 34,14] κινούμενος.

68. V?1Vat'CDAM?p'qsx. Fig. praebent V (arc. ΒΖ om.)
Vat p. 69. VL 70. Vi. 71. V2 12. Vatip? 18. V5.

1. περιφέρεια] om. Mq, comp. cett., item περιφερδβίᾳ. 2. ἴση
ἐστί (comp.) q. 3. παράλληλα] om. CDqsx, π. ἐστι τὰ EZ,
ΒΓ καὶ τέμνεται A. ὅ. παράλληλος ἄρα ἐστίν] om. qsx.
11. ὑπό] VlA, om. cett. 12. ἔσονται] V1A, εἰσίν cett. καί] καὶ
ἡ codd. rec. b. 18. περιφέρεια om. s ([80.. 14. ἴση ἐστίν A
pqd8. ἐν — 18. βεβηκυῖαι) V1, om. cett. 24. μέγιστος ὧν)
μεγίστων p.

20

τῷ

σι

142 SCHOLIA IN PHAENOMENA

14. Καὶ ἄλλοτε p. 94,18] ἀντὶ τοῦ ποτὲ ἑαυτοῦ ὀρϑό-
τερος μᾶλλον. ποτὲ δὲ χεκλιμένος.
15. Ὅτι μέν p. 36,2] διὰ τὸ ια΄ τοῦ “ὐτολύκου.
16. “ῆμμα. ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ BEAM
5 τοῦ 44 ἁπτέσϑω κατὰ τὸ 41) x«9' οὗ δὲ φέρεται παρ-
αλλήλου κύκλου τὸ E, ἔστω 0 ΘΕΜΗ: λέγω, ὅτι ἡ
ΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ 4 M.

εἰλήφϑω γὰρ ὃ πόλος τοῦ ΘΕ MH τὸ P καὶ διὰ τὸ P
καὶ τῆς ἀφῆς μέγιστος κύκλος γεγράφϑω ὃ PAI" ὃ
ΡΖΩ͂Γ᾽ ἄρα ἥξει διὰ τῶν τοῦ BEAM χύχλου πόλων διὰ
τὸ ε΄ τοῦ β' τῶν Σφαιρικῶν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο
κύκλοι οἱ BEZ M, ΘΕ ΜΗ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ
τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος xóxAog γέγραπται ὁ PA,
ὁ PAI' ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν
κύκλων |'Theodos. II, 9], ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ EZ τῇ 4 M.

11. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστίν p. 36,14] διὰ τὸ λῆμμα.

1(

---

1

σι

1) Fig. codd. Vlp (M om. p). 2) Fig. cod. Vat.

14. VilVat!M!p?qrt. 75. VÀ. 160. V?lVat/ Mp! ΤΊ. V5.

9. δέ] Vl, om. cett. 4. BEZM] AEB Vat p, BEZ M.
1. ἐστί] in hoc. voc. des. M. 9. PAT'] PA4B VatMp, item
lin. 10, 18, 14. 10. τῶν] ins. Vat. διά — 11. Zotoixóv] om.
VatMp. 14. τεμεῖ] τέμνει VatMp.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 143

18. Ἡμικύκλιον δέ p. 38,2] διὰ τὸ μεγίστους κύκλους
τὸν ξωδιακὸν καὶ τὸν ὁρίζοντα δίχα τέμνειν ἀλλήλους.

19. Καὶ φανερόν p. 40,6] διὰ τὸ χβ΄ τοῦ β΄ τῶν
Σφαιρικῶν.

Ad prop. VIII.

80. Ζῆμμα. Αἱ μὲν HK, ΚΝ, NI' ἴδαι εἰσὶ διὰ τὴν
ὑπόϑεσιν. ὅτι δὲ τεταρτημορίου ἐστὶν ἑχατέρα τῶν ΓΗ,
HB, ἐκεῖϑεν δῆλον. ἐπειδὴ ὁ ξῳδιακὸς καὶ ὁ τροπικὸς
ἅπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἀφῆς
μέγιστος κύκλος γέγραπται ὃ μεσημβρινός. ἥξει ἄρα καὶ
διὰ τῶν τοῦ ξῳδιακοῦ πόλων. ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο
κύκλοι, ᾿ὃ ξῳδιακὸς καὶ ὁ ἰσημερινός. τέμνουσιν ἀλλή-
λους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγρα-
πται. ὃ μεσημβρινός, δίχα τέμνει τὰ ἀπειλημμένα τμή-
ματα. ὁ

81. Αἱ Ζ4. 43. EI' p. 42,5] διὰ τὸ ξ΄ τοῦ y' τῶν
Σφαιρικῶν.

82. Ἴσος ἄρα p. 42,19] διὰ τὸ ιζ΄ τοῦ β' τῶν Σφαιρι-
κῶν.

83. Ἴση ἄρα p. 42,25] διὰ τὸ νη τοῦ f τῶν Σιφαιρι-
κῶν.
Ad prop. IX.

84. Καλῶς oi προδιωρισμένοι.

85. Ὅταν p. 44,19] τουτέστιν μὴ ὀρϑὴν ἐχέτω κίνη-
συν ἡ σφαῖρα.

18. V*. τ9. V?. 80. Vl et inde ab lin. 7 ὅτε Vat CDM?
Ap'qx, inde a lin. 10 ἥξει s. 81. V?, 82. 'V*, 83. V*,
84. V?, 85. V? ἃ

1. δέ] γάρ codd. rec. b. ἑκατέρα ἐστίν Vat ἄς 8. καὶ ὁ
τροπικός] om. 1χ. 9. ἅπτονται ἀλλήλων] om. C (lac. 10 litt.)
Ax. τοῦ ἑνὸς πόλων] τῶν πάντων πόλων Mqx. πόλων] πόλου
Vat 1». 10. Post μεσημβρινός spat. vac. 9 lin. 4. 14. ταὶ]
om. CDqx. |

10

25

[ui |

10

15

20

144 SCHOLIA IN PHAENOMENA

86. Aü$óg μοι ἐγένετο εἰς τὸν παρόντα τόπον ϑάτε-
gov, ὅτι τὰ δύο ὀχήματα, ἅπερ εἰχε τὸ ἀντιβολαῖον, εἰσὶν
v ὄχῆμα ἤτοι τοῦ &O καὶ LO.

Ad prop. XI.

81. Καὶ ἐπεί p. 58,13] διὰ τὸ ς΄.

88. "Ev ὦ ἄρα p. 60,24 rec. bj διὰ τὸ x«9' ἕν σημεῖον
τὸ E δυναπτόμενον τῶν EO, EI' περιφερειῶν φερομένης
τῆς E περιφερείας πάντως συμφέρεσϑαι καὶ τὴν ΓΕ
περιφέρειαν συνημμένην τῇ EO καὶ τὰ O, I' σημεῖα
ἐπὶ τοῦ ὁρίξοντος εἶναι.

Ad prop. XII.

89. Σαφεστέρα ἡ B. £x0octo, ἥτις κεῖται μετὰ γ φύλλα.

90. ᾿Εσφαλται.1)

91. Ἔσφαλται ἡ καταγραφή. ὕπου γὰρ τὸ 4 κεῖται.
ὀφείλει κεῖσϑαι τὸ B, καὶ ὕπου τὸ B, τὸ 4 ἔνϑα ce
κεῖται τὸ Γ, ὀφείλει κεῖσϑαι τὸ Zl, καὶ ἔνϑα τὸ Z1, τὸ
I, καὶ οὕτως ὁ τῶν ξῳδίων κύκλος ϑέσιν ἔχειν τὴν BA.
ὅτε γὰρ ἀνατεταλμένον ἐστὶ τὸ μετὰ τὸν Καρκίνον ἡμι-
κύκλιον, ὀφείλει κεῖσθαι ὡς τὰ δυτικῶν ἐν τοῖς ἀνατο-
λικοῖς, καὶ οὕτως ἀσφαλτὸν τὴν καταγραφὴν γενέσϑαι.

92. Τῶν BE, 45 p.62,15] ὅτε ἡ BE ἴση τῇ EA,
δείκνυται ἐν τῷ λήμματι τῷ ἐν τῷ η΄ ϑεωρήματι v.
schol. nr. 80].

1) Inde ab hoc ἔσφαλται codd. rec. ἃ scholia non habent;
in scholiis, quae sequuntur, numeri paginarum et linearum ad
recensionem b pertinent.

86. r... 87. V, 88. V?l Vai! p*; v. fig. reo ἢ. 80. NN
CDsx. 90. V? 91. D (bipartitum: 1. ἔσφαλται — 9. τά 2.
δυτικῶν — 20. ysvécQ'c) E (des. in lin. 18 TOME n (post
lin. 19 τά ruptura bombyc. et figura interruptum) q. . Dsx.

12. ἔκδοσις] -οσις om. in fine lin. Vat. κεῖται — rus κατὰ
τὸ wy φύλλον x. 14. καταγραφή --- κεῖται) τὸ χωρίον, ὕπου ἡ
κατὰ τὸ A κεῖται γραφή α; --- γραφή, ὅπου γάρ supra M.
17. οὕτω DEM. ὃ] om., lacuna relicta EM., τόν D. 18. τό]
om. 186. rel. DE. 20. Post γενέσϑαι add. ἤ M; v. schol. nr. 93.
22. η΄ ϑεωρήματι) Om. s.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 145

983. Γραφέντος διὰ τοῦ K μεγίστου κύκλου ἐφαπτο-
μένου. οὗ χαὶ ὁ ὁρίζων ἐφάπτεται κατὰ τὸ Ε΄. ὥστε
ἀσύμπτωτον εἶναι τὸ ἀπὸ τοῦ ς ἡμικύκλιον ὡς ἐπὶ τὰ
Κ μέρη τῷ ἀπὸ τοῦ E, xo9' ὃ ἐφάπτεται ὃ δρίζων τοῦ
τροπικοῦ ἡμικυκλίου. ὡς ἐπὶ τὰ E, Il μέρη.

94. P. 68,11] ὥστε ἔχεις ἀποδεδειγμένον. ὅτι ἐν πλεί-
ovi χρόνῳ ἡ πρὸς τῇ συναφῇ τοῦ τροπιχοῦ ἤτοι ἡ B K,
ἐν ἐλάσσονι δὲ ἑξῆς τούτου ἤτοι ἡ K 4.

95. 'H PA p. 68,4] ὅτε δὲ ἡ PA xoci τῆς Ξα μείξων
ἐστὶν ἢ ὁμοία, δῆλον. ἐπεὶ γὰρ ἐφεξῆς μείζων ἐστὶν ἡ
Hae τῆς «D, ἡ δὲ αβ τῆς DE, μείξων ἔσται καὶ ἡ Πα
τῆς βι,Ξ3᾽ κοινῆς προσκειμένης τῆς c μείξων ἐστὶν ἡ
H τῆς «A, ὥστε xoi μείξων ἢ ὁμοία ἡ H τῆς «5.
ὁμοία δὲ ἡ HB τῇ P4: μεταξὺ γὰρ τῶν ἀσυμπτώτων
ἡμικυκλίων μείξων ἄρα ἢ ὁμοία ἡ PA τῆς αἰξΞ. ἐλάττων
δὲ ἢ ὁμοία ἐδείχϑη ἡ P.A τῆς HS, ὥστε ἡ τῇ PA ὁμοία
τιϑεμένη ἀπὸ τοῦ X μεταξὺ τῶν « H σημείων πεσεῖται
ὧδ ἡ πὸ. τ.

90. 'H KA περιφέρεια p. 10,10] αὕτη γάρ ἐστι ἡ Oy
μεταβᾶσα.

91. P. 10,13] ἔχεις καὶ ταύτην τὴν πρότασιν ἀποδε-
δειγμένην τὴν ὅτι ἐν ἐλαχίστοις χρόνοις πρὸς τῷ ἰση-
μερυνῷ᾽ πρὸς τῷ ἰδημερινῷ γάρ ἐστι ἡ 4.Ξ.

10

20

98. Καὶ ἐπεί p. 12,20] δείξας τὰ πρὸς τῇ συναφῇ τοῦ

ἑνὸς τῶν τροπικῶν, ὅτι ἐν πλείονι, δείκνυσι καὶ τὰ πρὸς
τῇ ἑτέρα συναφῇ τοῦ ἑτέρου τροπικοῦ, ὅτι ἐν πλείονι.
99. “έγω. ὅτι p. 12,20] εἰπὼν ἔν τῇ τελευταίᾳ προ-
τάσει. ὅτι αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου ἐν
ἴσοις χρόνοις καὶ δύνουσι καὶ ἀνατέλλουσιν, καὶ δείξας.
ὅτι ἐν ἴσοις χρόνοις δύνουσιν, νῦν δείκνυσι ὡς ἐπὶ
93. CDx et M?q coniunctum cum mr. 91. 94. Vatipi |

95. Vat'CDM?p!sx. 96. Vat!p?. 97. Vat?p?. 98. Vat?p?*.
99. Vat? p?,

17. τοῦ] τῆς 8.
Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. — 10

25

30

e

10

15

20

146 το SCHOLIA IN PHAENOMENA

ἄλλης καταγραφῆς, ὡς ὅτι καὶ ἐν ἴσοις χρόνοις ἀνατέλ-
λουδσιν. |

100. ἀλλὰ ἡ I1 € p. 16,111] ὡς ἴση τῶν κύκλων ἴσων
ὄντων.

101. P. 10,25] ἔχεις καὶ τὴν ἐσχάτην πρότασιν ἀπο-
δεδειγμένην, ὅτι "Ev ἴσῳ δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰση-
μερινοῦ κύκλου ἴσον γὰρ ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ 1,
ABA καὶ ἡ ΞΜ.

102. 'Ex περισσοῦ. τῆς αὐτῆς καταγραφῆς μενούσης
λέγω. ὅτι 7] AB τῇ BI' ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνει. ἐπεὶ γὰρ ἡ
ΓΖ τῆς BE μείξων ἐστὺν ἢ ὁμοία, κείσϑω τῇ BE ὁμοία
ἡ ΓΖ, καὶ ὁ ξῳωδίων κύκλος ϑέσιν ἐχέτω τὴν ZEH. καὶ

ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἣ AB τῇ BI, ἴδος ἐστὶν ὃ 41Θ κύκλος
τῷ ΓΩ͂ κύκλῳ" ἴση ἄρα καὶ ἡ AE τῇ Ez. ἔστι δὲ καὶ
ἡ ΖΕ τῇ EH ἴση. ἐπεὶ καὶ ἡ ΓΒ τῇ BA ἴση" ἐστιν
ἄρα καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ 4 τῇ ἀπὸ τοῦ Z1 ἐπὶ τὸ Ζ᾽
ἴση ἄρα καὶ ἡ AH περιφέρεια τῇ 412 περιφερείᾳ " ἀλλ᾽
ἡ 4H τῇ ΕΒ ἐστιν ὁμοία" καὶ ἡ EB ἄρα τῇ 412 ἐστιν
ὁμοία. ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ τὸ Β ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Β τὴν
BE διελϑὸν ἐπὶ τὸ E παραγίγνεται, ἐν τούτῳ καὶ τὸ Ζ
ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ Ζ τὴν Z4 διελϑὸν ἐπὶ τὸ Z4 παρ-
100. C (mg. c. signo om.) x; in textu Mq. 101. Vat? p*.
102. Hoc scholium pos prop. XII in textu hab. codd. rec. b.
16. Post Z add. ἴση m. 2 Vat.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 141

ἕσται" ἀλλ᾽ ὅταν μὲν τὸ B ἐπὶ τὸ E παραγένηται, δύνει
ἡ B.4 περιφέρεια" ὅταν δὲ τὸ Z ἐπὶ τὸ Zl παραγένηται,
δύνει ἡ ΖΕ, τουτέστιν 13, ΓΒ ἡ AB ἄρα τῇ ΒΓ ἐν
ἴσω χρόνῳ δύνει.

102. Ad schol. nr. 102 lin. 12] ἡ γὰρ ΒΓ ἡ αὐτή ἐστι

τῇ ΕΖ᾽ ὁμοίως καὶ 7 4B τῇ HE: ὃ γὰρ ἕξῳδιακὸς

κύχλος ó 4ΒΓ μεταξὺ τῶν H, Z καί ἐστιν ὃ αὐτός.

Αἀ prop. XIV.

104. Σαφεστέρα ἡ B ἔκδοσίς ἐστιν, ἥτις κεῖται μετὰ
γ ἥμισυ φύλλα. |
105. Σαφεστέρα ἔκδοσις εὑρίσκεται μετὰ τὰ ὃ ἥμισυ
φύλλα.
. 106.5) ᾿Εξαλλαγή ἐστι φανεροῦ ἡμισφαιρίου, ὅταν τοῦ
προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς
ὄντος τὸ ἑπόμενον ἀνατεῖλαν καὶ διελϑὺν ὅλον τὸ φα-

-----

1) Hoe scholhum rursus ad dem. alt. prop. XIV praebent
Vat!p?; p. 148 lin. 3 τήν (alt. non om.

103. Vat? p?. 104. Vat!'DM?x. 105. C. 106. Vat? CD4
Ap?stix; v. p. 10 lin. 38qq..

7. τῶν H, Z καί] τεϑεὶς sig τὸν μείζονα p.
^ 10*

C

10

σι

10

148 SCHOLIA IN PHAENOMENA

νερὸν ἡμισφαίριον ἐπὶ τῆς δύσεως γένηται, τουτέστιν
ὥστε ἀπὸ τοῦ ἀφανοῦς ἡμισφαιρίου εἰς τὸ ἀφανὲς ἐλ-
ϑεῖν τὴν περιφέρειαν τὴν τῶν δύο σημείων, τοῦ ἡγου-
μένου καὶ τοῦ ἑπομένου.

101. Τοῦ τῶν ξῳδίων κύκλου τῶν ἴσων vs περιφε-
ρθειῶν καὶ ἴσον ἀπεχουσῶν ἀπὸ τῆς τροπικῆς συναφῆς
ὁποτερασοῦν., àv ᾧ ἡ ἑτέρα ἀνατέλλει, ἡ ἑτέρα δύνει
καὶ τὸ ἀνάπαλιν.

ἔστω ἐν κόσμῳ ὁρίξων ὁ ABI, ϑερινὸς δὲ τροπικὸς
ὁ 48, χειμερινὸς δὲ τροπικὸς ὁ I4, 6 δὲ τῶν ξῳωδίων
κύκλος ἔστω ὁ AIIPI'H Ξ; καὶ ἔστω ἴση ἡ ΠΡ-τῇ EH:
λέγω" ἐν à ἡ ΠΡ δύνει, ἡ EH ἀνατέλλει.

εἰλήφϑω γὰρ τῇ περιφερείᾳ ΠΡ loy ve καὶ ἀπεναν-
τίον περιφέρεια ἡ ΣΤ καὶ μεταξὺ τῶν AH, ΣΤ ὁ ἰση-

107. Vat!'MCDZ Ap!st (v. p. 84 lin. 98qq.).
3. τήν (alt. om. Vat. — 5. ze] om. AMp. — 6. &zó ...] ἀφ᾽

ὁποτερασοῦν vro. D. — 7. Post ᾧ add. χρόνῳ DM. ἀνατέλλει, ἡ
ἑτέρα] om. 4. 9. ABI] ABD D, ABA. 13. περιφερείᾳ]

om. 4ÀM, item lin. 14 περιφέρεια. 14. καί] om. t.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 149

μερινὸς ἔστω ὁ DX6. καὶ ἐπεὶ ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΠΡ δύνει,
ἡ ET ἀνατέλλει" ἀλλ᾽ ἐν ᾧ ἡ ΣΤ ἀνατέλλει, ἔν τούτῳ
x«i ἡ Hj: ἴσον γὰρ ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ ἐν
09 ἄρα ἡ ΠΡ δύνει, ἡ HA ἀνατέλλει" ἐκεῖνό ye μὴν
φανερόν, ὅτι ἡ Α΄ ΞΗ ἴση ἐστὶ τῇ 4ΠΡ.

108. Ad schol. nr. 107 p. 149,3] πῶς δὲ ἴσον ἀπέχουσι
τοῦ ἰσημερινοῦ ἡ 2T xoi ἡ ΗΞ-΄. οὕτω δείκνυται" ἐπεὶ
τὸ μὲν 4 τῷ Γ' κατὰ διάμετρον, τὸ δὲ II τῷ T, ἴση ἄρα
ἡ AII περιφέρεια τῇ Z T, τῶν διαμέτρων ἐπι ξευχϑει-
σῶν δηλονότι καὶ οὕτω τῶν γωνιῶν τῶν ἴσων ἐπὶ ἴσων
περιφερειῶν βαινουσῶν. ἀλλὰ ἡ ATI vij 4,8 ἴση ἐστὶ
“διὰ τὸ σχόλιον τοῦ £? (nr. (6). xoi ἡ AA ἄρα ἴδη τῇ
TI. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἣ AX ὅλῃ τῇ ΧΙ ἐστιν ἴση. ἐξ ὧν
ἡ 4 τῇ ΤΙ ἐστιν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΞΧ λοιπῇ τῇ ΧΤ
ἐστιν ἴση. διὰ τὸ τὴν μὲν ΠΡ ἴσην εἶναι τῇ EH. ἀπὸ
τοῦ σχολίου τοῦ ἐν τῷ ζ΄, τὴν δὲ ΠΡ κεῖσϑαι ἴσην τῇ
ΣΤ, ἡ ΞΗ ἴση ἐστὶν τῇ ΣΤ' λοιπὴ ἄρα ἡ HX τῇ XZ ἴση
ἐστίν" ἴσον ἄρα ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ ἡ Z T καὶ ἡ ΗΞ.

109. Πάλιν ἐπεί p. 88,15] δίελϑε ὁ ἀναγιγνώσκων τὴν
ἀπόδειξιν τοῦ xf. τοῦ B. τῶν Σφαιρικῶν καὶ ἐκεῖσε μαϑήσει,
ὡς πάντων τῶν μεγίστων κύκλων τῶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου
ἐφαπτομένων κύκλων οἱ πόλοι ἐφ᾽ ἑνὸς κύκλου εἰσίν.

110. Ῥ΄90,14] ἔχεις. ὅτι αἱ ἴσαι περιφέρειαι οὐκ ἐν
ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσιν.

111. P. 90,15] καὶ ἐπεὶ τὸ H τῷ Μ τὸ αὐτό ἐστιν ὡς
ἐν μίᾳ περιφερείᾳ. ἀπώτερόν ἕστι τὸ Zl τοῦ s.

112. Ἴση ἄρα ἐστίν p. 90,11] διὰ τὸ ιγ΄ τοῦ B' τῶν
“Σφαιρικῶν.

118. Ζύνει p. 94,3] διὰ τὸ λῆμμα τὸ μετὰ πέντε φύλλα

1ὅ

20

108. Vat!p'. 109. DZ2M*?x. 110. Vat?p?. 111. Vat!'DM?p?. -

1129. M'. 118. Dsx (διὰ τὸ λῆμμα etiam M).

4. Post ἄρα add. χρόνω DA. 65. ἡ .. .] ὅλη ἡ — ὅλῃ τῇ —
ἴση ἐστίν t. 9. περιφέρεια] ἐστι p. 14. τῇ (alt.)] τῇ τῇ p.
18, HA] H om. Vat, 29. πέντε) om, sx,

10

15

20

150 SCHOLIA IN PHAENOMENA

» / 2 e 1 j -
ἔξωϑεν γεγραμμένον, ἐν ᾧ καὶ τὸ τοιοῦτόν ἐστι 65-
μεῖον C; v. schol. nr. 107.

Ad prop. XV.

114. ᾿Εξαλλαγή ἐστιν ἀφανοῦς ἡμισφαιρίου, ὅταν τοῦ
προηγουμένου σημείου τῆς περιφερείας δύναντος καὶ
διελϑόντος ὅλον τὸ ἀφανὲς ἡμισφαίριον τὸ ἑπόμενον
ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς γένηται. τουτέστιν ὥστε ἀπὸ τοῦ ἐμφα-
νοῦς ἡμισφαιρίου εἰς τὸ ἐμφανὲς πάλιν ἐλϑεῖν τὴν περι-
φέρειαν τὴν ὑπὸ τοῦ προηγουμένου καὶ τοῦ ἑπομένου
σημείου γενομένην.

Ad prop. XVI.

115. 444' ἐν à μὲν χρόνῳ p. 106,18] διὰ τὸ w^. ἴσον
γὰρ ἀπέχουσιν ὁποτέρασοῦν τῶν συναφῶν ἀπὸ τοῦ 60-
λίου τοῦ ξ΄ (nr. 80).

116. ᾽4λλ᾽ ἐν ᾧ μὲν χρόνῳ p. 108,6] διὰ τὸ ιε΄, οὗ ἡ
ἁρχὴ ᾿ὠσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τοῦ μετὰ τὸν Αἰγόκερων ἡμι-
κυκλίου᾽.

Ad prop. XVII.

117. Διὰ τὰ αὐτά p.110,7] ἐπεὶ αἱ MA, ΘΚ ἴσον
ἀπέχουσι τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ. ἔχομεν δὲ ἀπὸ τοῦ κε΄
ϑεωρήματος, ὅτι ἴσον ἀπέχουσαν τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ
ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον, ἔτι
δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ ιζ΄, ὅτι αἴ ἴσον ἀπέχουσαι ὁποτεραδοῦν τῶν
συναφῶν ἐν ἴσοις χρόνοις ἐξαλλάσσουσι τὸ ἀφανὲς ἡμι-
δφαίριον. πρὸς δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ (60v. ὡς αἱ ἴσαι καὶ ἀπεναν-
τίον περιφέρειαι ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ἑτέρα ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν

114. Vat!'4DAM?p!qstx; in 4 textui post schol. nr. 125 inter-
positum (mg. oxóAtov); v. p. 10,6sqq. 115. Vat'Ap?s. 116. 4s.

117. CM?s; im s bipartitum: 1. ἐπεί — lin. 21 ϑεωρήματος.
2. (post spatium vacuum) lin. 21 ὅτι — p. 151 lin. 8 ἀνάπαλιν.

5. περιφερείας] γωνίας Δ. 6. τὸ ἑπόμενον] om. D stx. 7. éu-
φανοῦς] ἀφανοῦς ὑχ. 10. σημείου γενομένη] om. D. γενομένην]
τῶν ix, περιεχομένην ἃ. 20. 8617 ιδ΄ hui. edit. 28. εξ ες
hui. edit. εζ΄ --- ὁποτερασοῦν) in M. evan. 24, Post χρόνοις
add, δέ s. — 25. ἴσου] ἐς΄ 8. αἱ] om. s,

SCHOLIA IN PHAENOMENA 151

ἡμισφαίριον, ἐν τῷ αὐτῷ ἡ ἑτέρα τὸ ἀφανὲς καὶ ἀνάπαλιν.
διὰ δὴ ταῦτα ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ ΖΗ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν

ἡμισφαίριον, ἐν τούτῳ ἡ ΚΘ τὸ ἀφανὲς καὶ ἀνάπαλιν.
Ad prop. XVIII.

118. X»wóAwov. εἰδέναι χρή. ὅτι, 1v βουλώμεϑα δεῖξαι.
ἐν πλείονι χρόνῳ ἐξαλλάσσειν τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον.
δεῖ φυλάττειν ἀκίνητον, τουτέστι μὴ αὐτὴν τὴν κατὰ
διάμετρον λαμβάνειν. ἀλλὰ τῆς τυχούσης᾽ λέγειν τὴν
κατὰ διάμετρον᾽ αὐτὴ γὰρ ἡ κατὰ διάμετρον λαμβανο-
μένη ὀγγυτέρα εὑρίσκεται τοῦ χειμερινοῦ, ἡ δὲ μείνασα
ἀκίνητος ἐγγυτέρα τοῦ ϑερινοῦ.

Àd prop. XII demonstr. alt.

119. P. 120,14] ὥστε ἔχεις τὴν πρώτην πρότασιν δε-
δειγμένην.

120, Καὶ ἐπεί p. 120,18] μετατεϑεῖσαι γάρ εἶσιν αἱ AK,
ΚΘ. αἵτινες ἦσαν ἴσαι cl c E, EA διὰ τοῦτο οὖν ἴσαι.

121. Σχόλιον. ὅτι δὲ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ
ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἀνατέλλουσι, δέδεικται μὲν ἐν τῇ ἄλλῃ ἐκ-
δόσει τοῦ ϑεωρήματος ἐν τῇ πρὸ ταύτης καταγραφῇ᾽ ἡ αὐτὴ
δέ ἐστιν ἡ ἐν τούτῳ δεῖξις ἡ περὶ τοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ δύνειν,
τὰς παρ᾽ ἑκατέρῳ τοῦ ἰσημερινοῦ τοῦ ἐν ἴσῳ ἀνατέλλειν αὐ-
τάς. ἐὰν γὰρ μεταστρέψωμεν τὸν ξῳωδιακὸν καὶ ποιήσωμεν τὸ
AI x0 γῆν͵ ὡς ἔχει ἡ καταγραφή, ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις ἁρμόσει.

122. Ad finem prop. τῆς γὰρ αὐτῆς μενούσης χατα-
γραφῆς ἐὰν μεταστρέψωμεν τὸν ξῳδιακὸν xci ποιήσω-
μὲν τὸ AI' ἡμικύχλιον τοῦ ξῳδιακοῦ ὑπὸ γῆν. ἡ αὐτὴ
ἀπόδειξις προβήσεται καὶ δειχϑήσονται αἱ ἴδον ἀπέ-
χουσαι τοῦ ἰσημερινοῦ ἐν ἴσῳ χρόνῳ καὶ ἀνατέλλουσαι.

118. Vat' AM"p'qsz. 119. Vat?p?. 120. Vat!'Dp?. 121. Vat!
CDAM?p!qx. 122. Vat (textui m. rec. interpos., om. oeti.)

8. ΚΘΊ ΗΘ M, OH s. 5. σχόλιον] om. Mp. χρὴ εἰδέναι
Msx. Tiv] εἶ qsx. 8. λέγειν] λέγει 8. 11. ἐγγυτέρου qx.
11. σχόλιον] om. C. ὅτι] εἰσί α. 20, δεῖξις] ἀπόδειξις CDqx.
28, Ante ἡ add. αὕτη CDqx.

15

20

25

10

15

20

25

152 SCHOLIA IN PHAENOMENA

Ad prop. XIV demonsitr. alt.

128. Ἧ ΤΥ ἄρα περιφέρεια p. 124,4] διὰ γὰρ τοῦ P
x«i τοῦ M πόλου τοῦ ABI' κύκλου μέγιστορ κύκλος
γεγράφϑω 6 MTo: ὃ ΜΥὼω ἄρα ὀρϑός ἐστι πρὸς τὸν
ABI" διὰ γὰρ τῶν πόλων αὐτοῦ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ κύκλου
τοῦ 4ΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ἀπὸ τοῦ ὦ ὀρϑὸν τμῆμα
κύκλου ἐφέστηκε τὸ o TM καὶ ἀφῃρημένη ἐστὶν ἡ To
ἐλάσσων ἢ ἡμίσεια οὖσα τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος καὶ
γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ o ἐπὶ τὸ M πόλον τοῦ ABI' κύκλου τε-
ταρτημορίου ἐστίν" ὑπόκειται γὰρ ὁ πόλος μεταξὺ τοῦ
τε 44 καὶ τοῦ AK κύκλου: "p ἄρα To ἐλάσσων ἐστὶν
ἢ ἡμίσεια τοῦ ἐφεστῶτος τμήματος. καὶ διὰ τοῦ α΄ τοῦ
y τῶν Σφαιρικῶν ἐλάσσων ἐστὶν 1) μὲν ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ
τὸ ὦ τῆς ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ τὸ T, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ τὸ
T τῆς ἀπὸ τοῦ T ἐπὶ τὸ Σ᾿ ὥστε καὶ ἡ TT ἐλάσσων
ἐστὶ τῆς ὉΝΣΙ.

124. Ἔχε τὴν ἐπίστασίν 6ov, ἄνϑρωπε.

125. 4i EH, ΠΡ ἄρα p. 128,14] δέδεικται λοιπόν,
ὅτι ἐν ἴσῳ χρόνῳ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι τοῦ ϑερινοῦ.

126. Σχόλιον. καϑόλου χρὴ εἰδέναι, ὅτι τῶν προηγου-
μένων σημείων ἐπὶ τοῦ ὁρίξοντος ὄντων ἡ περιφέρεια
οὔπω ἀνατέλλει οὔτε δύνει. τῶν δὲ ἑπομένων σημείων
ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος ὄντων πᾶσα ἀνέτειλε καὶ πᾶσα ἔδυ.
τὰ γὰρ προηγούμενα σημεῖα καὶ πρότερα ἀνατέλλει καὶ
πρότερα δύνει κατὰ τὸ δ΄ ϑεώρημα. τῆς II P περιφερείας
προηγούμενον σημεῖόν ἐστι τὸ Il, τῆς δὲ ΗΖ προηγού-
utvov τὸ H. λαβὼν οὖν τὴν μὲν ΠΡ δύνουσαν, τὴν δὲ
HZ ἀνατέλλουσδαν. ἀναγκαίως τὰς ἐξαλλαγὰς αὐτῶν

123. V'DiAp!sx. 134. D. 136. Vat^p*. 126. γα
ὌΠ (ὡς ἐν τῷ σχολίῳ) qrs; in textu À.

8. ἐλάσσων] ἄρα codd. 10. τοῦ] τῶν 8X. 15. rijg — E] om. Sx.
Post TT add. περιφέρειαν A, item lin. 16 περιφερείας post TNZ.
17. Éys] comp. obscurum. 20. καϑόλου] καὶ ἐν καϑόλῳ qrs. 21. ἡ]
addidi. 24. προηγούμενα] προηγμένα Vat. 25. δΊ ε΄ VatM p. Post
τῆς add, οὖν Os. 26. Ante σημεῖον add, ἦν Cs, ἐστι] om. Cs.

SCHOLIA IN PHAENOMENA 153

ξητῶν τὰς ἐπὶ τοῦ φανεροῦ ἡμισφαιρίου προσέλαβε τῆς
μὲν ΠΡ τὴν δύσιν, τῆς δὲ HZ τὴν ἀνατολήν. ὅτε γὰρ
τὸ Π ἐπὶ τὸ 4 ἔρχεται. ἡ I1 P οὔπω δύνει. ἄλλ᾽ ἔτι ὑπὲρ
γῆς ἐστιν διὸ προσέλαβεν αὐτῆς τὴν δύσιν. τοῦ γὰρ
II κατὰ τὸ Καὶ ἐπὶ τῆς ἀνατολῆς ὄντος. ἡ ΠΡ πᾶσα oz
γῆν ἔστι καὶ κινουμένης τῆς σφαίρας ἄνω φέρεται πᾶσα.
διὸ ἐν ᾧ τὸ II ἀπὸ τοῦ K ἐπὶ τὸ A ἔρχεται, μετὰ τῆς
δύσεως τῆς ΠΡ ὃ χρόνος ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ΠΡ ἐξαλλάττει
τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. πάλιν τοῦ Z xovà τὸ K ἐπὶ
τῆς ἀνατολῆς ὄντος ἡ HZ πᾶσα προανέτειλεν" διὺ
προσέλαβεν αὐτῆς τὴν ἀνατολήν. γενομένου δὲ τοῦ Ζ
χατὰ τὸ 4, πᾶσα ἡ ΗΖ δύνει. διὸ ἐν ᾧ τὸ Ζ ἀπὸ τοῦ
K ἐπὶ τὸ 4 ἔρχεται. μετὰ τῆς ἀνατολῆς τῆς HZ ὃ χρό-
νος ἐστίν, ἐν à ἡ HZ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαί.-
ριον. ἐὰν δέ, ὡς ἔχει ἐν ἄλλῃ ἐκδόσει, τῆς μὲν ΠΡ τὴν
ἀνατολήν, τῆς δὲ HZ τὴν δύσιν, οὐκέτι λήψει và II, Z
σημεῖα, ἀλλὰ và P, H καὶ τὸν χρόνον, ἐν à τότε P τὴν
ΝΜ διέρχεται xoi τὸ Η τὴν ΝΜ.

121. 'Ex περισσοῦ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφϑω
ἡ EZ μὴ μείξων τεταρτημορίου, καὶ ἔστω xc?" οὗ φέρε-
ται τὸ Ζ σημεῖον, ὃ ΖΚΘ κύκλος" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ EZ
τῇ EK |Theodos. 1], 15]: χείσϑω τῇ ΕΚ ἴση ἡ AK:
ὅλη ἄρα ἡ ΕΖΚ ὅλῃ τῇ EA ἐστιν ἴση" λέγω, ὅτι, εἰ μὲν
τεταρτημορίου ἐστὶν ἡ EZ, αἱ ZEK, EKA ἐν ἴσῳ
χρόνῳ ἐξαλλάσσουσι τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" εἰ δὲ
ἐλάσσων ἐστὶ τεταρτημορίου ἡ EZ, ἐν πλείονι χρόνῳ ἡ
ΖΕ Κ ἐξαλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ E K A.

ἔστω πρότερον τεταρτημορίου ἡ EZ: καὶ ἡ ΕΚ ἄρα
τεταρτημορίου ἐστίν: ἰσημερινὸς ἄρα ἐστὶν ὃ HZO.

10

20

25

καὶ ἐπεὶ αἱ EK, KA ἴσον ἀπέχουσι τοῦ ἰσημερινοῦ, ἐν 30

Scholia 127, 128, 129 post dem. alt. prop. XIV in textu
hab. Vat.

1. προέλαβεν p. 5. τό] τοῦ Vat. 12. τό (pr.)] τοῦ p.
23. E4| EKA m. ἃ Vat. 51, EKA] 4 add.m, 2. Vat.

Qt

10

15

20

25

30

154 SCHOLIA IN PHAENOMENA

Sa

χρόνῳ ἡ EK δύνει, ἐν τούτῳ καὶ ἡ KA [prop. 12]:
δὲ χρόνῳ ἡ EK δύνει, ἐν τούτῳ ἡ EZ ἀνατέλλει"
καὶ ἐν ᾧ ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει, ἡ KA δύνει. κοι-
νὸς προσκείσϑω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ ΕΚ ἐξαλλάττει τὸ
φανερὸν ἡμισφαΐέριον" ὃ ἄρα χρόνος. àv ᾧ ἡ KA δύνει,

τ

μετὰ τοῦ χρόνου, ἐν o ἡ EK ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον, ἴσος ἐστὶ τῷ χρόνῳ, ἐν ᾧ ἡ ΕΖ ἀνατέλλει
καὶ ἡ ΕΚ D τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον. ἀλλ᾽ ὃ
μὲν χρόνος. àv ᾧ
AK δύνει καὶ ἡ ΚΕ
ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον, ὁ χρόνος
ἐστίν, àv ᾧ ἡ EA ἐξ-
αλλάδσει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον" ὁ δὲ χρό-
νος, ἐν ᾧ 1 EZ ἀνα-
τέλλει,. μετὰ τοῦ χρό-
vov, ἐν à ἡ EK ἐξαλ-
λάττει τὸ φανερὸν quL-
σφαίριον. ὃ χρόνος
ἐστίν, ἐν ᾧ ἡ ZEK ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον"
αἱ ZEK, EKA ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ ἐξαλλάσδουσι τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον.

ἀλλ᾽ ἔστω ἡ ΕΖ περιφέρεια ἐλάσσων τεταρτημορίέου᾽
καὶ ἡ EK ἄρα ἐλάσσων ἐστὶ τεταρμορίου. κείσϑω τεταρ-
τημορίου ἣ EM καὶ κείσϑω τῇ MK ἴση ἡ ΚΙΝ. λοιπὴ
ἄρα ἡ ΕΝ λοιπῇ vij MA ἐστιν ἴση. καὶ ἡ ΕΝ ἔγγιον
τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ τροπικοῦ ἥπερ ἡ M: ἐν
πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΕΝ δύνει ἤπερ ἡ ΜΖ [prop. XII].
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ INN K ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει ἤπερ

ὅρα
ν ᾧ
4

᾿ἡ ΚΑ’ καὶ ἡ EK ἄρα τῆς KA ἐν πλείονι χρόνῳ δύνει.

ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἡ ΕΚ δύνει, ἡ ΕΖ ἀνατέλλει [schol.
nr. 101]. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ EZ ἀνατέλλει ἤπερ ἡ
30. NK] HNK Vat, sed H del. ἤπερ 7] in ras. m. 2 Vat,

SCHOLIA IN PHAENOMENA 155

KA δύνει. κοινὸς προσκείσϑω ὁ χρόνος, ἐν ᾧ ἡ EK
ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον" ἐν πλείονι ἄρα
χρόνῳ ἡ ZEK ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ
ἡ ΕΖ.

128. 'Ex περισσοῦ. τῶν αὐτῶν ὑποκχειμένων ἀπει-
λήφϑω ἡ EZ μὴ μείξων τεταρτημορίου. καὶ εἰλήφϑω
vvy0v σημεῖον τὸ H, καὶ ἔστω x«9' οὗ φέρεται τὸ H
σημεῖον παράλληλος κύκλος ὁ OKH A, καὶ κείσϑω τῇ
ΖΗ ἴση ἡ KM: ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ KEH vij MEZ:
λέγω. ὅτι ἐν πλείονι,
χρόνῳ ἡ KEH περι-
φέρεια ἐξαλλάττει τὸ
φανερὸν ἡμισφαίριον
ἤπερ ἡ MEZ.

ἔστω καϑ' οὗ φερε-
ταν τὸ M σημεῖον
παράλληλος κύκλος ὃ
NMA&- ἴση ἄρα ἐστὶν
ἡ ΚΜ τῇ ΟΗ. καὶ
ἐπεὶ ἔγγιόν ἐστιν ἡ
OH τῆς συναφῆς τοῦ

ϑερινοῦ τροπικοῦ

ἥπερ ἡ HZ, ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ OH δύνει ἤπερ
ἡ ΗΖ. ἐν à δὲ χρόνῳ ἡ OH δύνει, ἡ MK ἀνατέλλει"
ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ ἡ ΜΚ ἀνατέλλει ἤπερ ἡ HZ
δύνει. κοινὸς προσχείσϑω ὃ χρόνος. ἐν ᾧ ἡ MEH ἐξ-
αλλάσσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον᾽ ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ
ἡ KEH ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἥπερ ἡ
ΜΕΖ.

129. 'Ex περισσοῦ. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπει-

129. M? qs.

26. MEH] H in ras. m. 2 Vat. 28. ἤπερ ἡ MEZ) add.
m. 2 Vat,

30

e

1

--
»-

15

20

156 SCHOLIA IN PHAENOMENA

λήφϑωσαν ἴσαι vs καὶ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ ΖΗ.
ΘΚ, καὶ ἔστω ἡ ΖΗ ἔγγιον τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ
τροπικοῦ ἤπερ ἡ OK' λέγω, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ 1
ZH ἐξαλλάδσει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ O K.
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΖΗ ἔγγιόν ἔστι τῆς συναφῆς τοῦ ϑερινοῦ
τροπικοῦ ἤπερ ἡ OK,
μείζων ἐστὶν ἡ 0 E τῆς
ΕΖ. κείσϑω τῇ μὲν Z E
ἴση ἡ EA, τῇ δὲ ΖΗ
ἴση ἡ 4M. ἐπεὶ οὖν αἱ
AM, ΖΗ ἴδον ἀπέχουσι
τῆς συνάφῆς τοῦ ϑερι-
νοῦ, ἐν ᾧ χρόνῳ ἡ 4Μ
ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν
ἡμισφαίριον. &v τούτῳ
καὶ ἡ ΖΗ [prop. XIV].
ἕν πλείονι δὲ χρόνῳ ἽΝ
ΑΜ ἐξαλλάττει τὸ pon
νερὸν ἡμισφαέριον ἤπερ ἡ ΘΚ. ἐν πλείονι ἄρα χρόνῳ
καὶ ἡ ΖΗ ἐξαλλάττει τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον ἤπερ ἡ ΘΚ.

Ad prop. XV demonstr. alt.
130. Ad p. 130,16] διὰ τὸ ε΄ καὶ 9' τοῦ β΄ τῶν Σίφαι-
ρικῶν καὶ τῶν ἀξιωμάτων. ἐὰν ἀπὸ τῶν ἴσων ἴσα ἀφέλῃς.
130. M?qs.

12. Post ϑερινοῦ add. roozixo? m. 2 Vat.

10

15

20

25

Ei ἡσυχία εἴη καὶ ἀκινησία, σιωπὴ ἂν εἴη" σιωπῆς
δὲ οὔσης καὶ μηδενὸς κινουμένου οὐδὲν ἂν ἀκούοιτο"
el ἄρα μέλλει τι ἀκουσϑήδσεσϑαι, πληγὴν καὶ κίνησιν
πρότερον δεῖ γενέσϑαι. ὥστε, ἐπειδὴ πάντες οἱ φϑόγγοι
γίνονται πληγῆς τινος γινομένης, πληγὴν δὲ ἀμήχανον
γενέσϑαι μὴ οὐχὶ κινήσεως πρότερον γενομένης, --- τῶν
0b χινήσεων ci μὲν πυκνότεραί εἶσιν, αἵ δὲ ἀραιότεραι,
καὶ αἵ μὲν πυκχνότεραι ὀξυτέρους ποιοῦσι τοὺς φϑόγ-
γους, αἱ δὲ ἀραιότεραι βαρυτέρους, — ἀναγκαῖον τοὺς
μὲν ὀξυτέρους εἶναι, ἐπείπερ ἐκ πυκνοτέρων καὶ πλειό-
νῶν σύγκχξινται κινήσεων, τοὺς δὲ βαρυτέρους, ἐπείπερ
ἐξ ἀραιοτέρων καὶ ἐλασσόνων σύγκεινται κινήσεων. ὥστε
τοὺς μὲν ὀξυτέρους τοῦ δέοντος &visuévovg ἀφαιρέσει
κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέοντος, τοὺς δὲ βαρυτέρους
ἐπιτεινομένους προσϑέσει κινήσεως τυγχάνειν τοῦ δέον-
τος. διόπερ ἐκ μορίων τοὺς φϑόγγους συγκεῖσϑαι φα-
τέον, ἐπειδὴ προσϑέσει καὶ ἀφαιρέσει τυγχάνουσι τοῦ
δέοντος. πάντα δὲ τὰ ἐκ μορίων συγκείμενα ἀρυϑμοῦ
λόγῳ λέγεται πρὸς ἄλληλα, ὥστε καὶ τοὺς φϑόγγους
ἀναγκαῖον ἐν ἀρυιϑμοῦ λόγῳ λέγεσϑαι πρὸς ἀλλήλους"
τῶν δὲ ἀριϑμῶν οἱ μὲν ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ λέγονται,
oí δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οἱ δὲ ἐν ἐπιμερεῖ, ὥστε καὶ τοὺς
φϑόγγους ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις λόγοις λέγεσϑαι
πρὸς ἀλλήλους. τούτων δὲ οἱ μὲν πολλαπλάσιοι καὶ ἐπι-
μόριοι ἑνὶ ὀνόματι λέγονται πρὸς ἀλλήλους.

Γινώσκομεν δὲ καὶ τῶν φϑόγγων τοὺς μὲν συμφώ-
νους ὄντας, τοὺς δὲ διαφώνους., καὶ τοὺς μὲν συμφώνους
μίαν κρᾶσιν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦντας, τοὺς δὲ διαφώ-

» , ei , Ἁ ,
vovg οὔ. τούτων οὕτως ἐχόντων sixóg τοὺς συμφώνους

Ἐῤκλείδου κατατομὴ κανόνος M, m. 2 W.

Si quies sib et immobilitas, silentium sit; sin autem
silentium sit nee quidquam moveatur, nihil audiatur;
quoecirea si quid audiri debet, ictum necesse est et
motum antea fieri. itaque, quoniam omnes soni fiunt,
eum aliquis ictus fit, ictus autem fieri non potest, nisi
motus antea facetus est, — motuum autem alii erebrio-
res sunt, ali rariores atque crebriores acutiores effi-
eiunt sonos. rariores vero graviores — alios necesse est
aeutiores esse, quoniam quidem ex crebrioribus et plu-
ribus motibus sunt compositi, alios graviores, quoniam
ex rarioribus et paucioribus motibus sunt compositi.
itaque 11, qui iusto acutiores sunt, cum laxantur, motus
detractione iustum consequuntur, 11 vero, qui graviores
sunt, eum intenduntur, motus adiectione iustum con-
sequuntur. quamobrem dicendum est, ex particulis sonos
esse compositos, quoniam adiectione et detractione iustum
eonsequuntur. omnia autem, quae ex particulis sunt
composita, numeri ratione inter se esse dicuntur, ita ut
sit necesse sonos quoque numeri ratione inter se esse
diei; numerorum autem alii in multiplici ratione dicun-
tur, ali in superpartieulari, alii 1n superpartiente, ita
ut sib necesse etiam sonos in talibus rationibus inter se
esse dicil. ex his multiplices et superpartieulares uno
nomine inter se nuncupantur.

Cognoseimus etiam, sonorum alios esse consonos,
alios dissonos, et consonos quidem unam temperationem
ex ambobus efficere, dissonos vero non item. quae cum

11. Α κινήσεων ad l. 12 «κινήσεων aberravit Μ΄. addit mg.
M*, 18. ἀνειμένους W. 14. κινήσεων codd. 15. προϑέσει Μ᾽,

item lin. 17. 21. z.z4«cío! M. 28. λόγοις] supra scr. M*.
28. κρᾶσιν] πρᾶξιν W. 29. οὔ] M? in ras. ἐχόντων οὕτως W.

10

15

20

σι

10

1

20

160 KATATOMH KANONOEX

φϑόγγους, ἐπειδὴ μίαν τὴν ἐξ ἀμφοῖν ποιοῦνται κρᾶσιν
τῆς φωνῆς, εἶναι τῶν ἐν ἑνὶ ὀνόματι πρὸς ἀλλήλους
λεγομένων ἀριϑμῶν. ἤτοι πολλαπλασίους ὄντας ἢ ἐπι-
μορίους.

,

e LI

'Eàv διάστημα πολλαπλάσιον δὶς συντεϑὲν ποιῇ τι
διάστημα, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιον ἔσται.

ἔστω διάστημα τὸ ΒΙΓ, καὶ ἔστω πολλαπλάσδσιος ὃ B τοῦ
I, καὶ γεγενήσϑω, ὡς ὁ I' πρὸς τὸν B, ὁ B πρὸς τὸν zf:
φημὶ δὴ τὸν Z τοῦ I' πολλαπλάσιον εἶναι. ἐπεὶ γὰρ ὃ B
τοῦ Γ πολλαπλάσιός ἐστι, μετρεῖ ἄρα ὃ I' τὸν B. ἦν δὲ
καὶ ὡς ὃ I' πρὸς τὸν B, ὃ [' πρὺς τὸν zl, ὥστε μετρεῖ
ὁ I' καὶ τὸν Z4. πολλαπλάσιος ἄρα ἐστὶν ὃ 2 τοῦ Γ.

᾿Εὰν διάστημα δὶς συντεϑὲν τὸ ὅλον ποιῇ πολλα-
πλάσιον. καὶ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.
ἸΟΥΣΤΒ 4
gta io κὃ

ἔστω διάστημα τὸ ΒΙΓ, καὶ γεγενήσϑω, ὡς ὁ Γ' πρὸς
τὸν B, οὕτως ὁ B πρὸς τὸν 4, καὶ ἔστω 0 Z1 τοῦ Γ πολλα-

Numeros, quibus singulae protases distinguantur, omittit
M'!, asteriscis eb numeris Graecis notat M*.

Figuram habent M'W in protasi III. (exstat enim p. 162,3
post μέσοι in M, post διαστήματος in W linea tripartita cum
litteris y, B, 9. in M. μέσοι in ras., post πλείους rasura.) simile
diagramma atque ad prot. I M?, numeri tamen ἐς, ἡ, ὃ.

8. π. πλάσιος ὁ] Porph., πιπλάσιον τό] codd. 9. τόν (pr.)]
τό M. τόν (ε}0.}} τό W. 10. π.πλάσιον M. 12. Unten a
add. codd. I' καὶ τὸν] Porph., ΓΜ τὸν M, Τ' πρὸς τὸν
15. συντεϑὲν τό] M?, συντεϑῇ ἊΝ P |

ὃ T i
M!W. ποιεῖ W. ποιῆ πολλα ——|—————|—— πλάσιον M.

ὅϑεν τό

SECTIO CANONIS 161

- ita sint, consentaneum est, consonos sonos, quoniam unam
ex ambobus efficiant vocis temperationem, ex iis esse
numeris, qui uno nomine inter se nuncupentur, sive
multiplices sint sive superparticulares.

I.

Si intervallum multiplex bis compositum
intervallum aliquod effecerit, e& ipsum multi-
plex erit.

sib intervallum BI' et sit B multiplex
B numeri I, et factum sit Γ΄: B — B: 71; iam

dico, z/ numeri I'esse duplicem. nam quo-
. niam B numeri I' multiplex est, l'numerum

B metitur. verum erat etiam Γ᾿: B — B : Z,

ita ut Γ΄ etiam z/ metiatur. ergo multiplex
) (9) (B) est Ζ΄ numeri Γ.

4

ΣΝ ΣΕ ΗΣΙ

(

«Ξ

II.

S1 intervallum bis compositum totum effecerit multi-
plex, et ipsum erit multiplex.
sit intervallum BI'et factum sit I: Β — B:zf, et sit zf

Diagrammatum veterum lineis ad horizontem directis
neglegenter pictorum (qualia vides ad prot. IT) exigua exstant
vestigia in MW p. 160, 15—17. 162, 19, 17. 164, 1, 17. 170, 18.
quae reiecta esse solent ad posteriores protases. — Novas
ascripsit figuras M* marg., quarum lineae ad perpendiculum
sunt directae (v. fig. I. Il sqq.). neglecta tamen M? vera longi-
tudine lineas omnes exaequavit. diligentius veram linearum
mensuram observant N et Par. 2535. —— Exstat hoc diagramma
suo loco in M? mg. aliud habent diagramma una linea ad
horizontem porrecta numerisque 4, 8, 16 signata M!W inter
verba prot. II.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII - 11

σι

10

18

20

25

162 KATATOMH KANONOEZ

πλάσιος" φημὶ καὶ τὸν B τοῦ Γ εἶναι πολλαπλάσιον. ἐπεὶ.
γὰρ ὃ zl τοῦ Γ πολλαπλάσιός ἔστι, μετρεῖ ἄρα ὃ Γ τὸν Z.
ἐμάϑομεν δέ, ὅτι, ἐὰν ὦσιν ἀριϑμοὶ ἀνάλογον ὁποσοιοῦν,
ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ τοὺς μεταξὺ μετρή-
όει. μετρεῖ ἄρα ὁ Γ τὸν Β᾽ πολλαπλάσιος ἄρα 0 B τοῦ I.

v.

y.

᾿Επιμορίου διαστήματος οὐδεὶς μέσος, οὔτε tig οὔτε
πλείους, ἀνάλογον ἐμπεσεῖται ἀριϑμός.

ἔστω γὰρ ἐπιμόριον διάστηματὸ BI —. B
ἐλάχιστοι δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ τοῖς B,I'
ἔστωσαν οἱ Z1 Z, Θ. οὗτοι οὖν ὑπὸ μο-
νάδος μόνης μετροῦνται κοινοῦ μέτρου.
ἄφελε ἴδον τῷ Θ τὸν ΗΖ. καὶ ἐπεὶ I
ἐπιμόριός ἐστιν ὁ AZ τοῦ O, ἡ ὑπεροχὴ
ὁ 4Η κοινὸν μέτρον τοῦ τὲ 412 καὶ A
τοῦ Θ ἐστί" μονὰς ἄρα ὁ ZH* οὐκ ἄρα |
ἐμπεσεῖται εἰς τοὺς 212, 0 μέσος οὐδείς. ιβ |
ἔσται γὰρ ὁ ἐμπίπτων τοῦ 412 ἐλάτ- n.
TOv, τοῦ δὲ Θ μείζων, ὥστε τὴν μονάδα
διαιρεῖσϑαι, ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα
ἐμπεσεῖται εἷς τοὺς ZZ, Θ τις. ὅσοι δὲ
εἰς τοὺς ἐλαχίστους μέσοι ἀνάλογον
ἐμπίπτουσι; τοσοῦτοι καὶ εἷς τοὺς τὸν Ζ
αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἀνάλογον ἐμπε-
σοῦνται. οὐδεὶς δὲ εἰς τοὺς 42, O ἐμπεσεῖται, οὐδὲ
εἰς τοὺς B, Γ' ἐμπεσεῖται.

3. ἐμάϑομεν. haec quidem verba in Euclidis elementis non
inveniuntur (cf. Heiberg, litterargesch. Studien über Euklid,
S. 53). Habes tamen in El. VIII, 7 haec: ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν
ἀριϑμοὶ [ἑξῆς] ἀνάλογον, ὁ δὲ πρῶτος τὸν ἔσχατον μετρῇ, καὶ
τὸν δεύτερον μετρήσει. ex quibus etiam quae hoc loco demon-
straturus est Euclides facillme sequuntur.

1. φημὶ δή M*. 2. I' (alt. )] B W. ὃ. ἐμάϑομεν) v] W et
Porph., ἔμαϑον cett. Post ἀρυϑμοί add. ἐφεξῆς M? mg. 4. πρῶτος
corr. M. μετρῇ] B, μετρεῖ cett. 7. οὐδεὶς μέσος W, μέσοι

SECTIO CANONIS 163

numeri Γ΄ multiplex. dico, etiam B numeri Γ΄ esse multi-
plicem. nam quoniam zZ/ numeri I' multiplex est, I'nu-
merum z/ metitur. verum didicimus, si quotlibet numeri
proportionales sint et primus ultimum metiatur, eum
eliam medios mensurum esse. metitur igitur I' nume-
rum B. ergo B mulüplex numeri I.

III.

Superpartieularis intervall nullus medius numerus
neque unus proportionaliter incidet neque plures.

nam 810 superparticulare intervallum BI minimi
autem in eadem ratione ae B, I' sint ZZ, 0. hos igitur
unitas sola communis mensura metitur. aufer numero 9
aequalem HZ. et quoniam Z7/Z superparticularis est
numeri €, excessus 27] H communis mensura numerorum
212 eb Θ᾽ est; unitas igitur Z/ H; itaque incidet in ZZ, 9
nullus numerus medius. nam erit is, qui incidit, minor
quam Z/Z, maior vero quam 6, ita ut unitas dividatur,
quod fieri non potest. itaque nullus medius incidet in
ZZ, 0. quot autem in minimos medii proportionaliter
incidunt, totidem etiam in eos, qui eandem rationem
habent, proportionaliter incident. nullus autem in ZZ, 9
incidet, ac ne in BI' quidem incidet.

Fig. prop. III est ad protasin Il in N, similis, sed in duas
partes discerpta ad prot.IIIl in M?; exigua exstant figurae vesti-
gia in M'. addit autem N lineis ZZ, O rationes z, I' et
parti 4H numerum c, lineas B, I' idem signat numeris ἢ; 5
etiam M? habet illas numerorum rationes, nisi quod ponit lin.
B:I'—i::9,et lineae HZ dat numerum y.

οὔτε in ras. M. 8. ἐμπεσεῖται; W et Porph., ἐμπεσοῦνται, cett.

9. BI'] Porph, B τοῦ I' codd. 10. ἐν] N, perfossum i in M,
ἐπί W. 12. 1 iy (reliquiae figurae) post μόνης M1, post
μετροῦνται W. 13. Post τὸν ras. et HZ καὶ ἐπίλοιπον μὸν -ν
1. 6. μονάς M*. καὶ ἐπεί] W, om. cett. 14. Post ἐστιν add. ἄρα Μ΄.

16. 4H] 4 W. Post καί ins. ἐδ ἐξ 19 ex fig. W.. 106. ὁ 4H]
ἡ 4H ΝΜ, ἡ 4 W. 21. 42, O0] 40Z W. δ. οὐδέ — 20.
joco om. W.

11^

10

15

20

164 KATATOMH KANONOZ
δ΄.

᾿Εὰν διάστημα μὴ πολλαπλάσιον δὶς συντεϑῇ, τὸ ὅλον
οὔτε πολλαπλάσιον ἔσται οὔτε ἐπιμόριον.

ἔστω γὰρ διάστημα μὴ πολλαπλάσιον τὸ BI, καὶ
γεγενήσϑω. ὡς ὃ Γ πρὸς τὸν B, ὁ B πρὸς τὸν “1 λέγω,
ὅτι ὁ Z1 τοῦ Γ' οὔτε πολλαπλάσιος οὔτε ἐπιμόριός ἔστιν.
ἔστω γὰρ πρῶτον ὁ 4 τοῦ I' πολλαπλάσιος. οὐχοῦν
ἐμάϑομεν, ὅτι, ἐὰν διάστημα δὶς συντεϑὲν τὸ ὅλον ποιῇ
πολλαπλάσιον, καὶ αὐτὸ πολλαπλάσιόν ἐστιν. ἔσται ἄρα
ὁ Β τοῦ Γ πολλαπλάσιος. οὐκ ἦν δέ. ἀδύνατον ἄρα τὸν
2 τοῦ Γ εἶναι πολλαπλάσιον. ἀλλὰ μὴν οὐδ᾽ ἐπιμόριον.
ἐπιμορίου γὰρ διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπί-
πτει. εἷς δὲ τοὺς Z1, Γ' ἐμπίπτει ὁ B. ἀδύνατον ἄρα τὸν
4 τοῦ Γ' ἢ πολλαπλάσιον ἢ ἐπιμόριον εἶναι.

,

€.

᾿Εὰν διάστημα δὶς συντεϑὲν τὸ ὅλον μὴ ποιῇ πολλα-
πλάσιον, οὐδ᾽ αὐτὸ ἔσται πολλαπλάσιον.

ἔστω γὰρ διάστημα τὸ BI, καὶ γεγενήσϑω ὡς ὃ D
πρὸς τὸν B, ὁ B πρὸς τὸν Zl, καὶ μὴ ἔστω ὃ 4 τοῦ Γ
πολλαπλάσιος" λέγω, ὅτι οὐδὲ ὃ B τοῦ [Γ΄ ἔσται πολλα-
πλάσιος. sl γάρ ἐστιν ὁ B τοῦ Γ πολλαπλάσιος, ἔσται
ἄρα ὁ 4 τοῦ I' πολλαπλάσιος. οὐκ ἔστι δέ. οὐκ ἄρα ὁ B
τοῦ Γ ἔσται πολλαπλάσιος.

2. μή] supra scr. M?. μὴ πολλαπλάσιον] om. W. 8. Post
οὔτε (pr. hab. πολλαπλὰ supra M. 8. ποιεῖ W. 10. τόν]
τό codd. 13. 4, ΓῚ N, in ras. M, add. 9 W. τόν] ὁ codd.
14. πιπλάσιος et ἐπιμόριος codd. 17. πολλαπλάσιον y|g|ó M!
M* repetit fig. prop. IV.

SECTIO CANONIS | 165
IV.

Si intervallum non multiplex bis componitur, totum
neque multiplex erit neque superparticulare.
Z nam sit intervallum non multiplex BI,
et factum sit Γ: B — B:71; dico, “7 numeri
I' neque multiplicem neque superparticula-
rem esse. nam sit primum Ζ7 numeri Γ΄ mul-
D ^ tplex. didieimus igitur, si intervallum bis
compositum totum efficiat multiplex, id et
ipsum esse multiplex [prop.II] quare B erit
numeri I' multiplex. at non erat. itaque fieri
ς ὃ non polest, ut 7/ numeri I' sit multiplex. sed
ne superparticulare quidem. nam superpar-
tieularis intervalli nullus medius numerus proportiona-
liter incidit [prop. III]. verum in Zj, Γ΄ incidit B. ergo
fieri non potest, ut 7/ numeri I' aut multi-

4 plex sit aut superparticularis.

V.

B 91 intervallum bis compositum totum non
efficiat multiplex, ne ipsum quidem erit mul-

D plex.
nam sit intervallum BI, et factum sit I: B
— Β: Ζ, et sit 7/4 numeri I' non multiplex;
dico, ne B quidem numeri I' fore multipli-
cem. nam si B numeri I' est multiplex, erit
Z4 numeri I'multiplex. at non est. ergo B

€
numeri I' non erit. multiplex.

2. Post δὶς συντεϑῇ M! hanc habet figuram falsis numeris
ornatam :
ὃ

S β
[|Γ[Β]4

cui addit M* in margine figuram veriorem ex aequalibus lineis
et ipsam compositam, veris tamen numeris instructam.

15

10

20

23

-

166 KATATOMH KANONOEZ

,

ΕΞ

Τὸ διπλάσιον διάστημα éx δυο τῶν μεγίστων ἐπιμορίων
συνέστηκεν, ἔκ τὸ τοῦ ἡμιολίου καὶ ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου.

ἔστω γὰρ ὁ μὲν ΒΓ τοῦ AZ ἡμιόλιος, ὁ δὲ AZ τοῦ Θ
ἐπίτριτος" φημὶ τὸν ΒΓ τοῦ Θ διπλάσιον εἶναι. ἀφεῖλον
γὰρ ἴσον τῷ € τὸν ΖΚ καὶ τῷ ZZ τὸν ΓΖ. οὐκοῦν ἐπεὶ ὁ
ΒΙΓ τοῦ 42 ἡμιόλιος, ὃ ΒΑ ἄρα τοῦ BI' τρίτον μέρος
ἐστίν, τοῦ δὲ AZ ἥμισυ. πάλιν ἐπεὶ ὃ 212 τοῦ Θ ἐπίτριτός
ἐστιν, ὁ ΖΙΚὶ τοῦ μὲν AZ τεταρτημόριον, τοῦ δὲ € τριτη-
μόριον. οὐκοῦν ἐπεὶ ὃ 4 Καὶ τοῦ 412 ἐστι τεταρτημόριον, ὃ
ὃὲ BA τοῦ AZ ἥμισυ. τοῦ ἄρα BA ἥμισυ ἔσται ὁ AK.
ἦν δὲ ὃ BA τοῦ ΒΓ τρίτον μέρος" ὃ ἄρα Z4 K τοῦ ΒΓ
ἕχτον μέρος ἐστίν. ἦν δὲ ὁ 4 Καὶ τοῦ Θ τρίτον μέρος" ὁ
ἄρα ΒΓΙ͂ τοῦ O διπλάσιός ἐστιν.

Ἄλλως.
Ἔστω γὰρ ὃ μὲν 4 τοῦ B ἡμιόλιος, ὁ δὲ B τοῦ Γ ἐπί-
τριτος᾽ λέγω, ὅτι ὃ 4 τοῦ Γ ἔστι διπλάσιος.
᾿Επεὶ γὰρ ἡμιόλιός ἐστιν ὁ 4 τοῦ B, ὃ 4 A
ἄρα ἔχει τὸν Βὶ καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο ἄρα

οἱ Α' ἴσοι εἰσὶ τρισὶ τοῖς B. πάλιν ἐπεὶ ὁ B Β
τοῦ Γ' ἐστιν ἐπίτριτος. ὃ B ἄρα ἔχει τὸν Γ Γ

καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ. τρεῖς ἄρα οἱ Β ἴσοι εἰσὶ
τέτταρσι τοῖς I. τρεῖς δὲ οἱ B ἴσοι εἰσὶ δυσὶ
τοῖς 4. δύο ἄρα οἵ Α ἴδοι εἰσὶ τέτταρσι
τοῖς I. ὃ ἄρα 4 ἴσος ἐστὶ δυσὶ τοῖς I" δὲ-

|

| |
rS oie Mw . β πε
πλάσιος ἄρα ἐστὶν ὁ 4 τοῦ I.

2. δύο] om. M!W. 8. ἔκ vs τοῦ τρίτου καὶ ἡμιολίου W.

8.-2Κ1. 5, 2. Μ', 8W. - ΓΑ] MW, P MA “1. Post ἡμιόλιος
add. καὶ ἐκ τοῦ τριπλοῦ καὶ ἐπιτρίτου τὸ τετραπλάσιον ὁμοίως
δείκνυται καὶ ἐκ τοῦ τετραπλοῦ καὶ ἐπιτετάρτου τὸ πενταπλοῦν
καὶ ἀεὶ ὁμοίως M!W (prim. καί om.), perfodit M*. 9. ἐστιν]
ἔσται W. | ZgK] M5, 4 M?W, item lin 12 et 18. τεταρτη-
μόριόν ἐστι δ, 11. ΒΑ] (utrumque) M*, B M!; item lin. 12.
12. BI'(pr)] B W. 18. ὁ A (alt)] om. M!W. 19. τὸν
ἥμισυν MW. 50. A] supra scr. M5, om. W. τοῖς B τρισί W.

SECTIO CANONIS 161

VI.

Duplum intervallum ex duobus maximis superparti-
eularibus eonstat, et ex sesquealtero et ex sesquetertio.
nam sit BI' dimidia parte maior quam

B AZ, 412 autem tertia parte maior quam 6;
dico, BI' duplo maiorem esse quam (Ὁ. nam
Ζ abstuli ΖΚ aequalem numero Θ οὐ ΓΖ nu-

|4 | g mero ZZ. quoniam igitur BI' dimidia parte
|K | maior est quam Z/Z, ΒΖ numeri BI" tertia
pars est, numeri Z/Z vero dimidia. rursus

| quoniam Z/Z tertia parte maior est quam 6,
rz ΖΚ numeri ZZ quarta pars est, numeri 9
vero tertia. quoniam igitur ZK numeri ZZ
quarta pars est, B.1 vero numeri ZZ dimi-
dia, numeri B4 dimidia erit z/ K. verum erat ΒΖ nu-
meri BI'tertia pars. itaque ΖΚ numeri BI'sexta pars
est. verum erat Z//K numeri Θ᾽ tertia pars. ergo BI'-
duplo maior est quam 6.

ιβ- ἡ ς

Aliter.

nam sit 4 dimidia parte maior quam B, B autem tertia
parte maior quam I* dico, 4 duplo maiorem esse quam Γ.

nam quoniam 4 dimidia parte maior est quam B, 4
numerum B continet eiusque dimidium. quare 24 — 3B.
rursus quoniam B tertia parte maior est quam I; B nu-
merum I'continet et tertiam eius partem. quare 3 B —
4I. verum ὃ B —2 4. quare 24 —4I* dud 4 -—2I:
ergo .4 .duplo. maior est quam JI...
. In figura prop. VI M plures habet litteras (scriptas manu 3);
sunt enim in prima linea partes indicatae zf et H (hoc bis scr.),
in altera linea inter Z et K scriptum e (i.e. f). in M'W. nulla
EE EA onn ui lot

21. I' (pr.) )] M?W, τρίτου M!. 2. εἶσιν ἴσοι W. 28, I7]

ADT W. δυσί] Meibom, δύο codd. 25. ὁ ἄρα ΑἹ Vat. 221,
ἄρα ὁ Α cett., Peua, Meibom, Jan. ς tir Q

10

15

20

25

168 KATATOMH KANONOZ

f
Ἐκ τοῦ διπλασίου διαστήματος καὶ ἡμιολίου τριπλά-
σιον διάστημα γίνεται. E
ἔστω γὰρ ὁ μὲν Α τοῦ B διπλάσιος, ὁ δὲ
B τοῦ I' ἡμιόλιος" λέγω, ὅτι ὁ .4 τοῦ Γ ἐστι
τριπλάσιος.

ἐπεὶ γὰρ ὃ Α' τοῦ B ἐστι διπλάσιος. ὃ Α B
ἄρα ἴσος ἐστὶ δυσὶ τοῖς B. πάλιν ἐπεὶ ὃ B Dr
τοῦ Γ' ἐστιν ἡμιόλιος. ὁ B ἄρα ἔχει τὸν Γ΄
καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. δύο ἄρα oí B ἴσοι εἰσὶ , )

iB s

τρισὶ τοῖς I. δύο δὲ oi B ἴσοι εἰσὶ τῷ A.
καὶ ὁ 44 ἄρα ἴσος ἐστὶ τρισὶ τοῖς Il. τριπλάσιος ἄρα
ἐστὶν ὁ 4 τοῦ I.

η.

Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα
ἀφαιρεϑῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον.

ἔστω γὰρ ὁ μὲν 4 τοῦ B ἡμιόλιος, ὃ δὲ Γ τοῦ B ἐπί-
τριτος᾽ λέγω, ὅτι ὃ Α τοῦ Γ' ἐστὶν ἐπόγδοος.

ἐπεὶ γὰρ ὃ 4 τοῦ B ἔστιν ἡμιόλιος, ὁ .4 ἄρα ἔχει τὸν
B καὶ τὸ ἥμισυ αὐτοῦ. ὀκτὼ ἄρα οἱ 4 ἴσοι εἰσὶ δώδεκα
τοῖς B. πάλιν ἐπεὶ ὁ I' τοῦ B ἐστὶν ἐπίτριτος, ὃ I' ἄρα
ἔχει τὸν B xol τὸ τρίτον αὐτοῦ. ἐννέα ἄρα οἱ Γ᾽ ἴσοι
εἰσὶ δώδεκα τοῖς Β, δώδεκα δὲ οἱ Β ἴσοι εἰσὶν ὀκτὼ
τοῖς 4* ὀχτὼ ἄρα οἱ 4 ἴσοι εἰσὶν ἐννέα τοῖς Γ΄. ὃ 4 ἄρα
ἴδος ἐστὶ τῷ I' καὶ τῷ ὀγδόῳ αὐτοῦ᾽ ὁ 4 ἄρα τοῦ Γ ἐστιν
ἐπόγδοος. |
--5-0]-om: W. 8: A ἄρα] W, ἄρα A M?, 4 om. M' 9. ὁ 8
ἄρα] ἄρα ὁ B codd., Pena, Meibom, lan. 10. τὸν ἥμισον W.

11. δύο — 12. D'om. W. 11. A4J]add. M*. 16. ἐπόγδοον]
Μ΄, τὸ ὄγδοον W. 17: ὁ (alt. — 19. ἡμιόλιος] om. W.
17. ΓῚ M?, τρίτος M'. | B] M? in ras. 19. ὁ ἄρα A4 M*.
20. 4] 4 W. δωδεκάτοις B W. 21. τοῖς B] in ras. M*.

22. οἱ I'] supra scr. M*. 23. δώδεκα (alt) — 924. τοῖς 4]
om. W. 28. δέ] M*. 24. A (pr. et alt.)] 4 M'. r']in

SECTIO CANONIS 169
VII.

Ex intervallo duplo et sesquealtero intervallum fit
triplum.

nam sit 4 duplo maior quam B, B autem dimidia
parte maior quam I5; dico, .4 triplo maiorem esse
quam I.

nam quoniam 4 duplo maior est quam B, est A4 —2 B.
rursus quoniam JB dimidia parte maior est quam I, B
numerum [Γ΄ continet et eius dimidium. quare 2B — 3I*
verum 2B — 4. itaque etiam 4 — 5.1. ergo 4 triplo
maior est quam I.

VIIL.

81 ab intervallo sesquealtero intervallum sesquetertium
aufertur, quod relinquitur, sesqueoctavum est.
d nam sit 4 dimidia parte maior quam B,
I'autem tertia parte maior quam B; dico,
.4 octava parte maiorem esse quam I:
nam quoniam 4 dimidia parte maior est
B quam B, 4 numerum B continet et eius di-
midium. quare 8.4 — 12B. rursus quoniam
I'tertia parte maior est quam B, I' nume-
rum B continet et tertiam eius partem. quare
91'—12B; sed 128 — 8.44; quare 84 — 9T:
itaque 44 aequalis est numero I" et octavae
| eius parti. ergo .4 octava parte maior est
$ s ἡ quam I.

I

Ad figuram prop. VIII M? habet ascriptos hos numeros:

ΠΥ ΩΣ :

n B 9
᾿ οβ οβ ο
(9 s ἡ medias ad lineas, ἡ εβ 9: imum ad finem positos).
ras. M?, B W. A (tert.) supra scr. ΜΆ 25. ὁ A ἄρα]

Vat. 221 (Pena, Meibom), ἄρα ὁ A cett. Ian. ἐπόγδοός ἐστιν W.

10

15

20

25

110 KATATOMH KANONOX

9.

Τὰ ἕξ Ode διαστήματα μείξονά ἔστι διαστήματος
ἑνὸς διπλασίου.

ἔστω γὰρ εἷς ἀριϑμὸς ὃ 4. καὶ τοῦ μὲν 4 ἐπόγδοος
ἔστω ὁ B, τοῦ δὲ B ἐπόγδοος ὁ I, τοῦ δὲ Γ' ἐπόγδοος
ὁ Z4, τοῦ δὲ Z1 ἐπόγδοος ὃ E, τοῦ E ἐπόγδοος ὁ Z, τοῦ
Z ἐπόγδοος ὃ H* λέγω, ὅτι ὁ Η τοῦ A4 μείζων ἐστὶν ἢ
διπλάσιος.

ἐπεὶ ἐμάϑομεν εὑρεῖν ἑπτὰ ἀριϑμοὺς ἐπογδόους ἀλ-
λήλων, εὑρήσϑωσαν οἱ 4. B, ΓΙ, zl, E, Z, H, καὶ γένεται
ὁ μὲν A4 κξ μύρια βρμωδὸ,

ὁ δὲ B x0 μύρια δίδιβ,
I'Ày μύρια αψος.
4 λξ μύρια γόμη,
E μα μύρια 0750,
Z μξ μύρια βτῆβ,
ὁ δὲ H vy μύρια αυμα, καί ἐστιν ὃ Η τοῦ 4 μείζων
ἢ διπλάσιος.

^ Q^ Q^ O^ O^
CQ» Q» CQ» CQ»
Co^ o^ 05^ ^

,

p

Τὸ διὰ πασῶν διάστημά ἐόστι πολλαπλάσιον.

ἔστω γὰρ νήτη μὲν ὑπερβολαίων ὃ A4, μέση δὲ ὃ B,
προσλαμβανόμενος δὲ ὁ I: τὸ ἄρα 4 Γ διάστημα δὶς διὰ
πασῶν ὄν ἐστι σύμφωνον. ἤτοι οὖν ἐπιμόριόν ἐστιν ἢ
πολλαπλάσιον. ἐπιμόριον μὲν οὐκ ἔστιν" ἐπιμορίου γὰρ
διαστήματος μέσος οὐδεὶς ἀνάλογον ἐμπίέπτει" πολλα-
πλάσιον ἄρα ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο (ἴσας διαστήματα τὰ
A B, BI' συντεϑέντα ποιεῖ πολλαπλάσιον τὸ ὅλον. καὶ
τὸ AB ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.

2. dou] εἰσι W. | 9. Post ἀριθμούς add. ὁ ἐφεξῆς. ME
11. M codd., item in seqq. (xc M?. 12. 93] ^ M; item lin. 15,
τ ὟΝ. 13. γ et « add. M*. 14. Numeros add. M*.

15. ux] ΜῈ 9y] y W. αὖἹ M?. 18. διπλάσιος] αἸβ[γ} δ᾽ εἰ ξ! η
add M', 1x 1B Vy 10 τ ιξ ζῆ W. 23.. ὄν] Μ΄, - ML. 4j]
ἡ M. 26. ἴσα] Meibom, om. codd. τά] om. W. . ἐστί —
p. 178 lin. 10 τρίτη] om. W; mg. m. 2 λείπει ὧδε,

SECTIO CANONIS 171

IX.

Sex intervalla sesqueoctava maiora sunt uno inter-
vallo duplo.

nam sib unus numerus 4. et numero 4 octava parte
maior 510 B, numero autem B octava parte maior I", nu-
mero I' octava parte maior Ζ΄, numero “Ζ] octava parte
maior E, numero E octava parte maior Z, numero Z
octava parte maior H. dico, esse H 7 2 A.

quoniam didieimus septem invenire numeros octonis
inter se partibus maiores, inventi sint numeri .4, B, I
Z, E, Z, H, et fit 4 — 262144;

B 294912,

I'331'116,

Z4 313248,

E 419904,

ZL 412392,

H 531441, et est H — 2 A.

Χ.

Γ Diapason intervallum est multiplex.
nam sit nete hyperbolaeon A4, mese autem
B B, proslambanomenos vero I: 4 I'igitur inter-
A4 vallum, quod est bis diapason, consonans est.
| itaque aut superparticulare est aut multi-
ig ἡ ὃ — plex. superpartieulare non est; nam super-
particularis intervalli nullus medius nume-
rus proportionaliter incidit [prop. III]; quare multiplex
est. lam quoniam duo intervalla aequalia 4B, BI' com-
posita totum efficiunt multiplex [prop. 11], etiam 4.8

multiplex est.

9. Heiberg l. c. comparat El. VIII, 2: ἀριϑμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς
ἀνάλογον ἐλαχίστους, ὅσους ἂν ἐπιτάξῃ vig, ἐν τῷ δοϑέντι λόγῳ.

18. Fig. «|| y δ εἰ ξ[ η Μ'.
20. Fig. habet N, sine numeris M^,

10

15

20

25

1172 KATATOMH KANONOZX

,

Ue.

Τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα καὶ τὸ διὰ πέντε ἑκάτερον
ἐπιμόριόν ἔστιν.

ἔστω γὰρ νήτη μὲν συνημμένων ὃ 4. μέση δὲ ὁ Β,
ὑπάτη δὲ μέσων ὃ I: τὸ ἄρα AI' διάστημα δὶς διὰ τεσ-
σάρων óv ἐστι διάφωνον οὐκ ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον.
ἐπεὶ oov δύο διαστήματα ἴσα τὰ AB, BI' συντεϑέντα τὸ
ὅλον μὴ ποιεῖ πολλαπλάσιον, οὐδὲ ἄρα τὸ 4B ἐστι πολλα-
πλάσιον. καί ἐστι σύμφωνον" ἐπιμόριον ἄρα. ἡ αὐτὴ δὲ
ἀπόδειξις καὶ ἐπὶ τοῦ διὰ πέντε.

Lp.

To διὰ πασῶν διάστημά ἐστι διπλάσιον.

ἐδείξαμεν γὰρ αὐτὸ πολλαπλάσιον. οὐκοῦν ἤτοι δὲ-
πλάσιόν ἐστιν --- ἢ μεῖξον ἢ διπλάσιον. ἀλλ᾽ ἐπεὶ ἐδεί-
ἕαμεν τὸ διπλάσιον διάστημα ἐκ δύο τῶν μεγίστων ἐπι-
μορίων συγκείμενον, ὥστε, εἰ ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖξον
διπλασίου. οὐ συγκείδσεται ἐκ δύο μόνων ἐπιμορίων,
ἀλλ᾽ ἐκ πλειόνων, --- σύγκειται δὲ ἐκ δύο συμφώνων
διαστημάτων. ἔκ τὲ τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων.
οὐκ ἄρα ἔσται τὸ διὰ πασῶν μεῖξον διπλασίου. διπλά-
σιον ἄρα.

ἀλλ᾽ ἐπειδὴ τὸ διὰ πασῶν ἐστι διπλάσιον, τὸ δὲ δὲ-
πλάσιον ἐκ τῶν μεγίστων ἐπιμορίων δύο συνέστηκε,
καὶ τὸ διὰ πασῶν ἄρα ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου
συνέστηχε᾽ ταῦτα γὰρ μέγιστα. συνέστηχε δὲ ἐκ τοῦ διὰ
πέντε καὶ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων, ὄντων ἐπιμορίων" τὸ
μὲν ἄρα διὰ πέντε, ἐπειδὴ μεῖξόν ἐστιν. ἡμιόλιον ἂν
εἴη. τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον.

1. ni V, β΄ M?, nec iam sequuntur protaseon numeri in
codd. ὅ. δίς] supra scr. M*. 6. ὄν] M* ex àv. 18. αὐτό]
αὐτῶ M. 25. δέ] Porph., γάρ codd. Post £x insert. re M*.

SECTIO CANONIS 1138

XI.

Diatessaron intervallum et diapente utrumque super-
particulare est.

nam sit nete synemmenon 4, mese autem

I B, hypate vero meson I: ΑΓ igitur inter-

B vallum, quod est bis diatessaron, dissonans

Α΄ est; quare non est multiplex. iam quoniam

duo intervalla aequalia 4 B, B I' composita

totum non efficiunt multiplex [prop. V], ne

ις ιβ 9 4448 quidem multiplex est. et est consonans;

: ergo superparliculare. eadem demonstratio
est etiam in diapente.

XII.

Diapason intervallum duplum est.

nam demonstravimus, multiplex id esse [prop. X].
Itaque aut duplum est aut maius quam duplum. verum
quoniam demonstravimus, intervallum duplum ex duo-
bus maximis superpartieularibus constare [prop. VI],
ita ut, si diapason maius erit quam duplum, non con-
stel ex duobus solis superparticularibus, sed ex pluri-
bus, — constat vero ex duobus intervallis consonantibus,
ex diapente et diatessaron, diapason non erit maius
quam duplum, ergo duplum.

sed quoniam diapason duplum est, intervallum autem
duplum ex duobus maximis superpartieularibus constat
[prop. VI], etiam diapason ex intervallis sesquealtero
et sesquetertio constat, nam haec maxima sunt, constat
autem ex diapente et diatessaron, quae sunt super-
particularia [prop. XI]. ergo diapente, quia est maius,
sesquealterum est, diatessaron vero sesquetertium.

10

15

20

25

114 KATATOMH KANONOX

φανερὸν δή, ὅτι καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ διὰ πασῶν
τριπλάσιόν ἐστιν. ἐδείξαμεν γάρ, ὅτι ἐκ διπλασίου δια-
στήματος καὶ ἡμιολίου τριπλάσιον διάστημα γίνεται,
ὥστε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ διὰ πέντε τριπλάσιον.

τὸ δὲ δὶς διὰ πασῶν τετραπλάσιόν ἐστιν.

ἀποδέδεικται ἄρα τῶν συμφώνων ἕχαστον, ἐν τίσι
λόγοις ἔχει τοὺς περιέχοντας φϑόγγους πρὸς ἀλλήλους.

,

ιγ΄.

“οιπὸν δὴ περὶ τοῦ τονιαέου διαστήματος διελϑεῖν,
ὅτι ἐστὶν ἐπόγδοον.

ἐμάϑομεν γάρ, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος
ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεϑῇ. τὸ λοιπὸν καταλείπεται
ἐπόγδοον. ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε τὸ διὰ τεσσάρων
, ᾿ ' - / E AS ug
ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν τονιαῖόν ἐστι διάστημα" τὸ ἄρα

- , / b

τονιαῖον διάστημά ἔστιν éxóyOoov.

ιδ΄.
Τὸ διὰ πασῶν ἔλαττον ἢ 8& τόνων.
δέδεικται γὰρ τὸ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιον, ὃ δὲ τό-
νος ἐπόγδοος᾽ τὰ δὲ 8E ἐπόγδοα διαστήματα μείζονα
διαστήματός [ἐστι] διπλασίου. τὸ ἄρα διὰ πασῶν ἔλατ-
τόν ἐστιν &£E τόνων.

υξ΄.
Τὸ διὰ τεσσάρων ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου,
καὶ τὸ διὰ πέντε ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου.
ἔστω γὰρ νήτη μὲν διεξευγμένων ὃ Β, παραμέση δὲ
ὁ I, μέση δὲ ὁ Z4, ὑπάτη δὲ μέσων ὃ Ζ. οὐκοῦν τὸ μὲν

6. Post ἄρα add. ὅτι M?. ἕκαστον) ex ἕχτον corr. M*.
7. λόγοις] -o:g om. in fine lin. M. 9. δή] B, δεῖ M. 10. ἐπόγ-
0oov] δ in ras. M. 11. ἐάν] ἐὰν μέν in ras. M?. 17. Post
ἔλαττον add. ἐστιν M*.

SECTIO CANONIS 115

iam manifestum est, et etiam diapente et diapason
triplum esse. demonstravimus enim, ex intervallo duplo
et sesquealtero intervallum fieri triplum [prop. VII], ita
ut etiam diapason et diupente sit triplum.

disdiapason quadruplum.

ergo demonstratum est, singula consonantia inter-
valla in quibus rationibus sonos, quibus continentur,
inter se habeant.

XIII.

Iam restat, ut de toniaeo intervallo disseramus, esse
sesqueoctavum.

nam didicimus, si ab intervallo sesquealtero inter-
vallum sesquetertium auferatur, quod relinquitur, sesque-
octavum esse [prop. VIII]. verum si a diapente diates-
saron auferatur, quod relinquitur, toniaeum est inter-
vallum. ergo toniaeum intervallum sesqueoctavum est.

XIV.

diapason minus est quam sex tonorum.
nam demonstratum est, diapason duplum esse [prop.
Z XII], tonum vero sesqueoctavum [prop.
XIII]. verum sex intervalla sesqueoctava
intervallo duplo sunt maiora [prop. IX].

Z4 ergo diapason minus est sex tonis.
| 1 ΧΥ͂
Rn Diatessaron minus est duobus tonis se-
mitonioque et diapente minus est tribus
tonis semitonioque.
| nam sit nete diezeugmenon B, para-
xÓ im ις if

mese autem I, mese autem 7/1, hypate

Lineae fig. in M? aequales sunt; numeri desunt.

10

15

20

25

176 KATATOMH KANONOZ

ΓΖ διάστημα τόνος ἐστὶ, τὸ δὲ ΒΖ, διὰ πασῶν ὄν, ἔλατ-
τον ἕξ τόνων. τὰ λοιπὰ ἄρα. τό τε BI' καὶ τὸ 212 ἴσα
ὄντα ἐλάττονά ἔστι πέντε τόνων. ὥστε τὸ év τῷ ΒΓ
ἔλαττον δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι διὰ τεσσάρων,
τὸ δὲ ΒΩ ἔλαττον τριῶν τόνων καὶ ἡμιτονίου, ὅ ἐστι
διὰ πέντε.

,

Tg

Ὁ τόνος οὐ διαιρεϑήσεται εἷς δύο ἴσα οὔτε elg πλείω.

ἐδείχϑη γὰρ ὧν ἐπιμόριος" ἐπιμορίου δὲ διαστήματος

μέσοι οὔτε πλείους οὔτε εἷς ἀνάλογον ἐμπίπτουσιν. οὔκ
ἄρα διαιρεϑήδεται ὃ τόνος εἰς ἴσα.

[ ad :

Αἱ παρανῆται καὶ αἱ λιχανοὶ £
ληφϑήσονται διὰ συμφωνίας οὕτως. 2
ἔστω γὰρ μέση ὁ Β. ἐπιτετάσϑω Β
διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὸ I', καὶ ἀπὸ τοῦ Ε
Γ' ἀνείσϑω διὰ πέντε ἐπὶ τὸ 4΄. τό- Γ
vog ἄρα ὃ Bzl. πάλιν δὲ ἀπὸ τοῦ A
διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσϑω ἐπὶ τὸ E,
καὶ ἀπὸ τοῦ E ἀνείσϑω ἐπὶ v0 Ζ διὰ
πέντε. τόνος ἄρα τὸ Zzf. δίτονος ρ΄ | , | .
τὸ ZB. λιχανὸς ἄρα τὸ Z. ὁμοέως Er
ἂν καὶ αἷ παρανῆται ληφϑήδονται.

νδ μη

,

uj.
Al παρυπάται καὶ αἱ τρίταν οὐ διαιροῦσι τὸ πυκνὸν
εἷς ἴσα.

1, ἔλαττον] add. ἐστὶν M* supra. — 4. 6] ὄν M*, item lin. 5.
8. ἴσα] Jan, ἴσους codd. (cf. lin. 26). πλείω] Porph., πλείους
codd. 9. ó»| M*, ὄν Μ΄. 10. μέσοι] N, om. M. 18. 4] M*,
τέταρτον Μ'. 21. Za] M*, Z Μ'. δίτονος) M*, διάτονος Μ'.

SECTIO CANONIS 111

yero meson Z. quare intervallum [ΓΖ tonus est, ΒΖ
vero, quod est diapason, minus sex tonis [prop. XIV ].
itaque reliqua intervalla, et BI' et Z/Z, quae sunt
aequalia, minora sunt quinque tonis. ergo id, quod in
BI'est, minus est duobus tonis semitonioque, quod est
diatessaron, ΒΖ vero minus tribus tonis semitonioque,
quod est diapente.

XVI.

Tonus non dividetur in duas partes aequales neque
in plures.

nam demonstratum est, eum esse superparticularem.
verum superpartieularis intervalli medii numeri neque
plures neque unus proportionaliter incidunt [prop. III].
ergo tonus in partes aequales non dividetur.

XVII.

Paranetae et lichani sumentur per consonantiam ita.

nam sit mese B. intendatur diatessaron ad I'et a I'
remittatur diapente ad σ΄. itaque tonus est BZ/. rursus
autem a z/ diatessaron intendatur ad E, et ab E remit-
tatur ad Z diapente. itaque tonus est Z7. ditonus igitur
ZB; ergo lichanos Z. eadem ratione etiam paranetae
sumentur.

XVIII.

Parhypatae et tritae non dividunt spissum in partes
aequales.

Fig. prop. XVII hab. N.' τόν. add. Jan. M haec habet dia-
grammatis vestigia:

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. ᾿ 12

10

20

1178 KATATOMH KANONOX

ἐστω γὰρ μέση uiv ὁ B, λιχανὸς δὲ ὃ I, ὑπάτη δὲ
ὁ 4. ἀνείσϑω ἀπὸ τοῦ Β διὰ πέντε ἐπὶ τὸ Ζ. τόνος ἄρα
ὁ Z4. καὶ ἀπὸ τοῦ Z διὰ τεσσάρων ἐπιτετάσϑω ἐπὶ τὸ E.
τόνος ἐστὶν ἄρα τὸ ΖΩ͂ διάστημα καὶ τὸ BE. κοινὸν προσ-
κείσϑω τὸ 4l. τὸ ἄρα ΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ 418. διὰ τεσσά-
ρῶν δὲ τὸ ΖΕ" οὐκ ἄρα μέδος ἀνάλογον ἐμπίπτει τις
τῶν E: ἐπιμόριον γὰρ τὸ διάστημα. καί ἐστιν ἴσος ὃ
ZB τῷ ZE: οὐκ ἄρα τοῦ 4Γ μέσος ἐμπεσεῖται, ὅ ἐστιν
ἀπὸ ὑπάτης ἐπὶ λιχανόν. οὐκ ἄρα ἡ παρυπάτη διελεῖ τὸ
πυκνὸν εἰς ἴσα. ὁμοίως οὐδὲ ἡ τρίτη.

υϑ'.

Τὸν κανόνα καταγράψαι κατὰ τὸ καλούμενον ἀμε-
τάβολον σύστημα.

ἔστω τοῦ κανόνος μῆκος. ὃ καὶ τῆς χορδῆς, τὸ AB,
καὶ διηρήσϑω εἰς τέσσαρα ἴσα κατὰ và I2, E. ἔσται ἄρα
ὁ BA βαρύτατος ὧν φϑόγγος βόμβυξ. οὗτος δὲ ὁ AB
τοῦ ΓΒ ἐπίτριτός ἐστιν, ὥστε ὁ ΓΒ τῷ 48 συμφωνήσει
διὰ τεσσάρων ἐπὶ τὴν ὀξύτητα. καί ἐστιν ὁ 48 προσ-
λαμβανόμενος" ὁ ἄρα ΓΒ ἔσται ὑπάτων διάτονος. πάλιν
ἐπεὶ 0 48 τοῦ Bl ἐστι διπλοῦς, συμφωνήσδσει τῇ διὰ πα-

A A D Oo AK ΖΘ ΟΣ
| | | | 1---[--Ξ--3 --Ξ--᾿ ᾿ΞΞΞΕ -ϑὥἴϑ. Β

e

τῷ

ea : à
; τῷ τὸ S EU. e.
€ : 5 35.59 Ψα
a Ἐ 3 6 πον
cs Ὡ vo Id c
e 8 B o. 9 mp CU ES
S E SOR ΘΕ SE
Boo “ΦΞΞ “Ὁ B BR ἃ EN

4. καὶ] supra add. M. d Jan, I'E codd. προσκείσϑω])
Meib., προκείσϑω codd. ZE] Jan, ZI' codd. 4B] Jan,
AE codd. 1. ἐπιμόριον] Μ᾽, ἐπιμόριος M! 8. AB τῷ ZE)
Jan, 4Z τῷ ΓῈ add. 15. διῃρ ἤσϑω] διαιρείσϑω W. κατά]
om. W. 16. ὦν] ΜΝ, ὧν M!. 18. Ante διά add. τῇ M*.
19. l'B] BI' W. ὑπάτων] M!, ὑπατῶν M*W. καὶ πάλιν W.
20. διπλοῦς] διπλάσιος M.

SECTIO CANONIS 119

nam sit mese B, lichanos autem I, hypate vero ΖΊ.

intendatur 4B diapente ad Z. itaque

Z 4 I'E B tonus est ZZ. et a Z diatessaron inten-

| | datur ad E. itaque tonus est ZZ inter-

vallum et BE. commune adiciatur ZI:

itaque est ΖΕ — 1B. verum diatessaron

ZE. quare nullus medius numerus in ZE

proportionaliter incidit. superparticulare

| μη est enim intervallum. et est 4B — ΖΕ.

và quare medius in ΖΓ non incidet, quod

Eo est ab hypate ad lichanum. ergo parhy-

oB pate spissum in partes aequales non di-
videt. eadem ratione ne trite quidem.

XIX.

Canona designare secundum systema immutabile, quod
vocatur. :

sit canonis longitudo, quae eadem est chordae, AB, et
dividatur in quattuor partes aequales in punctis I Zf, E.
erit igitur B.4, cum gravissimus sit tonus, bombyx. hic
autem 4B triplo maior est quam ΓΒ, ita ut ΓΒ cum
AB consonet diatessaron ad acumen. et est 4B proslam-
banomenos. itaque I'B erit hypaton diatonos. rursus,
quoniam 4B — 2 Bl, consonabit cum diapason et erit

a. uud I 9 doR VA EFE. 4o
[p —————1——3—————1—1—1——-1—————— B
ga s Ὁ T
. m r3 ^ N [5]
'8 X cu E o BH ὦ E
o iA
8 9 τῆς Ὁ H «S9 a
4 & ET 2829 9
nom oit o d o o 1
& . "e "à! BH H Ξ

Fig. prop. XVIII hab. N; in M*: β
t δ DEPT

| ——

21. Diagramma hab. M? mg., sed παραμέση Καὶ et νήτη ovv.
Z perverse mutaverunt locos.

12*

10

15

20

25

30

180 KATATOMH KANONOZ

σῶν καὶ ἔσται ὁ ΒΖ μέση. πάλιν ἐπεὶ τετραπλάσιός ἐστιν
ὁ AB τοῦξβ, ἔσται ὃ EB νήτη ὑπερβολαίων. ἔτεμον τὸν
ΓΒ δίχα κατὰ τὸ Z. καὶ ἔσται διπλάσιος ὁ ΓΒ τοῦ ZB,
ὥστε συμφωνεῖν τὸν ΓΒ πρὸς τὸν ZB διὰ πασῶν" ὥστε
εἷναι τὸν ZB νήτην συνημμένων. ἀπέλαβον τοῦ 4B τρί-
τον μέρος τὸ ZH. καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὃ ZB τοῦ HB, ὥστε
συμφωνήσει ὃ ZB πρὸς τὸν ΗΒ ἐν τῷ διὰ πέντε" ὃ ἄρα
ΗΒ νήτη ἔσται διεξευγμένων. ἔϑηκα τῷ ΗΒ ἴσον τὸν ΗΘ,
ὥστε ὃ ΘΒ πρὸς τὸν ΗΒ συμφωνήσει διὰ πασῶν, ὡς εἶναι
τὸν ΘΒ ὑπάτην μέσων. ἔλαβον τοῦ ΘΒ τρίτον μέρος τὸ
ΘΚ. καὶ ἔσται ἡμιόλιος ὁ ΘΒ τοῦ ΚΒ, ὥστε εἶναι τὸν ΚΒ
παράμεσον. ἀπέλαβον τῷ KB ἴσον τὸν AK καὶ γενήσεται
ὁ 48 ὑπάτη βαρεῖα. ἔσονταν ἄρα εἰλημμένοι ἐν τῷ κα-
νόνι πάντες οἱ (ἑστῶτες, φϑόγγοι τοῦ ἀμεταβόλου συστή-
ματος. με
X.

“οιπὸν δὴ τοὺς φερομένους λαβεῖν.

ἔτεμον τὸν EB εἰς ὀχτὼ καὶ ἑνὶ αὐτῶν ἴσον ἔϑηκα
τὸν ΕΜ, ὥστε τὸν ΜΒ τοῦ ΕΒ γενέσϑαι ἐπόγδοον. καὶ
πάλιν διελὼν τὸν ΜΒ εἰς ὀχτὼ évi αὐτῶν ἴσον ἔϑηκα
τὸν ΝΜ’ τόνῳ ἄρα βαρύτερος ἔσται ὁ ΝΒ τοῦ ΒΜ, ó δὲ
MB τοῦ BE, ὥστε ἔσταν μὲν ὁ ΝΒ τρίτη ὑπερβολαίων,
ὁ δὲ ΜΒ ὑπερβολαίων διάτονος. ἔλαβον τοῦ ΝΒ τρίτον
μέρος καὶ ἔϑηκα τὸν NAE, ὥστε τὸν KB τοῦ ΝΒ εἶναι ἐπί-
τριτον καὶ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν ἐπὶ τὴν βαρύτητα
καὶ γενέσϑαι τὸν EB τρίτην διεξευγμένων. πάλιν τοῦ B
λαβὼν ἥμισυ μέρος ἔϑηκα τὸν ΞΟ, ὥστε διὰ πέντε συμ-
φωνεῖν τὸν OB πρὸς τὸν Ξ5Β᾽ ὃ ἄρα OB ἔσται παρυπάτη
μέσων. καὶ τῷ ΞΟ ἴσον ἔϑηκα τὸν OII, ὥστε γενέσϑαι
τὸν IIB παρυπάτην ὑπάτων. ἔλαβον δὴ τοῦ BI' τέταρτον
μέρος τὸν ΓΡ, ὥστε γενέσϑαι τὸν ΡΒ μέσων διάτονον.

2. ἔτεμον) add. γάρ M*. 8. ΗΒ (pr)] ὁ ΗΒ M'. 10. τοῦ
Ὗ,, τόν Μ΄. 14. ἑστῶτες] Bojesen (De harmonica scientia Grae-

Ό SECTIO CANONIS 181

B4 mese. rursus quoniam 4B — 4 EB, erit EB nete
hyperbolaeon. divisi ΓΒ in duas partes aequales in
puncto Z. et erit I'B duplo maior quam ZB, ut con-
sonet I'B ad ZB diapason. itaque ZB est nete synem-
menon. abstul ab Z/B tertiam partem ΖΗ]. et erit 4B
dimidia parte maior quam HB, ita ut Z/B consonet ad
HB in diapente. itaque HB nete erit diezeugmenon.
posui ΗΘ — HB, ita ut ΘΒ ad HB consonet diapason.
itaque ΘΒ est hypate meson. sumpsi longitudinis ΘΒ
tertiam partem OK. et erit ΘΒ dimidia parte maior
quam KB, ita ut KB sit parameson. abstuli 4K — KB
et fiet 4B hypate gravis. ergo sumti erunt in canone
omnes soni stantes systematis immobilis.

XX.

Ium restat, ut mobiles sumamus.

divisi EB in octo partes aequales et uni earum ae-
qualem posui EM, ita ut MB octava parte maior fiat
quam EB. et rursus diviso MB in octo partes aequales
uni earum aequalem posui NM; tono igitur gravior erit
NB quam BM, MB autem quam BE, ita ut sit NB trite
hyperbolaeon, MB vero hyperbolaeon diatonos. sumpsi
longitudinis NB tertiam partem et posui NE, ita ut ZB
tertia parte maior sit quam ΝΒ et diatessaron ad gra-
vitatem consonet et ,5B fiat trite diezeugmenon. rursus
longitudinis EB sumta dimidia parte posui AO, ita ut
diapente consonet OB ad ,£B. itaque O B erit parhypate
meson. et posui OI] — EO, ita ut fiat II B parhypate
hypaton. iam sumpsi longitudinis BI' quartam partem
IP, ita ut fiat PB meson diatonos.

corum p. 133 not), Jan. 17. δή] Jan, δεῖ codd. 18. τόν] W,
τό M. 28. ὁ δὲ MB ὑπερβολαίων] mg. add. M?. τοῦ] M*W, τόν M!,
24. Post καί add. ἑνὶ αὐτῶν ἴσον M*. |. NE] E W. τοῦ] M?,
τόν M!, 26. καὶ] supra m. 1 add. Vat. Regin. 94, om. cett.
27. ἔϑηκα)] ἴσον αὐτῷ M? supra. 28. τῷ] M* ex τό. 31. τόν
(pr)] W, τό M. IP] ΓΟ W. μέσον M.

KATATOMH KANONOX

182

“Α΄. A4 II» EL Θ Oo P Zak Ξ (25 HNME
| ---.--ἰ-.-.--.---ςν...-.Θ.9-.ᾧ;} |--͵ἼἈ----ἰ--Ἱ--Ἱ--- -------- --- --- — —B
a
S 3
AN - “Ὁ
E: ^ a RI RO RC
Ξ ON μῆς δ a v $ Σ᾽ 8 88 ὃ
A δ 9 8 9 ^w M T Hac E
"e S B ὩΣ Θ à tc πον pu
ἃ «Ὁ τῷ 3 a τῷ S rue - uo NUS
& RON COSE NT E EC E Q0
S; UA e V WSSEBE C x Ce. ded EC EE Er τα
is : ^ "Sg t wo o M S rERSCES Ἐ
v R- B ΄σο - Ἐ x C Ἢ ΩΝ δὰ
e RN 2 a IS 2 zR MENO PS ῷ - - ὃ ς--
[7 τῷ Φ» [s] "Sg ὧν S Su e «Ὁ - B wood
Ἐ B S EN Ὲ ΠῚ kN ES MA re S uu Gg ou
NA “Ὁ [1 x “Φ B m Ἐν x Ἐ δὸ 12; BR

Descriptum hoc est diagramma manu 2 in imo margine fol. 167 cod. M. litteras II et Z
librarius omisit, reliqua quae uncinis ( » inclusa sunt perierunt cum margine membranae. Alterum
est diagramma in summo margine eiusdem folii neglegenter descriptum, litterarum ordo hie: 4 A Γ᾿
0O02PKH EM N 5E O II B, sonorum nomina non addita. W diagramma non habet.

Addit M! εὐκλείδου κανόνος κατατομή ξώσιμος διώρϑου ἐν κωνσταντινουπόλει εὐτυχῶς.

SECTIO CANONIS 183

(proslambanomenos) ^|

hypate (hypaton» E

4» rv

parhyp. (hypaton) τ

lichanos (hypaton» — --4

hypate meson BEIC
parhypate meson P
lichanos meson I
Mese Í ἐν
paramese LN
trite diezeugmenon ἐ ni
paranete diezeugmenon- 4
nete diezeugmenon m
irite hyperbolaeon Tu

paranete hyperbolaeon -.z
nete hyperbolaeon Tt

INTRODUCTIO HARMONICA

10

15

20

1. Ἁρμονική ἔστιν ἐπιστήμη ϑεωρητική τὲ καὶ πρακ-
τικὴ τῆς τοῦ ἡρμοσμένου φύσεως. ἡρμοσμένον δὲ τὸ ἐχ
φϑόγγων vs καὶ διαστημάτων ποιὰν τάξιν ἐχόντων 6vy-
κείμενον. μέρη δὲ αὐτῆς ἔστιν ἕπτά" περὶ φϑόγγων,
περὶ διαστημάτων, περὶ γενῶν, περὶ συστήματος, περὶ
τόνου, περὶ μεταβολῆς, περὶ μελοποιΐας.

φϑόγγος μὲν οὖν ἐστι φωνῆς πτῶσις ἐμμελὴς ἐπὶ
μίαν τάσιν. |

διάστημα δὲ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο φϑόγγων ἀνο-
μοίων ὀξύτητι καὶ βαρύτητι.

γένος δέ ἐστι ποιὰ τεττάρων φϑόγγων διαίρεσις.

σύστημα δέ ἐστι τὸ ἐκ πλειόνων ἢ ἑνὸς διαστημάτων
συγχείμενον.

τόνος δέ ἐστι τόπος τις τῆς φωνῆς δεκτικὸς συστή-
ματος ἀπλατής.

μεταβολὴ δέ ἐστιν ὁμοίου τινὸς εἰς ἀνόμοιον τόπον
μετάϑεσις.

μελοποιΐα δέ ἐστι χρῆσις τῶν ὑποχειμένων τῇ ἄρμο-
νικῇ πραγματείᾳ πρὸς τὸ οἰκεῖον ἑκάστης ὑποϑέσεως.

2. Ταῦτα δὲ ϑεωρεῖται ἐν φωνῆς ποιότητι. ἧς κι-
νήσεις εἰσὶ δύο, ἡ μὲν συνεχής τε καὶ λογικὴ καλου-
μένη, ἡ δὲ διαστηματική τὲ καὶ μελῳδική. ἡ μὲν οὖν
συνεχὴς χίνησις τῆς φωνῆς τάς τὲ ἐπιτάσεις καὶ τὰς
ἀνέσεις ἀφανῶς ποιεῖται. μηδαμοῦ ἱσταμένη ἢ μέχρι
Vat.9221, Riecard., Bonon. 2432). Εὐκλείδου εἰ. ἀρ. M* in ras. W
m. 2. Lips. 25 (Marc. 322. Bon. 2048. Vat. 1341. 1846. Urb. 175.
Regin. 94. Mon. 104. Berol. Phil. 1552. Par. 2456. 2457. 9460*.
suppl. 449. Escor. 6 2,5. X 1, 12. — Barocc) 'Ex τῶν τοῦ
Πάππου B (fol. 300) cum N fol. 16. Par. Crameri 2460 (f. 52).

Vat. 221. 671. Urb. 7". Ζωσίμου Matritensis N. 48. Zvovóuov
cod. Vule. rasura in M'.

1. Harmonica est scientia naturam compositionis
harmonieae et considerandi et exercendi. harmonice
compositum autem est id, quod et ex sonis et ex
intervallis ordinem quendam habentibus constat. partes
autem eius sunt septem: de sonis, de intervallis, de
generibus, de systemate, de tono, de mutatione, de me-
lopoeia.

. Sonus igitur est coneinnus vocis casus in unam ten-
sionem.

intervallum autem, quod comprehenditur duobus sonis
acumine et gravitate dissimilibus.

genus est quaedam quattuor sonorum divisio.

systema est 14, quod ex pluribus quam uno inter-
vallis constat.

tonus est locus quidam vocis, systematis capax, lati-
tudine carens.

mutatio est similis alicuius 1n dissimilem locum trans-
motio.

melopoeia est usus eorum, quae tractationi harmoni-
cae sunt subiecta pro eo, quod est uniuscuiusque argu-
menti proprium.

2. Haec autem considerantur in vocis qualitate, cuius
motus sunt duo, alter qui vocatur continuus et loquendi
proprius, alter intervallatus et melodicus. continuus
igitur vocis motus et intentiones et remissiones latenter
facit nusquam insistens nisi usque ad silentium. "inter-

1. τε] om. W, item lin. 3. 2. Post δέ add. ἐστι W. 8. ποιάν
—6. μεταβολῆς] mg. 2 W. ἐχόντων συγκείμενον] τῶν συγκειμέ-
vov ἔχον W. συγκείμενον)ο e corr. M*. 4. ἐστιν] εἰσι W.

6. Post γενῶν ins. mg. περὶ μελοποιΐας M! et om. lin. 6, nu-
meris inscriptis mutat M*. συστημάτων W. 6. τόνων W.

10

15

20

25

188 EIXALSDH APMONIKH

σιωπῆς. ἡ δὲ διαστηματικὴ κίνησις τῆς φωνῆς ἐναντίως
κινεῖται τῇ συνεχεῖ" μονάς τε γὰρ ποιεῖ καὶ τὰς μεταξὺ
τούτων διαστάσεις. ἐναλλὰξ αὐτῶν ἑἕχάτερον τιϑεῖσα.
τὰς μὲν οὖν μονὰς τάσεις χαλοῦμεν, τὰς δὲ μεταβάδεις
τὰς ἀπὸ τάσεων ἐπὶ τάσεις διαστήματα. τὰ δὲ ποιοῦντα
τὴν τῶν τάσεων διαφορὰν ἐπίτασίς ἐστι καὶ ἄνεσις,
ἀποτέλεσμα δὲ τούτων ὀξύτης καὶ βαρύτης. τὸ μὲν γὰρ
δι’ ἐπιτάσεως γινόμενον εἰς ὀξύτητα ἄγει. τὸ δὲ δι᾽
ἀνέσεως εἰς βαρύτητα. καὶ ὀξύτης μὲν οὖν ἐστι τὸ δι᾽
ἐπιτάσεως γινόμενον ἀποτέλεσμα. βαρύτης δὲ τὸ δι᾽
ἀνέσεως. |... . ἀμφοῖν γὰρ συμβέβηκε τὸ τετάσϑαι.]
καλοῦνται δὲ αἱ τάσεις καὶ φϑόγγοι" τάσεις μὲν ἀπὸ
τῶν καϑαπτῶν ὀργάνων παρὰ τὸ τετάσϑαι, φϑόγγοι δέ,
ἐπεὶ ὑπὸ φωνῆς ἐνεργοῦνται. φϑόγγοι δέ εἶσι τῇ μὲν
τάσει ἄπειροι, τῇ δὲ δυνάμει καϑ' ἕκαστον γένος Ós-
καοκχτώ.

9. Γένη δὲ ἐστι τρία, διάτονον, χρῶμα, ἁρμονία. καὶ
μελῳδεῖται τὸ μὲν διάτονον ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ κατὰ τόνον
καὶ τόνον καὶ ἡμιτόνιον, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐναντίως κατὰ
ἡμιτόνιον καὶ τόνον καὶ τόνον, τὸ δὲ χρῶμα ἐπὶ μὲν τὸ
βαρὺ κατὰ τριημιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον,
ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐναντίως κατὰ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον
καὶ τριημιτόνιον. ἧ δὲ ἁρμονία ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ κατὰ
δίτονον x«l δίεσιν καὶ δίεσιν, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐναντίως
κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν καὶ δίτονον.

4. Εἰσὶ δὲ οἱ μὲν ἐν τῷ διατόνῳ φϑόγγον οἵδε"

προσλαμβανόμενος
ὑπάτη ὑπάτων
παρυπάτη ὑπάτων

3. ἐναλάξ W. τιϑεῖσα) τέϑειται W. 6. ἐτίτασις --- 1. βα-
ρύτης] ἐπίτασις δέ ἐστι καὶ ἄνεσις τὸ ἀποτέλεσμα τούτων ὀξύ-
τητι καὶ βαρύτητα. 7. Post γάρ add. διαφέρον W. 9. καὶ
ὀξύτης μὲν οὖν] ὀξύτης δέ W. 10. δι᾽ ἀνέσεως] τὸ ἐναντίον W.

11. Ante ἀμφοῖν γάρ hab. ὅτε τάσις καλεῖται παρὰ τὸ τετά-
σϑαι" καλεῖται δὲ καὶ φϑόγγος, ἐπεὶ ὑπὸ φωνῆς ἐνεργεῖται W.

INTRODUCTIO HARMONICA 189

vallatus vero vocis motus contrarie movetur continuo;
nam et institiones facit et inter eas distantias, vicissim
utrumque eorum conlocans. et institiones quidem ten-
siones vocamus, transitus vero a tensionibus ad ten-
siones intervalla. quae autem tensionum differentiam
efficiunt, intentio sunt et remissio, harum vero perfectio
acumen et gravitas; nam id, quod intentione fit, ad
acumen versus tendit; id vero, quod remissione, ad gra-
vitatem versus. acumen igitur perfectio est, quae inten-
lione fit, gravitas vero, quae remissione. [.... utrique
enim continet, ut intendatur.|') vocantur autem ten-
. siones etiam soni; tensiones de tactis instrumentis, quia
intenta sunt, soni vero, quod voce eduntur. soni autem
tensione innumerabiles sunt, potestate vero 1n unoquo-
que genere duodeviginti.

9. Genera autem sunt tria: diatonum, chroma, har-
monia. et canitur diatonum ad grave versus per tonum
eb tonum ei semitonium, ad acutum versus contrarie
per semitonium et tonum et tonum, chroma autem ad
grave versus per triemitonium et semitonium et semi-
tonium, ad acutum versus contrarie per semitonium et
semitonium et triemitonium, harmonia autem ad grave
versus per ditonum et diesin et diesin, ad acutum ver-
sus contrarie per diesin et diesin et ditonum.

4. Sunt autem soni in diatono hi:

proslambanomenos
hypate hypaton
parhypate hypaton

1) Verba lin. 11. ἀμφοῖν — τετάσϑαν Jan rectissime iudicat
interpolata esse; v. Mus. Gr. p. 177.

12. αἱ] W, om. cett. 18. xo dwzvóv] x«9^ αὐτῶν ΝΥ. 15. δέκα
καὶ ὀκτώ W. 20, δέ] W, om. M. 28. ὑπάτων semper M!,
ὑπατῶν corr. M.

10

15

20

25

30

190

ΕἸΣΑΓΩΓῊ APMONIKH

λιχανὸς ὑπάτων διάτονος

ὑπάτη μέσων

παρυπάτη μέσων

λιχανὸς μέσων διάτονος

μέση

τρίτη συνημμένων

παρανήτη συνημμένων διάτονος
νήτη συνημμένων

παραμέδη

τρίτη διεξευγμένων

παρανήτη διεξευγμένων διάτονος
νήτη διεξευγμένων

τρίτη ὑπερβολαίων

παρανήτη ὑπερβολαίων διάτονος
νήτη ὑπερβολαίων.

Ἔν δὲ χρώματι οἵδε"

προσλαμβανόμενος

ὑπάτη ὑπάτων

παρυπάτη ὑπάτων

λιχανὸς ὑπάτων χρωματική

ὑπάτη μέσων

παρυπάτη μέσων

λιχανὸς μέσων χρωματιχή

μέση

τρίτη συνημμένων

παρανήτη συνημμένων χρωματική
νήτη συνημμένων

παραμέδη

τρίτη διεζευγμένων

παρανήτη διεξευγμένων χρωματική
νήτη διεξευγμένων

τρίτη ὑπερβολαίων

1. λιχανός videtur M! semper, λίχανος M corr.

vium W.

7. 8. διάτονος νήτη cvvnuuévov] om. W.

6. τρίτη]
9. Post

INTRODUCTIO HARMONICA 191

liehanos hypaton diatonos
hypate meson
parhypate meson
lichanos meson diatonos
mese

irite synemmenon
paranete synemmenon diatonos
nete synemmenon
paramese
irite diezeugmenon
paranete diezeugmenon diatonos
nete diezeugmenon
trite hyperbolaeon
paranete hyperbolaeon diatonos
nete hyperbolaeon.

In chromate autem hi:

proslambanomenos
hypate hypaton
parhypate hypaton
lichanos hypaton chromatice
hypate meson
parhypate meson
lichanos meson chromatice
mese
trile synemmenon
paranete synemmenon chromatice
nete synemmenon
paramese
irite diezeugmenon
paranete diezeugmenon chromatice
nete diezeugmenon
irite hyperbolaeon

παραμέση add. cvvnuuévov W. 11. παρανήτη] νήτη W, sed
ante νήτη lac. et ras. 4---ὅ litt. 18. ὑπάτη] bis W

10

15

20

30

192 ΕἘΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH

παρανήτη ὑπερβολαίων χρωματική
νήτη ὑπερβολαίων.

Ἔν δὲ ἁρμονίᾳ οἵδε"
προσλαμβανόμενος
ὑπάτη ὑπάτων
παρυπάτη ὑπάτων
λιχανὸς ὑπάτων ἐναρμόνιος
ὑπάτη μέσων
παρυπάτη μέσων
λιχανὸς μέσων ἐναρμόνιος
μέση
τρίτη συνημμένων ἐναρμόνιος
παρανήτη συνημμένων ἐναρμόνιος
νήτη συνημμένων
παραμέδη
τρίτη διεξευγμένων ἐναρμόνιος
παρανήτη διεξευγμένων ἐναρμόνιος
νήτη διεξευγμένων
τρίτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος
παρανήτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος
νήτη ὑπερβολαίων.

Κατὰ δὲ μίξιν τῶν γενῶν olds:
προσλαμβανόμενος
ὑπάτη ὑπάτων
παρυπάτη ὑπάτων
λιχανὸς ὑπάτων ἐναρμόνίος
λιχανὸς ὑπάτων χρωματική
λιχανὸς ὑπάτων διάτονος
ὑπάτη μέσων
παρυπάτη μέσων

1. λιχανὸς ὑπάτων] om. W. 8. μέσων] μέση W, item
lin. 9, 10. 12. Post συνημμένων add. λιχανὸς συνημμένων W.
εναρμόνιος] in M perfossum; item lin. 16, 17 et 20.
14. Post συνημμένων add. παρανήτη. συνημμένων W.
15. Post παραμέση add. cvrquuévov ἐναρμόνιος W. — 16. τρέτη]

INTRODUCTIO HARMONICA 193

paranete hyperbolaeon chromatice
nete hyperbolaeon.

In harmonia autem hi:
proslambanomenos
hypate hypaton
parhypate hypaton
lichanos hypaton enarmonios
hypate meson
parhypate meson
lichanos meson enarmonios
mese
irite synemmenon enarmonios
paranete synemmenon enarmonios
nete synemmenon |
paramese
irite diezeugmenon enarmonios
paranete diezeugmenon enarmonios
nete diezeugmenon
irite hyperbolaeon enarmonios
paranete hyperbolaeon enarmonios
nete hyperbolaeon.

inm mixturam generum hi:
proslambanomenos
hypate hypaton
parhypate hypaton
lichanos hypaton enarmonios
lichanos hypaton chromatice
lichanos hypaton diatonos
hypate meson
parhypate meson

νήτη W. ἐναρμόνιος] del. M*; om. W, item lin. 17, 19. 171. ἐν-
ἀαρμόνιος] perfossum M. 18. παραμέση διεξευγμένων ἐναρμό-
νιος W. 25. Add. ἐναρμόνιος W. 292—295. ità in B; in M
rasura et fere omnia nova. 26. ἐναρμόνιος —28. ὑπάτων]
om. W. 29. Post μέσων add. χρωματικὴ λιχανὸς ὑπάτων W.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 13

10

15

20

80

104 ΕΙΣΑΓΩΓΗῊ APMONIKH

λιχανὸς μέσων ἐναρμόνιος

λιχανὸς μέσων χρωματική

λιχανὸς μέσων διάτονος

μέση

τρίτη Gvvquuévov

παρανήτη συνημμένων ἐναρμόνιος
παρανήτη συνημμένων χρωματική
παρανήτη συνημμένων διάτονος
νήτη συνημμένων

παραμέδη

τρίτη διεξευγμένων

παρανήτη διεξευγμένων ἐναρμόνιος
παρανήτη διεξευγμένων χρωματιχκή
παρανήτη διεξευγμένων διάτονος
νήτη διεξευγμένων

τρίτη ὑπερβολαίων

παρανήτη ὑπερβολαίων ἐναρμόνιος,
παρανήτη ὑπερβολαίων χρωματική
παρανήτη ὑπερβολαίων διάτονος
νήτη ὑπερβολαίων.

τῶν δὲ ἐξηριϑμημένων φϑόγγων οἱ μέν εἶσιν ἑστῶ-
τες, οἱ δὲ κινούμένοι. ἑστῶτες μὲν οὖν εἶσιν, ὅσοι ἐν
ταῖς τῶν γενῶν διαφοραῖς οὐ μεταπίπτουσιν, ἀλλὰ μέ-
νουσιν ἐπὶ μιᾶς τάσεως. κινούμενοι δέ, ὅσοι voDvav-
τίον πεπόνϑασιν" ἐν γὰρ ταῖς τῶν γενῶν διαφοραῖς
μεταβάλλουσι καὶ οὐ μένουσιν ἐπὶ μιᾶς τάσεως. εἰσὶν
οὖν οἱ μὲν ἑστῶτες ὀχτὼ οἵδε᾽ προσλαμβανόμενος, ὑπάτη
ὑπάτων, ὑπάτη μέσων, μέση, vim συνημμένων, παρα-
μέση, νήτη διεξευγμένων, νήτη ὑπερβολαίων" κινούμε-
νοι δὲ οἱ ἀνὰ μέσον τούτων πάντες.

τῶν δὲ ἑστώτων οἱ μέν εἶσι βαρύπυχνοι, οἱ δὲ

—————————————————————————————————————————————

11. τρίτη] M in ras, νήτη W. 12. yu£vav —14. διάτονος]
M* in ras. 16. ὑπερβολαίων] add. χρωματική W. 17. év-

INTRODUCTIO HARMONICA 195

lichanos meson enarmonios
lichanos meson chromatice
lichanos meson diatonos

mese

irite synemmenon.

paranete synemmenon enarmonios
paranete synemmenon chromatice
paranete synemmenon diatonos
nete synemmenon

paramese

irite diezeugmenon

paranete liezeugmenon enarmonios
paranete diezeugmenon chromatice
paranete diezeugmenon diatonos
nete diezeugmenon

irite hyperbolaeon

paranete hyperbolaeon enarmonios
paranete hyperbolaeon chromatice
paranete hyperbolaeon diatonos
nete hyperbolaeon.

sonorum autem, qui enumerati sunt, alteri sunt
stantes, alteri mobiles. ac stantes quidem sunt, quot-
quot in generum differentiis non mutantur, sed manent
in una tensione; mobiles vero, quotquot contrarium
subierunt: in generum enim differentiis mutantur neque
manent in una tensione. sunt igitur stantes octo hi:
proslambanomenos, hypate hypaton, hy pate meson, mese,
nete synemmenon, paramese, nete diezeugmenon, nete
hyperbolaeon; mobiles vero, qui sunt in horum medio,
omnes.

stantium alii sunt barypyeni, alii apycni et compre-

αρμόνιος — 19. ὑπερβολαίων] om. W. 24. κινούμενοι —26.
τάσεως] om. W. 30. oi] οἵδε οἱ W. μέσων W. 31. τῶν
ἑστώτων oi βαρύπυκνοι M mg. m. 2.

13*

10

15

20

25

196 EIXADQDH APMONIKH

ἄπυκνονι καὶ περιέχοντες τὰ τέλεια συστήματα. βαρύ-
πυκνοι μὲν οὖν εἰσι πέντε οἵδε ὑπάτη ὑπάτων, ὑπάτη
μέσων, μέση, παραμέδη., νήτη διεξευγμένων. ἄπυκνοι δὲ
καὶ περιέχοντες τὰ τέλεια συστήματα οἱ λοιποὶ τρεῖς
οἵδε᾽ προσλαμβανόμενος, νήτη συνημμένων, νήτη ὑπερ-
βολαίων.

τῶν δὲ κινουμένων οἵ μέν εἶσι μεσόπυκνοι, οἱ δὲ
ὀξύπυκνοι, οἱ δὲ διάτονοι. μεσόπυχνοι μὲν οὖν εἶσι
πέντε οἵδε᾽ παρυπάτη ὑπάτων, παρυπάτη μέσων, τρίτη
συνημμένων, τρίτη διεξευγμένων, τρίτη ὑπερβολαίων.
ὀξύπυκνοι δὲ ὁμοίως κατὰ γένος πέντε. ἐν μὲν ἁρμονίᾳ
οἱ ἐναρμόνιοι, ἐν δὲ χρώματι οἱ χρωματικοί" τὸ γὰρ
διάτονον οὐ μετέχει πυκνοῦ. εἰσὶν οὖν οἱ μὲν ἐν τῇ
ἁρμονίᾳ οἵδε᾽ λιχανὸς ὑπάτων ἐναρμόνιος, λιχανὸς μέσων
ἐναρμόνιος, παρανήτη συνημμένων ἐναρμόνιος, παρα-
νήτη διεξευγμένων évoguóviog, παρανήτη ὑπερβολαίων
ἐναρμόνιος. ἐν δὲ τῷ χρώματι οἵδε. λιχανὸς ὑπάτων
χρωματική, λιχανὸς μέσων χρωματική, παρανήτη συνημ-
μένων χρωματική,. παρανήτη διεξευγμένων χρωματική,
παρανήτη ὑπερβολαίων χρωματική. (οἱ δὲ διατόνοιυν οἵδε"
λιχανὸς ὑπάτων διάτονος, λιχανὸς μέσων διάτονος, πα-
ρανήτη συνημμένων διάτονος, παρανήτη διεζευγμένων
διάτονος, παρανήτη ὑπερβολαίων διάτονος.

ὅ. Τῶν δὲ διαστημάτων διαφοραί εἶσι πέντε, ἧ τε
μεγέϑει ἀλλήλων διαφέρει καὶ y κατὰ γένος καὶ ἧ τὰ
σύμφωνα τῶν διαφώνων καὶ ἧ τὰ σύνϑετα τῶν ἀσυν-
ϑέτων καὶ $ τὰ δητὰ τῶν ἀλόγων. ἡ μὲν οὖν κατὰ

«

μέγεϑός ἐστι, x«9' ἣν ἃ μέν ἐστί μείξονα τῶν διαστη-

4. οἱ ἄπυκνοι M. mg. m. 2. 7. τῶν κινουμένων μεσόπυκνοι
ὀξύπυκνοι διάτονοι M mg. m. 2. 9. παρυπάτη (pr.)] Μ΄, ὑπάτη
M!, 10. τρίτη (alt.)] Μ΄, τῶν Μ΄. 12. χώματι M!, sed corr.
18. χρωματική (alt. — 22. συνημμένων] om. W. 18. χρωμα-
τική (alt. corr. ex óírovog M*; item lin. 19. 20. οἱ δὲ
διάτονοι) Jan, ἐν δὲ διατόνῳ NB. 21. λιχανὸς — 38. διάτο-
vog] NB, om. M. 24. 5 τε μεγέϑει] ἢ τὰ μεγέϑη W. — 25. Post

INTRODUCTIO HARMONICA 197

hendentes systemata perfecta. ac barypyceni quidem sunt
quinque hi: hypate hypaton, hypate meson, mese, para-
mese, nete diezeugmenon. apycni vero et comprehen-
- dentes systemata perfecta hi tres reliqui: proslambano-
menos, nete synemmenon, nete hyperbolaeon.

mobilium autem alii sunt mesopyeni, alii oxypyeni,
- ahi diatoni. ae mesopyeni quidem sunt quinque hi:
parhypate hypaton, parhypate meson, trite synemmenon,
irite diezeugmenon, trite hyperbolaeon. oxypyeni vero
similiter secundum genus quinque, in harmonia enar-
monii, in chromate chromatici; diatonum enim spissi
-particeps non est. sunt igitur in harmonia hi: lichanos
hypaton enarmonios, lichanos meson enarmonios, para-
nete synemmenon enarmonios, paranete diezeugmenon
enarmonios, paranete hyperbolaeon enarmonios. in chro-
mate autem hi: lichanos hypaton chromatice, lichanos
meson chromatice, paranete synemmenon chromatice,
paranete diezeugmenon chromatice, paranete hyper-
bolaeon chromatice. diatoni autem hi: lichanos hy-
paton diatonos, lichanos meson diatonos, paranete synem-
menon diatonos, paranete diezeugmenon diatonos, para-
. nete hyperbolaeon diatonos.!)

5. Intervallorum differentiae sunt quinque, quatenus
magnitudine inter se differunt et quatenus genere et
quatenus consona a dissonis et quatenus composita ab
incompositis et quatenus rationalia ab irrationalibus.

ac differentia quidem seeundum magnitudinem est, se-

1) V. quae de hoc loco corrupto diserte disputavit J. Cook
- Wilson, Classical Rev. XVIII 1904, p. 388 sq.

γένος add. ἀλλήλων W. 26. ἡ] W, om. cett, item lin. 27.
σύνϑετα τῶν ἀσύνϑέτων) ἀσύνϑετα vOv συνϑέτων W.

10

20

198 EIZATQDTH APMONIKH

μάτων, ἃ δὲ ἐλάττονα, οἷον δίτονον, τόνος, ἡμιτόνιον,
διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε. διὰ πασῶν xoci và ὅμοια.
ς M Y , »5 t à
ἡ δὲ κατὰ γένος. καϑ' ἣν ἃ μέν ἐστι τῶν διαστημάτων
διατονικά, ἃ δὲ χρωματικά, ἃ δὲ ἐναρμόνια. ἡ δὲ
m , ?, κι i31 , , — , »
τοῦ Gvug Ovov, καϑ' ἣν ἃ μέν ἐστι τῶν διαστημάτων
σύμφωνα, ἃ δὲ διάφωνα. σύμφωνα μὲν οὖν ἐστι διὰ
τεσσάρων. διὰ πέντε, διὰ πασῶν καὶ τὰ ὅμοια. διάφωνα -
δὲ τὰ ἐλάττονα τοῦ διὰ τεσσάρων πάντα χαὶ τὰ μεταξὺ
τῶν συμφώνων πάντα. ἐλάττω μὲν οὖν ἐστι τοῦ διὰ
τεσσάρων δίεσις, ἡμιτόνιον, τόνος, δίτονον, μεταξὺ δὲ
τῶν συμφώνων τρίτονον., τετράτονον. πεντάτονον καὶ
τὰ ὅμοια. ἔστι δὲ συμφωνία μὲν κρᾶσις δύο φϑόγγων.
, ,
ὀξυτέρου καὶ βαρυτέρου (διαφωνία δὲ τοὐναντίον δύο
0
φϑόγγων ile», ὥστε μὴ κραϑῆναι. ἀλλὰ τραχυνϑῆναι
τὴν ἀκοήν. ἡ δὲ τοῦ συνθέτου ἐστὶ διαφορά. xo
ἣν ἃ μέν ἐστι τῶν διαστημάτων ἀσύνϑετα, ἃ δὲ σύν-
ϑετα. ἀσύνϑετα μὲν οὖν διαστήματά ἔστι τὰ ὑπὸ τῶν
ἑξῆς φϑόγγων περιεχόμενα, οἷον ὑπάτης καὶ παρυπάτης,
χαὶ λιχανοῦ καὶ μέσης" ὃ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν λοι-
p Ἁ - ^ T
πῶν διαστημάτων. σύνϑετα δὲ τὰ ὑπὸ τῶν μὴ ἑξῆς, olov
μέσης καὶ παρυπάτης, μέσης καὶ νήτης, παραμέσης καὶ
ὑπάτης. ἔστι δέ τινα κοινὰ συνθέτου καὶ ἀσυνϑέτου
διαστήματα, τὰ ἀπὸ ἡμιτονίου μέχρι διτόνου. τὸ μὲν
Ἁ ς 2 é e l4 é ,
γὰρ ἡμιτόνιόν ἐστιν ἔν ἁρμονίᾳ σύνϑετον, ἐν δὲ χρώ-
ματι καὶ διατόνῳ ἀσύνϑετον᾽ ὃ τόνος ἐν μὲν χρώματι
σύνϑετος, ἐν δὲ διατόνῳ ἀσύνθετος" τὸ τριημιτόνιον
ἐν μὲν χρώματι ἀσύνϑετον, ἐν δὲ διατόνῳ σύνϑετον᾽"
τὸ δίτονον ἐν μὲν ἁρμονίᾳ ἀσύνϑετον, ἐν δὲ χρώματι
M! , , Ac ^ , E e ,
καὶ διατόνῳ «σύνθετον. τὰ δὲ ἐλάττω τοῦ ἡμιτονίου

1. δίτονον) διάτονον W. Post δίτονον add. τριημιτόνιον Μ΄.
τόνος] τόνος καὶ τόνος καί W. Post ἡμιτόνιον add. δίεσις Μ΄.
2. διά (pr.)] τὰ διά W. 8. πάντα] M?, πέντε Μ' W. 9. ἐλάτ-
ro] ΝΒ, ἐλάττων Μ,. ἐλάττονα W. 10. Post τόνος add. τριημιτό-
νιον M*. 18. διαφωνία — ἀμιξία Pena, Meibom, Jan., om.
codd. 14. ὥστε μή] μὴ ὥστε MW. χραϑῆναι] ἢ καϑαρϑῆναι

INTRODUCTIO HARMONICA 199

eundum quam alia intervallorum sunt maiora, alia mi-
nora, velut ditonum, tonus, semitonium, diatessaron,
diapente, diapason similiaque. differentia autem se-
eundum genus, secundum quam alia intervallorum sunt
diatoniea, alia chromatica, alia enarmonia. differentia
autem eonsoni, secundum quam alia intervallorum sunt
consona, alia dissona. consona sunt igitur diatessaron,
diapente, diapason similiaque. dissona vero sunt ea,
quae minora sunt quam diatessaron, omnia et ea, quae
inter consona sunt, omnia. et minora quidem sunt quam
diatessaron diesis, semitonium, tonus, ditonum, inter
eonsona autem tritonum, tetratonum, pentatonum si-
miliaque. atque consonantia est permixtio duorum so-
norum, aeutioris eb gravioris, dissonantia vero contrarie
duorum sonorum fuga permixtionis, ita ut non miscean-
tur atque auditus exasperetur. compositi autem est
differentia, seeundum quam alia intervallorum sunt in-
composita, alia composita. atque incomposita sunt
intervalla, quae sonis deinceps conlocatis comprehen-
duntur, velut hypate et parhypate, lichano et mese.
eadem ratio est in ceteris quoque intervallis. composita
vero ea, quae sonis non deinceps conlocatis comprehen-
duntur, velut mese et parhypate, mese et nete, para-
mese et hypate. sunt autem communia quaedam com-
positi et incompositi intervalla, ea dico, quae a semi-
tonio sunt usque ad ditonum. semitonium enim in har-
monia est eompositum, in chromate vero et diatono
incompositum; tonus in chromate est compositus, in
diatono incompositus; triemitonium in chromate incom-
positum, in diatono compositum; ditonum in harmonia

M, ἐκκαϑαρϑῆναι W. 18. Ante περιεχόμενα add. μή W. καί
Μ΄, om. M!W. 19. Ante μέσης insert. ὑπάτης M* 20. τῶν
μή] τά W. 21. μέσης καί νήτης] om. W. 28. διτόνου] δια-
τόνου W. 24. ἐστιν] om. W. Post ἁρμονίᾳ add. μέν W.
28. δίτονον] W, óí///vovov M.

10

15

20

25

200 ἙἘΙΣΑΓΩΓΗ APMONIKH

πάντα ἐστὶν &GóvOsva: ὁμοίως δὲ καὶ và μείξω τοῦ ÓL-
τόνου πάντα σύνϑετα. ἡ δὲ τοῦ ῥητοῦ καὶ ἀλόγου
διαφορά ἐστι. xo«9' ἣν τῶν διαστημάτων ἃ μὲν ἐστι
ῥητὰ, ἃ δ᾽ ἄλογα. ῥητὰ μὲν οὖν ἐστιν, ὧν οἷόν τέ ἐστι
τὰ μεγέϑη ἀποδιδόναι, οἷον τόνον, ἡμιτόνιον, δίτόνον,
τρύτονον καὶ τὰ ὅμοια" ἄλογα δὲ τὰ παραλλάττοντα
ταῦτα τὰ μεγέϑη ἐπὶ τὸ μεῖξον ἢ ἐπὶ τὸ ἔλαττον ἀλόγῳ
τινὶ μεγέϑει.

6. Γένη δέ ἔστι τρία τὰ προειρημένα. πᾶν οὖν ἔσται
μέλος ἤτοι διατονιχὸν ἢ χρωματικὸν ἢ ἐναρμόνιον ἢ
κουνὸν ἢ μικτὸν ἐκ τούτων. διατονικὸν μὲν οὖν ἐστι τὸ
τῇ διατονικῇ διαιρέσει χρώμενον, χρωματικὸν δὲ τὸ τῇ
χρωματικῇ, ἐναρμόνιον δὲ τὸ τῇ ἐναρμονίῳ. κοινὸν δὲ
τὸ ἐκ τῶν ἑστώτων συγκείμενον, μικτὸν δὲ τό, ἐν ᾧ δύο
ἢ τρεῖς χαρακτῆρες γενικοὶ ἐμφαίνονται, οἷον διατόνου
καὶ χρώματος ἢ διατόνου χαὶ ἁρμονίας ἢ χρώματος καὶ
ἁρμονίας ἢ καὶ διατόνου καὶ χρώματος καὶ ἁρμονίας.
γίνονται δὲ αἷ τῶν γενῶν διαφοραὶ παρὰ τοὺς κινου-
μένους τῶν φϑόγγων᾽ κινεῖται δὲ ἡ μὲν λιχανὸς ἐν το-
νιαίῳ τόπῳ, ἡ δὲ παρυπάτη ἐν διεσιαίῳ. λιχανὸς μὲν οὖν
στιν ὀξυτάτη ἡ τόνον ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἀπέχουσα τῶν
τὸ τετράχορδον περιεχόντων, βαρυτάτη δὲ ἡ δίέτονον.
ὁμοίως δὲ καὶ παρυπάτη ἐστὶ βαρυτάτη μὲν ἡ δέεσιν
ἀπὸ τοῦ βαρυτέρου τῶν τὸ τετράχορδον περιεχόντων
ἀπέχουσα, ὀξυτάτη δὲ 7) ἡμκιτόνιον ἀπέχουσα.

1. Χρόα δέ ἐστι γένους εἰδικὴ διαίρεσις. χρόαι δέ
εἰσιν eb ῥηταὶ καὶ γνώριμοι ξξ, ἁρμονίας μέα, χρώματος
τρεῖς, διατόνου δύο.

1. ὁμοίως) ἔμπαλιν W. — "7. τά — 8. τινί τῷ W. — 9. ἐστι]
εἶσι W. σροειρημένα] seq. lac. 2.—8. itt. et deinde pro
titulo in textu: περὶ μέλους W. 14. τό (pr.)] τὸ τό W. Post
ἑστώτων add. φϑόγγων W. X 16. ἁρμονίας] ας in ras. M, item
lin. 17. (utrumque). 19. Post φϑόγγων add. τόπους W.
20. διεσιαίῳ] Μ΄, δι σιαίω M', δεσίῳ W. 21. ἑτέρου] ὀξυτέρου
Μ΄, ἑτέρον τόνου W. 22. τετραχύρδων W. δίψητονον M, item
p. 202 lin.8. 98. καί] om. W. δίεσιν — 25. ἀπέχουσα (alt.)]

INTRODUCTIO HARMONICA 201

incompositum, in chromate et diatono compositum. inter-
valla vero, quae sunt hemitonio minora, omnia sunt in-
composita; eodem modo etiam ea, quae sunt maiora
ditono, omnia composita. rationalis vero et irratio-
nalis est differentia, secundum quam intervallorum alia
sunt rationalia, alia irrationalia. atque rationalia sunt,
quorum magnitudines possunt iudieari, velut tonus,
semitonium, ditonum, tritonum similiaque; irrationalia
vero, quae has magnitudines sive maius sive minus ver-
sus transgrediuntur irrationali quadam magnitudine.

6. Genera autem sunt tria, quae autea nominata sunt.
omne igitur melos aut diatonicum erit aut ehromatieum
aut enarmonium aut commune aut mixtum ex his. diatoni-
eum est igitur id, quod diatonica divisione utitur, chro-
matieum id, quod chromatiea, enarmonium id, quod en-
armonia. commune vero id, quod ex stantibus est com-
positum, mixtum id, in quo duo vel tres habitus
generales adparent, velut diatoni et harmoniae aut chro-
matis et harmoniae aut et diatoni et chromatis et harmo-
niae. fiunt autem generum differentiae secundum mo-
biles sonorum. et lichanos quidem in toniaeo ambitu
movetur, parhypate vero in diesiaeo. ac lichanos acutis-
sima est ea quae tono abest ab altero eorum sonorum, qui
tetrachordum comprehendunt, gravissima, quae ditono.
eodem autem modo etiam parhypate est gravissima, quae
diesi abest a graviore eorum sonorum, qui tetrachordum
comprehendunt, acutissima vero, quae hemitonio abest.

1. Color autem est specialis generis divisio. colores
autem sunt rationales et perceptu faciles sex, harmoniae
unus, chromatis tres, diatoni duo.
τοῦ βαρυτέρου τὸ τῶν τετραχόρδων περιεχόντων δίτονον ἀπέ-
χουσα, ὀξυτάτη δὲ ἡ τόνον ἀπέχουσα ἀπὸ τῶν τετραχόρδων
περιεχόντων W. 26. γένους) ἡ γένους W. χρόαι] χροιαί

MW, prius v eras. M. 217, ἁρμονίας] ἡ τοῦ ἐναρμονίου γένους
supra Μ΄,

10

15

20

25

202 ΕΙΣΑΓΩΓΗῊ APMONIKH

ἡ μὲν oov τῆς ἁρμονίας τῇ αὐτοῦ τοῦ γένους διαι-
θέσει κέχρηταν' μελῳδεῖται γὰρ κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν
τὴν ἴσην καὶ δίτονον.

τῶν δὲ χρωματικῶν διαιρέσεων βαρυτάτη μέν ἐστιν
ἡ τοῦ μαλακοῦ χρώματος χρύα᾽ μελῳδεῖται δὲ κατὰ
δίεσιν τριτημόρφιον τόνου καὶ δίεσιν τὴν ἴσην καὶ τὸ
ἴσον τόνῳ καὶ τῷ ἡμίδει καὶ τρίτῳ" τὸ δὲ ἡμιόλιον κατὰ
δίεσιν ἡμιόλιον τῆς ἐναρμονίου διέσεως καὶ δίεσιν τὴν
ἴσην xai ἑπτὰ τεταρτημορίων διέσεων ἀσύνϑετον διά-
στημα. τὸ δὲ τονιαῖον χρῶμα τῇ αὐτῇ τοῦ γένους χρόᾳ
κέχρηται" μελῳδεῖται γὰρ κατὰ ἡμιτόνιον καὶ ἡμιτόνιον
καὶ τριημιτόνιον. κέκληται δὲ τὰ εἰρημένα χρώματα ἀπὸ
τῶν ἐνυπαρχόντων αὐτοῖς πυκνῶν᾽ τό τὲ γὰρ τονιαῖον
ἀπὸ τοῦ ἐνυπάρχοντος αὐτῷ κατὰ σύνϑεσιν τόνου, καὶ
ἡμιόλιον ἀπὸ τῶν ἐνυπαρχουσῶν αὐτῷ διέδεων, ἡμιο-
λίων τῶν ἐναρμονίων διέσεων, μαλακὸν δὲ τὸ τοῦ ἐλα-
χίστου πυχνοῦ ὡσαύτως χρῶμα, ἐπειδὴ τὸ ἐν αὐτῷ πυκ-
νὸν ἀνίεταί v& καὶ ἐκλύεται.

τῶν δὲ διατονικῶν διαιρέσεων τὸ μὲν διάτονον μα-
λακὸν καλεῖται, τὸ δὲ σύντονον. ἡ μὲν οὖν τοῦ μαλαχοῦ
διατόνου χρόα μελῳδεῖται κατὰ ἡμιτόνιον xol τριῶν
διέσεων ἀσύνϑετον διάστημα καὶ πέντε διέσεων ὁμοίως
ἀσύνϑετον διάστημα. ἡ δὲ τοῦ συντόνου διατόνου τῇ
αὐτῇ τοῦ γένους ἐπικοινωνεῖ διαιρέσει᾽ μδλῳδεῖται γὰρ
καϑ' ἡμιτόνιον καὶ τόνον καὶ τόνον.

1. αὐτοῦ] Μ', αὐτῇ M?W- διαιρέσει] NB; add. τῇ αὐτῇ M!,
καὶ αὐτή M*; διαϑέσει W. 9. Post δίεσιν (pr.) ad τὸ T&-
ταρτημόριον τόνου Μ΄. καὶ ener]. M?, om. M*. 3. τὴνἴσην]
om. W, item lin. 8. 5. , κατά) κατὰ τήν Ν. 6. τὸ τριτημόριον
W. ἴσην —1. τρίτῳ] ἡμίσειαν ἡμιτονίου τόνου τριημιτόνιον καὶ
τὸ διὰ πέντε καὶ τὴν ἴσην τόνῳ καὶ τὴν τετάρτην W. Post
τρίτῳ add. ἀσύνθετον διάστημα Μ΄. κατὰ δίεσιν! M*W, om. M!.
9. ἡμιόλιον τῆς ἐναρμονίου διέσεως] M*, om. M'!W. 9. καί]
M*, om. MW. τεταρτημορίων διέσεων] NB, διέσεων Μ', à. τε-
ταρτημορίων Μ΄ μὲν ἡμιτονίων W. ἀσύνθετον σύνθετόν ἐστι

W. Post διάστημα in M litura fere 36 litterarum, tolg καὶ ἑπτὰ
καὶ εἴχοσι καὶ ἕν add. W. 10. κέχρηται χρόᾳ W. 12. κέ-

INTRODUCTIO HARMONICA 203

atque harmoniae quidem color ipsius generis divi-
sione utitur; canitur enim per diesin et aequalem diesin
οὖ ditonum.

divisionum vero chromaticarum gravissima est color
chromatis mollis; canitur autem per eam diesin, quae
est toni pars tertia, et diesin aequalem et intervallum,
quod est aequale tono et dimidio et tertiae eius parti;
sesquealterum vero chroma canitur per diesin sesque-
alteram diesis enarmoniae et diesin aequalem et inter-
vallum incompositum septem diesium, quarum unaquae-
que est quarta pars toni. toniaeum autem chroma eodem
. quo genus colore utitur; canitur enim per semitonium
et semitonium et triemitonium. nomina autem habent
chromata, quae diximus, ex spissis, quae in iis insunt;
nam et toniaeum ex tono, qui in eo inest secundum
compositionem, el sesquealterum ex diesibus, quae in
eo insunt et quae sesquealterae sunt diesium enarmo-
niarum, molle vero minimi spissi eodem modo chroma,
quoniam spissum, quod in eo inest, et remittitur et ener-
vatur.

diatonicarum autem divisionum altera diatonum molle
vocatur, altera syntonum. ae mollis diatoni color
canitur per semitonium et trium diesium incomposi-
tum intervallum et quinque diesium intervallum eodem
modo ineompositum. syntoni vero diatoni color eandem
eum genere communem habet divisionem; canitur enim
per semitonium et tonum et tonum.

χληνται W. 14. αὐτῷ —16 ἐλαχίστου] om. W. 14. αὐτῷ
κατὰ σύνϑεσιν τόνου] NB, αὐτῷ τόνου eras. M!, rep. Μ΄ mg. et
supra scr. κατὰ συνθέσεως. 15. ἐνυπαρχουσῶν] ἐνυπαρχόντων
Μ΄. 17. Post πυκνοῦ add. ἡμιόλιον δέ ἐστι ἐλάχιστον πυκνόν
W. χρῶμα] καὶ χρῶμα W — Post πυκνόν add. χρῶμα codd.
18. ἐκλύεται] N, ἐκ M!, λύεται add. M*, διατήκεται W. 19. τῶν
δέ] Μ᾿, xol ἐκ τῶν W. μαλακόν] καὶ μαλακόν W. 22. δι-
ἐσεων (pr.)] διαιρέσεων W. xoí] καὶ κατά W. 25. x«9'] 9
in litura Μ΄. καὶ τόνον (alt.)] M*W, om. M!.

10

15

20

25

30

204 EIZADLQDI'H APMONIKH

δείκνυνται δὲ καὶ δι’ ἀριϑμῶν αἵ χρόαι τὸν τρόπον
τοῦτον. ὑποτίϑεται γὰρ ὃ τόνος εἰς δώδεχά τινα ἐλά-
quove μόρια διαιρούμενος, ὧν ἕκαστον δωδεκατημόριον
τόνου καλεῖται" ἀναλόγως δὲ τῷ τόνῳ καὶ τὰ λοιπὰ
διαστήματα᾽ τὸ μὲν γὰρ ἡμιτόνιον εἰς ἕξ δωδεκατημόρια,
ἡ δὲ δίεσις ἡ μὲν τεταρτημόριος εἰς τρία. ἡ δὲ τριτη-
μόριος εἰς τέσσαρα. ὅλον δὲ τὸ διὰ τεσσάρων εἷς τριά-
κοντα. 17 μὲν οὖν ἁρμονία μελῳδηϑήσεται κατὰ τριῶν
δωδεκατημορίων μέγεϑος καὶ y καὶ x0, τὸ δὲ μαλακὸν
χρῶμα κατὰ ὃ καὶ ὃ καὶ xp, τὸ δὲ ἡμιόλιον χρῶμα κατὰ
τέτταρα ἥμισυ καὶ OC" καὶ κα, τὸ δὲ τονιαῖον χρῶμα
κατὰ ς καὶ ς καὶ τη. τὸ δὲ μαλακὸν διάτονον χατὰ ς
καὶ θΘ καὶ τε, τὸ δὲ σύντονον κατὰ ς καὶ vB καὶ εβ.

8. Τῶν δὲ συστημάτων διαφοραί εἰσιν ἕπτά. τέσ-
σαρὲς μὲν αἵ αὐταὶ τοῖς διαστήμασιν, ἥ τε κατὰ μέγεϑος
καὶ ἡ κατὰ γένος καὶ ἣ τοῦ συμφώνου καὶ διαφώνου καὶ ἡ
τοῦ ῥητοῦ καὶ ἀλόγου" τρεῖς δὲ ἴδιαι τῶν συστημάτων
διαφοραί εἰσιν. ἡ τοῦ ἑξῆς καὶ ὑπερβατοῦ καὶ ἡ τοῦ συνημ-
μένου καὶ διεξευγμένου καὶ ἡ τοῦ ἀμεταβόλου x«l ἐμ-
μεταβόλου. μεγέϑει μὲν οὖν διαφέρει τὰ μείξω συστή-
pera τῶν ἐλαττόνων καϑάπερ τὸ διὰ πασῶν τοῦ τριτό-
νου ἢ διαπέντε ἢ διὰ τεσσάρων ἢ τῶν ὁμοίων. γένει
δὲ τὰ διατονικὰ τῶν ἐναρμονίων ἢ χρωματικῶν, ἢ τὰ
χρωματικὰ ἢ ἐναρμόνια τῶν λοιπῶν. τῇ δὲ τοῦ συμ-
φώνου καὶ διαφώνου διοίδει τὰ ὑπὸ τῶν συμφώνων
φϑόγγων “περιεχόμενα τῶν ὑπὸ διαφώνων. σύμφωνα δέ
ἐστιν ἐν τῷ ἀμεταβόλῳ συστήματι &&* ἐλάχιστον μὲν τὸ
διὰ τεσσάρων, τόνων δύο ἡμίσεος, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ
ὑπάτης ὑπάτων ἐπὶ ὑπάτην μέσων" δεύτερον δὲ τὸ διὰ
πέντε, τόνων τριῶν ἡμίσεος. οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμ-

1. καί] om. W. óv ἀριϑμῶν] B, &oi9uà// M, ἀριϑμῷ W.
4. τόνου] τόνου τόνος W. 6. τρία] τέσσαρα W. 1. τέσσαρα]
τρία W. 16. καὶ διαφώνου] Marc. 322 Lips. 25 Mon. 104,

om. cett. 20. συστήματα] συστημάτων W. 22. γένει] γένη Μ'.
28. Ante τῶν add. διαφορᾷ W. ἢἤ (pr)] καὶ W. τά (alt) —

INTRODUCTIO HARMONICA 205

designantur autem per numeros quoque colores hoc
modo. nam supponitur tonus in duodecim quasdam
partes minimas divisus, quarum unaquaeque duodecima
pars toni vocatur. eodem modo ae tonus cetera quoque
intervalla dividuntur; semitonium enim in sex partes
duodecimas, diesis quadrantalis in tres, irientalis in
quattuor, totum diatessaron in triginta. atque harmonia
eanetur per magnitudinem trium partium duodecimarum
et trium et viginti quattuor, molle autem chroma per
quattuor et quattuor et viginti duarum, sesquealterum
chroma per quattuor semis et quattuor semis et viginti
"unius, toniaeum chroma per sex et sex et duodeviginti,
molle diatonum per sex et novem et quindecim, synto-
num per sex et duodecim et duodecim. ᾿

8. Systematum differentiae sunt septem. quattuor
eaedem atque in intervallis, differentia et seeundum magni-
tudinem et secundum genus et consoni atque dissoni et
rationalis atque irrationalis; tres autem propriae syste-
matum differentiae sunt, differentia ordinati et praeposteri,
coniuncti et disiuncti, immutabilis et mutabilis. ac
magnitudine differunt maiora systemata a minoribus,
. velut diapason a tritono vel a diapente vel a diatessa-
ron vela similibus. genere autem differunt diatonica
ab enarmoniis vel chromaticis, aut chromatica vel en-
armonia a reliquis. consoni vero et dissoni differentia
different ea, quae consonis sonis continentur, ab iis,
. quae dissonis. consona autem sunt in immutabili syste-
mate sex; minimum est diatessaron, tonorum duorum
semis, quale est consonum ab hypate hypaton ad hy-
paten meson; secundum diapente, tonorum trium semis,
. quale est a proslambonemo ad hypaten meson; tertium

24. λοιπῶν] τὸ χρῶμα καὶ τὸ ἐναρμόνιον τοῦ διτόνου W. 25. δὲ-
οἰσει] διαφορᾷ W. 26. τῶν ὑπὸ διαφώνων] ὁμοίως διοίσει W.
28. ἡμίσεοςἷ καὶ ἡμίσεως W, item lin. 80.

10

15

20

25

206 ΕΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH

βανομένου ἐπὶ ὑπάτην uécov: τρίτον δὲ τὸ διὰ πασῶν,
τόνων ££, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ μέ:-
Gqv: τέταρτον δὲ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, τό-
vov ὀκτὼ καὶ ἡμίσεος, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανο-
μένου ἐπὶ νήτην συνημμένων ἢ παρανήτην διεξευγμένων
διάτονον᾽ πέμπτον τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, τόνων
ἐννέα ἡμίσεος, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ
νήτην διεξευγμένων" ἕκτον τὸ δὶς διὰ πασῶν, τόνων
δώδεκα, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ νήτην
ὑπερβολαίων. [τὸ δὲ συνημμένον σύστημα πρόεισι
μέχρι τετάρτου συμφώνου" πρῶτον γὰρ ἐν αὐτῷ τὸ διὰ
τεσσάρων, δεύτερον τὸ διὰ πέντε, τρίτον τὸ διὰ πασῶν,
τέταρτον τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων.] ὁ δὲ τῆς
φωνῆς τόπος αὔξεται μέχρι τοῦ ὀγδόου συμφώνου,
ὕπερ ἐστὶ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων καὶ δὶς διὰ
πασῶν καὶ διὰ πέντε. διάφωνα δέ ἐστι τά τε ἐλάττω
τῶν διὰ τεσσάρων καὶ μεταξὺ τῶν εἰρημένων συμφώνων
πάντα.

9. Γίνεται δὲ καὶ Θχήματα τοῦ αὐτοῦ μεγέϑους ἐκ
τῶν αὐτῶν ἀσυνϑέτων συγκείμενα καὶ ἀριϑμοῦ, εἰ ἡ
τάξις αὐτῶν ἀλλοίωσιν λάβοι ἐνυπάρχοντός τινος ἀνο-
μοίου" τὰ γὰρ ἐξ ἴσων πάντων ἢ ὁμοίων σχημάτων ἀλ-
λοίωσιν οὐ ποιεῖ. τοῦ μὲν οὗν διὰ τεσσάρων τρία
ἐστὶν εἴδη. πρῶτον μὲν τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμε-
vov, οἷόν ἐστι τὸ ἀπὸ ὑπάτης ὑπάτων ἐπὶ ὑπάτην uécov:
δεύτερον τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον, οἷόν ἐστι

1. ὑπάτην] M5, ὑπάτης M, ὑπάτη W. 2. τόνων —3. διὰ
πασῶν] om. W. 4. καὶ ἡμίσεος] ἡμίσους W. ὅ. συνημμέ-
vov] μέσων W. 6. διάτονον — 8. Óiusfevyuévov] om.

10. τό — 11. μέχρι] M?, om. M'W. πρῶτον] ΜΗ, πρώτων Μ'.
γὰρ ἐν αὐτῷ] NB, γραφῶν M!, γὰρ αὐτῶν Μ΄, yodgs W.
12. δεύτερον] M*W, δευτέρων M!, item τρίτων. 18. τέταρτον
τὸ διὰ πασῶν] M*W, om. M!. διά (alt.)] om. W. Post διὰ τεσ-
σάρων Μ΄ facit signum rei omissae 4v; add. πέμπτον τὸ διὰ
πασῶν καὶ διὰ πέντε, ἕκτον τὸ δὶς διὰ πασῶν W. 14. αὔξεται)
αὔξει W. 1. δὶς (utrumque) M*, om. M'W. 16. τε] om. W.

INTRODUCTIO HARMONICA 201

diapason, tonorum sex, quale est a proslambomeno ad
mesen, quartum diapason et diatessaron, tonorum octo
semis, quale est a proslambomeno ad neten synemme-
non sive ad paraneten diezeugmenon diatonon; quintum
diapason et diapente, tonorum novem semis, quale est
a proslambomeno ad neten diezeugmenon; sextum dis-
diapason, tonorum duodecim, quale est a proslambo-
meno ad neten hyperbolaeon. [synemmenon autem
systema progreditur usque ad quartum syntonum; pri-
mum enim in eo est diatessaron, secundum diapente,
tertium diapason, quartum diapason et diatessaron.]!)
vocis autem ambitus augetur usque ad octavum conso-
num, quod est diapason et diatessaron atque disdiapa-
son et diapente.) dissona vero sunt et ea, quae sunt
minora quam diatessaron, eb ea, quae sunt inter con-
sona, quae diximus, omnia.

9. Existunt autem etiam formae eiusdem magnitudi-
nis, quae ex iisdem incompositis et eodem numero?) sunt
compositae, si eorum ordo mutationem subeat, cum dis-
simile aliquid insit; ea enim, quae ex aequalibus omni-
bus sive similibus formis constant, mutationem non fa-
ciunt. et diatessaron quidem consonantiae species sunt
ires. prima est, quae barypyenis comprehenditur, qualis
est ab hypate hypaton usque ad hypaten meson; se-

1) Lin. 10 τό — 13 διὰ τεσσάρων Ian putat interpolatoris esse.
v. Mus. Gr. p. 177.

2) Lin. 15 verba δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων καί super-
vacanea esse iudicat Bellermaun ad Anon. p. 73, admodum
suspecta sunt Wilsono l. c. p. 1508q.

3) Genetivo ἀριϑμοῦ lin. 20. suo iure offenditur Wilson
l.c. p. 3887; secundum Aristoxenum p. 74,15 Meibom (p. 108, 16
Marquard) legi vult συγκειμένου μεγέϑ'ει καὶ ἀριϑ'μῷ.

17. τὰ μεταξύ W. 20. συγκείμενα] Μ΄, συγκειμένων M'. si]
om. M!, in ras. W. 21. τάξις Μ΄. 24. ἐστίν] in ras. W. εἴδη]
εἰ — in ras. W. ὑπό] ἀπό. M'W. 25. ὑπάτην μέσων] M3,
ὑπά. των W.

10

15

20

25

208 ΕΙΣΑΓΩΓΉ APMONIKH

τὸ ἀπὸ παρυπάτης ὑπάτων ἐπὶ παρυπάτην μέσων" τρί-
τον δὲ τὸ ὑπὸ ὀξυπύκνων περιεχόμενον, οἷόν ἔστι τὸ
ἀπὸ λιχανοῦ ὑπάτων ἐπὶ λιχανὸν μέσων. ἐν μὲν οὖν
ἁρμονίᾳ καὶ χρώματι πρὸς τὴν τοῦ πυκνοῦ σχέσιν τὰ
σχήματα τῶν συμφώνων λαμβάνεται, ἐν δὲ διατόνῳ ἐπὶ
πυκνοῦ οὐ γίνεται" διαιρεῖται δὲ τὸ γένος τοῦτο εἰς
ἡμιτόνια καὶ τόνους. ὑπάρχει δὲ ἐν τῇ διὰ τεσσάρων
συμφωνίᾳ ἡμιτόνιον μὲν £v, τόνοι δὲ δύο" ὁμοίως δὲ
κἀν τῷ διὰ πέντε ἡμιτόνιον μὲν ἕν, τόνοι δὲ τρεῖς" ἐν
δὲ τῷ διὰ πασῶν ἡμιτόνια μὲν δύο, τόνοι δὲ πέντε"
πρὸς δὲ τὴν τῶν ἡμιτονίων σχέσιν τὰ σχήματα ape ἐς
ται. τοῦ οὖν διὰ τεσσάρων πρῶτον μὲν ἐστιν εἶδος. οὗ
τὸ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ βαρὺ τῶν τόνων κεῖται, δεύτερον
δέ, οὗ πρῶτον ἐπὶ τὸ ὀξὺ, τρίτον, οὗ μέσον τῶν τόνων.
ἔστι δὲ καὶ ταῦτα ὁμοίως τοῖς λοιποῖς γένεσιν ἀπὸ τῶν
αὐτῶν φϑόγγων ἐπὶ τοὺς αὐτούς.

τοῦ δὲ διὰ πέντε τέσσαρά ἐστι σχήματα. πρῶτον
μὲν τὸ ὑπὸ βαρυπύκχνων περιεχόμενον, οὗ πρῶτος ὃ
τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ᾽ ἔστι δὲ ἀπὸ ὑπάτης μέσων ἐπὶ παρα-
μέσην. δεύτερον δὲ τὸ ὑπὸ μεσοπύχνων περιεχόμενον,
οὗ δεύτερος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ ἔστιν ἀπὸ παρυπάτης
μέσων ἐπὶ τρύτην διεξευγμένων. τρίτον δὲ τὲ ὑπὸ ὀξύ-
πύκνων περιεχόμενον, οὗ τρίτος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ"
ἔστι δὲ ἀπὸ rud aed A μέσων ἐπὶ παρανήτην διεξευγμένων.
τέταρτον τὸ ὑπὸ βαρυπύκχνων περιεχόμενον, οὗ πρῶτος
ὁ τόνος ἐπὶ τὸ βαρύ" ἔστι δὲ ἀπὸ μέσης ἐπὶ νήτην
διεξευγμένων ἢ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ ὑπάτην μέ-
σων. ἐν δὲ διατόνῳ πρῶτον μέν ἐστι σχῆμα, οὗ πρῶτον

1. παρυπάτην] M3, ὑπάτων M'W. 3. μέσων) W, μέσον Μ'.
6. δέ] an ydo? Jan. 8. τόνοι] W, τονιαῖα M. 11. πρὸς δὲ
τήν) προσδέοι M!. 14. πρῶτον ἐπὶ τὸ ὀξὺ] ΜΗ, μέσον τῶν
τόνων Μ΄. μέσον] B, μέσων M'W, πρῶτον ἐπὶ τὸ ὀξὺ τῶν τό-
vov Μ΄. 15. ἔστι] ἔχει Μ΄. Ante γένεσιν add. τήν M* mg.

17. τοῦ] τοῦτο M!. 21. ἔστιν] M!, ἔστι δέ cett. — 25. τέταρτον
δέ M*. πρῶτος] Jan, τέταρτος codd. 26. & τ. βαρύ] NB, om.

INTRODUCTIO HARMONICA 209

eunda ea, quae mesopyenis comprehenditur, qualis est

à parhypate hypaton ad parhypaten meson; tertia autem,

"quae oxypyenis eomprehenditur, qualis est a lichano

hypaton ad liehanum meson. atque in harmonia et

-ehromate ad rationem spissi consonorum species su-

muntur, in diatono vero spissum non est; dividitur autem
hoe genus in semitonia et tonos. est autem in diates-
saron eonsonantia semitonium unum, toni duo. eadem
ralione etiam in diapente semitonium unum, soni tres;

-in diapason semitonia duo, toni quinque; ad semitonio-
-rum autem rationem formae considerantur. diatessaron

- igitur eonsonantiae prima est species, cuius semitonium

δά grave tonorum iacet; secunda, cuius primum ad acu-

tum, tertia, cuius tonorum est medium.!) sunt autem

- hae quoque similiter reliquis generibus ab iisdem sonis

ad eosdem.

. diapente consonantiae quattuor sunt formae. prima
est, quae barypyenis comprehenditur, euius tonus pri-
mus iacet ad acutum; est autem a parhypate meson ad
paramesen. secunda est, quae mesopyenis comprehen-
ditur et cuius tonus secundus ad acutum; est autem a

. parhypate meson ad triten diezeugmenon. tertia est,

quae oxypyenis comprehenditur et cuius tonus tertius
ad acutum; est autem a lichano meson ad paraneten
diezeugmenon. quarta est, quae barypyenis comprehen-
ditur et cuius tonus primus ad grave; est autem a
mese ad neten diezeugmenon sive a proslambanomeno
ad hypaten meson. in diatono vero prima est forma,

1) Lin. 12 τοῦ — 14 τόνων. hunc locum apud Meibom con-
fusum primus e coniectura sanavit Boeckh, de metris Pindari
Ῥ. 211.

M!W, ἐ. τ. ὀξύ Μ΄. 27. προσλαμβανομένου] ---ὧν MW. 28. οὗ
πρῶτον — p. 210 lin. 2. δεύτερον ἐπὶ τὸ ὀξύ] om. Μ΄. οὗ πρῶ-
τον] mg. add. m. 1 W.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 14

10

20

25

30

210 ΕΙΣΑΓΩΓΗ APMONIKH

^l * ^- d € LÀ
τὸ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ βαρὺ κεῖται, δεύτερον δέ, οὗ πρῶ-
N P , e [4 3 DW EA 4

τον ἐπὶ τὸ ὀξύ, τρίτον, οὗ δεύτερον ἐπὶ τὸ ὀξύ, τέταρ-
τον, οὗ πρῶτον ἐπὶ τὸ βαρύ.

τοῦ δὲ διὰ πασῶν εἴδη ἐστὶν ἑπτά. πρῶτον μὲν τὸ
ὑπὸ βαρυπύχνων περιεχόμενον, οὗ πρῶτος ὃ τόνος ἐπὶ
τὸ ὀξύ: ἔστι δὲ ἀπὸ ὑπάτης ὑπάτων ἐπὶ παραμέσην,
᾽ » Mare vs M 2 ,
ἐκαλεῖτο δὲ ὑπὸ τῶν ἀρχαίων μιξολύδιον.

δεύτερον τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον, οὗ δεύτε-

ς ΄ M MI 3 Pd NM. εἶ , e /

Qog ὃ τόνος ἐπὶ τὸ OEU: ἔστι δὲ ἀπὸ παρυπάτης ὑπάτων
ἐπὶ τρίτην διεξευγμένων, ἐκαλεῖτο δὲ λύδιον.

τρίτον τὸ ὑπὸ ὀξυπύκνων περιεχόμενον, οὗ τρίτος
ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ: ἔστι δὲ ἀπὸ λιχανοῦ ὑπάτων ἐπὶ
παρανήτην διεξζευγμένων, ἐκαλεῖτο δὲ φρύγιον.

τέταρτον τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμενον, οὗ τέ-

' ,

ταρτος ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ: ἔστι δὲ ἀπὸ ὑπάτης μέσων
ἐπὶ νήτην διεξευγμένων, ἐκαλεῖτο δὲ δώριον.

πέμπτον τὸ ὑπὸ μεσοπύκνων περιεχόμενον, οὗ πέμ-
zvog ὁ τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἔστι δὲ ἀπὸ παρυπάτης μέσων
ἐπὶ τρίτην ὑπερβολαίων, ἐκαλεῖτο δὲ ὑπολύδιον.

ἕχτον τὸ ὑπὸ ὁξυπύκνων περιεχόμενον, οὗ ἕχτος ὃ
τόνος ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἔστι δὲ ἀπὸ λιχανοῦ μέσων ἐπὶ παρα-
νήτην ὑπερβολαίων, ἐκαλεῖτο δὲ ὑποφρύγιον.

ἕβδομον τὸ ὑπὸ βαρυπύκνων περιεχόμενον, οὗ πρῶ-
τος ὃ τόνος ἐπὶ τὸ βαρύ" ἔστι δὲ ἀπὸ μέσης ἐπὶ νήτην
ὑπερβολαίων ἢ ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ μέσην. ἐκα-
λεῖτο δὲ κοινὸν καὶ λοκριστὶ καὶ ὑποδώριον.

ἐν δὲ διατόνῳ πρῶτον μέν ἐστιν εἶδος τὸ διὰ πασῶν,
οὗ πρῶτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ, τέταρτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ
ἐστι τὸ ἡμιτόνιον᾽ δεύτερον δέ, οὗ τρίτον μὲν ἐπὶ τὸ

1 - ᾿ Xue 7, , t ,

βαρύ, πρῶτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ᾽ τρίτον δέ, οὗ δεύτερον

1. κεῖται] W D, om. cett. 8. πρῶτον] τρίτον codd., cf. p. 208
lin. 25. 6. ἔστι δέ] ἤ W. 21. ἐπί (alt.)) M*, ἤ ΜΌΥ.
26. λοκριστί] W, λοκροστί Μ', λοκρικόν M*. καί (alt.)) om. W.

27. διατόνῳ] τῷ ὃ. M*. εἶδός ἐστι W. 238. οὗ] o? M. μὲν

INTRODUCTIO HARMONICA 211

euius semitonium primum ad grave iacet, secunda, cuius
primum ad acutum, tertia, cuius secundum ad acutum,
quarta, euius primum ad grave.

diapason eonsonantiae species sunt septem. ac prima
est, quae barypyenis comprehenditur et cuius tonus
primus est ad acutum; est autem ab hypate hypaton
ad paramesen; appellabatur vero a veteribus mixolydia.

secunda est, quae mesopycnis comprehenditur et cuius
tonus secundus ad aeutum; est autem a parhypate hy-
paton ad triten diezeugmenon; appellabatur vero lydia.

tertia est, quae oxypyenis comprehenditur et cuius
. tonus tertius ad acutum; est autem a lichano hypaton
ad paraneten diezeugmenon; appellabatur vero phrygia.

quarta est, quae barypyenis comprehenditur et cuius
tonus quartus ad acutum; est ab hypate meson ad neten
diezeugmenon; appellabatur vero doria.

quinta est, quae mesopyenis comprehenditur et cuius
tonus quintus ad acutum; est a parhypate meson ad
iriten hyperbolaeon; appellabatur vero hypolydia.

sexta est, quae oxypyenis comprehenditur et cuius
tonus sextus ad acutum; est autem a lichano meson ad
paraneten hyperbolaeon; appellabatur vero hypophrygia.

septima est, quae barypyenis comprehenditur et cuius
tonus primus ad grave; est autem a mese ad neten
hyperbolaeon sive a proslambomeno ad mesen; appella-
batur vero communis et locrensis et hypodoria.!)

in diatono prima species id est diapason, cuius semi-
tonium primum est ad grave, quartum ad acutum; se-
eunda, euius semitonium tertium ad grave, primum ad

1) Ea, quae sequuntur de genere diatono, Jan interpolatori
iribuit; v. Mus. Gr. p. 177.

ἐπὶ τὸ βαρύ] M?, τε καί M! W. δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ ἐστι] ἐπί M' W.
29. τρίτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ] om. M'W. 80. δέ (pr.)]
om. M!W.
14*

10

15

20

25

219 EIZADTQ9DTDH APMONIKH

ἐφ᾽ éxdvsgo τέταρτον δὲ οὗ πρῶτον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ,
τρίτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ" πέμπτον δέ, οὗ τέταρτον μὲν ἐπὶ
τὸ βαρύ, πρῶτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ" ἕκτον δέ, οὗ τρίτον μὲν
ἐπὶ τὸ βαρύ, δεύτερον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ: ἕβδομον δέ, οὗ
δεύτερον μὲν ἐπὶ τὸ βαρύ. τρίτον δὲ ἐπὶ τὸ ὀξύ. ἔστι δὲ
καὶ ταῦτα ἀπὸ τῶν αὐτῶν φϑόγγων ἐπὶ τοὺς αὐτούς,
καϑάπερ ἐπὶ τῆς ἁρμονίας καὶ τοῦ χρώματος, καὶ ἐκα-
λεῖτο τοῖς αὐτοῖς ὀνόμασι.

10. Τῇ δὲ τοῦ ῥητοῦ καὶ ἀλόγου διαφορᾷ διοίδει
συστήματα, ὅσα &x ῥητῶν διαστημάτων σύγκειται, τῶν
ἐξ ἀλόγων. ὅσα μὲν γὰρ ἐκ ῥητῶν ῥητά ἐστιν, ὅσα δὲ ἐξ
ἀλόγων ἄλογα.

τῇ δὲ τοῦ ἑξῆς καὶ ὑπερβατοῦ διαφορᾷ διοίσει συστή-
uova τὰ διὰ τῶν ἑξῆς φϑόγγων μελῳδούμενα τῶν καϑ'
ὑπερβατόν.

τῇ δὲ τοῦ συνημμένου καὶ διεξευγμένου δια-
φορᾷ διοίσει συστήματα, ὅσα διὰ τῶν συνημμένων τε-
τραχόρδων τὴν σύνϑεσιν ἔχει τῶν διὰ τῶν διεζξευγ-
μένων. ἔστι δὲ συναφὴ μὲν δύο τετραχόρδων ἑξῆς μελῳ-
δουμένων, ὁμοίων κατὰ σχῆμα, φϑόγγος κοινός. διάξευ-
ξις δέ ἐστι δύο τετραχόρδων ἑξῆς μελῳδουμένων, ὁμοίων
κατὰ δχῆμα, τόνος ἀνὰ μέσον. εἰσὶ δὲ αἷ πᾶσαι συναφαὶ
τρεῖς" μέση, ὀξυτάτη, βαρυτάτη. καὶ ἔστι βαρυτάτη μὲν
ἡ [ἐκ] τοῦ ὑπάτων καὶ μέσων τετραχόρδου" κοινὸς δὲ
αὐτῇ συνάπτει φϑόγγος ὑπάτη μέσων. μέση δέ ἐστι
συναφὴ ἡ τοῦ μέσων καὶ νητῶν συνημμένων᾽ κοινὸς δὲ
αὐτῇ συνάπτει φϑόγγος μέση. ὀξυτάτη δέ ἐστι συναφὴ

2. τρίτον] τέταρτον W. τέταρτον μέν] πρῶτον M'W.
3. πρῶτον δέ] τέταρτον M!, δεύτερον W. οὗ τρίτον μὲν ἐπὶ
τὸ βαρύ, δεύτερον δέ] in lit. M*. τρίτον] πρότερον W. ὅ. δεύ-
τερον] πρότερον W. αρύ] ὀξύ M'W. τρίτον] πέμπτον Μ΄,
δεύτερον W. ὀξύ] βαρύ W. 6. καί] om. W, item lin. 7 (alt.)

10. τῶν] ἡ (sic) W. 11. γάρ] om. W. ῥητὰ ἐκ Qnvàv
codd. 18. διοίσει] δύοις εἰς (sic) W, item lin. 17. 14. ταὶ]
ins. M', om. W. τῶν (alt)] Jan., τῇ codd. 17. Ante συστή-
ματα add. ὁμοίως W. ὅσα] ἅ W. τῶν] τῶν διέσεων M'W.

INTRODUCTIO HARMONICA 213

- acutum; tertia, cuius semitonium secundum in utramque
partem; quarta, euius semitonium primum ad grave,
lertium ad acutum; quinta, cuius semitonium quartum
ad grave, primum ad acutum; sexta, cuius semitonium
terium ad grave, primum ad acutum; septima, cuius
semitonium secundum ad grave, tertium ad acutum. sunt
autem etiam hae species ab iisdem sonis ad eosdem ut in
harmonia et chromate appellanturque iisdem nominibus.

10. Rationalis autem et irrationalis differentia diffe-
rent systemata, quotquot sunt ex intervallis rationalibus
composita, ab iis, quae ex irrationalibus; nam quotquot

.ex ralionalibus sunt composita, rationalia sunt; quot-
quot ex irrationalibus, irrationalia.

continui et praeposteri differentia different ea syste-
mata, quae per sonos deinceps positos canuntur, ab 118,
quae secundum praeposterum.

eoniuneti autem οὖ disiuncti differentia different
systemata, quotquot per coniuncta tetrachorda compo-
sitionem habent, ab iis, quae per disiuncta. coniunctio
est duorum tetrachordorum, quae deinceps canuntur et
simila sunt specie, sonus communis. disiunetio vero
est duorum tetrachordorum, quae deinceps canuntur
et similia sunt specie, tonus medius. sunt autem con-
junetiones universae tres: media, acutissima, gravis-
sima. atque gravissima est coniunctio- tetrachordi !)
hypaton et meson; communis ei contiguus est sonus
hypate meson. media est coniunctio intervalli meson
et, neton synemmenon; communis ei contiguus est sonus

1) Lin. 24, 26 et yp. 214,1 Wilson l.c. p. 390 praefert ἡ ἐκ;
ante μέσων addit τοῦ.

τῶν τετραχόρδων ΝΥ. 18. διὰ τῶν] om. MW. 22. μέσων W.

24. ἐκ] del. Jan. 2ὅ. αὐτῇ] M'W, αὐτά M?, item lin. 27 et
p.214 lin.2. ὑπάτη — 21. BAS, om. W. 26. 7] Jan,
ἐκ (vel 3) codd., cf. lin. 24 et p. 214 lin. 1, 3. νητῶν] NB,
erasum in M. συνημμένων) -νη Μ΄.

10

15

20

25

30

214 ΕΙΣΑΓΩΓῊ APMONIKH.

ἡ τοῦ διεξευγμένων καὶ τοῦ voxsofoAa(cov' κοινὸς δὲ
αὐτῇ συνάπτει φϑόγγος νήτη διεξευγμένων. διάξευξις
δέ ἐστι μία ἡ τοῦ μέσων καὶ νητῶν διεξευγμένων᾽ κοι-
νὸς δὲ αὐτὰ διαξεύγνυσι τόνος ὁ μεταξὺ μέσης καὶ παρα-
μέσης.

τέλεια δέ ἐστι συστήματα δύο, ὧν τὸ μὲν ἔλαττον,
τὸ δὲ μεῖζον. καὶ ἔστι τὸ μὲν ἔλαττον κατὰ συναφὴν
ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ νήτην συνημμένων. ὑπάρχει
δὲ ἐν αὐτῷ τετράχορδα τρία συνημμένα τάδε' ὑπάτων
μέσων συνημμένων. καὶ τόνος ἀπὸ προσλαμβανομένου
ἐπὶ ὑπάτην ὑπάτων. συμφώνῳ δὲ δρίξεται τῷ διὰ πα-
σῶν καὶ διὰ τεσσάρων.

τὸ δὲ μεῖζόν ἐστι κατὰ διάξευξιν ἀπὸ προσλαμ-
βανομένου ἐπὶ νήτην ὑπερβολαίων. ὑπάρχει δὲ ἐν αὐτῷ
τετράχορδα μὲν τέσσαρα διὰ δυοῖν διεξευγμένα, ἀλλή-
λοις δὲ συνημμένα, τό τε ὑπάτων καὶ μέσων, καὶ διε-
ξευγμένων καὶ ὑπερβολαίων., καὶ ἔτι τόνοι δύο, ὅ cc
ἀπὸ προσλαμβανομένου ἐπὶ ὑπάτην ὑπάτων καὶ ὃ ἀπὸ
παραμέσης ἐπὶ μέσην. συμφώνῳ δὲ διορίέξεταν τῷ δὶς
διὰ πασῶν.

πέντε δὲ ὄντων τετραχόρδων ἐν τῷ ἀμεταβόλῳ συ-
στήματι. ὅπερ ἐστὶν ἐξ ἀμφοῖν τελείοιν σύνϑετον. τὰ
μὲν δύο κοινά ἐστιν ἑκατέρῳ τῶν τελείων, τό τε ὑπάτων
καὶ μέσων ἴδια δὲ τοῦ μὲν χατὰ συναφὴν τὸ νητῶν
συνημμένων, τοῦ δὲ κατὰ διάξευξιν τὸ νητῶν διεξευγμέ-
νῶν καὶ νητῶν ὑπερβολαίων.

11. Τῇ δὲ τοῦ ἀμεταβόλου καὶ ἐμμεταβόλου διοίσει,
xc) ἣν διαφέρει τὰ ἁπλᾶ συστήματα τῶν μὴ ἁπλῶν.
ἁπλᾶ μὲν οὖν ἔστι τὰ πρὸς μίαν μέσην ἡρμοσμένα,
διπλᾶ δὲ τὰ πρὺς δύο, τριπλᾶ δὲ τὰ πρὸς τρεῖς, πολλα-

1. 7] N?, ἡ ἐκ B, ἐκ Ν', 8. ἡ] ἡ ἐκ NB, ἐκ MW. νητῶ:ν]
νη- in lit. M*. 4. αὐτά] αὐτήν W. τόνος] τόπος W. 8. &mó]
om. W, πο M* supra. νήτην)] Μ΄, νήτη Μ'. 12. συμφώνῳ]
τον W. τῷ] τό W, item lin. 19. 16. rs] om. W. 19, συμ-

INTRODUCTIO HARMONICA 215

mese. aculissima est coniunctio tetrachordi diezeug-
menon et hyperbolaeon; communis ei contiguus est
sonus nete diezeugmenon. disiunctio vero est una, dis-
iunetio tetrachordi meson et neton diezeugmenon; com-
munis ea disiungit tonus, qui est inter mesen et para-
mesen.

perfecta systemata sunt duo, quorum unum minus,
alterum maius. ac minus est secundum eoniunctionem
a proslambanomeno ad neten synemmenon. in eo autem
haee insunt tetrachorda tria coniuncta: hypaton meson
synemmenon, et tonus a proslambanomeno ad hypaten
hypaton; terminatur autem intervallo consono diapason
οὐ diatessaron.

maius vero est secundum disiunctionem a proslam-
banomeno ad neten hyperbolaeon. insunt in eo quattuor
tetrachorda, quorum bina sunt a binis disiuncta, inter
se vero coniuncta, hypaton et meson, diezeugmenon et
hyperbolaeon, et praeterea duo toni, alter a proslam-
banomeno ad hypaten hypaton, alter a paramese ad
mesen. terminatur autem intervallo consono disdiapason.

eum quinque sint tetrachorda in systemate immuta-
bili, quod est ex ambobus perfectis compositum, duo
communia sunt utrique perfecto, hypaton et meson;
propria autem systematis secundum coniunctionem neton
synemmenon, systematis vero secundum disiunctionem
neton diezeugmenon et neton hyperbolaeon.

11. Differentia immutabilis et mutabilis different
systemata, qua simplicia a non simplieibus. ac simpli-
eia sunt, quae ad unam mesen harmoniee sunt compo-
sita, duplieia, quae ad duas mesas, triplicia, quae ad

φώνω] e corr. M, συμφώνων M!. διορίξεται)] M'W, ὁρίξεται Μ΄.
21. ἐμμεταβόλω Μ΄. 22. τελείοιν]) δύο τελείων W. 28. £xa-
τέρῳ] N, ἑκατέρων MW. 234. μέσων] add. καὶ διεξευγμέυων W.
τό] Μ᾽, τῶν M!'W. 26. τό] τῶν M'. 80, τρι(πλᾶ) M* in lit.

10

20

25

216 EIZAI'SUH APMONIKH

πλάσια δὲ τὰ πρὸς πλείονας. ἔστι δὲ μέση φϑόγγου

δύναμις, ᾧ συμβέβηκε κατὰ μὲν διάξευξιν ἐπὶ μὲν τὸ
ὀξὺ τόνον ἔχειν ἀσύνϑετον ἀπαϑῆ ὄντα τοῦ συστή-
ματος, ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ δίτονον 1 1 «(τριημιτόνιον ἢ τόνον»
ἀσύνϑετον" κατὰ δὲ συναφήν, ᾧ συμβαίνει τριῶν τετρα-
χόρδων συνημμένων ἤτοι τοῦ μέσου ὀξυτάτῳ εἶναι, ἤτοι
τοῦ ὀξυτάτου βαρυτάτῳ. ἀπὸ δὲ τῆς μέσης καὶ τῶν λοι-
πῶν φϑόγγων αἱ δυνάμεις γνωρίξονται᾽ τὸ γὰρ πῶς
ἔχειν ἕκαστον αὐτῶν πρὸς τὴν μέσην φανερῶς γίνεται.

12, Τόνος δὲ λέγεται τετραχῶς" καὶ γὰρ ὡς φϑόγγος
καὶ ὡς διάστημα καὶ ὡς τόπος φωνῆς καὶ ὡς τάσις. ἐπὶ
μὲν οὖν τοῦ φϑόγγου χρῶνται τῷ ὀνόματι οἱ λέγοντες
ἑπτάτονον τὴν φόρμιγγα, καϑάπερ Τέρπανδρος καὶ Ἴων.
ὁ μὲν γάρ φησιν"

ἡμεῖς TOL τετράγηρυν ἀποστέρξαντες ἀοιδὰν

ἑπτατόνῳ φόρμιγγι νέους κελαδήσομεν ὕμνους.

ὁ 0b

ἑνδεκάχορδε λύρα, δεκαβάμονα τάξιν ἔχοισα

* &L συμφωνούδσας ἁρμονίας τριόδουςφ᾽

πρὶν μέν σ᾽ ἑπτάτονον ψάλλον δὶς τέσσαρα πάντες

Ἕλληνες σπανίαν μοῦσαν ἀειράμενοι.

καὶ ἕτερον δὲ οὐκ ὀλίγοι κέχρηνται τῷ ὀνόματι" ἐπὶ δὲ
τοῦ διαστήματος, ὅταν λέγωμεν ἀπὸ μέσης ἐπὶ παρα-
μέσην τόνον εἶναι.

ὁ ὃὲ ὡς τόπος φωνῆς. ὅταν λέγωμεν δώριον ἢ

8. ἔχειν] ἔχει M'W. ἀπαϑῆ --- 4. δίτονον] om. M. ἀπαϑῆ
ὄντα] Jan, ἀπαϑοῦς Pros W. τοῦ συστήματος] τῆς τῶν γενῶν
διαφορᾶς. malit Jan. 4. ἤ (pr )] ἤτοι σύνϑετον ἤ W. τριη-
μιτόνιον ἢ τόνον] add. Jan. ἢ ἀσύνϑετον) orbe inclusit M*.

8. ci] om. M'W, add. Μ΄. δυνάμεις] δυνάμις M! (corr. M5,
δυνάμει W. 10. ὡς] W, om. cett. 16. χκελαδήσωμεν M.

18. ἑνδεκάχορδε] primus Bergk (Poetae lyr. p. 5793.5, vol. II
p. 253*, ἐν δεκάχορδε M, ἑνδεκαχόρδῳ W. Ante ϑεκαβάμονα
hab. τήν codd., primus delevit G. Hermann. 18. 19. ἔχοισα
ει] ἔχοις ἀεί τάς MW (ἔχεις W) Pena, ἔχουσα τάς Meibom Bergk
Hiller- Crusius (Anth. lyr. 1904 p. 126), ἔχοισα εἰς Wilamowitz

INTRODUCTIO HARMONICA 211

tres, multiplicia, quae ad plures. mese autem est gradus
soni, cui contigit, ut secundum disiunctionem ad acutum
versus tonum habeat incompositum, qui est systematis
expers!) , ad grave versus ditonum aut triemitonium aut
tonum incompositum; secundum coniunctionem vero,
eui contingit, ut trium tetrachordorum eoniunctorum vel
medii sit acutissimus vel acutissimi gravissimus. à mese
ceterorum quoque sonorum gradus cognoscuntur; ut
enim unus quisque eorum ad mesen se habeat, mani-
festum est.

12. Tonus autem dieitur quadrupliciter; ut sonus.
" enim, ut intervallum, ut ambitus vocis, utque tensio.
pro sono igitur hoc nomine utuntur, qui heptatonam
dicunt phorminga, ut Terpander et lon. alter enim nos,
inquit, tebratonum aspernati cantum phorminge hepta-
tona novos sonabimus hymnos.

alter autem: lyra undecim chordarum, decem gradu-
um ordinem habens trivias harmonias consonantes; ante
quidem te pulsabant heptatonam binis tetrachordis omnes
Graeci tenuem cantum tollentes.

et alii non pauci hoe nomine usi sunt; pro intervallo
vero, quando dicimus, a mese ad paramesen esse tonum.

tonus est autem quasi locus vocis, quando dicimus

- MN

1) Wilson l. c. p. 390 Jani coniecturam ἀπαϑῇ ὄντα (lin. 3)
probat; quod idem malit τῆς τῶν γενῶν διαφορᾶς pro τοῦ
συστήματος, improbat; p. 389 emendationem l. 4 τριημιτόνιον ἢ
τόνον superfluere arbitratur; et haec quidem recte.

(Hermes 37 p. 305sq., Timotheus Perser p. 75 adn. 1), £y. εἶ
Diels (Festschrift f. Gomperz p. 11), £y. τρεῖς Fr. Marx, ἔχ. τῶν
(συμφωνουσῶν ἁρμονιῶν) Th. Reinach (Revue des ét. Grecques
XIV p. 18). τριόδους] primus Meibom, τριώδους codd. (o in
ras. m 2 W). 20. zoiv] πλήν W, πρίν supra m. 2. σ᾽]
οὖν W. ψάλον W. δίς] Bergk p. 497! Jan Diels Reinach Fr.
Marx, διά codd., Bergk p. 463? Hiller- Crusius Wilamowitz.

24. εἶναι τόνον W. 25. τόπος ὕταν λέγωμεν φωνῆς codd.

10

15

20

25

218 ΕΙΣΑΓΩΓΉ APMONIKH

goUyiov ἢ λύδιον ἢ τῶν ἄλλων τινά. εἰσὶ δὲ κατὰ
Φριστόξενον vy τόνοι"

ὑπερμιξολύδιος καὶ ὑπερφρύγιος καλούμενος"

μιξολύδιοι δύο. ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὧν ὁ ὀξύ-
τερος καὶ ὑπεριάστιος καλεῖται. ὁ δὲ βαρύτερος καὶ
ὑπερδώριος᾽

λύδιοι δύο, ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὧν ὁ βαρύτερος
καὶ αἰόλιος καλεῖται"

φρύγιοι δύο, ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὧν ὁ βαρύτερος
x«i ἰάστιος καλεῖται"

δώριος εἷς"

ὑπολύδιοι δύο, ὀξύτερος καὶ βαρύτερος, ὃς καὶ ὑπο-
αἰόλιος καλεῖται"

ὑποφρύγιοι δύο, ὧν ὁ βαρύτερος καὶ ὑποιάστιος χκα-
λεῖται"

ὑποδώριος.

τούτων ὀξύτατος μὲν ὃ ζὑπερμιξολύδιος, βαρύτατος
δὲ ὁ ὑπογδώριος᾽ οἱ δὲ ἑξῆς οἵ ἀπὸ τῶν ὀξυτάτων μέχρι
τοῦ βαρυτάτου ἡμιτόνιον ἀλλήλων ὑπερέχοντες, παράλ-
ληλοι δὲ δύο (róvov, οἱ δὲ τρέτοιδ τριημιτόνιον᾽ ἀναλόγως
δὲ ξξει καὶ ἐπὶ τῆς τῶν λοιπῶν τόνων διαστάσεως. ὃ δὲ
ὑπερμιξολύδιος τοῦ ὑποδωρίου τῷ διὰ πασῶν ἔστιν
ὀξύτερος.

ὁ δὲ ὡς τάσις τόνος λέγεται. xa9' ὅ φαμὲν ὀξυ-
τονεῖν τινα ἢ βαρυτονεῖν. ἢ μέσῳ τῷ τῆς φωνῆς τόνῳ
κεχρῆσϑαι.

18. Μεταβολὴ δὲ λέγεται τετραχῶς" καὶ γὰρ κατὰ
γένος καὶ κατὰ σύστημα καὶ κατὰ τόνον καὶ κατὰ μελο-
ποιΐαν. κατὰ μὲν οὖν γένος γίνεται μεταβολή, ὅταν ἐκ

2. τόνοι] W, om. M. 3. ὑπερφρύγιος] ὁ ὑποφρύγιος W.
4. καί om. W. 5. ὑπεριάστιος) corr. ex ὑποιάστιος M.

6. ὑπερδώριος] ὑποδώριος W. 7. ὧν ὁ βαρύτερος] W, ὅς M?,
om. M!. 9. Α καὶ βαρύτερος ad 12 βαρύτερος errant M'!W;

quae cum M* corrigeret, etiam quae praecedunt (a lin. 8 x«-
λεῖται) erasit et litteris minoribus scripsit. 16. x«l ὑπο-

INTRODUCTIO HARMONICA 219

dorium vel phrygium vel lydium vel ceterorum aliquem.
sunt autem secundum Aristoxenum toni tredecim:

hypermixolydius, qui idem hyperphrygius appel-
latur;
"mixolydii duo, acutior et gravior, quorum acutior
eliam hyperastius appellatur, gravior etiam hyperdorius;

lydii duo, aeutior et gravior, quorum gravior etiam
aeolius appellatur;

phrygii duo, acutior et gravior, quorum gravior etiam
lastius appellatur;

dorius unus;

hypolydü duo, acutior et gravior, qui idem hypo-
aeolius appellatur;

hypophrygii duo, quorum gravior etiam hypoiastius
appellatur;

hypodorius.

horum acutissimus est hypermixolydius, gravissimus
hypodorius; toni autem deinceps ab acutissimis usque
ad gravissimum sequentes inter se superant semitonio,
paralleli duo tono, tertii triemitonio; similiter se habe-
bit ceterorum tonorum distantia. hypermixolydius vero
hypodorio consonantia diapason est acutior..

ut tensio autem tonus dicitur, quatenus dicimus,
acuto tono aliquem canere vel gravi vel medio vocis
iono uti.

19, Mutatio dicitur quadrupliciter: secundum genus
enim et secundum systema et secundum tonum et se-
eundum melopoeiam. ac secundum genus fit mutatio,

δώριος W. 17. ὑπερμιξ. — 18. ὑπο in ὑποδώριος] add. Jan.

18 μέχρι] ἄχρι W. 19. ἡμιτονίῳ Μ΄. ὑπερέχοντες ΝΒ,
om. M'W, M? corrigens renovat ἡμιτόνιον --- 20. τριημιτόνιον.
20. τόνον, οἱ δὲ τρίτοι] add. Jan. τριημιτονίῳ M*. 21. δια-
τάσεως W. 22. ὑπερμιξ.) NB, ὑπομιξ. M'W. 28. μελω-
ποιΐαν M!. 29. γίνεται ἡ μεταβολή W.

10

15

20

25

220 EIXAIQ29D'H APMONIKH

διατόνου εἰς χρῶμα ἢ ἁρμονίαν, ἢ ἔκ χρώματος ἢ &g-
μονίας εἴς τι τῶν λοιπῶν μεταβολὴ γένηται. κατὰ
σύστημα δέ, ὅταν ἐκ συναφῆς εἰς διάξευξιν ἢ ἀνάπαλιν
μεταβολὴ γένηται. κατὰ τόνον δέ, ὅταν ἐκ δωρίων sig
φρύγια, ἢ ἐκ φρυγίων sig λύδια ἢ ὑπερμιξολύδια ἢ
ὑποδώρια, ἢ καϑόλου ὅταν ἔκ τινος τῶν δεκατριῶν τό-
νῶν εἴς τινα τῶν λοιπῶν μεταβολὴ γένηται. γένονται
ὃὲ μεταβολαὶ ἀπὸ τῆς ἡμιτονιαίας ἀρξάμεναι μέχρι τοῦ
διὰ πασῶν, ὧν ui μὲν κατὰ σύμφωνα γίνονται διαστή-
ματα, αἷ δὲ κατὰ διάφωνα. τούτων δ᾽ ἐμμελεῖς μὲν αἵ
τὲ χατὰ σύμφωνα γινόμενα διαστήματα καὶ ἡ τονιαία.
τῶν δὲ λοιπῶν αἷ μὲν ἄσσον ἐμμελεῖς ἧττον ἢ ἐκμελεῖς,
et δὲ μδάλον «(ἀπέχουσαι μᾶλλον. ἐν ὅσαις μὲν οὖν αὖ-
τῶν πλείων ἡ κοινωνία, ἐμμελέστεραί (εἰσινδ, ἐν ὅσαις δὲ
ἐλάττων, ἐκμελέστεραι᾽ ἐπειδὴ ἀναγκαῖον πάσῃ μετα-
βολῇ κοινόν τι ὑπάρχειν ἢ φϑόγγον ἢ διάστημα ἢ σύ-
στημα. λαμβάνεται δὲ ἡ κοινωνία καϑ᾽ ὁμοιότητα φϑόγ-
yov: ὅταν γὰρ ἐπ᾽ ἀλλήλους ἐν ταῖς μεταβολαῖς πέσω-
σιν ὅμοιοι φϑόγγοι κατὰ τὴν τοῦ πυκνοῦ μετοχήν,
ἐμμελὴς γίνεται ἡ μεταβολή, ὅταν δὲ ἀνόμοιοι, ἐκμελής.

κατὰ δὲ μελοποιΐαν γίνεται μεταβολή, ὅταν ἐκ
διασταλτικοῦ ἤϑους εἰς συσταλτικὸν ἢ ἡσυχαστικόν. «ἢ
ἐξ ἡσυχαστικοῦ εἴς τι τῶν λοιπῶν ἡ μεταβολὴ γένηται.
ἔστι δὲ διασταλτικὸν μὲν ἦϑος μελοποιΐας, δι οὗ ση-
μαίνεται μεγαλοπρέπεια καὶ δίαρμα ψυχῆς ἀνδρῶδες καὶ
πράξεις ἡρωϊκαὶ καὶ πάϑη τούτοις οἰκεῖα. χρῆται δὲ τού-
τοις μάλιστα μὲν ἡ τραγῳδία καὶ τῶν λοιπῶν ὃὲ ὅσα
τούτου ἔχεται τοῦ χαραχτῆρος. συσταλτικὸν δέ, δι’ οὗ
συνάγεται ἡ ψυχὴ εἰς ταπεινότητα καὶ ἄνανδρον διά-

8. ἡμιτονιαίας] Jan., ἡμιτονίας codd. ἀρξάμεναι) ΝΒ, ἀρξά-
μενος videtur M!, ἀρξαμένης M?W. 10. τούτων δ᾽ ἐμμελεῖς
μέν] W, τούτων 'δ' αἱ μὲν ἐμμ. M*, τούτων ἐμμελεῖς μὲν ἢ ἐκ-
μελεῖς M!, qui errat ad lin. 12. 19. ἄσσον — ἢ] ἧσσον W.
ἧττον] om. M'. 18. ἀπέχουσαι μᾶλλον] add. Jan, πλείων] πλεῖον
M!? 14. ἐν — 15. ἐκμελέστεραι] N B, om. ΜΙ. 16. φϑόγ-

INTRODUCTIO HARMONICA 221

- quando ex diatono in chroma vel harmoniam aut ex
chromate vel harmonia in ceterorum generum aliquod
fit mutatio. secundum systema autem, quando ex con-
iunctione in disiunetionem aut contra fit mutatio. se-
cundum tonum vero, quando ex doriis in phrygia aut
ex phrygis in lydia vel hypermixolydia vel hypodoria,
aut ommino, quando ex aliquo tredecim tonorum in ali-
quem ceterorum fit mutatio. fiunt autem mutationes a
semitoniaea exorsae usque ad diapason, quarum alterae
seeundum consona fiunt intervalla, alterae secundum
dissona. harum sunt concinnae et eae, quae secundum
consona intervalla fiunt, et toniaea. ex ceteris propiores
minus sunt eoncinnae quam inconcinnae, remotiores
magis. in quibus igitur earum communio est maior,
eae concinnlores sunt, in quibus minor, inconcinniores,
quoniam necesse est omni mutationi aliquid esse com-
mune, aut sonum aut intervallum aut systema. sumitur
autem communio secundum similitudinem sonorum; nam
si in mutationibus similes soni alii in alios cadunt se-
eundum spissi societatem, concinna fit mutatio, quando
vero dissimiles, inconcinna.

secundum melopoeiam fit mutatio, quando ex more
diastaltico in systalticum vel hesychasticum aut ex
hesychasticeo in aliquem ceterorum fit mutatio. est autem
diastaltieus melopoeiae mos, quo significatur magni-
ficentia et virile animi robur et res heroicae et adfectus
horum proprii utitur autem iis maxime tragoedia et
ceterorum. quaecumque sunt huie generi vicina. systal-
tieus vero, quo contrahitur animus ad humilitatem et
habitum viro indignum. conveniet talis status adfecti-

yov| corr. ex φϑόγγων M!. 20. δέ] om. Μ΄. ἐκμελής] corr.
ex ἐχμελεῖς Μ΄. 22. διασταλτικοῦ]) Lips.25, διαστατικοῦ M! W,
διαστηματικοῦ M?. συσταλτικόν Μ, συστατικόν Μ'ΝΝ. 28. ἡσυ-
χαστικοῦ) ἡσυχαστικῶν Μ΄. 24. διασταλτικόν)] διαστηματικόν
MW. 26. καὶ πάϑη καί W.

10

15

20

292 ἘΙΣΑΓΩΓΗ APMONIKH

ϑεσιν. ἁρμόσει δὲ τὸ τοιοῦτον κατάστημα τοῖς ἐρωτικοῖς
πάϑεσι καὶ ϑρήνοις καὶ οἴχτοις καὶ τοῖς παραπλησίοις.
ἡσυχαστικὸν δὲ ἦϑός ἐστι μελοποιΐας, ᾧ παρέπεταν ἠρε-
μότης ψυχῆς καὶ κατάστημα ἐλευϑέριόν τε καὶ εἰρηνικόν.
ἁρμόσουσι δὲ αὐτῷ ὕμνοι, παιᾶνες, ἐγκώμια, συμβουλαὶ
καὶ τὰ τούτοις ὅμοια.

14. Μελοποιΐα ἐστὶ χρῆσις τῶν προειρημένων μερῶν
τῆς ἁρμονικῆς καὶ ὑποκειμένων δύναμιν ἐχόντων. δι᾽
ὧν δὲ μελοποιΐα ἐπιτελεῖται, ὃ ἐστιν᾽ ἀγωγή, πλοκή, πετ-
τεία, τονή. ἀγωγὴ μὲν οὖν ἔστιν ἡ διὰ τῶν ἑξῆς φϑόγ-
yov ὃδὸς τοῦ μέλους, πλοκὴ δὲ ἡ ἐναλλὰξ τῶν διαστη-
μάτων ϑέσις παράλληλος, πεττεία δὲ ἡ ἐφ᾽ ἑνὸς τόνου
πολλάκις γινομένη πλῆξις, τονὴ δὲ ἡ ἐπὶ πλείονα χρόνον
μονὴ κατὰ μίαν γινομένη προφορὰν τῆς φωνῆς.

[διάγραμμα δὲ σχῆμα ἐπίπεδον τὰς τῶν μελῳδου-
μένων περιέχον δυνάμεις.

δύναμις δέ ἐστι τάξις φϑόγγου ἐν συστήματι, ἢ δύ-
ναμίς ἐστι τάξις φϑόγγου, δι᾽ ἧς γνωρίξομεν τῶν φϑόγ-
γῶν ἕκαστον.

μελοποιΐα δέ ἐστι χρῆσις τῶν ὑποχειμένων τῇ ἀρμο-
vixi; πραγματείᾳ πρὸς τὸ οἰκεῖον ἑκάστης ὑποϑέσεως.]

οὗτος ὁ ὅρος τῆς κατὰ τὸ ἡρμοσμένον ἐστὶ πραγμα-
τείας.

1. κατάστημα) fuisse vid. καταίστημα Μ'. 7. (προειρη)μέ-
ν(ων) in ras. M. μερῶν --- 8. ὑποκειμένων! W, om. M. 10

om. M!, 11. τῶν vs M. 13. γενομένη W, ilem lin. 14.
15. διάγραμμα — 22. πραγματείας] om. Vat. 1341, 1346. 15. δέ]
insertum vid. M. μελῷδουμένων] ὁμολογουμένων W. 16. δυνά-

INTRODUCTIO HARMONICA 222

bus erotieis et lamentis et miserationibus et similibus.
hesychaticus vero melopoeiae mos est, quem sequitur
tranquillitas animi atque status et liberalis et placidus.
convenient autem ei hymni, paeanes, encomia, consilia
ei his similia.

14. Melopoeia est usus partium harmonicae, quae
anle nominalae sunt quaeque fundamentorum vim ha-
bent. formae autem, quibus melopoela perficitur, sunt
quattuor: agoge, ploce, pettia, tone. atque agoge est
cantilenae per sonos deinceps positos via, ploce vero
alterna intervallorum positio parallela, pettia vero per-
eussio, quae in uno tono fit saepius, tone vero per-
mansio, quae per longius tempus fit secundum unam
prolationem vocis.

[diagramma est figura plana, gradus comprehendens
sonorum, qui canuntur.

gradus est ordo soni in systemate, sive gradus est
ordo soni, per quem cognoscimus unumquemque sono-
rum.

melopoeia est usus eorum, quae tractationi harmoni-
eae subiecta sunt, pro eo, quod est uniuscuiusque ar-
gumenti proprium.]

hie est finis tractationis de compositione harmonica.
ues) δύν 'αμις Μ'. 17. Hoc loco erat in M titulus εἰσαγωγὴ

ἁρμονικὴ εὐκλείδου, sed perfossus est. ἐστι) post συστήματι

hab. W. ἢ] W, ἡ M. 21. vó] om. W.

ir ἘΠΕῚ ἀ Γ΄.

F«

KO TOP HM dad

ut Er "US wc dna iN

Ups ἀπ ἐπ
j ; Σ
S EOQUIALBEAMEM ):5D4):Hd
Σ *
L ἑ 46. ; n^ δ Μ΄
P ὟΝ 4
x] ex δὰ
£99 λ
τε MAXIMAL
"c . Ὁ ὰτὶ
BISIIESAS Oria E
L ) ; r

«
4

: ᾿ m
ἐ ad tac» 3 AIC.
D

&
Lc KOC
4
e
br. €
"
,
εἴ τὰ ΄ ^
'
δὶ
!
i
*
|
"m ] £5
,

FRAGMENTA

COLLEGIT ET DISPOSUIT

J. L. HEIBERG

Inter fragmenta recepi etiam lemmata Pappi ad libros, qui
perierunt. sicubi ab editionibus citatis discessi, scripturam
earum infra indicaui; codicum scripturas raro commemoraui,
nisi ubi eas contra editiones citatas recepi,

os bd d

Περὶ διαιρέσεων.

1. Proelus Comm. in Eucl. p. 08,28 αα. (ed. Friedlein):
Πολλὰ μὲν oov καὶ ἄλλα τοῦ ἀνδρὸς τούτου [Euclidis]
᾿μαϑηματικὰ συγγράμματα ϑαυμαστῆς ἀκριβείας καὶ ἐπι-

1 Rripoveets ϑεωρίας μεστά" τοιαῦτα γὰρ καὶ τὰ Ὀπτικὰ
, x«i τὰ Kovonvouxá, τοιαῦται δὲ καὶ αἵ κατὰ μουσικὴν
στοιχειώσεις, ἔτι δὲ τὸ Περὶ διαιρέσεων βιβλίον.

- Idem ibid. p. 144,188sqq.: δεύτερον δὲ ἀπὸ τῆς ὁλότη-
τὸς τελειοῦται [sc. ὁ τοῦ σχήματος λόγος] τῆς εἰς và
ἀνόμοια μέρη διακρινομένης., ὅϑεν δὴ καὶ αὐτὸς ἑκάστῳ
τῶν εἰδῶν ἐπιφέρει τὸ ὕλον, καὶ τῶν σχημάτων ἕκαστον
εἰς διάφορα αὐτῶν εἴδη τέμνεται. καὶ γὰρ ὁ κύκλος εἰς
| ἀνόμοια τῷ λόγῳ καὶ ἕκαστον τῶν εὐθυγράμμων διαι-
| | gevóv ἐστιν, ὃ καὶ αὐτὸς ὃ Στοιχειωτὴς ἂν ταῖς Ζ]ιαι-
ρέσεσι πραγματεύεται τὸ μὲν εἰς ὅμοια τὰ δοϑέντα δχή-
ματα διαιρῶν. τὸ δὲ εἰς ἀνόμοια.

Ofr. Studien über Euklid p. 36sqq. sine dubio cum
"hoe opere Euclidis adfinitate quadam coniunctus est
- liber III Metricorum Heronis, sed non ita, ut inde Eu-
-elidea peti possint.

2. Cod. Paris. supplement. Arab. 952,2 ed. Woepcke,
Journal Asiatique, 4* série (1851) XVIII p. 233sqq.:

Le traité d'Euclide sur la division.

1. Diviser un triangle donné en deux parties égales
- par une ligne parallele à sa base.

2. Diviser un triangle donné en trois parties égales
- par deux lignes paralléles à sa ὉΒ56:

T

15*

v.v — Y Q2 5. —wPPR—ÉEWKTTOE-

5

E

5

20

25

10

15

20

30

228 FRAGMENTA

ὃ. Diviser un triangle donné en deux parties égales
par une ligne droite menée d'un point donné et situé
sur un des cótés du triangle.

4. Diviser un trapéze donné en deux parties égales
par une ligne paralléle à sa base.

D. Et nous divisons le trapéze donné en trois parties
égales, comme nous venons de diviser le triangle, par
une construction analogue à la construction précédente.

6. Diviser un parallélogramme en deux parties égales
par une ligne droite menée d'un point donné et situé
sur un des cótés du parallélogramme.

1. Couper une partie déterminée queleonque d'un
parallélogramme donné par une ligne droite menée d'un
point donné et situé sur un des cótés du parallélogramme.

8. Diviser un trapéze donné en deux parties égales
par une ligne droite menée d'un point donné et situé
sur le cóté supérieur du trapéze.

9. Couper une partie déterminée d'un trapéze donné
par une ligne droite menée d'un point donné et situé
sur le cóté supérieur du trapéze.

10. Diviser un parallélogramme en deux parties égales
par une ligne droite menée d'un point donné en dehors
du parallélogramme.

11. Couper une partie déterminée d'un parallélo-
gramme par une ligne droite menée d'un point donné
en dehors du parallélogramme.

12. Diviser un trapéze donné en deux parties égales
par une ligne droite menée d'un point qui n'est pas
situé sur le cóté supérieur de ce trapeéze. Il est néces-
saire que ce point ne soit pas situé au delà du point
de concours des deux cótés.

13. Couper une partie déterminée d'un trapéze donné
par une ligne droite menée d'un point donné qui n'est
pas situé sur le cóté supérieur de ce trapeéze. ll est

FRAGMENTA 229

néeessalre que ce point ne soit pas situé au delà du
point de coneours des deux cótés du trapéze.

14. Diviser un quadrilatere donné en deux parties
égales par une ligne droite menée d'un sommet donné
du quadrilatere.

15. Couper une partie déterminée d'un quadrilatére
donné par une ligne menée d'un sommet donné du qua-
drilatére.

16. Diviser un quadrilatére donné en deux parties
égales par une ligne droite menée d'un point donné et
situé sur un des cótés du quadrilatere.

. ΤΊ. Couper une partie déterminée d'un quadrilateére
par une ligne droite menée d'un point donné et situé
sur un des cótés du quadrilatére.

18. Appliquer à une ligne droite un rectangle égal
au rectangle contenu sous les deux droites 4.8, AC, et
défaillant d'un carré.

A E C Z B
| | | | |

Aprés avoir démontré ce que nous venons de dire,
si quelqu'un dit: D'oà vient-il qu'il est impossible d'ap-
pliquer à la ligne AB un rectangle, tel que le rectangle
AE en EB, égal au rectangle AB en AC et défaillant
d'un carré — nous disons: que cela est impossible, parece
que 4} est plus grand que B E, et AC plus grand que
AE, et conséquemment le rectangle ΒΑ en AC plus
grand que le rectangle AE en EB. Done, lorsqu'on
applique à la ligne AB un parallélogramme égal au

15

20

rectangle A4 B en AC, le rectangle AZ en ZB est...) -

19. Diviser un triangle donné en deux parties égales
par une droite qui passe par un point donné et situé
dans l'intérieur du triangle.

1) Lacunam indicauit Woepcke.

30

10

15

2

e

25

30

230 FRAGMENTA

Que le triangle donné soit ABC, et le point donné -

dans l'intérieur de ce triangle D. Nous nous proposons
de faire passer par JD une ligne droite qui divise le
triangle ABC en deux parties égales.

Menons du point D une ligne
parallele à la ligne ΒΟ, laquelle
soit DE, et appliquons à D.E
un rectangle égal à la moitié du
rectangle A.B en BC, lequel soit
TB en ED. Appliquons à la
ligne 7.8 un parallélogramme
égal au rectangle DT en BE et
défaillant d'un carré. Que le rect-
angle appliqué soit le rectangle KZ C
ΒΗ en HT. Menons la droite |
DH et prolongeons-la jusqu'à Z. Je dis qu'alors on
a obtenu la ligne demandée, et que le triangle ABC est
divisé en deux parties égales H ΒΖ et HZC A.

Démonstration. Le rectangle 7T'B en ΒΕ est égal au

rectangle 7H en H D, d'oà il suit BT à TH comme |
HB à BE, donc dividendo TB à BH comme HB à HE.
Mais on ἃ. ΒΗ à HE comme ΒΖ à ED, done TB à BH -
comme ΒΖ à ED. Conséquemment le rectangle T'B en |
ED est égal au rectangle B .H en ΒΖ. Mais le rect-

angle 7B en ED était égal à la moitié du rectangle AB

en BC; et le rectangle DH en ΒΖ est au rectangle AB
en BC comme le triangle HBZ au triangle ABC, parce

que l'angle .B est commun. Ce triangle HBZ est done -

la moitié du triangle ABC. Conséquemment le triangle
A BC est divisé en deux parties égales BHZ et AHZC.

Si, en appliquant à 7'B un parallélogramme égal au
rectangle T'B en B.E et dont le complément est un
carré, nous obtenons le rectangle AB en AT, nous
démontront d'une maniére analogue, en menant la droite

aud "haomd!n um Ad AREAS. AA !aAAAY,

FRAGMENTA 931

AD et en la prolongeant jusqu'à Καὶ, que le triangle
ABK est la moitié du triangle ABC. Et c'est ce qu'il
s'agissait de démontrer.

20. Couper une partie déterminée d'un triangle donné
par une ligne droite menée d'un point donné et situé
dans l'intérieur du triangle.

Que le triangle donné soit ABC et le point donné
dans l'intérieur de ce triangle D. Nous nous proposons
de faire passer par le point D
uneligne droite qui coupe une par-
üe déterminée du triangle A4 BC.

Que la partie déterminée soit
le tiers. Menons du point D
une ligne paralléle à la ligne
BC, laquelle soit D E, et appli-
quons à D E un rectangle égal
au tiers du rectangle A B en BC.
Que ce soit le rectangle ΒΖ en
ED. Appliquons ensuite à Ζ.8 un rectangle égal au
rectangle ZB en DE et défailant d'un carré. Que le
rectangle appliqué soit le rectangle ΒΗ en HZ. Menons
la ligne HD et prolongeons-la jusquà 7. — —

En proeédant comme ci-dessus, on démontrera que le
triangle HT'B est le tiers du triangle A BC; et au moyen
d'une construction analogue à celle-ci, nous divisons le
triangle en des parties queleonques. Mais c'est ce qu'il
s'agissait de démontrer.

21. Qu'on ait quatre lhgnes A, B, C, D, et que le
produit de 4 en D soit plus grand que le produit de
B en C. Je dis que le rapport de 4 à D sera plus grand
que le rapport de C à D.

22. Et lorsque le produit de 4 en D est plus petit
que le produit de 5 en C, je dis que le rapport de A
à B est plus petit que le rapport de C à D.

B TN

2

r2

o

0

30

239 FRAGMENTA

23. Qu'on ait deux lignes droites, et sur ces droites
les points 4, 5, D, E; et que le rapport de 48 à BC
pote A
MRHOMGEENTPE RENE QAI 0000
: me

[——————ÓÓÁr—
soit plus grand que le rapport de DE à EZ. Je dis que

dividendo le rapport de 46 à CB sera plus grand que -

5 le rapport de DZ à ΖΕ.

24. Et d'une maniere parfaitement analogue, je dis -

que lorsque le rapport de AC à CB est plus grand que
le rapport de DZ à Z E, on aura componendo le rap-

port de 4B à BC plus grand que le rapport de DE -

10 à EZ.
25. Supposons encore que le rapport de AB à BC

b C A

5 | ; | | ,
solt plus petit que le rapport de DE à EZ. Dividendo
le rapport de 4C à CB sera plus petit que le rapport
de DZ à ZE.

15 20. Diviser un triangle donné en deux parties égales
par une ligne droite menée d'un point donné et situé
en dehors du triangle.

27. Couper une partie déterminée d'un triangle par
une ligne droite menée d'un point donné et situé en

20 dehors du triangle.

28. Diviser en deux parties égales une figure donnée .
terminée par un are de cercle et par deux lignes droites -

qui renferment un angle donné.

Que la figure donnée soit ABC terminée par lare |
25 BO et par les deux droites 48, AC qui renferment |
l'angle B.AC. Nous nous proposons de mener une ligne -

droite qui divise la figure A4 BC en deux parties égales.

FRAGMENTA 239

Menons la droite BC et divisons-la en deux parties
égales au point .É. Menons du point E une ligne per-
pendiculaire à la ligne BC, laquelle soit EZ, et menons

la droite AE. Alors, parce que

BE est égal à EC, la surface

DBDZE sera égale à la surface

EZC, et le triangle ABE égal

au triangle A EC. Donc la figure
P 4ABZE sera égale à la figure

ZCAE. Alors, 81 la ligne AE
Z est le prolongement de la ligne
| EZ, la figure 40 sera divisée

en deux parties égales ABZ E et CA EZ. &i la ligne
ΑΕ n'est pas le prolongement de la ligne Z.E, nous
joignons .4 et Z par une droite, et menons du point "αὶ
une ligne parallele à la ligne AZ, laquelle soit ET.
Enfin nous menons la droite T'Z. Je dis que la ligne
TZ est celle qu'il s'agissait de trouver, et que la figure
A BC est divisée en deux parties égales, ABZT et
ZCT.

Car, puisque les deux triangles TZA et EZA sont
construits sur la méme base AZ et compris entre les
mémes paralléles AZ, T'E, le triangle ZT.A est égal au
triangle A EZ. Done, en ajoutant à tous les deux la
partie commune AZ B, on aura TZBA égal à ADZE.
Mais cette derniere figure était la moitié de la figure
A B C; conséquemment la droite Z T' est celle qu'il s'agis-
sait d'obtenir, οὐ BZCA est divisé en deux parties égales
ABZT, TZC. Cest ce qu'il s'agissait de démontrer.

29. Mener dans un cercle donné deux lignes paral-
leles et coupant une partie déterminée du cercle.

Que la partie soit le tiers, et le cercle 4 BC. Nous
mous proposons de faire ce qu'on vient de dire.

Construisons le cóté du triangle inscrit à ce cercle.

T

10

15

35

e

10

1

σι

2

[e

25

30

234 FRAGMENTA

Que ce soit AC. Menons les deux droites 41), DO, et.

faisons passer par le point D une ligne paralléle à la
ligne 4C, laquelle soit .D B. Menons la droite .C B, di-
visons l'are .AC en deux par-
lies égales au point £, et me-
nons du point J/ une droite
paralléle à la ligne BC, ]la-
quelle soit ZZ. Enfin me- |
nons la droite A.B. Je dis
qu'on a obtenu deux lignes
paralléles EZ, CB, coupant
un tiers du cercle ABC, à
savoir la figure Z BC E.

Démonstration. La ligne .4C étant parallele à la
ligne 5B, le triangle DAC sera égal au triangle B.AC;
qu'on ajoute à tous les deux une partie commune, à
savoir le segment de cercle AEC; la figure entiere
DAETC sera égale à la figure ΒΑ ΕΟ. Mais la figure
DAEC est le tiers du cercle ABC. Conséquemment la
figure DAEC est également le tiers du cercle. Comme
EZ est parallele à C B, l'are EC sera égal à l'are ΒΖ;
mais on avait .EC égal à EA, done EA égal à ZB.
Ajoutons de part et d'autre l'arc ECB; l'arc entier AB
sera égal à l'arc entier EZ. Conséquemment la droite
AB sera égale à la droite EZ, et le segment de cercle
AECB sera égal au segment de cercle ECBZ. En re-
tranchant le segment commun JC, il reste la figure
EZBC égale à la figure DAEC. Mais la figure BAEC
était le tiers du cercle ABC. Donc la figure EZBC
est le tiers du cercle ABC. Et c'est ce qu'il s'agissait
de démontrer.

Lorsque nous nous proposons de couper d'un cercle
son quart, ou son cinquiéme, ou une autre partie déter-
minée, au moyen de deux lignes paralléles, nous con-

FRAGMENTA 230

struisons dans ce cercle le cóté du carré ou du pentagone
inserit à ce cercle, et nous menons, du centre aux extrémités
de ce cóté, deux lignes droites, comme nous venons de le
faire. La construction sera analogue à ce qui précéde.

30. Diviser un triangle donné par une ligne parallele
à sa base en deux parties, de maniere que le rapport
de l'une des deux parties à l'autre soit égal à ux rap-
port donné [efr. Hero, Metr. III 2].

91. Diviser un iriangle donné par des lignes paral-
leles à sa base en des parties qui ont entre elles des
rapports donnés. |

32. Diviser un trapéze donné par une ligne parallele
à sa base en deux parties, de maniere que le rapport de
l'une de ces parties à l'autre soit égal à un rapport donné.

39. Diviser un trapeze donné par des lignes paral-
leles à sa base en des parties qui ont entre elles des
rapports donnés.

34. Diviser un quadrilatere donné par une droite
menée d'un sommet donné du quadrilatére en deux par-
ties, de maniere que le rapport de l'une de ces parties
à l'autre soit égal à un rapport donné.

35. Diviser un quadrilatere donné par des droites
menées d'un sommet donné du quadrilatére en des pa:-
lies qui ont entre elles des rapports donnés.

96. Ayant résolu ce qui précéde, nous sommes en
état de diviser un quadrilatere donné suivant un rap-
port donné, ou suivant des rapports donnés, par une
droite, ou par des droites, menées d'un point donné et
situé sur un des cótés du quadrilatéere, en ayant égard
aux conditions mentionnées ci-dessus.

Ein du traité. Nous nous sommes borné à donner
les énoncés sans les démonstrations, parce que les dé-
monstrations sont faciles.

Cfr. Studien über Euklid p. 14 sqq.

10

15

20

30

10

15

20

236 FRAGMENTA

Ψευδάρια.

3. Proclus Comm. in Eucl. p. 10,1 85ᾷᾳ. (ed. Fried-
lein): ᾿Επειδὴ δὲ πολλὰ φαντάξεται μὲν ὡς τῆς ἀληϑείας
ἀντεχόμενα καὶ ταῖς ἐπιστημονικαῖς ἀρχαῖς ἀκολου-
ϑοῦντα, φέρεται δὲ εἰς τὴν ἀπὸ τῶν ἀρχῶν πλάνην καὶ
τοὺς ἐπιπολαιοτέρους ἐξαπατᾷ, μεϑόδους παραδέδωκεν
[sc. Euclides] καὶ τῆς τούτων διορατικῆς φρονήσεως,
ἃς ἔχοντες γυμνάξειν μὲν δυνησόμεϑα τοὺς ἀρχομένους
τῆς ϑεωρίας ταύτης πρὸς τὴν εὕρεσιν τῶν παραλογισ-
μῶν, ἀνεξαπάτητοι δὲ διαμένειν. καὶ τοῦτο δὴ τὸ σύγ-
γραμμα, δι’ οὗ τὴν παρασκευὴν ἡμῖν ταύτην ἐντέϑησι,
Ψευδαρίων ἐπέγραψεν τρόπους τὲ αὐτῶν ποικίλους ἐν
τάξει διαριϑμησάμενος καὶ καϑ' ἕκαστον γυμνάσας ἡμῶν
τὴν διάνοιαν παντοίοις θεωρήμασι καὶ τῷ ψεύδει τὸ
ἀληϑὲς παραϑεὶς καὶ τῇ πείρα τὸν ἔλεγχον τῆς ἀπάτης
συναρμόσας. τοῦτο μὲν οὖν τὸ βιβλίον καϑαρτικόν
ἐστι καὶ γυμναστικόν.

Cfr. Pseudo- Alexander siue Michael Ephesius in
Aristot. Soph. Elenchos p. 16, 20 (ed. Wallies):
μόνον δὲ τοὺς μὴ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν ὡρμημένους τῆς
ἐπιστήμης, ὑφ᾽ ἥν ἐστι τὸ πρόβλημα, δοκοῦντας δὲ εἶναι,
ψευδεῖς ἐλέγχους φησίν, ἀλλὰ καὶ τοὺς ἔκ τῶν οἰκείων
μὲν τῆς ἐπιστήμης ἀρχῶν, κατά τι δὲ παραλογιξομένους,
οἷά εἰσι τὰ τοῦ Εὐκλείδου ψευδογραφήματα. Scholia
in Platonis Theaet. 191 Ὁ (p. 248 ed. Hermann): ἐπειδὰν
ἡμᾶς ἐρωτᾷ περὶ τῶν ἔξω τῆς αἰσϑήσεως, εἰ δυνατὸν
συστῆναι ψευδοδοξίαν., οἷον ἐπὶ τῶν παρὰ τοῖς γεωμέ-
τραις καλουμένων ψευδαρίων.) οὐ γὰρ διὰ μῖξιν αἱ-
σϑήσεως ψευδογραφοῦσιν.5)

1) ψευδαριϑμῶν codd., corr. Ruhnken.

2) Quae de excerptis Alexandri apud Simplicium in Phys.
Arist. I p. 54sq. ed. Diels (cfr. I p. 54, 11 ἐπί τινων ἐν γεω-
μετρίᾳ ψευδογραφημάτων) suspicatur Paulus Tannery Bull. d.

FRAGMENTA 291

Πορίσματα.

«-

. 4. Proclus Comm. in Eucl. p. 212,125αα.: Τὸ δὲ πό-
οισμα λέγεται μὲν καὶ ἐπὶ προβλημάτων τινῶν, oiov và
Εὐκλείδῃ γεγραμμένα πορίσματα, λέγεται δὲ ἰδίως, ὅταν
ἐκ τῶν ἀποδεδειγμένων ἄλλο τι συναναφανῇ ϑεώρημα
μὴ προϑεμένων ἡμῶν. ὃ x«i διὰ τοῦτο πόρισμα κεκλή-
κασιν ὥσπερ τι κέρδος ὃν τῆς ἐπιστημονικῆς ἀποδείξεως
πάρεργον.

Idem ibid. p. 301,21sqq.: "Ev τι τῶν γεωμετρικῶν
ἐστιν ὀνομάτων τὸ πόρισμα. τοῦτο δὲ σημαίνει διττόν"
- φίχλοῦσι γὰρ πορίσματα, καὶ ὅσα ϑεωρήματα συγκατα-
σχευάζεται ταῖς ἄλλων ἀποδείξεσιν οἷον ἕρμαια καὶ
κέρδη τῶν ζητούντων ὑπάρχοντα, xoci ὅσα ζητεῖται μέν,
εὑρέσεως δὲ χρήξει καὶ οὔτε γενέσεως μόνης οὔτε ϑεω-
ρίας ἁπλῆς. ὅτι μὲν γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ πρὸς τῇ
βάδει ἴσαι, ϑεωρῆσαι δεῖ, καὶ ὄντων δή τινῶν 1) πραγ-
μάτων ἐστὶν ἡ τοιαύτη γνῶσις, τὴν δὲ γωνίαν δίχα
τεμεῖν ἢ τρίγωνον συστήσασϑαιν ἢ ἀφελεῖν ἢ προσϑέ-
σϑαι 3), ταῦτα πάντα ποίησίν τινος ἀπαιτεῖ" τοῦ δὲ δο-
ϑέντος xóxAov τὸ κέντρον εὑρεῖν ἢ δύο δοϑέντων συμ-
μέτρων μεγεϑῶν τὸ μέγιστον καὶ κοινὸν μέτρον εὑρεῖν
ἢ ὅσα τοιάδε μεταξύ πώς ἐστι προβλημάτων καὶ ϑεωρη-
μάτων. οὔτε γὰρ γενέσεις εἰσὶν ἐν τούτοις τῶν ξητου-
μένων. ἀλλ᾽ εὑρέσεις, οὔτε ϑεωρία ψιλή δεῖ γὰρ ὑπ᾽
ὄψιν ἀγαγεῖν καὶ πρὸ ὀμμάτων ποιήδσασϑαι τὸ ξητού-
μὲξνον. τοιαῦτα ἄρα ἐστὶν καί, ὅσα Εὐκλείδης πορίσματα
γέγραφε y βιβλία Πορισμάτων συντάξας. ἀλλὰ περὶ
μὲν τῶν τοιούτων πορισμάτων παρείσϑω λέγειν.

sc. math. 2* série VI p. 147, ut sunt ueri similia, ita non tam
certa esse existimo, ut excerpta illa inter fragmenta operis
Euclidiani recipere audeam.

1) τινων] τῶν codd.

2) προσϑέσϑαι) ϑέσϑαι codd.

10

15

20

25

10

238 FRAGMENTA

Cfr. seholia in Eucl.I nr. 61 et 62 (V p. 144 ;9sqq,,
p. 146, 19 sqq.).))

5. Pappus Zvvoy. VIL ὃ p. 636, 18sqq. (ed. Hultsch):
Τῶν δὲ προειρημένων τοῦ &voAvouévov βιβλέων ἡ v&-
ξις ἐστὶν τοιαύτη: Εὐκλείδου ΖΙεδομένων βιβλίον «,
Ἀπολλωνίου 4óyov ἀποτομῆς B, Χωρίου ἀποτομῆς B,
Ζιωριθμένης τομῆς δύο, Ἐπαφῶν δύο, Εὐκλείδου Ποριό-
μάτων τρία κτλ. ὼ

Idem ibid. VII 18 p. 648, 185sqq.:

Μετὰ δὲ τὰς ᾿Επαφὰς ἐν τρισὶ βιβλίοις Πορίσματᾷ
ἐστιν Εὐκλείδου, πολλοῖς ἄϑροισμα φιλοτεχνότατον εἰς
τὴν ἀνάλυσιν τῶν ἐμβριϑεστέρων προβλημάτων, καὶ τῶν
γενῶν ἀπερίληπτον τῆς φύσεως παρεχομένης πλῆϑος οὐ-

᾿ δὲν προστεϑείκασι τοῖς ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσι πρώ-

1ὅ

20

vOv, χωρὶς si μή τινὲς τῶν πρὸ ἡμῶν ἀπειρόκαλοι
δευτέρας γραφὰς ὀλίγοις αὐτῶν παρατεϑείχασιν ἕχά-
στου μὲν πλῆϑος ὡρισμένον ἔχοντος ἀποδείξεων. ὡς
ἐδείξαμεν, τοῦ δ᾽ Εὐκλείδου μίαν ἑκάστου ϑέντος τὴν
μάλιστά πὼς ἐμφαίνουσαν. ταῦτα δὲ λεπτὴν καὶ φυσι-
κὴν ἔχει ϑεωρίαν καὶ ἀναγκαίαν καὶ καϑολικωτέραν καὶ
τοῖς δυναμένοις ὁρᾶν καὶ πορίζειν ἐπιτερπῆ. ἅπαντα
δὲ αὐτῶν τὰ εἴδη οὔτε ϑεωρημάτων ἐστὶν οὔτε προ-
βλημάτων, ἀλλὰ μέσον πὼς τούτων ἐχούσης ἰδέας, ὥστε
τὰς προτάσεις αὐτῶν δύνασϑαν σχηματίξεσϑαν ἢ ὡς

— -------.- -

1) Hine confirmatur scriptura βιβλία Πορισμάτων (προβλη-
μάτων codd. Procli) u. V p. 144,235; 146,34. sed γέγραφξν pro
γέγραφε γ΄ cum codd. Procli habuerunt scholiastae.

11. πολλοῖς] del. Hultsch. 12. καὶ] del. Hultsch. 18, οὐδὲν]
et sqq. ad ἐπιτερπῆ lin. 21 del. Hultsch. 18. ἑκάστου) ἑκάστοτε
Hultsch. 19. zog ἐμφαίνουσαν) ,ἀπεμφαίνουσαν cod., ὑπεμφαί-
νουσαν Halley, Hultsch. 23. ὥστε — p.289,1 προβλημάτων]
del. Hultsch.

FRAGMENTA | 299

ϑεωρημάτων ἢ ὡς προβλημάτων, παρ᾽ ὃ καὶ συμβέβηκε
τῶν πολλῶν γεωμετρῶν τοὺς μὲν ὑπολαμβάνειν αὐτὰ
εἶναν τῷ γένει ϑεωρήματα τοὺς δὲ προβλήματα ἀποβλέ-
zovv«g εἰς τὸ σχῆμα μόνον τῆς προτάσεως. τὴν δὲ δια-
φορὰν τῶν τριῶν τούτων ὅτι βέλτιον ἤδεσαν οἵ ἀρχαῖοι,
δῆλον ἐκ τῶν ὅρων. ἔφασαν γὰρ. ϑεώρημα μὲν εἶναι τὸ
προτεινόμενον sig ἀπόδειξιν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου,
πρόβλημα δὲ τὸ προβαλλόμενον εἰς κατασκευὴν αὐτοῦ
τοῦ προτεινομένου, πόρισμα δὲ τὸ προτεινόμενον εἰς
ποριόμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου. μετεγράφη δὲ οὗ-
τος ὃ τοῦ πορίσματος ὅρος ὑπὸ τῶν νεωτέρων μὴ Óv-
ψαμένων ἅπαντα πορίζειν. ἀλλὰ συγχρωμένων τοῖς στοι-
χείοις τούτοις καὶ δεικνύντων αὐτὸ μόνον τοῦϑ'᾽, ὅτι
ἔστι τὸ ζητούμενον. μὴ ποριζόντων δὲ τοῦτο καὶ ἐλεγχο-
μένων ὑπὸ τοῦ ὅρου καὶ τῶν διδασκομένων. ἔγραψαν
δὲ ἀπὸ συμβεβηκότος οὕτως πόρισμά ἐστιν τὸ λεῖπον
ὑποϑέσει τοπικοῦ ϑεωρήματος. τούτου δὲ τοῦ γένους
τῶν πορισμάτων εἶδός ἐστιν οἱ τόποι καὶ πλεονάξουσιν
ἐν τῷ ἀναλυομένῳ᾽ κεχωρισμένον δὲ τῶν πορισμάτων
ἤϑροισται καὶ ἐπιγράφεται καὶ παραδίδοται διὰ τὸ πο-
λύχυτον εἶναι μᾶλλον τῶν ἄλλων εἰδῶν [τῶν γοῦν τό-
zv ἐστὶν ἃ μὲν ἐπιπέδων ἃ δὲ στερεῶν ἃ δὲ γραμμι-
κῶν xci ἔτι τῶν πρὸς μεσότητας]. συμβέβηκε δὲ καὶ
τοῦτο τοῖς πορίσμασιν τὰς προτάσεις ἔχευν ἐπιτετμη-
μένας διὰ τὴν σκολιότητα πολλῶν συνήϑως συνυπα-
κουομένων᾽ ὥστε πολλοὺς τῶν γεωμετρῶν ἐπὶ μέρους
ἐχδέχεσϑαι, τὰ δὲ ἀναγκαιότερα ἀγνοεῖν τῶν σημαινομέ-
νῶν. περιλαβεῖν δὲ πολλὰ μιᾷ προτάσει ἥκιστα δυνατὸν
ἐν τούτοις διὰ τὸ καὶ αὐτὸν Εὐκλείδην οὐ πολλὰ ἐξ
ἑχάστου εἴδους τεϑεικέναι. ἀλλὰ δείγματος ἕνεκα ἐκ τῆς

10. μετεγράφη --- 38. μεσότητας] del. Hultsch. 28. περι-
λαβεῖν — Ῥ. 340, 8 πλῆϑος] del. Hultsch.

10

16

20

25

30

10

15

20

25

240 FRAGMENTA

πολυπληϑείας £v ἣ ὀλίγα. πρὸς ἀρχῇ δὲ ὅμως τοῦ πρώ-
του βιβλίου τέϑεικεν ὁμοειδῆ τινα ἐκείνου τοῦ δαψι-
λεστέρου εἴδους τῶν τόπων ὡς i τὸ πλῆϑος. διὸ καὶ περι-
λαβεῖν ταύτας μιᾷ προτάδει ἐνδεχόμενον εὑρόντες οὕ-
τῶς ἐγράψαμεν" ἐὰν ὑπτίου ἢ παρυπτίου τρία τὰ ἐπὶ μιᾶς
σημεῖα ἢ παραλλήλου τῆς ἑτέρας τὰ δύο δεδομένα T, τὰ
δὲ λοιπὰ πλὴν ἑνὺς ἅπτηται ϑέσει δεδομένης εὐϑείας, καὶ
τοῦϑ᾽ ἅψεται ϑέσει δεδομένης εὐθείας. τοῦτ᾽ ἐπὶ τεσσά-
ρῶν μὲν εὐθειῶν εἴρηται μόνων, ὧν οὐ πλείονες ἢ δύο
διὰ τοῦ αὐτοῦ σημείου εἰσίν, ἀγνοεῖται δὲ ἐπὶ παντὸς
τοῦ προτεινομένου πλήϑους ἀληϑὲς ὑπάρχον οὕτως λε-
γόμενον ... τὸν δὲ Στοιχειωτὴν οὐκ εἰκὸς ἀγνοῆσαι
τοῦτο. τὴν δ᾽ ἀρχὴν μόνην τάξαι. καὶ ἐπὶ πάντων δὲ
τῶν πορισμάτων φαίνεται ἀρχὰς καὶ σπέρματα μόνα
πλήϑει πολλῶν χαὶ μεγάλων καταβεβλημένος, ὧν τὰ
γένη οὐ χατὰ τὰς τῶν ὑποϑέσεων διαφορὰς διαστέλ-
Asw δεῖ, ἀλλὰ κατὰ τὰς τῶν συμβεβηκότων καὶ ξητου-
μένων. αἱ μὲν yàg ὑποϑέσεις ἅπασαι διαφέρουσιν ἀλλή-
λων εἰδικώταταν οὖσαι, τῶν δὲ συμβαινόντων καὶ ξη-
τουμένων ἕκαστον ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ὃν πολλαῖς ὑποϑέσεσι
διαφόροις συμβέβηκε. ποιητέον οὖν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ
βιβλίῳ ταῦτα τὰ γένη τῶν ἐν ταῖς προτάσεσι ξητου-
μένων" ἐν ἀρχῇ μὲν τοῦ βιβλίου διάγραμμα τοῦτο᾽

ἐὰν ἀπὸ δύο δεδομένων σημείων πρὸς ϑέσει δεδομέ-
vqv εὐθεῖαι κλασϑῶσιν. ἀποτέμνῃ δὲ μία ἀπὸ ϑέδει

1. ἕν ἢ] Littré, ἐν ἧι cod.; ἔνια Breton, Hultsch. ἀρχῇ]
ἀρχὴν cod., Hultsch. δὲ ὅμως uel δὲ μόνον ego, δεδομένον
sequente lacuna cod., del. Hultsch. 2. τινα] πᾶν cod., πάντ᾽
Hultsch. 6. ἢ — τὰ (pr.)) del. Hultsch. τῆς ἑτέρας] ἕτερα cod.,
Hultsch. δύο] om. cod., add. Hultsch cum Simsono. 11. λεγό-
i8vov] quae sequuntur, ad librum Euclidis illustrandum non
pertinent. 1. πλήϑει] πληϑῶν cod. et Hultsch, qui πληϑῶν
— μεγάλων del. 18. αἱ — 21. συμβέβηκε) del. Hultsch,
18. γὰρ] om. cod., Hultsch. 21. συμβέβηκε) Halley, SURE
τῶι ταῦτα REL cod. : συμβέβηκε διαιρεῖσθαι Hultsch. 23.
— τοῦτο] del. Hultsch. βιβλίου] ξ΄ cod., Hultsch.

FRAGMENTA 241

δεδομένης εὐθείας πρὸς τῷ ἐπ᾽ αὐτῆς δεδομένῳ σημείῳ.
ἀποτεμεῖ καὶ ἣ ἑτέρα ἀπὸ ἑτέρας λόγον ἔχουσαν δὸο-
ϑέντα᾽"

ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς"

L ὅτι τόδε τὸ σημεῖον ἅπτεται ϑέσει δεδομένης εὐ-
ϑείας.

II. ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς τήνδε δοϑ δίς.

IIL ὅτι λόγος τῆσδε πρὸς ἀποτομήν.

IV. ὅτι ἥδε ϑέσει δεδομένη ἐστίν.

V. ὅτι ἥδε ἐπὶ δοϑὲν νεύει.

VI. ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ἕως δὸο-
ϑέντος.

VII. ὅτι λόγος τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε κατηγμένην.

VIII. ὅτι λόγος τοῦδε τοῦ χωρίου πρὸς τὸ ὑπὸ δοϑείσης
καὶ τῆσδε.

ΙΧ. ὅτι τοῦδε τοῦ χωρίου ὃ μέν τι δοϑέν ἐστιν, ὃ δὲ
λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.

X. ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετά τινος χωρίου δο-
ϑέν ἐστιν, ἐκεῖνο δὲ λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.

XL ὅτι 5, μεϑ᾽ ἧς πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα,
᾿ λόγον ἔχει πρός τινα ἀπὸ τοῦδε ξως δοϑέντος.

XIL ὅτι τὸ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆσδε ἴσον ἐστὶν τῷ
ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ἀπὸ τοῦδε ἕως δοϑέντος.

XIII. ὅτι λόγος τῆσδε καὶ τῆσδε πρός τινα ἀπὸ τοῦδε
ξἕως δοϑέντοος.

XIV. ὅτι ἦδε ἀποτέμνει ἀπὸ ϑέσει δεδομένων δοϑὲν
περιεχούσας.

Ἔν δὲ τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ ὑποϑέσεις μὲν ἕτεραι, τῶν
δὲ ζητουμένων τὰ μὲν πλείονα τὰ αὐτὰ τοῖς ἐν τῷ πρώ-
τῷ βιβλίῳ, περισσὰ δὲ ταῦτα"

18, δοϑέν] δοϑέντος cod., Hultsch. 20. ἡ] ἤδε cod., del.
Hultsch. 22. δοϑείσης) δοϑέντι cod.; δοϑέντος Halley,
Hultsch. 28. δοϑείσης) δοϑέντι cod.; δοϑέντος Halley, Hultsch.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. -: 16

10

15

20

25

30

10

20

2ὅ

249 FRAGMENTA

Rl ,

XV. ὅτι τόδε τὸ χωρίον ἢ τόδε μετὰ δοϑέντος λόγον
ἔχει πρὸς ἀποτομήν.

XVL. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς ἀποτομήν.

XVIL ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ συναμφοτέρων τῶνδε καὶ
συναμφοτέρων τῶνδε πρὸς ἀποτομήν.

XVIIL. ὅτι τὸ ὑπὸ τῆσδε καὶ συναμφοτέρου τῆσδε vc
καὶ τῆς, πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα. καὶ τὸ ὑπὸ
τῆσδε καὶ τῆς, πρὸς ἣν ἥδε λόγον ἔχει δοϑέντα, λόγον
ἔχει πρὸς ἀποτομήν.

XIX. ὅτι λόγος συναμφοτέρου πρός τινα ἀπὸ τοῦδε
ξως δοϑέντος.

XX. ὅτι δοϑὲν τὸ ὑπὸ τῶνδε.

Ἔν δὲ τῷ τρίτῳ βιβλίῳ αἱ μὲν πλείονες ὑποϑέσεις ἐπὶ
ἡμικυκλίων εἰσίν. ὀλίγαι δὲ ἐπὶ κύκλου καὶ τμημάτων,
τῶν δὲ ξητουμένων τὰ μὲν πολλὰ παραπλήσια τοῖς &u-
σίροσϑεν, περισσὰ δὲ ταῦτα"

XXI. ὅτι λόγος τοῦ ὑπὸ τῶνδε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶνδε.

XXII. ὅτι λόγος τοῦ ἀπὸ τῆσδε πρὸς ἀποτομήν.

XXIII. ὅτι τὸ ὑπὸ τῶνδε τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς
ἀπὸ τοῦδε ἕως δοθέντος.

XXIV. ὅτι τὸ ἀπὸ τῆσδε τῷ ὑπὸ δοϑείδης καὶ ἀπο-
λαμβανομένης ὑπὸ καϑέτου ἕως δοϑέντος.

XXV. ὅτι συναμφότερος ἥδε καὶ πρὸς ἣν ἥδε λόγον
ἔγχει δοϑέντα λόγον ἔχει πρὸς ἀποτομήν.

XXVI. ὅτι ἔστιν τι δοϑὲν σημεῖον, ἀφ᾽ οὗ αἱ ἐπι-
ξευγνύμεναι ἐπὶ τούσδε δοϑὲν περιέξουσι τῷ εἴδει τρί-
γωνον.

XXVII. ὅτι ἔστιν τι δοϑὲν σημεῖον, ἀφ᾽ οὗ αἱ ἐπι-
ξευγνύμεναι ἐπὶ τόνδε ἴσας ἀπολαμβάνουσι περιφερείας.

11. δοϑέντος] δοϑέντος ἀποτομήν suspicatur Hultsch.
15. παραπλήσια] παραπλησίως cod., Hultsch.

FRAGMENTA 243

XXVIII. ὅτι ἥδε ἤτοι παρὰ ϑέσει ἐστὶν ἢ μετά τινος
εὐθείας ἐπὶ δοϑὲν νευούσης δοθεῖσαν περιέχει γω-
νίαν.

ἔχει δὲ τὰ τρία βιβλία τῶν Πορισμάτων λήμματα Ax,
αὐτὰ δὲ ϑεωρημάτων ἐστὶν ροα.

De hoe loco cfr. Studien über Eukl. p. 64 sqq.
p. (2 sqq.

6. Pappus ΖΣυναγ. VII 193 p. 866, 18qq.

Lemmata ad Porismata.
Ποριδσμάτων c ff y.
Τοῦ πρώτου sig τὸ πρῶτον πόριδσμα.

α΄. Ἔστω καταγραφὴ ἡ 48 ΓΖ ΕΖΗ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ
“412 πρὸς τὴν ZH, οὕτως 1
AZ πρὸς τὴν 41. καὶ ἐπε-
ξεύχλϑω ἡ OK ὅτι παράλ-
ληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.

ἤχϑω διὰ τοῦ Z τῇ B4
παράλληλος ἡ ZA.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν. ὡς ἡ AZ
πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ Az
πρὸς τὴν Z1, ἀνάπαλιν καὶ
συνϑέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν.
ὡς ἡ ZA πρὸς τὴν AZ, τουτ-
ἕστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ
ΒΑ πρὸς τὴν 44. οὕτως ἡ I:4 πρὸς τὴν AH* παρ-

-——— MÀ ——

1. ἥδε ἤτοι] Hultsch in indice s. v. παράϑεσις, ἡδεντοι cod.,
ἥδε ἤτοι ἐν Halley.
Te

1

L2
Qt

Qt

0

10

15

20

25

244 FRAGMENTA

ἄλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AH τῇ BI. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ EB
πρὸς τὴν BA, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ.
ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἐν παραλ-
λήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν KZ: καὶ ὡς ἄρα ἡ EK πρὸς τὴν
KZ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα
ἐστὶν ἣ ΘΚ τῇ AI.

Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως" ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ AZ
πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν 21, ἀνάπαλέν
ἐστιν. ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ZA, οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν
ZA. συνϑέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἔστιν, ὡς
ἡ 4144 πρὸς τὴν AZ, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν ΓΗ͂. ἀλλ᾽ ὃ
μὲν τῆς A44 πρὸς τὴν AZ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς AB
πρὸς τὴν BE καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν KZ, ὃ δὲ τῆς
4Γ πρὸς τὴν ΓΗ ἔκ τε τοῦ τῆς AB πρὸς τὴν BE καὶ
τοῦ τῆς EO πρὸς τὴν ΘΗ ὃ ἄρα συνημμένος λόγος
ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ AB πρὸς τὴν BE, καὶ ἡ EK πρὸς
τὴν KZ, ὃ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ £x τε τοῦ, ὃν ἔχει
ἡ 48 πρὸς τὴν BE, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν OH. καὶ κου-
νὸς ἐκκεκρούσϑω ὃ τῆς 4B πρὸς τὴν BE λόγος" λοιπὸν
ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς
ΕΘ πρὸς τὴν OH. παράλληλος ἄρα ἐστὶν 7) OK τῇ 4Γ.

Eig τὸ δεύτερον πόρισμα.

B. Καταγραφὴ ἡ ABIAEZHO, ἔστω δὲ παράλληλος
ἡ AZ τῇ 4B, ὡς δὲ ἡ AE πρὺς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ͂
πρὸς τὴν HZ: ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, K, Z.

ἤχϑω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν AE ἡ HA, καὶ ἐπιξευχ-
ϑεῖσα ἣ OK ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ Ζ.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν. ὡς ἡ AE πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ
πρὸς τὴν HZ, ἐναλλάξ ἐστιν. ὡς ἡ AE πρὸς τὴν IH,

2. ἡ ΕΘ — ὃ. παραλλήλῳ] addidi, om. cod., 7, ΕΚ πρὸς τὴν
KZ xoci ἡ EO πρὸς τὴν OH: καὶ ὡς ἄρα κτλ. Hultsch cum

Commandino. 19. AB — 14. τοῦ τῆς] addidi; om. cod.,
Hultsch.

adii uc c CE dil an

FRAGMENTA 245

οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν ZH. ὡς δὲ ἡ AE πρὸς τὴν ΓΗ,
οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν HA: καὶ ὡς ἀρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν

2 Β

4 E I H Z

ZH, οὕτως ἡ EG πρὸς τὴν HA. καί ἐστι παράλληλος
ἡ EO τῇ HA: εὐϑεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν O, 4, Zc
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
. y. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς 48, I4, 44 διήχϑωσαν
δύο εὐϑεῖαν αἱ OE, 02:
ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ OE,
ΗΖ πρὺς τὸ ὑπὸ OH,
ΖΕ. οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ.
ΔΙ Γπρὸὺς τὸ ὑπὸ ΘΖ. ΒΓ.
ἤχϑω διὰ μὲν τοῦ Θ
τῇ ZI'4 παράλληλος ἡ
ΚΑ, καὶ αἴ 414, AB συμ-
πιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ
τὰ K, 4 σημεῖα, διὰ δὲ
τοῦ 4 τῇ 4.4 παράλλη-
λος ἡ 4M καὶ συμπιπτέ-
vo τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ M.

K

2. Post ΗΔ add. xol ἐναλλὰξ διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο in
ras. Cod., διὰ τὸ εἶναι δύο παρὰ δύο καὶ ἐναλλάξ Hultsch; ego
delere malui ut duo glossemata prauo ordine in textum illata.
4. Post Z add. τουτέστιν ἡ διὰ τῶν O K Z Hultsch. ὅ. ὕπερ

10

15

10

15

20

r2
c

30

246 FRAGMENTA

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ἡ EZ πρὸς τὴν ZA, οὕτως ἡ
ΕΘ πρὸς τὴν ΘΑ͂, ὡς δὲ ἡ AZ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ
G4 πρὸς τὴν OM: καὶ γὰρ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν OH ἐν
παραλλήλῳ δι᾽ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ZH,
οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν OE, HZ
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ
ὑπὸ τῶν EZ, OH: ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν EO, HZ
πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν EZ, HO, οὕτως τὸ ὑπὸ EZ, ΘΜ πρὸς
τὸ ὑπὸ EZ, ΗΘ, τουτέστιν ἣ ΘΜ πρὸς ΘΗ͂, τουτέστιν
ἡ 40 πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς 7) KO πρὸς
τὴν ΘΖ. οὕτως τὸ
ὑπὸ 071, ΒΙ᾽ πρὸς
τὸ ὑπὸ OB, I^
ἀνάπαλιν ἄρα γί-
νεται, ὡς ἡ “Θπρὸς
τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ
ὑπὸ 0B, [4 πρὺς
τὸ ὑπὸ O4, BI.
ὡς δὲ ἡ 40 πρὸς
τὴν OK, οὕτως
ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ
ΕΘ. ΗΖ πρὸς τὸ
ὑπὸ ΕΖ, HO: καὶ 4^ B PU - E Z
ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ EO, HZ πρὸς τὸ ὑπὸ EZ, HO, οὕτως
τὸ ὑπὸ OB, ΓΖ4 πρὸς τὸ ὑπὸ O4, BI.

Zu δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως" ἐπεὶ ὃ τοῦ ὑπὸ OE, HZ
πρὸς τὸ ὑπὸ OH, LE συνῆπται λόγος ἔχ τε τοῦ, ὃν ἔχει
ἡ OE πρὺς τὴν EZ, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ZH πρὸς τὴν ΗΘ,
καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ OE πρὸς τὴν EZ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς
τὴν ΖΑ. ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν HO, οὕτως ἡ ZA πρὸς

4

ἔδει δεῖξαι] o cod., ὅπερ: Hultsch cum aliis. p. 245, 18 ἡ
AM xol] ,fortasse διαχϑεῖσα ἡ 4M** Hultsch. ὃ. ἐν παρ-
αλλήλῳ])] h. e. quia inter duas parallelas sunt, ἃ. Hultsch in
ind. 8. u. παράλληλος. 26. ὁ] om. cod., Hultsch.

FRAGMENTA 241

τὴν OK, vo ἄρα ὑπὸ OE, HZ προς vo ὑπὸ ΘΗ, EZ
συνῆπται ἔκ τε τοῦ. ὃν ἔχει ἡ OA πρὸς τὴν ΖΑ, καὶ τοῦ
ὃν ἔχει d) Z.A πρὸς τὴν ΘΚ. ó δὲ συνημμένος ἔκ τὲ τοῦ
τῆς ΘΖ πρὸς τὴν Z.A καὶ τοῦ τῆς Z.A πρὸς τὴν ΘΚ ὃ αὐτός
ἐστιν τῷ τῆς 0.4 πρὸς τὴν ΘΚ᾽ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ
ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ. ΖΕ. οὕτως ἡ OA πρὸς τὴν
ΘΚ. διὰ ταὐτὰ καί. ὡς τὸ ὑπὸ Oz, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ
ΘΒ. I4, οὕτως ἐστὶν ἡ OK πρὸς τὴν O4. καὶ ἀνά-
παλίν ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ OB, [ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ OA, BI,
οὕτως ἡ 9.4 πρὸς τὴν ΘΚ. 1v δὲ χαί, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν
ΘΗ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ. οὕτως ἡ 604 πρὸς
τὴν OK: x«i ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν OE, ΖΗ πρὸς
τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ. οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ4 πρὸς τὸ ὑπὸ
ΘΖ, BI.

δ΄. Καταγραφὴ ἡ ABIAEZHOKA, ἔστω δέ, ὡς
τὸ ὑπὸ 42. BI'zgóo τὸ ὑπὸ 48, ΓΖ. οὕτως τὸ ὑπὸὺ
4Ζ. 4Ε πρὸς τὸ ὑπὸ A44, ΕΖ᾽ ὅτι εὐϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ
τῶν O, H, Z σημείων.

ἐπεί ἐστιν. ὡς τὸ ὑπὸ AZ, BI' πρὸς τὸ ὑπὸ AB,
ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ 42. 4 Ε πρὸς τὸ ὑπὸ A44, ΕΖ,
ἐναλλάξ ἐστιν. ὡς τὸ ὑπὸ A4Z, ΒΙ᾽ πρὸς τὸ ὑπὸ AZ,
ΖΕ. τουτέστιν ὡς ἡ BI' πρὸς τὴν 4Ε, οὕτως τὸ ὑπὸ
AB, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ 44, ΕΖ. ἀλλ ὃ μὲν τῆς ΒΓ
πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται λόγος. ἐὰν διὰ τοῦ K τῇ AZ

10

15

20

παράλληλος ἀχϑῇ ἡ ΚΜ, ἔκ vs τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ 25

καὶ τῆς ΚΝ πρὸς KM καὶ ἔτι τοῦ τῆς KM πρὸς AE,
ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ 48. ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ AZ, ΕΖ συνῆπται
ἔκ ve τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς AZ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν
AE. κοινὸς ἐκκεχρούσϑω ὃ τῆς ΒΑ͂ πρὸς 44 ὃ αὐτὸς
àv τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ’ λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς
τὴν LE συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς BI' ngog τὴν ΚΝ,
τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΙ᾽ πρὸς τὴν KO, καὶ τοῦ τῆς KM
πρὸς τὴν ZE, τουτέστιν τοῦ τῆς KH πρὸς τὴν HE.
εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν O, H, Ζ.

80

10

15

20

248 FRAGMENTA

ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ E τῇ ΘΙ παράλληλον ἀγάγω τὴν
ERA, καὶ ἐπιξευχϑεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληϑῇ ἐπὶ τὸ E, ὃ μὲν
τῆς KH πρὸς τὴν HE λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ
πρὸς τὴν EX, ὃ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΘ πρὸς
τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν EA μεταβαλλόμενος
tio τὸν τῆς ΘΙΓ πρὸς EA λόγον. καὶ ὃ τῆς ΓΖ πρὸς
ΖΕ λόγος ὃ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλ-
λήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ
τῶν O, E, Z' τοῦτο γὰρ φανερόν" ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν
O, H, Z εὐϑεῖά ἐστιν.

ε΄. 'Eàv ἦ καταγραφὴ ἡ ABIAEZHO, γένεται, ὡς
ἡ 44 πρὸς τὴν 41, οὕτως ἡ 48 πρὸς τὴν BI: ἔστω
οὖν, ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν 47, οὕτως ἡ .4B πρὸς τὴν
BI" ὅτι εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν A, H, Θ.

ἤχϑω διὰ τοῦ H τῇ 44 παράλληλος ἡ ΚΑ. ἐπεὶ
οὖν ἐστιν. ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν AT, οὕτως ἡ 4B πρὸς
τὴν ΒΓ, ἀλλ ὡς μὲν ἡ 44 πρὸς τὴν Z1 οὕτως ἡ ΚΑ
πρὸς τὴν A4 H, ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν BI, οὕτως ἡ KH
πρὸς τὴν H M, καὶ ὡς ἄρα ἡ KA πρὸς τὴν ΜΗ, οὕτως
ἡ ΚΗ πρὸς τὴν H M, καὶ λοιπὴ ἡ HA πρὸς λοιπὴν τὴν
AM ἐστιν, ὡς ἡ KA πρὸς τὴν AH, τουτέστιν ὡς ἡ 42

2. ἐπιξευχϑεῖσα ἡ OH] ἐπιζξευχϑείσης τῆς OH cod., quod

fortasse retineri potest. 5. μεταβάλλεται Hultsch cum Com-
mandino.

FRAGMENTA 249

πρὸς τὴν ΖΓ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν HA,
οὕτως ἡ ΓΖά πρὸς τὴν 4 M, τουτέστιν ἡ 4 Θ πρὸς O A.
καί ἐστι παράλληλος ἡ ΗΖ τῇ 44 εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν
4 διὰ τῶν 4, H, O σημείων" τοῦτο γὰρ φανερόν.

ς΄. Πάλιν, ἐὰν ἢ καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ 4Z ὅ
τῇ BI, γένεται ἴση ἡ 48 τῇ ΒΓ. ἔστω οὖν ἴση" ὅτι
παράλληλος.

ἔστιν δέ᾽ ἐὰν γὰρ τῇ ΕΒ προσϑῶ τῇ ΗΒ ἴσην τὴν
B 9 καὶ ἐπιξεύξω τὰς 4. OT, γίνεται παραλληλόγραμ-
μον τὸ Α4ΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ 44 πρὸς 10
τὴν ΖΕ. οὕτως ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ ἑκάτερος γὰρ τῶν
. δἰρημένων ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς OH πρὸς τὴν HE
λόγῳ ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ 472 τῇ AI.

Θ

ξ΄. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν 4 B, BI' μέση ἀνάλογον
ἔστω ἡ ΒΑ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ZH τῇ AI. 1ὅ

ἐχβεβλήσϑω ἡ EB, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ 472 εὐϑείᾳ
παράλληλος ἤχϑω 7) 4 K, καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΚ.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ AB
πρὸς τὴν BZ, ὡς δὲ ἡ AB πρὸς τὴν BZ, οὕτως ἡ KB

8. 42] Commandinus, ΖΘ cod.; fort. 4B. 8. τῇ EB
προσϑῶ)] τὴν EB ϑῶ cod., ϑῶ Commandinus, ix) τῆς EB ϑῶ
Hultsch. 11. ἑκάτερος] ἕκατερα cod., ἑκατέρων Hultsch
13. λόγῳ] λόγον cod., λόγος Hultsch.

e

10

1

ex

20

25

30

250 FRAGMENTA

πρὸς vv BO, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως
ἡ KB πρὸς τὴν BO* παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ 4 τῇ
ΚΙ. ἔστιν οὖν πάλιν, ὡς ἣ AZ πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως
ἡ LH πρὸς τὴν ΠΕ ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος
ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ ὥστε παράλ-
ληλός ἐστιν ἣ ZH τῇ A At.

η. Ἔστω βωμίσκος ὁ 4 ΒΓΖά ΕΖΗ, καὶ ἔστω παράλ-
ληλος ἡ μὲν 4Ε τῇ BI, ἡ δὲ EH τῇ BZ: ὅτι καὶ ἡ
212 τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν.

ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BE, A1, ZH: ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ
Ζ418Ε τρίγωνον τῷ AI'E
τριγώνῳ. κοινὸν προῦσ- Ζ

κείσϑω τὸ 44Ε τρί-
ycovov' ὅλον ἄρα τὸ
ABE τρίγωνον ὅλῳ τῷ

ΓΖ. τριγώνῳ ἴσον
ἐστίν. πάλιν, ἐπεὶ παρ- d
ἄλληλός ἐστιν ἡ ΒΖ τῇ
EH, ἴσον ἐστὶν τὸ BZE
τρίγωνον τῷ BZH τρι-
γώνῳ. κουνὸν ἀφῃρήσϑω 8 I
τὸ .4BZ τρίγωνον" λου-
πὸν ἄρα τὸ ABE τρίγωνον λοιπῷ và AHZ τριγώνῳ
ἴσον ἐστίν. ἀλλὰ τὸ ABE τρίγωνον τῷ 4Γ4 τριγώνῳ
ἐστὶν ἴσον" xol τὸ AI ἄρα τρίγωνον τῷ 4 ΖΗ τρι-
γώνῳ ἴσον ἐστίν. κοινὸν προσχείσϑω τὸ Α ΓΗ͂ τρί-
γωνον" ὅλον ἄρα τὸ IH τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ͂ τρι-
γώνῳ ἴσον ἐστίν. καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς
ΓΗ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ 4Z.

0'. Ἔστω τρίγωνον τὸ ABI καὶ ἐν αὐτῷ διήχϑωσαν
αἱ A44, AE, καὶ τῇ BI' παράλληλος ἤχϑω ἡ ZH, καὶ

4. ἑκάτερος) ἑκατέρᾳ cod., ἑκατέρων Hultsch. θ. 44) 4Γ
Breton, Hultsch. 18. ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ] τῇ ΒΖ ἡ EH suspi-
catur Hultsch.

u"-"-——-—-—"'"Cuy" MM

FRAGMENTA 951

χκεχλάσϑω ἡ ZO H, ἔστω δέ. ὡς ἡ BO πρὸς τὴν OT,
οὕτως ἣ Z6 πρὸς τὴν ΘΕ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ
KA τῇ BI.

ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ BO πρὸς τὴν OI, οὕτως ἡ 20
πρὸς τὴν OE, λοιπὴ ἄρα ἡ Bz πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ
ἐστιν. ὡς ἡ ΖΘ πρὸς τὴν OE. ὡς δὲ ἡ ΒΖ πρὸς τὴν
EI, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς NH' καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ
πρὸς NH, οὕτως ἐστὶν ἡ
40 πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλ-
λάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς
τὴν 40, οὕτως NH
πρὸς τὴν ΘΕ. ἀλλ᾽ ὡς
μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν 40,
οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ
ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ
q HN πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως
ἐστὶν ἡ HÁ πρὸς τὴν A40:
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν
KO, οὕτως ἐστὶν ἡ HA
πρὸς τὴν 40. παράλληλος ἄρα ἐστὴν ἡ ΚΑ τῇ HZ:
ὥστε καὶ τῇ ΓΒ.

v. Εἰς δύο εὐθείας τὰς BAE, 44}Π ἀπὸ τοῦ Θ ση-
μξίου δύο διήχϑωσαν εὐϑεῖαι αἱ 4Θ, 0 E, ἔστω δέ, ὡς
τὸ ὑπὸ τῶν 40, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ 4, BO, οὕτως τὸ
ὑπὸ OH, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ: ὅτι εὐϑεῖά ἐστιν
ἡ διὰ τῶν I, 4, Ζ. ᾿

ἤχϑω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ͂ παράλληλος ἡ KA καὶ συμ-
πιπτέτω ταῖς 48, 44 κατὰ τὰ Κι 4 σημεῖα. καὶ διὰ
τοῦ 4 τῇ 44 παράλληλος ἤχϑω ἡ 4Μ, καὶ ἐκβεβλήσϑω
ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ M, διὰ δὲ τοῦ Καὶ τῇ AB παράλληλος ἤχϑω
ἡ KN, καὶ ἐκβεβλήσϑω ἡ 40 ἐπὶ τὸ Ν.

ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται. ὡς ἡ 40
πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ 4 Γ πρὸς τὴν ΓΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ
τῶν 410, ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν 41, ΘΝ. ἄλλο

sU

10

15

259 FRAGMENTA

δέ τι τυχὺν τὸ ὑπὸ A41, ΒΘ’ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ
40, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ AT, ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑ, ΘΝ
πρὸς τὸ ὑπὸ ZI, ΒΘ, τουτέστιν ἣ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλ᾽
ὡς μὲν τὸ ὑπὸ O04, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΓ, BO, ὑπόκει-
ται τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ OE, ΖΗ, ὡς δὲ ἡ
ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΑ, τουτέστιν ἐν παρ-
αλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ

4 |
πρὸς τὸ ὑπὸ OM, LE: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ

πρὸς τὸ ὑπὸ OE, ZH, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ OH, ΖΕ
πρὸς τὸ ὑπὸ OM, ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ OE, ZH
τῷ ὑπὸ OM, ΖΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν
ΘΕ. οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ. συνϑέντι καὶ ἐναλλάξ
ἐστιν, ὡς ἡ ME πρὸς τὴν EH, οὕτως ἡ OE πρὸς τὴν
ΕΖ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ME πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ AE
πρὸς τὴν EA* καὶ ὡς ἄρα ἡ 4E πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως
ἡ ΘΕ πρὸς τὴν EZ' παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AZ τῇ
KA. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ͂' εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ Ζ᾽ ὅπερ
ἔδει δεῖξαι.

Hultsch cum Commandino. 17. ΓΑΖ' ὅπερ ἔδει δεῖξαι)
I'AZO o cod.; ΓΑΖ, ὅπερ: «ο Hultsch.

FRAGMENTA 253

và δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις.
ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον.

οφτα΄. Τρίγωνον τὸ ABI, καὶ τῇ BI' παράλληλος ἡ AZ,
xol διαχϑεῖσα 7) 4Ε τῇ BI' συμπιπτέτω κατὰ τὸ E ση-
μεῖον ὅτι ἐστίν. ὡς τὸ ὑπὸ 4Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ EZ,
HA, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ.

ἤχϑω διὰ τοῦ Γ τῇ 4E παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκ-
βεβλήσϑω ἡ 48 ἐπὶ τὸ Θ.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ I4 πρὸς τὴν AH, οὕτως ἡ ΓΘ
πρὸς τὴν ZH, ὡς δὲ ἡ ΓΑ͂ πρὸς τὴν AH, οὕτως ἐστὶν

Θ

ἡ ΕΖ πρὸς τὴν 4 H. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν AH,
οὕτως ἐστὶν ἣ ΘΙ πρὸς τὴν LH: τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ.
ΖΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Ez, ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυχὸν
τὸ ὑπὸ EZ, H4: ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ AE, ΖΗ πρὸς
τὸ ὑπὸ ZH, ΕΖ. οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ, 4H πρὸς τὸ ὑπὸ
4H, EZ, τουτέστιν 4$ ΓΘ πρὸς EZ, τουτέστιν ἡ ΓΒ
πρὸς BE. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ΖΕ, ZH πρὸς τὸ ὑπὸ
EZ, ΗΖ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ.

τὰ δ᾽ αὐτά. κὸν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχϑῇ ἡ 44 παρ-

1ὅ

10

15

9254 FRAGMENTA

ἄλληλος. καὶ ἀπὸ τοῦ 4] ἐκτὸς ὡς ἐπὶ τὸ I' διαχϑῇ ἣ
εὐϑεῖα.

iB. ἀποδεδειγμένων οὖν τούτων ἔσται δεῖξαι. ὅτι,
ἐὰν παράλληλον ὦσιν αἱ AB, 171, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέ-
πτῶσιν εὐθϑεῖαί τινες αἱ A44, AZ, ΒΙ, ΒΖ. καὶ ἐπι-
ξευχϑῶσιν αἱ ΕΖ. EI, [ὅτι] γένεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν
H, M, K.

ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ZA, xal τῇ 44 Z παράλληλος
ἡ AE, καὶ διῆκται ἡ EI' συμπίπτουσα τῇ ZZ κατὰ τὸ

I, διὰ τὸ προγεγραμμένον γένεται, ὡς ἡ Zl Z πρὸς τὴν
ZI, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, ΘΕ.
πάλιν, ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ ΓΒΖ, καὶ τῇ I1 παρ-
ἄλληλος ἦκται ἡ BE, καὶ διῆκται ἡ 4E συμπέπτουσα
τῇ ΓΖΖΩ κατὰ τὸ 4, γίνεται. ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν ZZ,
οὕτως τὸ ὑπὸ ZE, AK πρὸς τὸ ὑπὸ Z4K, 4Ε ἀνάπαλιν
ἄρα γίνεται, ὡς ἡ 472 πρὸς τὴν ZI, οὕτως τὸ ὑπὸ
4 Κι AE πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΕ, AK. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ 412
πρὸς τὴν ZI, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂,

1. ὡς ἐπὶ τὸ ΓῚ τοῦ Γ' ὡς ἐπὶ τὸ I' Commandinus, τοῦ I'
Hultsch. διαχϑῇ ἡ εὐθεῖα] διὰ τὴν εὐθεῖαν cod. ἀχϑῇ ἡ 4E
Hultsch cum. Commandino. 3. οὖν] coni Hultsch, νῦν
cod. 6. ὅτι] uncis incl. Hultsch. 10. προγεγραμμένον]
lemma XI.

FRAGMENTA 255

GE: καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, HO πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, OE,
οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ AK, AE πρὸς τὸ ὑπὸ AME, KA.
ἐπεὶ οὖν εἷς δύο εὐθείας vàc ΓΜΖ. OM δύο εὐϑεῖαι
διηγμέναι εἰσὶν αἱ EI, ΕΖ, καί ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ,
ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ AK, EA πρὸς
τὸ ὑπὸ AE, AK, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν H, M, K*
τοῦτο γὰρ προδέδεικται.

ιγ΄. λλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ AB, I παράλληλοι.
ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν᾽ ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν
ἡ διὰ τῶν H, M, K.

ἐπεὶ εἷς τρεῖς εὐὖ-
ϑείας τὰς AN, AZ,
“4 ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ
σημείου τοῦ I' δύο
διηγμέναν εἰσὶν αἱ
ΓΕ IA, γίνεται, ὡς
τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς
τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕ-
τῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ,
Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν
ΝΩ͂, ΓΖ. πάλιν ἐπεὶ
ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ δ6η-
μξίου τοῦ 4 εἰς τρεῖς εὐϑείας τὰς ΒΝ, BI, ΒΖ δύο εἰσὶν
διηγμέναι αἱ ΖΕ, 4 N, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ NI ΖΕΙ͂ πρὸς τὸ
ὑπὸ ΝΖ, ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ZK, EA πρὸς τὸ ὑπὸ AE,
KA. ἀλλ᾽ ὡς τὸ ὑπὸ NI, Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΖ, ΓΖ, οὕτως
ἐδείχϑη τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, OE: καὶ ὡς
ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, OH πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, OE, οὕτως ἐστὶν
τὸ ὑπὸ AK, EA πρὸς τὸ ὑπὸ 4Ε, KA. διὰ δὴ τὸ προγε-
γραμμένον εὐϑεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν H, M, K.

ὃ. Ante ἐπεὶ add. ἀνῆκται εἰς τὸ πρὸ ἑνός cod., uncis incl,
Hultsch (ἀπῆκται suspicatur idem III p. 1263). |. Il'M4, 6M]
I'M cod, L'M4 4MO Hultseh cum Commandino. — 7. προδέ-
δεικται) lemma X. 29. Ante διὰ add. ἀπῆχται sig ὃ καὶ ἐπὶ τῶν
παραλλήλων cod., uncis incl. Hultsch. zooysyoeuu£vov] lemma X.

5

10

15

20

25

30

10

15

20

256 FRAGMENTA

ιδ΄. Ἔστω παράλληλος ἡ AB τῇ I1, καὶ διήχϑωσαν
ci AE, ΓΒ. καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς BH τὸ Ζ, ὥστε εἶναι,
ὡς τὴν 4 E πρὸς τὴν ΕΤ,, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, HZ πρὸς
τὸ ὑπὸ LB, ΓΗ͂᾿ ὅτι εὐϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν 4, Ζ, 41.

ἤχϑω διὰ μὲν τοῦ 4 τῇ BI' παράλληλος ἡ Z4, καὶ
ἐχβεβλήσϑω ἡ AE ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ ΓΖ παρ-
ἄλληλος ἡ OK, x«i ἐκβεβλήσϑω
ἡ ΒΤ ἐπὶ τὸ K. A | B

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ 4E πρὸς
τὴν EI, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ. ZH
πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΓΗ͂, ὡς δὲ ἡ
A E πρὸς τὴν ΕΓ΄ οὕτως ἐστὶν 1j
τε ΖΘ πρὸς τὴν ΓΗ͂ καὶ τὸ ὑπὸ
40, ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ,
ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν BI,
ZH τῷ ὑπὸ 40, BZ: ἀνάλογον K Θ
ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΖ,
οὕτως ἡ 4). τουτέστιν ἡ ΓΚ, πρὸς τὴν HZ: καὶ ὅλη
ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν ΒΗ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ZH,
τουτέστιν ὡς ἡ 4Θ πρὸς ΖΗ. ἀλλ᾽ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς BH
ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ͂ πρὸς 4Η καὶ ἡ ΖΘ
πρὸς ZH. καί εἶσιν παράλληλοι αἱ 210, ΖΗ" εὐϑεῖα

. ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν A, Ζ, 4 σημείων.

25

ιε΄. Τούτου προτεϑεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ 48
τῇ I4, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐϑεῖαι αἱ AZ, ZB,
ΓΕ, EA, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἱ BI? HK: ὅτι εὐϑεῖά
ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α. M, 4.

᾿Επεξεύχϑω ἡ 4M καὶ ἐκβεβλήσϑω ἐπὶ τὸ Θ.

ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ BI'Z ἐχτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς

11. ΒΖ, ΓΗ] BI, ΖΗ cod.; ΖΒ ΓΗ͂ Hultsch cum Comman-
dino. 12. ἐστὶν] del. Hultsch. 18. τουτέστιν ἡ] coniecit
Hultsch, τουτέστιν ὡς ἡ cod., πρὸς τὴν HZ τουτέστιν ὡς ἡ
ect 29. £xróg] del. Hultsch cum Simsono, sed u. lemma

extr.

FRAGMENTA 201

τοῦ B σημείου τῇ l4 παράλληλος ἦκται ἡ BE, καὶ
διῆκται ἡ 4 Ε͵, γίνεται, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ZZ, οὕτως τὸ
ὑπὸ ΖΕ, KA πρὸς τὸ ὑπὸ EA, KA. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ AE,
KA πρὸς τὸ ὑπὸ A4K, AE, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ͂.
ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, HO, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς
ΓΖ, 40, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ση-
μείου τοῦ E αἱ EI, EZ4' καὶ ὡς ἄρα ἡ 4Z πρὸς ZI,

οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ. ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, ΘΕ. διὰ

τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν 4, Μ, 4 ἐστιν εὐϑεῖα.

A T B

B e Ll c

ig. Eig δύο εὐθείας τὰς 48. AI' ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ 61-
μείου τοῦ Z1 δύο διήχϑωσαν αἱ ZB, AE, καὶ ἐπ’ αὐτῶν
εἰλήφϑω σημεῖα τὰ H, 0, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ EH, Z4
πρὸς τὸ ὑπὸ 24Ε., HZ, οὕτως τὸ ὑπὸ BO, ΓΖ πρὸς τὸ
ὑπὸ ΒΖ, D'O* ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν A4, H, Θ.

ἤχϑω διὰ τοῦ H τῇ B4 παράλληλος ἡ KA.

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ EH, Z4 πρὸς τὸ ὑπὸ AE,
ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ BO, ΓΖ πρὺς τὸ ὑπὸ BZ, ΓΘ, ἀλλὰ
ὁ τοῦ ὑπὸ EH, Ζ4 πρὸς τὸ ὑπὸ AE, ΗΖ συνῆπται

ὅ. ἐπεὶ εἰς] sig cod., εἰς γὰρ Hultsch cum Commandino.
8. Ante διὰ add. καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν H M K cod. (etiam
p. 256, 27 pro A4, M, 4 hab. H, M, K), καὶ ἔστιν εὐθεῖα ἡ διὰ
τῶν Θ, ΜΙ, 4 Hultsch praeeunte Commandino. 9. zooysyo«u-
μένον] lemma XIV. ἄρα] ἄρα καὶ cod., Hultsch.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. ὙΠ. ᾿ 17

οι

10

15

20

25

30

258 FRAGMENTA

λόγος ἔκ ve τοῦ Ov ἔχει ἡ HE πρὺς Ez, τουτέστιν ἡ
KH πρὸς Β4, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ 42 πρὸς ZH, τουτ-
ἔστιν ἡ IZ πρὸς τὴν HA, ὃ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, ΓΖ πρὸς
τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ
ΘΒ πρὸς BZ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΖΓ πρὸς ΓΘ, καὶ ὃ
ἔχ τὲ τοῦ τῆς KH ἄρα πρὸς ΒΕ καὶ τοῦ τῆς 4Γ πρὸς
HA ὃ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ
πρὸς ΒΖ καὶ τοῦ τῆς 4Γ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς KH πρὸς
B4 συνῆπται ἔκ vs τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς
ΒΘ πρὸς ΒΩ ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς KH
πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς ΒΕ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΖΓ
πρὸς ΗΔ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ £x τὲ τοῦ τῆς
ΒΘ πρὸς Bzl καὶ τοῦ τῆς AI' πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκχ-
κεκρούσϑω ὃ τῆς ΘΒ πρὸς Bzf λόγος" λοιπὸς ἄρα ὃ
συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς KH πρὸς BO καὶ τοῦ τῆς
AT πρὸς HA ὃ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς 4 πρὸς τὴν ΓΘ,
τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ vs τοῦ τῆς 4 πρὸς τὴν
HA καὶ τοῦ τῆς HA πρὸς τὴν OI. καὶ πάλιν κοινὸς
ἐχκεχρούσϑω ὃ τῆς 4 πρὸς τὴν HA λόγος" λοιπὸς
ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ
τῆς HA πρὸς τὴν OI. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ KH
πρὸς τὴν HA, οὕτως ἡ ΒΘ zgóg τὴν OI. καί εἶσιν αἱ
KA, BI' παράλληλοι" εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν A,
Η, Θ σημείων.

ιζ΄. AAA δὴ μὴ ἔστω παράλληλος 1) 48 τῇ L4, ἀλλὰ
συμπιπτέτω χατὰ τὸ Ν.

ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ 4 εἰς τρεῖς
εὐθείας τὰς BN, BI, ΒΖ δύο εὐϑεῖαι διηγμέναι εἰσὶν
αἱ AE, 4N, ἔστιν. ὡς τὸ ὑπὸ NZ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ
NI, 4Z, οὕτως τὸ ὑπὸ AE, KA πρὸς τὸ ὑπὸ EA, KA.
ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΕΖ. KA πρὸς τὸ ὑπὸ EA, KA, οὕτως
ἐστὶν τὸ ὑπὸ EO, DH πρὸς τὸ ὑπὸ EL, ΘΗ͂᾿ πάλιν

14, ΘΒ] BO Hultsch.

FRAGMENTA 959

γὰρ εἰς τρεῖς τὰς 14, 440, HK ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου
τοῦ E δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ EI, ΕΖ καὶ ὡς ἄρα τὸ
ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ͂ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ NA,

Ν Ἢ Ζ Ζ

ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ NI, Z4. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον
εὐϑεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν 4, O, 4 καὶ ἡ διὰ τῶν 4, M,
Ζ ἄρα εὐϑεῖά ἐστιν.

νη΄. Τρίγωνον τὸ ABI, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχϑω
ἡ A4, καὶ διήχϑωσαν αἱ 4Ε, ΖΗ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ἀπὸ
ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ EI'B, οὕτως ἡ BH πρὸς τὴν HI*
ὅτι. ἐὰν ἐπιξζευχϑῇῆ ἡ BA, γένεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν
0, K, I:

ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς EB πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ,
οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς HI, κοινὸς ἄρα προσκείσϑω ὃ τῆς
ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὃ αὐτὸς ὧν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς
τὸ ὑπὸ ΕΒΓ΄ δι᾽ ἴσου ἄρα ὃ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ
ΕΒΓ λόγος. τουτέστιν ὃ τῆς EB πρὸς τὴν BI, ὁ αὐτός
ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ vs τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ
τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ EBI, ὅς ἐστιν ὃ αὐτὸς
τῷ τῆς ΕΓΓ πρὸς EB: ὥστε ὃ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ

4. προγεγραμμένον) lemma XVI. 13. ἄρα] uncis incl.
Hultsch.

11Ὲ

5

10

15

260 FRAGMENTA

EBI συνῆπται ἔκ τὲ τοῦ ὃν ἔχει ἡ BH πρὸς ΗΓ xoi
τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΙΓ πρὸς EB, ὅς ἐστιν ὃ αὐτὸς τῷ τοῦ
ὑπὸ EI, BH πρὸς τὸ ὑπὸ EB, ΓΗ͂. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς
τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ
ὑπὸ 4E, ZO πρὸς τὸ ὑπὸ 4Z, 0E: καὶ ὡς ἄρα τὸ

ὑπὸ ΓΕ. ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ͂, EB, οὕτως ἐστὶν τὸ
ὑπὸ Z4E, LO πρὸς τὸ ὑπὸ 4Ζ, ΘΕ. εὐϑεῖα ἄρα ἐστὶν
ἡ διὰ τῶν O, K, Γ' τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν
ἀναστροφίων.

L0'. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς 4B, AI, 42) ἀπό τινος
σημείου τοῦ E δύο διήχϑω-
σαν cà ΕΖ, ΕΒ, ἔστω δέ, ὡς
ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ
ΘΕ πρὸς τὴν O H* ὅτι γίνε-
ται x«í, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν
ΒΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν AI:

ἤχϑω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ
παράλληλος ἡ 4Κ. ies

ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΖ Ἐ E

——— ————————————————————————————

4

-

4. προγεγραμμένον] lemma ΧΙ (perperam usurpatum). 5. AE,
Z0] 42 OE Hultsch cum Simsono. ZZ, OE] 4Ὲ ΖΘ Hultsch
cum Simsono. 7. AE, ZO] 42 OE Hultsch eum Simsono. |
A4Z,O0E] 4E ZO Hultsch cum Simsono. 8. : u. lemma
XVl, quod ut lemma X ἀναστρόφιον est lemmatis III.

FRAGMENTA 261

πρὸς τὴν ZH, οὕτως ἡ EO πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλ᾽ ὡς uiv
ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ
ἡ ΕΘ πρὸς τὴν OH, οὕτως ἐστὶν ἡ AE πρὸς τὴν HA,
x«i ὡς ἄρα ἡ ΒΕ. πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ AE
πρὸς τὴν HA. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν EA,
οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΔ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν HA,
οὕτως ἐστὶν ἡ BI' πρὸς τὴν I1: καὶ ὡς ἄρα ἡ BE
πρὸς τὴν EZ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν I 4. ἐναλλάξ ἐστιν,
ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΙΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ZI.
τὰ δὲ πτωτιχὰ ὁμοίως. |
x. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ABI,A4EZ ἴσας ἔχοντα
. τὰς A, Zl γωνίας" ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ Β4Γ πρὸς τὸ oz
EAZ, οὕτως τὸ ABI τρίγωνον πρὸς τὸ EZ Z τρίγωνον.
ἤχϑωσαν χκάϑετοι αἱ BH, ΕΘ.

A

B. I E Z

ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν .4 γωνία τῇ 4, ἡ δὲ H τῇ
0, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ 4E
πρὸς τὴν EO. ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ AB πρὸς τὴν BH, οὕτως
ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ BH, AI ὡς δὲ ἡ AE
πρὸς τὴν EO, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΖ Z πρὸς τὸ ὑπὸ
ΕΘ, AZ: ἔστιν ἄρα. ὡς τὸ ὑπὸ BAT' πρὸς τὸ ὑπὸ BH,
AT, οὕτως τὸ ὑπὸ Ε41Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ. 212 καὶ ἐναλλάξ.
ἀλλ᾽ ὡς τὸ ὑπὸ BH, 4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ. 42. οὕτως
ἐστὶν τὸ ABI τρίγωνον πρὸς τὸ ZEZ τρίγωνον" ἕχα-
τέρα γὰρ τῶν BH, EO κάϑετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν

10

15

20

εἰρημένων τριγώνων καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ BAI' zxoóg τὸ 25

18. Ε42] 4EZ Hultsch.

b

—
M

1

15

20

269 FRAGMENTA

ὑπὸ EZAZ, οὕτως ἐστὶν τὸ ABI' τρίγωνον πρὸς τὸ AEZ
τρίγωνον.
κα΄. Ἔστωσαν δὴ αἱ 4, 4 δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι" ὅτι
πάλιν γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ EAZ, οὔὕ-
vog τὸ A BI' τρίγωνον πρὸς τὸ 4 ΕΖ τρίγωνον.
ἐχβεβλήσϑω ἡ BA, καὶ κείσϑω τῇ BA ἴση ἡ AH,
καὶ ἐπεξεύχϑω ἡ ΓΗ͂.

Η

Β Ι E Z

ἐπεὶ οὖν αἱ 4, 4 γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς ἴσαι εἰσίν,
ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρϑαῖς, ἴση
ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΔΑ Η γωνία τῇ 4. ἔστιν οὖν. ὡς τὸ
ὑπὸ Η4Γ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΖ, οὕτως τὸ AHI' τρίγωνον
πρὸς τὸ 4 Ε 2 τρίγωνον. ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν HA τῇ
AB, τὸ δὲ ΠΑ͂Γ τρίγωνον τῷ ABI' τριγώνῳ" ἔστιν
ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ BAI' πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖΖ, οὕτως τὸ 4ΒΓ
τρίγωνον πρὸς τὸ Ζ ΕΖ τρίγωνον.

κβ΄. Εὐϑεῖα ἡ AB, καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς δύο σημεῖα và I, Zi,
ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ AB, I4 ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ᾽ ὅτι καὶ
τὸ ἀπὸ 444 ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν AI, 4B τετρα-
γώνοις.

| ee |
Á Ld B

ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ AB, ΓΖ4 ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ,
κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ δὶς ὑπὸ Βε Γ΄ λοιπὸν ἄρα τὸ δὲς
ὑπὸ 44 ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν I4, 4 B τετραγώ-
voig. κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ l4 τετράγωνον λοι-

9. ὀρθαῖς} ὀρϑαῖς ἴσαι suspicatur Hultsch.

FRAGMENTA 263

πὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ 4Γ4 μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἴσον ἐστὶν
τῷ ἀπὸ ZB τετραγώνῳ. κοινὸν προδκείσϑω τὸ ἀπὸ ΑΤ'
τετράγωνον᾽ ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Az τετράγωνον ἴσον
ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ATI, 4B τετραγώνοις.

xy. Ἔστω τὸ ὑπὸ 4ΒΓΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ΒΩ τετραγώνῳ"
ὅτι γίνεται y, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44 Γ καὶ
τῆς ΒΩ ἴσον τῷ ὑπὸ AZ, AI, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου
τῆς 44Γ καὶ τῆς BI' ἴσον τῷ ἀπὸ 4 Γ' τετραγώνῳ. τὸ
ὃὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44 Γ' καὶ τῆς ΒΑ ἴδον τῷ
ἀπὸ 441 τετραγώνῳ.

π΄ - Ὁ | |
4 Eas Z4

ἐπεὶ yàg τὸ ὑπὸ ABI' ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ B4, ἀνά-
Aoyov xal ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνϑέντι"
ἔστιν ἄρα, ὡς συναμφότερος ἡ I, 414 πρὸς τὴν 44,
οὕτως ἡ It πρὸς τὴν 4B: τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου
τῆς 44. 4Γ καὶ τῆς Β4 ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν AAT.
πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ 44 πρὸς ὕλην τὴν AI ἐστιν, ὡς ἡ
4B πρὸς τὴν ΒΙ,, συνϑέντι ἐστίν. ὡς συναμφότερος ἡ
AAI' xoóg τὴν AI, οὕτως ἡ 4Γ πρὸς τὴν IB: τὸ ἄρα
ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς 44Γ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ
ἀπὸ Z1. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ 44 πρὸς ὅλην τὴν AT ἐστιν,
ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BZ, ἀνάπαλιν καὶ συνϑέντι ἐστίν,
ὡς συναμφότερος ἡ I4 πρὸς τὴν 44, οὕτως ἡ 44
πρὸς τὴν .AB* τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς AAT καὶ
τῆς 4B ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ AZ τετραγώνῳ.

x0. Εὐθεῖα ἡ AB καὶ δύο σημεῖα và I, Z, καὶ ἔστω
τὸ ἀπὸ ΓΖΩ͂ τετράγωνον ἴσον τῷ δὶς ὑπὸ AI, ΒΖ" ὅτι
καὶ τὸ ἀπὸ AB τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν
AZ, ΓΒ τετραγώνοις.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ l4 ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ 4Γ, 48,

6. y] τρία Hultsch. 206. AI',, Bz* ὅτι) ADI'B διδεῖ cod.,
AD A4B* ὅτι Hultsch cum Commandino.

10

10

15

20

25

264 FRAGMENTA

τὸ ἄρα δίς ὑπὸ 4ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς ΓΖ καὶ
τῷ δὶς ὑπὸ τῶν 4Γ4΄. κοινὸν προσκχείσϑω τὸ ἀπὸ AI"
τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ 4ΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ AI' ἴσον ἐστὶν τῷ

| |o DESEE
Á I 4 B

ἀπὸ 44]. κοινὸν προσκείσϑω τὸ ἀπὸ BI" ὅλον ἄρα τὸ
ἀπὸ AB τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν 44, ΓΒ
τετραγώνοις.

κε. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ABI' ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΖ᾿
ὅτι γίνεται y, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν 44, “1 Γ' ὑπεροχῆς
καὶ τῆς Bl ἴσον τῷ ὑπὸ AAT τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν AAT
ὑπεροχῆς καὶ τῆς BI'icov τῷ ἀπὸ τῆς 4 Γ' τετραγώνῳ,
τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν 424, AI' ὑπεροχῆς καὶ τῆς B.4 ἴσον
τῷ ἀπὸ τῆς 44 τετραγώνῳ. |

|
4 Ζ τ Β

EROR EGER RAP ὍΝ

ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BA, οὕτως ἡ ΒΖ
πρὸς τὴν BI, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι" ἔστιν
οὖν, ὡς ἡ τῶν A44, 4Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν Z1, οὕτως
ἡ 44 πρὸς τὴν 4B: τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν A424, 4
ὑπεροχῆς καὶ τῆς 48 ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AZ, AI.
πάλιν, ἐπεὶ λοιπὴ ἡ 44 πρὸς λοιπὴν τὴν AT' ἐστιν, ὡς
ἡ 4B πρὸς τὴν BI, διελόντι ἐστίν. ὡς ἡ τῶν AAI'
ὑπεροχὴ πρὸς τὴν A41, οὕτως ἡ 4 πρὸς τὴν I'B: τὸ
ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν 44, AT ὑπεροχῆς καὶ τῆς BI' ἴσον
ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς 4Γ τετραγώνῳ. πάλιν, ἐπεί ἔστιν, ὡς
ἡ 44 πρὸς τὴν 4Γ, οὕτως ἡ 41Β πρὸς τὴν BZ, ἀνά-
παλιν καὶ διελόντι ἐστίν. ὡς ἡ τῶν zd, 41 Γ' ὑπεροχὴ
πρὸς τὴν 44, οὕτως ἡ ZA πρὸς τὴν AB: τὸ ἄρα ὑπὸ
τῆς τῶν AZ, 4Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς AB ἴσον ἐστὶν τῷ
ἀπὸ τῆς 44 τετραγώνῳ.

s 7] τρία Hultsch. 9. AAI'(alt)| 44 41 Hultseh cum
Commandino. 15. οὖν] ἄρα Hultsch. 19. A4I'] 4d ADT
Hultsch cum Commandino.

FRAGMENTA 265

xc. Ἔστω, ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν BI, οὕτως τὸ ἀπὸ A44
πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΙΓ΄ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν 48ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ
ἀπὸ τῆς ΒΖ τετραγώνῳ.

-----οΟ--ὠΟ.ςςςςς

A p B 4 E

κείσϑω τῇ ΓΖά ἴση ἡ 4E: τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ
τοῦ ἀπὸ ΓΖ, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ ΓΖΕ, ἴσον τῷ ἀπὸ AZ,
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ 4B πρὸς τὴν BI, οὕτως τὸ ἀπὸ
“444 πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ 4 πρὸς τὴν
ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ EAT' πρὸς τὸ ὑπὸ EA, BI,
οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ IAE: ἴσον ἄρα ἐστὶν
“τὸ ὑπὸ AE, ΒΙΓ τῷ ὑπὸ I4 E. ἀνάλογον καὶ διξλόντι
ἐστίν. ὡς 7) 42 πρὸς τὴν 4, τουτέστιν πρὺς τὴν AT,
οὕτως 7 ZB πρὸς τὴν BI" καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ AB πρὸς
λοιπὴν τὴν ΒΖ ἐστιν, ὡς ἡ Bzl πρὸς τὴν BI: τὸ ἄρα
ὑπὸ 48Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς BZl τετραγώνῳ.

κζ΄. Ἔστω δὲ πάλιν, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BI, οὕτως
τὸ ἀπὸ 412] τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ 21 τετράγωνον᾽
ὅτι τὸ ὑπὸ 48Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς B4 τετραγώνῳ.

| | | — CE WO
Á E Z4 Dp B

. χείσϑω γὰρ ὁμοίως τῇ lz4 ἴση ἡ 4 Ε΄ τὸ ἄρα ὑπὸ
I'AE μετὰ τοῦ ἀπὸ I, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ EZ, ἴσον
τῷ ἀπὸ 42΄. καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν, ὡς ἡ 4 πρὸς
τὴν I'B, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑ͂ Γ᾿ πρὸς τὸ ὑπὸ EA,
ΓΒ. οὕτως τὸ ὑπὸ I4 E πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ Γ΄ ἴσον ἄρα
ἐστὶν τὸ ὑπὸ AE, ΓΒ τῷ ὑπὸ EZAI. ἀνάλογον καὶ συν-
ϑέντι ἐστίν, ὡς ἡ 44 πρὸς τὴν 4 Ε. τουτέστιν πρὸς
τὴν 41, οὕτως ἡ 4B πρὸς τὴν BI" καὶ 045 ἄρα ἡ AB
πρὸς ὕλην τὴν Β4 ἐστιν, ὡς ἡ ΒΩ πρὸς τὴν BI. τὸ
ἄρα ὑπὸ τῶν 418 ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΒΩ τετρα-
γώνῳ.

1ὅ

20

25

10

15

266 FRAGMENTA

xv. KxAov τοῦ 48ΒΓ' ἐφαπτέσϑωσαν αἱ 424, AI,
καὶ ἐπεξζεύχϑω ἡ AI, καὶ διήχϑω τυχοῦσα ἡ Z4B* ὅτι
γίνεται. ὡς ἡ ΒΩ πρὸς τὴν 4Ε. οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς
τὴν ΖΕ.

A

Τὰ

ἐπεὶ γὰρ Vom ἐστὶν ἡ 44 τῇ 41, τὸ ἄρα ὑπὸ 42Γ
μετὰ τοῦ ἀπὸ Z4 ἴδον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 4.4. ἀλλὰ τὸ μὲν
ὑπὸ AZI' ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ BZE, τὸ δὲ ἀπὸ Z4 ἐστιν
τὸ ὑπὸ BAE: τὸ ἄρα ὑπὸ BZE μετὰ τοῦ ἀπὸ ZZ ἴσον
ἐστὶν τῷ ὑπὸ Β4 Ε. ἐὰν δὲ ἦ τοῦτο, γίνεται, ὡς ἡ ΒΖ
πρὸς τὴν Z E, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ZE.

x0'. Τμήματος δοϑέντος τοῦ ἐπὶ τῆς AB κλάσαι εὐ-
ϑεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοϑέντι.

E B 4

γεγονέτω, καὶ διήχϑω ἀπὸ τοῦ I' ἐφαπτομένη ἡ ΓΖ"
ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ AT' πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΙΓ, οὕτως ἡ 42] πρὸς
Z4 B. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ 41 Γ' πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ δοϑείς"
ὥστε καὶ ὃ τῆς zd πρὸς τὴν ΒΖ δοϑείς. καί ἐστιν δύο

7. ἐστιν τὸ] ἴσον τῷ Hultsch. 16. δύο δοϑέντα và A, B]
δύο cod., δοϑέντα τὰ A B Hultsch cum Simsono.

FRAGMENTA 2061

δοϑέντα và 4, B* δοϑὲν ἄρα ἐστὶν τὸ z^ ὥστε καὶ τὸ
Γ δοϑέν.

Συντεϑήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ uiv
τμῆμα τὸ 48Γ, ὃ δὲ λόγος ὁ τῆς E πρὸς τὴν Z, καὶ
πεποιήσϑω. ὡς τὸ ἀπὸ E πρὸς τὸ ἀπὸ Z, οὕτως ἡ 44
πρὸς τὴν ZB, καὶ ἤχϑω ἐφαπτομένη ἡ AT, καὶ ἐπεξεύχ-
4oc«v αἱ AI, ΓΒ. λέγω. ὅτι αἱ AT, ΓΒ ποιοῦσι τὸ
πρόβλημα.

ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως
ἡ 424 πρὸς τὴν ZB, ὡς δὲ ἡ 44 πρὸς τὴν 48, οὕτως

Ἁ Hi 2

τὸ ἀπὸ 4 πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ ἐφάπτεσϑαι τὴν LA,
- καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ E πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ AT'
πρὸς τὸ ἀπὸ IB: ὥστε καί, ὡς ἡ E πρὸς τὴν Ζ, οὕτως
ἡ 4 πρὸς τὴν ΓΒ. ἡ AI'B ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
λ΄. Κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ 48. καὶ ἀπὸ τυχόντος
ἐπ’ αὐτὴν κάϑετος ἡ 4 E, διήχϑω ἡ 4Z, ἐπεξεύχϑω ἡ

EZ καὶ ἐκβεβλήσϑω, καί, x9 ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ,
ἔστω τὸ Η ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ AH πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως
ἡ 40 πρὸς τὴν ΘΒ.

ἐπεζεύχϑωσαν αἵ 44. AE, AZ.

12. οὕτως τὸ] m. 2 cod.; οὕτωσε ante rasuram, ut uidetur,
m. 1 cod.; οὕτως ἐστὶν τὸ coni. Hultsch.

10

15

20

268 FRAGMENTA

ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διάμετρον κάϑετος ἡ ΖΕ. ἴση ἐστὶν ἡ
ὑπὸ 448 τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ 4AB τῇ ἐν τῷ
αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ OZB, 1 δὲ ὑπὸ BAE
ἴση ἐστὶν τῇ ἐχτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ BZH- καὶ ἡ
ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ͂. καί ἐστιν
ὀρϑὴ ἡ ὑπὸ AZB γωνία᾽ διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται, ὡς
ἡ 4H πρὸς τὴν ΗΒ. οὕτως ἡ 40 πρὸς τὴν ΒΘ.

λα΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς 48. καὶ ἀπὸ τῶν 4, B
σημείων τῇ 48 πρὸς ὀρϑὰς γωνίας εὐϑεῖαι γραμμαὶ
ἤχϑωσαν αἱ BZ, AE, καὶ ἤχϑω τυχοῦσα ἡ AE, καὶ ἀπὸ
τοῦ Ζ τῇ 4Ε πρὸς ὀρϑὰς γωνίας εὐϑεῖα γραμμὴ ἡ ZH
συμπιπτέτω τῇ 48 κατὰ τὸ H: ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν AE,
B4 ἴδον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AHB. 4

RI

ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ EA πρὸς viv AH, οὕτως ἡ HB
πρὸς τὴν BZ. περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευ-
ραΐ" ὅτι ἄρα ἴση écviv ἡ ὑπὸ τῶν AHE γωνία τῇ ὑπὸ
τῶν ΒΩΗ γωνίᾳ. ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ AHE ἴση ἐστὶν ἐν
τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ AZE, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΩ Η πάλιν
ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ BZH: ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν
ἡ ὑπὸ AZE γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ. ἔστιν δέ" ὀρϑὴ
γάρ ἔστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ 428. ΕΖΗ γωνιῶν.

1. διάμετρον) διαμέτρου cod., Hulsch. 4. ἢ] τῇ cod.,
Hultsch. 5. γωνίᾳ cod., Hultsch. τῇ] τῷ cod.,, ἡ Hultsch cum
aliis. 6. 2 tL Susp. Hultsch. significatur lemma VI, i$ quod
sane aliter a Pappo significatum fuisse probabile est. .B6]
ΘΒ Hultsch.

FRAGMENTA 269

AB. To(yovov τὸ ABI' ἴσην ἔχον τὴν AB τῇ 41, καὶ
ἐκβεβλήσϑω ἡ 48 ἐπὶ τὸ Z1, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 διήχϑω 1,
AE ποιοῦσα ἴσον τὸ BAE τρίγωνον τῷ ABI' τριγώνῳ"
ὅτι. ἐὰν δίχα τμηϑῇ μία τῶν ἴδων πλευρῶν ἡ πρὸς τῷ
ἴσῳ τριγώνῳ τῇ ΒΖ, γίνεται; ὡς συναμφότερος ἡ ΖΒΗ
πρὸς τὴν LH, οὕτως τὸ ἀπὸ AZ τετράγωνον πρὸς τὸ
ἀπὸ ΖΘ τετράγωνον.

ἤχϑω διὰ τοῦ Β τῇ 4Ε παράλληλος ἡ ΒΚ, καὶ ἐκ-
βεβλήσϑω ἡ 4Γ ἐπὶ τὸ K^ ὅτι ἄρα ἐστίν, ὧς συναμφό-
τερος ἡ ΖΚ, ΚΘ πρὸς τὴν ΖΘ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ συναμ-

P^

φοτέρου τῆς ΖΚ. KO καὶ τῆς ZO πρὸς τὸ ἀπὸ ZO,
οὕτως τὸ ἀπὸ AZ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ZO τετρά-
yovov. τὸ δὴ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΖΚΘ καὶ τῆς ΖΘ,
τουτέστιν ἡ τῶν ἀπὸ ΖΚ, KO ὑπεροχή, ἴση ἐστὶν τῷ
ἀπὸ AZ: ἡ ἄρα τῶν ἀπὸ KZ, ZA ὑπεροχή ἐστιν τὸ
ἀπὸ ΚΘ. ἀλλὰ ἡ τῶν ἀπὸ ΚΖ. ZA ὑπεροχή ἐστιν τὸ
ὑπὸ ΓΚΑ͂. ὅτι ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΚΑ͂ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ
ΘΚ ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΚ πρὸς τὴν KO, τουτέστιν
ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν KA, τουτ-
ἔστιν ἡ 4B πρὸς τὴν BA. ἔστιν δέ᾽ παράλληλος γάρ
ἐστιν 7) AE τῇ AT, ἐπειδὴ τὸ ABE τρίγωνον ἴσον ἐστὶν

5. ZBH |] m. 2 cod., BZH m.1; ZB BH Hultsch cum aliis.

13. δὴ] 4 E cod., ἄρα Hultsch eum. Commandino. ZK]
ZK KO Hultsch cum Commandino.

15

10

15

20

210 FRAGMENTA

τῷ 48Γ τριγώνῳ. κοινοῦ δ᾽ ἀφαιρουμένου τοῦ ABE
λοιπὸν τὸ Z1 AE. λοιπῷ τῷ ΑΓΕ ἐστιν ἴσον καί ἐστιν
ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως.

λγ΄. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν 48, καὶ ἐκβεβλήσϑω
ἡ 418 καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν 2 E κάϑετος, καὶ τῷ
ὑπὸ 428 ἴδον κείσϑω τὸ ἀπὸ LH τετράγωνον" ὅτι»
οἷον ἐὰν ληφϑῇ σημεῖον τ:
ὡς τὸ E, καὶ ἀπ᾽ αὐτοῦ
ἐπὶ τὸ H ἐπιξευχϑεῖσα
ἐκβληϑῆῇ ἐπὶ τὸ Θ, γένε-
ται χαὶ τὸ ὑπὸ OEK
ἴσον τῷ ἀπὸ EH τετρα-. 4
γώνῳ. à

ἐπεζεύχϑωσαν ai AE,
BA: ὀρϑὴ ἄρα ἐστὶν ἡ
A γωνία. ἔστιν δὲ καὶ
ἡ Ζ ὀρϑή᾽ τὸ ἄρα ὑπὸ AEA ἴδον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ AZB
καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ 4Ε4
ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ OEK, τὸ δὲ ὑπὸ AZB ἴσον ἐστὶν
τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ τὸ ἄρα ὑπὸ OEK ἴσον ἐστὶν
τοῖς ἀπὸ τῶν EZ, ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ
EH τετραγώνῳ.

λδ΄. Ἔστω. ὡς ἡ AB πρὺς τὴν BI, οὕτως ἡ 44 πρὸς
τὴν 47, καὶ τετμήσϑω ἡ 4Γ δίχα κατὰ τὸ E σημεῖον"
ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ BEZ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ

Θ 4

[535 ἘΞ: Ὄ τ οὐ ξΞ ΑΒΗ αλενοθοου
4 Ὲ 4 E B
τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ BALE và ὑπὸ AAT, τὸ δὲ ὑπὸ
ABT τῷ ὑπὸ EBA.
ἐπεὶ γάρ, ὡς ἣ 4B πρὸς τὴν BI, οὕτως ἡ 44 πρὸς
τὴν A41, συνϑέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ

80 ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν EI, ἡ ΕΓ

30. ἡ EI'] οὕτως ἡ EI' Gerhardt, Hultsch.

FRAGMENTA 211

πρὸς τὴν Ez: τὸ ἄρα ὑπὸ BEA ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EI.
κοινὸν ἀφῃρήσϑω τὸ ἀπὸ Zl E τετράγωνον λοιπὸν ἄρα
τὸ ὑπὸ BAE ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ 441. πάλιν τὸ ὑπὸ
BEZ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EI' τετραγώνῳ. ἀμφότερα
ἀφῃρήσϑω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς BE τετραγώνου" λοιπὸν
ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν 48 Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν EBA.
ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΖ Ε ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν
AAT, καὶ τετμήσϑω δίχα ἡ ΓΑ͂ κατὰ τὸ Ε΄ ὅτι ἐστίν,
ὡς ἡ 48 πρὸς τὴν ΒΙΓ, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν ZI.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν BAE ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν
AAI, κοινὸν προσκείσϑω τὸ ἀπὸ 2 τετράγωνον᾽ ὅλον
. ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΖ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ. ἀνάλογον
καὶ ἀναστρέψαντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα
ἐστίν, ὡς ἡ AB πρὸς τὴν BI, οὕτως ἡ 44 πρὸς τὴν AI-
λε΄. Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν
AB, καὶ ἐχβεβλήσϑω ἡ 4 B, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν
4 E κάϑετος. καὶ πε-
ποιήσϑω. ὡς ἡ 42 πρὸς
τὴν ZB, οὕτως ἡ AH
πρὸς τὴν HB: ὅτι πά-
λιν. οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς
ΕΖ σημεῖον Ang, ὡς
τὸ E, καὶ ἐπιξευχϑεῖσα
ἡ EH ἐκβληϑῇ ἐπὶ τὸ Θ,
γίνεται, ὡς ἡ OE πρὸς
τὴν EK, οὕτως ἡ ΘΗ
πρὸς τὴν HK.
εἰλήφϑω τὸ χέντρον τοῦ κύκλου τὸ 4. καὶ ἀπὸ τοῦ
4 ἐπὶ τὴν EO κάϑετος ἤχϑω ἡ 4Μ' ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
KM τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρϑή ἐστιν ἑκατέρα τῶν M, Ζ
γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ E, Ζ, A, M σημεῖα" τὸ ἄρα
ὑπὸ ZHA ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν EH M. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ
τῶν HA ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AH B διὰ τὸ εἶναι,
20. πάλιν] ut in lemmate XXXIII.

.10

15

20

25

80

10

15

20

25

30

212 FRAGMENTA

ὡς τὴν AZ πρὸς τὴν ZB, οὕτως τὴν AH πρὸς τὴν HB,
καὶ τετμῆσϑαι τὴν 48 δίχα κατὰ τὸ 4: καὶ τὸ ὑπὸ τῶν
EHM ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν AHB, τουτέστιν " ἐν
κύκλῳ γάρ τῷ ὑπὸ τῶν OHK. καὶ τέτμηται δίχα ἡ
OK κατὰ τὸ Μ᾿ διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς
ἡ OE πρὸς τὴν EK, οὕτως ἡ OH πρὸς τὴν ΗΚ.

λς΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς A4 B, καὶ παράλληλος τῇ
AB ἡ DA, καὶ κάϑετοι ἤχϑωσαν αἵ ΓΕ. AH: ὅτι loq
ἐστὶν ἡ 4Ε τῇ ΗΒ. | !

δἰλήφϑω τὸ κέντρον τοῦ xóxAov τὸ Z, καὶ ἐπεξεύχ-

ϑωσαν αἱ ΓΖ, 24: ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ Za ὥστε
καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ :
τῆς ZZ τετραγώνῳ. ἀλλὰ τῷ
μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν Τ᾿ 4
τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ τετράγωνα,
τῷ δὲ ἀπὸ 412 τετραγώνῳ ἴσα
ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν 4H, HZ τε- ΤῊ Z H B
τράγωνα᾽ καὶ và ἀπὸ τῶν ΓΕ,
ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ZH, H4
τετραγώνοις. ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ
ἀπὸ τῆς ZH τετραγώνῳ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς EZ
τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ZH τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον".
ἴση ἄρα ἐστὶν 7 EZ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ AZ
ὅλῃ τῇ ZB ἴση λοιπὴ ἄρα ἡ AE λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστιν
ἴση ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

AE. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς 4B, καὶ ἀπὸ τυχόντος
τοῦ I'Oujy90 ἡ D, καὶ κάϑετος ἤχϑω ἡ 4 Ε΄ ὅτι τὸ
ἀπὸ 4 τοῦ ἀπὸ ΓΖΔ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου
τῆς AI, ΓΒ καὶ τῆς AE.

ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ 4Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ve ἀπὸ ZI, τουτ-
ἔστιν τοῖς ἀπὸ AE, EI, καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς

2. τετμῆσϑαι τὴν] susp. Hultsch, τέτμηται ἡ cod. ὅ. προ-
γεγραμμένον] lemma XXXIV extr. 25. ὅπερ ἔδει δεῖξαι} o
cod., ὅπερ: c» Hultsch.

FRAGMENTA 213

AI'B καὶ τῆς 4E. ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ
ὑπὸ ΓΑ͂Ε λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ
ΖΕ, τουτέστιν τῷ ὑπὸ AEB, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ

«4

mmm

A B E

ὑπὸ AE, ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεϑέντος τοῦ ἀπὸ DE, ὅτι
λοιπὸν τὸ ὑπὸ AEI' ἴσον ἐστὶν τῷ vs ὑπὸ AEB καὶ
τῷ ὑπὸ AE, BI: ἔστιν δέ.

Εἰς τὸ πόρισμα τοῦ α΄ βιβλίου.

Aq. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ 44 ἀπὸ δο-
ϑέντος τοῦ E διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴδον τὸ ΖΓΗ
τρίγωνον τῷ 44 παραλληλογράμμῳ.

γεγονέτω. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν

Ζ 4 Γτὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ 44 παρ-
cAAqAoyoduuo, τὸ δὲ 44 παρ-

αλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν

10

τοῦ 4ΓΖ24 τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ 15

ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν
τοῦ 4Γ 4 τριγώνου. ὡς δὲ τὸ τρίέ-
Β 2. E yovov πρὸς τὸ τρίγωνον. διὰ τὸ
περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ

H

οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ AI. δοϑὲν 20

δὲ τὸ ὑπὸ Al: δοϑὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ZI'H. καὶ δο-

1. AI'B| 4Γ ΓΒ Hultsch cum Commandino. 19. περὶ]
εἶναι περὶ Hultsch. 22. δοϑέντος)] ἀπὸ δοθέντος Hultsch cum
Commandino.

Euclides, edd. Heiberg et Menge. VIII. 18

10

15

25

214 FRAGMENTA

ϑέντος τοῦ E sig ϑέσει τὰς AT, I4 διῆκται ele χωρίου
ἀποτομήν" ϑέσεν ἄρα ἐστὶν ἡ EZ.

συντεϑήσεται δὲ οὕτως" ἔστω τὸ μὲν τῇ ϑέσει παρ-
αλληλόγραμμον τὸ 44, τὸ δὲ δοϑὲν τὸ Ε. διήχϑω ἀπὸ
τοῦ E εἰς ϑέδει vàg ZI'H εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα
χωρίον τὸ ZI'H ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι
τοῦ 41ΓΖ4. καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον
τὸ ZI'H τρίγωνον τῷ 44 παραλληλογράμμῳ ἡ EZ
ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα. φανερὸν οὖν, ὅτι μόνη, ἐπεὶ
κἀκείνη μόνη.

, M 3
Τόποι πρὸς ézigaveía.

1. Pappus Συναγ. VIL ὃ p. 636,23 (inter opera ad
τόπον ἀναλυόμενον pertinentia loco undecimo, cfr. fr. 5):
Εὐκλείδου Ἰόπων πρὸς 1) ἐπιφανείᾳ δύο. cfr. Studien
über Euklid p. 198564., Zeuthen Die Lehre von den Kegel-
schnitten im Altertum p. 423sqq.

8. Pappus Συναγ. VII 312 p. 1004, ect

αν τοὺς πρὸς ἐπιφανείᾳ.

᾿Εὰν ἡ εὐθεῖα 3 AB καὶ E
A ϑέσει ἡ I1, καὶ ἢ λόγος
τοῦ ὑπὸ 4448 πρὸς τὸ ἀπὸ AIT,
τὸ Γ' ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. Α B
ἐὰν οὖν ἡ μὲν AB στερηϑῇ τῆς 4
ϑέσεως. καὶ τὰ 4, B στερηϑῇ τοῦ
δοϑέντα εἶναι. γένηται δὲ πρὸς ϑέσει εὐϑείαις ταῖς AE,

1) πρὸς] τῶν πρὸς Hultsch.

1. εἰς (alt.)] ἡ ΕΖ εἰς Hultsch cum Commandino. 5. ΖΓΗ]
ZI'I'4 Hultsch cum Commandino. 6. τὸ] τὸ ὑπὸ cod.,
Hultsch. 7. τοῦ] τοῦ ὑπὸ cod. Hultsch. 19. αἹ hoc lemma
explicauit Tannery Bulletin des sciences mathém. 2? série VI
p. 149, figuram dedit Zeuthen Kegelsch. p. 424. 25. δο-
ϑέντα)] δοϑέντος cod., Hultsch. εὐϑείαις] Tannery, εὐθεῖα cod.,
Hultsch.

FRAGMENTA 215

EB, τὸ I' μετεωρισϑὲν γίνεται πρὸς ϑέσει ἐπιφανείᾳ.
τοῦτο δὲ ἐδείχϑη.

β΄. ᾿Εὰν ἢ ϑέσει εὐθεῖα ἡ 48 καὶ δοϑὲν τὸ I' ἐν τῷ
αὐτῷ ἐπιπέδῳ, «ol διαχϑῇ ἡ 4 u καὶ
παρὰ ϑέσει ἀχϑῇ ἡ 4Ε, λόγος δὲ ἦ τῆς
ΓΖΩ͂ πρὸς AE, τὸ 4 εὐτεοτᾶι ϑέσει κωνι-
«ijo τομῆς" δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς.
δειχϑήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τό-
που τοῦδε"

Zo δοϑέντων τῶν 4. B καὶ ὀρϑῆς
Β Dp τῆς ΓΖ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ 44 πρὸς

τὰ ἀπὸ I, 48. λέγω. ὅτι τὸ Γ ἅπτεται

κώνου τομῆς, ἐάν vs ἦ ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείξων
πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείξονα.

ἔστω γὰρ πρότερον ὃ λόγος ἴσος
πρὸς ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ
ἀπὸ AZ τοῖς ἀπὸ 171, 4B, κείσϑω
τῇ ΒΩ ἴση ἡ 4E* ἴσον ἄρα ἐστὶ
τὸ ὑπὸ BAE τῷ ἀπὸ AI. τετμήσϑω
δίχα ἡ AB τῷ Z* δοϑὲν ἄρα τὸ Z.
καὶ ἔσται διπλῇ ἡ AE τῆς Z4
4 Z 4 g ὥστε τὸ ὑπὸ BAE τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ
τῶν AB, ZZ. καί ἐστιν ἡ διπλῆ
τῆς 4B δοθεῖσα" τὸ ἄρα ὑπὸ δοϑείσης καὶ τῆς Z4 ἴσον
ἐστὴν τῷ ἀπὸ τῆς Z1. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται ϑέσει παρα-
βολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Z.
συντεϑήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως"
ἔστω τὰ δοϑέντα 4. B, ὃ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς

1. ἐπιφανείᾳ] Hultsch in indice, ἐπιφανείας cod. ὄὅ. παρὰ
ϑέσει) πρὸς ὀρϑὰς Hultsch. 7. δείκνυται) δεικτέον Susp.
Hultsch. γραμμῆς] γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν τόπον Gerhardt,
Hultseh. 8. τόπου] ,immo τοῦ λήμματος“. Hultsch. 10. γ΄
praeposuit Hultsch cum. aliis. 21. ἔσται] ἔστιν Hultsch cum
Commandino. 27. δ΄ add. Hultsch, alii.

18*

10

15

20

25

ex

10

216 FRAGMENTA

ἴσον, καὶ τετμήσϑω ἡ AB δίχα τῷ Z, τῆς δὲ 48 διπλῆ
ἔστω ἡ P, καὶ ϑέδει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασ-
μένης κατὰ τὸ Z, τῆς δὲ P δεδομένης τῷ μεγέϑει, γε-
γράφϑω περὶ ἄξονα τὸν ZB παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε,
οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς σημεῖον ληφϑῇ ὡς τὸ I, Wes δὲ
ἀχϑῇ ἡ ΓΖ. ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ P, ΖΖΩ τῷ ἀπὸ AT, καὶ
ἤχϑω ὀρϑὴ 7 BH. λέγω. ὅτι τὸ ΓΗ μέρος τῆς παρα-

ολῆς ἐστιν.
βολῆς ῥᾳ.

ἤχϑω γὰρ κάϑετος ἡ l4, καὶ vij Βε lou κείσϑω
ἡ 4E. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν AB τῆς ΒΖ, ἡ
δὲ ΕΒ τῆς Β4, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ AE τῆς Zzl* τὸ ἄρα
ὑπὸ BAE ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν AB, Z4, τουτ-
ἕστιν τῷ ἀπὸ 411. χοινὸν προφχείσϑω τὸ ἀπὸ EZ
ἴσον ὃν τῷ ἀπὸ 418᾿ ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ 44 ἴσον ἐστὶν
τοῖς ἀπὸ τῶν I, AB. ἡ ZI'H ἄρα γραμμὴ ποιεῖ, τὸν
τόπον.

Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοϑέντα σημεῖα τὰ 4. B καὶ
εὐθεῖά ve ἡ ZI' καὶ ὀρϑή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ A4

17. ε΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. εὐθεῖά ve ἡ 4Γ
καὶ ὀρϑή] ἐφάπτεται ἡ 4Τ' καὶ ὀρϑή cod., κατήχϑω ὀρϑὴ ἡ 4Γ
Hultsch cum Commandino.

FRAGMENTA 911

πρὸς τὰ ἀπὸ ΒΩ. ΖΓ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως
ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς
ἐλάσσονα. λέγω. ὅτι τὸ Γ ἅπτεται κώνου τομῆς. ἐπὶ
μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας
ὑπερβολῆς.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ 44] πρὸς τὰ ἀπὸ BA,
AI, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β4 πρὸς τὸ ἀπὸ

T

H
E 9.42 58Z

A E: ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν
ἡ B4 τῆς AE, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ ΒΖ
τῆς 4Ε. κείσϑω οὖν τῇ ΕΔ ἴση ἡ 47. ἐπεὶ λόγος

ἐστὶν τοῦ ἀπὸ 421 πρὺς τὰ ἀπὸ ΓΖ, 418, καί ἐστιν αὐτῷ
ὁ αὐτὸς ὃ τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ 4}. καὶ λοιπὸς

2. ἐλάσσων πρὸς μείζονα] μείζων πρὸς ἐλάσσονα Hultsch cum
Commandino. μείζων πρὸς ἐλάσσονα) ἐλάσσων πρὸς μείξονα
Hultsch cum Commandino. 7. B4] EZ Hultsch cum Com-
mandino. 8. 4E] 48 Hultsch cum Commandino. 10. ov]
ὅτι cod., om. Hultsch cum Commandino. 12. Permutanda
erant Ez et 4B; sed hic error, quoniam cum ulla proba-
bilitate corrigi non potest, Pappo ipsi tribuendus est. totam
demonstrationem pessumdat.

10

15

918 FRAGMENTA

ἄρα τοῦ ὑπὸ LAE πρὸς τὸ ἀπὸ 41 λόγος ἐστὶν δο-
ϑείς. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς ΕΖ πρὸς Z44B καὶ τῆς
Z4 πρὸς 48 καὶ τῆς ZB πρὸς Bf, ὃ αὐτὸς αὐτῷ
γεγονέτω ὃ τῆς 4B πρὸς BH: xai ὅλης ἄρα τῆς AZ
πρὸς ZH λόγος ἐστὶν δοϑείς. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶν
τῆς Ez πρὺς 4B δοϑείς, καὶ τῆς EB ἄρα πρὸς ΒΖ
λόγος ἐστὶν δοϑείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὃ τῆς 48
πρὸς BO: λόγος ἄρα καὶ τῆς AB πρὸς BO ἐστιν δοϑείς"
δοϑὲν ἄρα τὸ O. καὶ λοιπὸς τῆς AE πρὸς ΘΖ λόγος
ἐστὶν δοϑείς " καὶ τοῦ ὑπὸ ZAE ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΙΗ
λόγος ἐστὶ δοϑείς. τοῦ δὲ ὑπὸ LAE πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖΩ
λύγος ἐστὶν δοϑείς" καὶ τοῦ ὑπὸ ΗΖ1Θ ἄρα πρὸς τὸ
ἀπὸ 4Γ᾽ λόγος ἐστὶν δοϑείς. καί ἐστιν δύο δοϑέντα τὰ
0, Η᾿ ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ [1 ἅπτεται
ἐλλείψεως. ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.

συντεϑήσεται δὲ ὃ τόπος οὕτως"

ἔστω τὰ μὲν δύο δοϑέντα σημεῖα τὰ 4, B, ὃ δὲ δο-
ϑεὶς λόγος 0 τῆς PT πρὸς TZ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώ-

Η

Ρ Τ Σ δῇ

σεως ἐλάσσων πρὸς μείξονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων

2. καὶ τῆς ΖΖΩ πρὸς 48] om. Hultsch cum Commandino.
6. καὶ τῆς — 7. δοϑείς] cod., nisi quod δοϑέντα habet (sicut
etiam post zB lin. 6); om. Hultsch cum Commandino.
7. AB] 40 Hultsch cum Commandino. 9. δοϑὲν ἄρα τὸ €]
uncis inclusit Hultsch: λοιπὸς] λοιπὸς ἄρα Hultsch.
15. Post ὑπερβολῆς add. μείξων πρὸς ἐλάσσονα ἐλάσσων πρὸς
μείξονα cod. 16. ς΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. τῆς
PT πρὸς TX] τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ TZ Hultsch cum Com-
mandino. 19. μείζων πρὸς ἐλάσσονα et ἐλάσσων πρὸς μείζονα
Hultsch cum Commandino.

FRAGMENTA 219

πρὸς ἐλάσσονα, καὶ τῇ PT ἴση κείσϑω ἡ TT, καὶ πε-
ποιήσϑω, ὡς ἡ TZ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ AB πρὸς
τὴν BH, πεποιήσϑω δὲ καί, ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν TX,
οὕτως ἡ 4Θ πρὸς τὴν OB, καὶ γεγράφϑω περὶ ἄξονα
τον ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ

Κ

δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾽ αὐτῆς
ληφϑῇ σημεῖον ὡς τὸ I', καὶ κάϑετος ἀχϑῇ ἡ I4,
λόγον εἷναι τοῦ ὑπὸ τῶν OZ4H πρὸς τὸ ἀπὸ 4Γ
τὸν συνημμένον ἔχ τε τοῦ. ὃν ἔχει ἡ ΤΙΣ πρὸς ΣΎ, καὶ
ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΙΣ πρὸς ΣΡ, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχεν ὃ δοϑεὶς
λόγος. ὅς ἐστιν ὃ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ T2, καὶ
ἤχϑω ὀρϑὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ Θ K ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα.

ἤχϑω γὰρ κάϑετος ἡ I, καὶ πεποιήσϑω. ὡς μὲν ἡ
AB πρὸς τὴν BH, οὕτως ἡ ZB πρὸς τὴν B4, ὡς δὲ ἡ
A60 πρὺς τὴν ΘΒ. οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν 4B: ὥστε
ἔσται ὁ μὲν τῆς 4Η πρὸς τὴν AZ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ
τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς TZ πρὸς XT,
ὁ δὲ τῆς ΘΖ πρὸς AE λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ
πρὺς ΣΡ' τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχϑη " ὥστε

5

15

τοῦ ὑπὸ 04H πρὸς τὸ ὑπὸ ZAE λόγος συνῆπται ἐξ οὗ 20

11. καὶ ἤχϑω) κατήχϑω cod., Hultsch. 18. ἐστιν] del.
Hultsch. 19. τὸ αὐτὸ] τοῦτο susp. Hultsch.

10

15

20

25

280 | FRAGMENTA

ὃν ἔχεν ἡ ΤΙΣ πρὸς ΣῪ καὶ ἡ TZ πρὸς ΣΡ. ἀλλ᾽ ἐπεὶ.
τὸ ὑπὸ ΘΖ Η πρὸς τὸ ἀπὸ 41 τὸν συνημμένον ἔχει
λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΙΣ πρὸς ΣῪ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ,
καὶ ἔτι ὃ δοϑεὶς λόγος ὃ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙΣ,
καὶ τὸ ὑπὸ ΘΖ Η πρὸς τὸ ἀπὸ AT' συνῆπται ἐξ οὗ ὃν
ἔχει τὸ ὑπὸ ΘΖ Η πρὸς τὸ ὑπὸ ZAE καὶ τὸ ὑπὸ ZAE
πρὸς τὸ ἀπὸ Zl, καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν 6044 Η πρὸς
τὸ ὑπὸ ZAE λόγος ὃ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν
ἔχει ἡ ΤΖΣ πρὸς ΣΎ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ, λοιπὸς ἄρα
τοῦ ὑπὸ ZAE πρὸς τὸ ἀπὸ 41Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν
τῷ τοῦ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ TZ, τουτέστι τῷ τοῦ
ἀπὸ Ez πρὸς τὸ ἀπὸ 418. καὶ πάντα πρὸς πάντα᾽
ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ 44] πρὸς τὰ ἀπὸ ΓΖά. AB, οὕτως
ἐστὶν τὸ ἀπὸ PT πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙΣ, τουτέστιν ὁ Óo-
ϑεὶς λόγος." ὥστε τὸ OK μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν
τόπον.

Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεϑα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.

ἔστω ϑέσει εὐθεῖα ἡ .4B καὶ δοϑὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ
ἐπιπέδῳ. καὶ διήχϑω ἡ ZI καὶ κάϑετος ἡ 4Ε, λόγος δὲ
ἔστω τῆς ΓΖ πρὸς AE. λέγω, ὅτι τὸ Z1 ἅπτεται κώνου
τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὃ λόγος ἦ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς.
ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα. ἐλλείψεως. ἐὰν δὲ μείζων
πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς.

ἔστω πρότερον ὃ λόγος ἴδος πρὸς ἴσον. τουτέστιν ἔστω
πρότερον ἴση ἡ ΓΖΩ͂ τῇ 4Ε. δεῖξαι, ὅτι τὸ “] ἅπτεται
παραβολῆς.

ἤχϑω κάϑετος ἡ I'Z': ϑέδει ἄρα ἐστί: τῇ δὲ AB
παράλληλος ἡ ZH. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ez ἴσον τῷ ἀπὸ

4. καὶ ἔτι] καὶ ἔστιν cod., καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοϑεὶς λόγος
καὶ ἔστιν Hultsch cum Commandino. Post ΤΣ add. ἐλάσσων
πρὸς μείζονα cod. 10. ZAE] ΘΖΗ cod. 18. ΓΖ, 48]
BH cod. 17. ζ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 19. καὶ
(alt. om. cod., Hultsch. 94. ἔστω] ἔστω τῶν cod. ἔστω γὰρ
Hultsch.

FRAGMENTA 281

ΖΓ, ἴση δὲ ἡ uiv ΕΖ τῇ ZH, vo δὲ ἀπὸ AT' ἴσον
τοῖς ἀπὸ ZH, ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ
ΖΗ. ΗΓ. καὶ ἔστιν ϑέσει ἡ ZI, καὶ δύο δοϑέντα τὰ
Z, Γ᾽ τὸ zl ἄρα ἅπτεται παραβολῆς τοῦτο γὰρ προ-
δέδεικται.

συντεϑήσεται δὴ οὕτως"

ἔστω ἡ τῇ ϑέσει ἡ 48. τὸ δὲ δοϑὲν τὸ I καὶ ἤχϑω
χάϑετος ἡ ΓΖ, καὶ ϑέδσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοϑέν-
τῶν τῶν Z, Γ' εὑρήσϑω παραβολὴ ἡ 40, ὥστε. οἷον
ἐὰν ληφϑῇ σημεῖον ὡς τὸ Zl, ἀχϑῇ δὲ κάϑετος ἡ 4H,
ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ZH τοῖς ἀπὸ 4H, HI. λέγω. ὅτι
ἡ 46 γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι. οἵα τις
ἐὰν διαχϑῇ ὡς ἡ Ll χαὶ κάϑετος ἡ 4 Ε- ἴση ἐστὶν ἡ
ΓΖ τῇ 4Ε.

ἤχϑω κάϑετος ἡ 4 Η διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον
ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ 4H, HI. καί ἐστιν τῇ μὲν
ΖΗ ἴση ἡ EZ, τοῖς δὲ ἀπὸ 4H, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ 4Γ΄
τὸ ἄρα ἀπὸ 4 Γ᾽ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ 4 E. ἴση ἄρα ἐστὶν

ς

ἡ ΓΖΩ͂ τῇ AE: ἡ ἄρα 20 γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.

6. η΄ praemisit Hultsch cum aliis. 11. ἐστὶν] fort. εἶναι.
19. τὸν τόπον ποιεῖ] τὸν τόπον cod., ποιεῖ τὸν τόπον Hultsch
cum aliis. ὅτι) om. cod., Hultsch. 13. ἐὰν] ἂν Hultsch.

19. Desiderantur praeter finem huius lemmatis sine dubio alia
lemmata libri Euclidis.

10

15

e

10

15

r2
σι

282 FRAGMENTA

Κωνικά.

9. Pappus Συναγ. VII 30 p. 612, 18sqq.:

Τὰ Εὐκλείδου βιβλία ὃ Κωνικῶν πολλώνιος &va-
πλώσας καὶ προσϑεὶς ἕτερα ὃ παρέδωχεν ἡ Κωνικῶν
τεύχη.

Scholiasta Pappi III p. 1187 ad hune loeum: ὅτι καὶ
ὁ Εὐκλείδης κωνικῶν ὃ βιβλία γέγραφεν.

Cfr. Studien über Euklid p. 89866.

10. Apollonius Pergaeus Conic. I p. 4, 10sqQq.:

Τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παράδοξα ϑεωρήματα χρήσιμα
πρός τε τὰς συνϑέδεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς
διορισμούς, ὧν τὰ πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα, ἃ καὶ
κατανοήδαντες συνείδομεν μὴ συντιϑέμενον ὑπὸ Εὐκλεί-
δου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμμὰς τόπον, ἀλλὰ
μόριον τὸ τυχὺν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς οὐ γὰρ
ἦν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρημένων ἡμῖν τελειωϑῆνα
τὴν σύνϑεσιν. |

Cfr. Pappus VII 32 p. 66, 3sqq.

Pappus VII 33 p. 676, 19sqq.: 4zo4AAóviog μὲν ταῦτα"
ὃν δέ φησιν ἐν τῷ τρίτῳ τόπον ἐπὶ y καὶ ὃ γραμμὰς μὴ
τελειωϑῆναι ὑπὸ Εὐχλείδου, οὐδ᾽ ἂν αὐτὸς ἠδυνήϑη
οὐδ᾽ ἄλλος οὐδεὶς ἀλλ᾽ οὐδὲ μικρόν τι προσϑεῖναι τοῖς
ὑπὸ Εὐκλείδου γραφεῖσιν διά ys μόνων τῶν προδεδειγ-
μένων ἤδη κωνικῶν ἄχρι τῶν κατ᾽ Εὐκλείδην, ὡς καὶ

5 αὐτὸς μαρτυρεῖ λέγων ἀδύνατον εἶναι τελειωϑῆναι, yo-

olg ὧν αὐτὸς προγράφειν ἠναγκάσϑη. 6 δὲ Εὐκλείδης
ἀποδεχόμενος τὸν Ἀρισταῖον ἄξιον ὄντα. ἐφ᾽ οἷς ἤδη
παραδεδώκδι xcovixoig, καὶ μὴ φϑάσας ἢ μὴ ϑελήσας
ἐπικαταβάλλεσϑαι τούτων τὴν αὐτὴν πραγματείαν. ..

3. ἀναπλώσας) cod., ἀναπληρώσας Hultsch cum 8118.
22. ἀλλ᾽ — 93. γραφεῖσιν)] del. Hultach. 26. ὁ δὲ sqq. del.
Hultsch.

FRAGMENTA 283

ὅσον δυνατὸν ἦν τοῦ τόπου διὰ τῶν ἐκείνου κωνικῶν,
ἔγραψεν οὐχ εἰπὼν τέλος ἔχειν τὸ δεικνύμενον.

— De loco ad tres uel quattuor lineas ἃ. Zeuthen Die
Lehre von den Kegelschn. p. 126sq.

11. Archimedes Quadrat. parabol. prop. 1—3 (II p.
266 sqq.; cfr. ib. II p. 350,8; 436, 3):

Εἴ κα ἦ óp890ycoví(ov κώνου roud, ἐφ᾽ ἃς & ABI,
& δὲ Β4 παρὰ τὰν διά-
μξτρον ἢ αὐτὰ διάμετρος,
ἁ δὲ 4Γ παρὰ τὰν κατὰ τὸ
Β ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώ-
vov τομᾶς. ἴσα ἐσσεῖται ἁ
AA τᾷ 4Γ. κἂν ἴσα ἦ ἁ
424 τᾷ AT, παραλλήλοι ἐσ-
σοῦνται ἅ τὲ Al' καὶ ἁ
κατὰ τὸ Β ἐπιψαύουσα τᾶς
τοῦ κώνου τομᾶς.

Εἴ κα 1j ὀρθογωνίου κώ-

7 4 p vov vou& & ABI ἢ δὲ &

uiv Β4 παρὰ τὰν διά-
μέτρον ἢ αὐτὰ διάμετρος, & δὲ 44 παρὰ τὰν κατὰ τὸ
B ἐπιψαύουσαν τᾶς τοῦ κώνου τομᾶς, & δὲ EI' τᾶς τοῦ
κώνου τομᾶς ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ [Γ, ἐσσοῦνται αἱ ΒΖ,
BE ἴσαι.

Ei κα 1| ὀρϑογωνίου κώνου τομὰ & ABI, ἁ δὲ BA
παρὰ τὰν διάμετρον ἢ αὐτὰ διάμετρὸς. καὶ ἀχϑέωντί
τινες αἱ 44, ΕΖ παρὰ τὰν κατὰ τὸ B ἐπιψαύουσαν τᾶς
τοῦ κώνου roug, ἐσσεῖται. ὡς & ΒΖ ποτὶ τὰν ΒΖ. δυ-
νάμει & 44 ποτὶ τὰν ΕΖ.

ἀποδέδεικται δὲ ταῦτα ἐν τοῖς κωνικοῖς στοι-
χείοις.

12. Archimedes Περὶ κωνοειδ. καὶ σφαιροειδ. prop. ὃ
(I p. 210, 158qq.):

E

15

25

30

10

15

20

284 FRAGMENTA

Ei κα κώνου vou&g ὁποιασοῦν εὐϑεῖαν ἐπιψαύωντι
ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σαμείου ἀγμέναι, ἔωντι δὲ καὶ ἄλλαι
εὐθεῖαι ἐν τᾷ τοῦ κώνου τομᾷ παρὰ τὰς ἐπιψαυούσας
ἀγμένανι καὶ τέμνουσαν ἀλλάλας. τὰ περιέχόμενα ὑπὸ
τῶν τμαμάτων τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτ᾽ ἄλλαλα, ὃν
τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ἐπιψαυουσᾶν᾽ ὁμόλογον δὲ
ἐσσεῖται τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τᾶς ἑτέρας γραμμᾶς
τμαμάτων τῷ τετραγώνῳ τῷ ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τᾶς
παραλλήλου αὐτᾷ.

ἀποδέδεικται δὲ τοῦτο ἐν τοῖς κωνικοῖς στοι-
χείοις.

18. Archimedes Περὶ κωνοειδ. prop. E
9 d p. 212, 23sqq.): | ; i 4

Ov δὴ λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ
ἀπὸ τᾶς 42 ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ
ἀπὸ τᾶς AK, τοῦτον ἐχέτω ἁ Ν ποτὶ
τὰν M. αἱ δὴ ἀπὸ τᾶς τομᾶς ἐπὶ τὰν Ζ
AZ ἀγόμεναι παρὰ τὰν A E δύνανται
τὰ παρὰ τὰν ἴσαν τῷ IN παραπίπτοντα
πλάτος ἔχοντα, ἃς αὐταὶ ἀπολαμβά-
νοντι ἀπὸ τᾶς ZZ ποτὶ τὸ Zi πέρας. Κ A

δέδεικται γὰρ ἐν τοῖς κωνικοῖς.

09K UR

-" Wehabisoss: [d ]

id
Be. «oho nti ΘΙ ΩΣ

a
EM LÀ
Po x&e—————É
"
᾿
,
, ᾿ B
-
᾿ ᾿
» f * 9
^
^ -
—— -ν --ἄ “-.
* ϊ " 4 r!
qu Mi. , ^ y! 193
,
H r "» T ^
Pp oW *- 4 L0 ᾿

-
.
: 4
e E
E
VR
{δ 1}
εἰν 4!
i
:
DES -
0»
4 »
34 "n
-» gv
ti
ὁ
Q1939N111
. C4 323 6 E
-
) ZIP
- i 4 k
gíl4
ΞΘ :
nur ἐΓ 1.9
15-5
i4
^
E E H
i di ἐν
» 4.
zd H |
" * "
ς H *3
ty is
ὃ - "PL
- hd «ς
δι k
B i h 5
E
ἡ γω FP.
i νι
; 4511 , ,
Á $ n1
τ 2g h vw
» Y BE
t4 | v lt
- . —oe o — ...
" : ,
4 « εἴ
*
* ^ n
a BaéYw d ῖ E
αι ἃ woO»20 -
5

) Εὐκλείδου γεωμετρικόν.
Ἡμίονος καὶ ὄνος φορέουσαι otvov ἔβαινον,
αὐτὰρ ὄνος στενάχιξεν ἐπ᾽ ἄχϑει φόρτου ἑοῖο.
τὴν δὲ βαρυστενάχουσαν ἰδοῦσ᾽ ἐρέξινεν ἐκείνη"
δ μῆτερ. τί κλαίουσ᾽ ὀλοφύρεαι ἠύτε κούρη:
εἰ μέτρον ἕν μοι δοίης, διπλάσιον σέϑεν ἦρα,
εἰ δὲ ἕν ἀντιλάβοις, πάντως ἰσότητα φυλάξεις.
εἰπὲ τὸ μέτρον, ἄριστε γεωμετρίης ἐπίιστορ.

Primus edidit Aldus in Florilegio 1608 (MM p. 9), deinde
praeter reliquas Anthologiae editiones, uelut Henrici Ste-
phani 1566 p.493, Bachetus in Diophanto p. 370 sine
Euclidis nomine (p. 349: ,placet hoc loco elegantissima
aliquot epigrammata proferre non iniucundas quaestiones
de rebus arithmeticis continentia, quae nondum edita fu-
erunt, quaeque pridem e codice probatissimo Palatino ex-
cerpta tradidit nobis vir eruditissimus Claudius Salmasius",
et deinde p. 368: ,,his, quae nondum edita erant, epigram-
matis subiicere libet quinque sequentia eum nostra inter-
pretatione, ne quid ad hane materiam pertinens hie deesse
sinamus, quamuis olim haec edita circumferantur in Ántho-
logia^) et Brunckius Anal. I p. 168. ego hosce contuli co-
dices: Vatic. Gr. 63 bomb. s. XIV (A, fol. 121), Vatic. Gr.
1847 chart. s. XVI (B, fol. 216), Vatic. Gr. 1379 chart.
s. XV (6, fol. 33), Mutin. III B 11 ehart. s. XV (D), Bar-
berin. I 128 chart. s. XV (E, fol. 124), Musei Britann. add.
22858 chart. s. XVI (F, fol. 105"), Bodl. Baroccian. 125
chart. s. XVI, u. Coxe I p. 203 (G, fol. 146). exstat etiam
in Viudob. philos. 331.

i. TASSE γεωμετρικοῦ F, ἐπίγραμμα yero irt E G.
2. olvov] ἵνον F. 8. στενάχισεν F, sed corr. 4. βαριστε-

Philippus Melanchthon.

Mulae asinaeque duos imponit seruulus utres
impletos uino. segnemque ut uidit asellam
pondere defessam uestigia figere tarda,

mula rogat: quid, chare parens, cunctare gemisque?
unam ex αὖτ tuo mensuram si mihi reddas,
duplum oneris tune ipsa feram; sed si tibi tradam
unam mensuram, fient aequalia utrique

pondera. mensuras die, docte geometer, istas!

5. T.

ζ΄

Interpretationem Melanchthonis sumpsi ex F, fol. 105".

γνάχουσαν Bachet. ἐρέεινεν»} ἐρέειν. C, ἐρεένειν. EF, ἐρέεκεν G.
ἐκείνη] ἐνεκείνη C. — 5. μῆτερ) AE CD, ὦ μερ E. 6. & μοι]
ἔμοι Bachet. T. δὲ ἕν] δέ κεν FG. 8. γεωμετρίως F.
ἐπιίστωρ E, “. add. G et in mg. 7d ἐπιστήμων. — In mg. ad
lin. 8: 7 ES; t£ καὶ ἡ ὄνος € DE, ἡ ἡμίονος ξ ἡ ὄνος € A.
In fine: ἀνὰ τριῶν μέτρων δοκοῦσι φέρειν ACDE Aldus Ste-

phanus, ἡ uiv £ ἡ δὲ € μέτρα δοκοῦσι φέρειν C.

14 73
ima 63
D P et
ΑΥ̓͂,
but
(UL
ἃ
Στ 11
T.
RRÍ
E
' 4
Í [1 i
- —

X351 5 qii $3 94 D» $455 (Q3 QAM

ἈΠ το, 3i ogni bid

i

[o2g, δεῖμα 34, 3 porn
ust exon pigtisor, t "f
otnionaos- 209 xaq: auo.

ibbor-i dios. ie. arextíeopm Mes

τἀν bam uarsimed gas ges
5i RI Ὁ) P Ὁ. ifs.
"nad 3f e ἡ Ὁ »fb 24

TON M»

2099) a A. s. 2045. $. hx i3

! εὖ A

| mm 0541 [orf ac aD E

, f. φ
OE 59 09 47N düdd γα τ: !

-

AXI αυχολὸ Ds & : d A
TM μὰ "ὍΣ ai 79 [9] bb 5 X3

"14193 2. wAexob . A9 nó
:9Xp iandexob dn dh iit

J SCHOLIA

290 T Boholin

Scholia codieis Vat. Gr. 1038 fol. 129" sub fine Dato-

rum in mg. inferiore.

Ὅρων δοθέντων ὁποσαοῦν εὑρεῖν δυαδικὰς συζυγίας.
εὑρίσκομεν δὲ αὐτὰς οὕτως᾽ λαμβάνομεν τῶν δοϑέντων
ὅρων L ἀριϑμὸν μονάδι ἐλάττονα καὶ πολυπλασιάξομεν
αὐτὸν εἰς «τὸν ἐγγὺς αὐτοῦ μονάδι μείξονα καὶ ἐκ τοῦ

b γενομένου ποσοῦ λαμβάνομεν τὸ ἥμισυ" καὶ ἔχομεν αὐ-
τὴν εὕρεσιν τῶν δοϑέντων ὅρων δυαδικὰς συζυγίας.
τὰς δὲ τριαδικὰς οὕτως᾽ λαμβάνομεν τὸν δυάδι ἐλάδσ-
σονα ἀριϑμὸν τοῦ ποσοῦ τῶν ἐξ ἀρχῆς δοϑέντων ὅρων
καὶ πολλαπλαδιάξομεν ἐπὶ τὸ ποσὸν τὸ γεγονὸς ἐκ τῶν

10 δυαδικῶν συξυγιῶν ἐκ τοῦ ποσοῦ τῶν δοϑέντων ἐξ ἀρχῆς
ὅρων καὶ τοῦ γεγονότος πολλαπλασιασμοῦ λαμβάνομεν
τὸ τρίτον μέρος" καὶ ἔχομεν τριαδικὰς συξυγίας. καὶ
ἑξῆς ὁμοίως.

ΜΜέϑοδος εἰς τοὺς τριγωνικοὺς ἀριϑμούς.

1) Quadratum vacuum.

3. ἀρυϑιμόν)] om. lacuna relicta. 7. τὰς δέ] om. lac.
relicta.

Scholia 291

δοθείσης πλευρᾶς εὑρεῖν τὸ πλῆϑος τῶν μονάδων τοῦ
ἐμβαδοῦ. ἔστω ἡ πλευρὰ μοιρῶν f£ ταύτης τὸ ἥμισυ
γίνεται γ ἥμισυ. πρόσϑες χκαϑόλου τὸ ἥμισυ" γίνεται ὃ.
τετρόκις τὸ ξ γίνεται κη. πάλιν ἔστω ἡ πλευρὰ μοιρῶν
q' ὧν τὸ ἥμισυ ὃ. πρόσϑες ἥμισυ" γίνεται OL. ἐπὶ τὸ
ἢ γένεται Ac. ὁμοίως ἐπὶ πάντων.

μέϑοδος ἄλλη χρησιμωτέρα.

πᾶς ἀριϑμὸς διαιρεϑεὶς εἰς δύο ἀρυϑμούς, ὥστε μο-
νάδι ἀλλήλων διαφέρειν τὰ τμήματα, ἐὰν πολλαπλασια-
| σϑῇ ἐφ᾽ ὁποιονοῦν, ὁ ὅλος τριγωνικὸς ἔσται" πλευρὰ
δὲ ἔσται τοῦ μὲν με τονὺς τριγώνου ὃ ἐξ ἀρχῆς ἀρυϑμός,
τοῦ δὲ ἐλάττονος ὃ μονάδι ἐλάσσων αὐτοῦ᾽ οἷον Ó 9
οἰδερεῖται εἰς ὃ καὶ & γίνεται οὖν ἃς, μὲ μὑξδ᾽ πλευρὰ δὲ
τοῦ μὲν ὃ ἢ, τοῦ δὲ ὁ 9. πάλιν ὃ ιβ εἰς € ἥμισυ καὶ €
ἥμισυ᾽ γένεται Eg, oq: πλευρὰ δὲ τοῦ μὲν ὃ τα, τοῦ δὲ

ὁ ιβ.

Seholium eodieis Vaticani Gr. 204 fol. 1547 δὰ Eu-
clidis Catoptrica prop. I.

Ζλον τοῦτό ἐστι μάλιστα ἀπὸ τῶν ἡλιακῶν ἀκτί-
νῶν. ἐὰν γὰρ ἐν σταϑερᾷ μεσημβρίᾳ τοῦ ἡλίου φλογῶ-
δὲς ἐλλάμποντος ὕδωρ τις ἐν πινακίσκῳ βαλὼν ἔγγιον
αὐτὸ ϑῇ τοίχου τινός, κατ᾽ ἐκεῖνο δηλονότι τὸ μέρος,
ἐν ᾧ ὁ ἥλιος τὰς ἀκτῖνας ἀφίησιν, αὐτίκα γενήσονται
παλμοί τινες ἐπὶ τὸν τοῖχον ἀπὸ τοῦ ὕδατος. ὡς ὁρᾶσϑαι
τὰς ἀκτῖνας παλλομένας τοῦ ἡλίου ἐπὶ τὸν τοῖχον καὶ
οἷον ὑποτρεμούσας, ὕπερ ἐστὶν ἡ λεγομένη ἀντανάκλασις.
καὶ εἴγε ἣν αἰσϑητικώτερον ἰδεῖν τὴν ἀκτῖνα, καϑάπερ
ξύλον ἢ λέίϑον ἢ ἄλλο τι σῶμα τοιοῦτον, εἶδες ἂν τὴν
ἀπὸ ταύτης ἐπὶ τὴν ἀνακλωμένην εὐϑεῖαν ἐπίξευγνυμέ-
νὴν γραμμὴν πρὸς i6«g γωνίας οὖσαν ἑκατέραις καὶ
διάνδιχα ταύτας μερίξουσαν. ἐπεὶ τοίνυν, ὕπερ ἐστὶν

26. ὑποτρεμούσας] -μ- obscurum, fortasse χ.

192

Cc

10

15

20

30

10

15

999 . . Scholia

ἥλιος ἐν κόσμῳ, τοῦτο ἐν σώματι ὀφθαλμός, τὸ αὐτὸ καὶ
ἐπὶ τούτου γενήσεται. ὅπερ καὶ ἐπὶ τοῦ ἡλίου, ὅταν
ϑεωρῇ διά τινος δώματος καϑαρωτάτου καὶ διαφανοῦς,
οἷον τὸ τῆς ὑέλλου. ὑποστήσεται γάρ τινα παλμὸν 5
ἀπὸ τοῦ ὀφθαλμοῦ ἐπὶ τὴν ὕελλον ἀποχεομένη ἀκτὶς
καὶ γωνίαν τὴν αὐτὴν ποιήσει πρὸς τῷ ἐνόπτρῳ, οἵαν
ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς αὐτό. δῆλον, ὅτι, el μὲν πρὸς
ὀρϑὰς γωνίας ἐστὶν αὐτὴ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος, αὐτὴ δι᾽
ἑαυτῆς ἀναχλασϑήσεται, εἰ δὲ πρὸς ἀμβλείας, ἔσται ἀνα-
λόγως καὶ ἡ ἀντανακλωμένη αὐτὴ ἰσογώνιος αὐτῇ, τουτ-
ἕστιν ἴσην ἔχουσα τὴν πρὸς τῇ κατὰ τὸ ἔνοπτρον συν-
αφῇ γωνίαν τῇ ἀπὸ τῆς τοῦ ὄμματος ἀκτῖνος πρὸς τῷ
2 » , ' - , 2 er b , ,
αὐτῷ σημείῳ, καὶ τοῦτό ἔστιν, ὅπερ φησὶν Εὐκλείδης,
ὅτι ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων ἐνόπτρων καὶ κυρτῶν καὶ κοίλων
αἱ ὄψεις ἐν ἴδαις γωνίαις ἀνακλῶνται.

11. /6qv] bis. 12. τῆς] supra.

Date Due

l
|

i itt

D MM

BOSTON COLLEGE LIBRARY

UNIVERSITY HEIGHTS
CHESTNUT HILL, MASS.

Books may be kept for two weeks and may he
renewed for the same period, unless reserved.

Two cents a day is charged for each book kept
overtime.

If you cannot find what you want, ask the
Librarian who will be glad to help you.

The borrower is responsible for books drawn on

his card and for all fines accruing on the same.

DOO

9$ pi

DLL Á οὗ,"
Y d nw

αἴσιον Ὁ

e ME à Na tss
BiU

Testis

ΟΝ Ha

DG Ges

TL

D

δε ύζος
tete dine : ud
xen

lene

MODO Au

C RE

Dorv
3 23022

DES
s

4j

ace;
Us
! ; :
er ;
Dor : : :
d τν ὡς
3| un